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In eigener Sache

In einem Blog sind die einzelnen Beiträge (Artikel) chronologisch angeordnet: die ältesten ganz hinten, die neuesten ganz vorn. Der Aufbau ist somit anders als bei einer Website, wo alles immer an der gleichen Stelle steht.

Wer etwas bestimmtes über Labyrinthe sucht oder einfach nur wissen will, was überhaupt im Blog zu finden ist, möchte vielleicht gerne so eine Art Inhaltsverzeichnis haben.

Das habe ich inzwischen erstellt und biete es in einer eigenen Seite mit dem Titel Übersicht an.

Aufgerufen wird das Inhaltsverzeichnis über das Register Übersicht und befindet sich auf dem Blog ganz oben über dem Titelbild, gleich rechts neben dem Register Über uns.

Für einen besseren Durchblick

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Noch etwas:

So ungefähr zweimal im Monat soll ein neuer Beitrag erscheinen. Mittlerweile bin ich nicht mehr allein, Andreas Frei ist mein Gastautor.

Wer immer darüber informiert sein will, kann diesen Blog auch (natürlich kostenlos und unverbindlich) abonnieren, auch folgen genannt.
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Nicht zu jedem Labyrinth kann ein komplementäres Gegenstück gebildet werden. Das Komplementäre erhält man durch vertikale Spiegelung des Musters, wobei die Verbindungen zwischen Eingang / Zentrum und ihren Umgängen im Labyrinth nicht unterbrochen werden. Wenn der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf derselben Seite der Achse liegen, geht das nicht.

Abbildung 1. Alternierendes Labyrinth mit gerader Umgangszahl

Abb. 1 zeigt dies am Beispiel des alternierenden, einachsigen Labyrinths mit 6 Umgängen und der Umgangsfolge 3 2 1 6 5 4. Wie aus dem Muster (mittlere Figur) ersichtlich, liegen der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf der gleichen Seite der Achse. Der Weg geht zuerst auf den 3. Umgang und erreicht das Zentrum zuletzt vom 4. Umgang aus. Will man dieses Muster spiegeln und die axialen Verbindungen zum Eingang und zum Zentrum aufrecht erhalten, überschneiden sich die beiden Linien an der Stelle mit dem schwarzen Kreis. Eine solche Figur ist nicht mehr kreuzungsfrei und daher kein Labyrinth. Bei alternierenden Labyrinthen mit gerader Umgangszahl gibt es also keine komplementären Labyrinthe.

Nun gibt es auch nicht-alternierende Labyrinthe mit gerader Umgangszahl, bei denen der Eingang ins Labyrinth und der Zugang zum Zentrum auf den gegenüberliegenden Seiten der Achse liegen. Das Labyrinth in Abb. 2 ist ein solches und wurde hier auf diesem Blog schon mehrfach besprochen.

Abbildung 2. Nicht-alternierendes Labyrinth mit gerader Umgangszahl

Dieses nicht-alternierende, einachsige Labyrinth mit 6 Umgängen hat die Umgangsfolge 3 2 1-6 5 4. Das ist die gleiche Umgangsfolge wie beim Labyrinth in Abb 1, mit dem Unterschied, dass der Weg zwischen dem 1. und 6. Umgang die Achse quert. Wir haben hier also ein Labyrinth mit gerader Umgangszahl vor uns, bei dem aber der Eingang ins Labyrinth und der Zugang zum Zentrum an der Achse einander gegenüber liegen. Dennoch kann man kein komplementäres Labyrinth dazu bilden. Spiegelt man das Muster vertikal ohne die Verbindungen zum Eingang und Zentrum zu unterbrechen, ergeben sich nun sogar zwei Überschneidungen (markiert mit schwarzen Kreisen).

Ein komplementäres Labyrinth kann also nur bei alternierenden Labyrinthen mit ungerader Umgangszahl gebildet werden.

Verwandte Beiträge:

Die Babylonischen Eingeweidelabyrinthe haben Eingang gefunden in die moderne Medizin. Auf eine ganz ungewöhnliche Art und Weise. Ein labyrinth-artiger Chip dient zur Diagnose von Krebszellen im Blut. Die labyrinthische Anordnung der Bahnen erweist sich als ein wirkungsvolles Werkzeug zur Isolierung von zirkulierenden Krebszellen im Blut. Das heißt, dass die kurvenreiche  und gewundene Linienführung im Labyrinth dabei besonders nützlich ist.

Labyrinth-Chip

Labyrinth-Chip, Foto mit freundlicher Genehmigung der Universität Michigan, © Joseph XU, Michigan Engineering Communications & Marketing

Was ist das nun für ein Labyrinth?
Auf den ersten Blick erinnert es an ein mittelalterliches Labyrinth, wie das berühmte Chartres Labyrinth. Es hat zehn Umgänge in drei Sektoren, in einem sind es acht. Sie werden nicht der Reihe nach durchlaufen, sondern wechselweise. Und dann hat es zwei Zugänge: Einen Eingang und einen Ausgang. Es ist also ein Durchgangslabyrinth wie wir das von den Babylonischen Labyrinthen kennen. Wir haben daher einen eigenen, neuen Typ vor uns. Dargestellt ist der Weg im Labyrinth, der Ariadnefaden. Das erinnert uns an den Mythos vom Minotauros, den es zu bekämpfen gilt wie hier den Krebs.
Dienten die Babylonischen Eingeweidelabyrinthe zur Wahrsagung, dient hier das Labyrinth der Medizin.
Das erinnert mich an „Ancient Myths & Modern Uses„, ein Buch über Labyrinthe von Sig Lonegren.

Verwandte Artikel

Weiterführende Links

Jeweils vier Labyrinthe stehen in einer komplementären oder dualen Beziehung zueinander. Das drückt sich auch in den Umgangsfolgen aus. Erwin hat es in seinem Kommentar zu meinem vorletzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) schon bemerkt: Die Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe unter einander geschrieben addieren sich an jeder Position zu Eins mehr als die Anzahl der Umgänge. In der Abbildung 1 zeige ich, was das heisst.

Abbildung 1. Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe

Zuerst schreiben wir zu jedem Muster die entsprechende Umgangsfolge. Die Muster in der gleichen Spalte sind komplementär. Nun nehmen wir die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 2 und 4 und schreiben darunter die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 7 und 5. Dann addieren wir die unter einander stehenden Zahlen. Die Summe ist an jeder Stelle 6. Also 1 höher als die Anzahl 5 der Umgänge.

Nun gibt es noch einen Zusammenhang zwischen den Umgangsfolgen. Dieser wird in Abbildung 2 veranschaulicht.

Abbildung 2. Umgangsfolgen dual-komplementärer Labyrinthe

Die Umgangsfolgen der dual-komplementären Labyrinthe sind spiegelsymmetrisch. Hier werden also die beiden über Kreuz zueinander in Beziehung stehenden Labyrinthe betrachtet. Labyrinth 5 ist das Komplementäre zum Dualen (4), resp das Duale zum Komplementären (7), also das dual-komplementäre von Labyrinth 2. Diese Beziehung ist mit einer schwarzen Linie mit quadratischen Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind schwarz geschrieben. Schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 2 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 5 und umgekehrt (schwarze Umgangsfolgen).
Labyrinth 7 ist das Komplementäre zum Dualen (2), resp das Duale zum Komplementären (5), also das dual-komplementäre von Labyrinth 4. Dies wird mit einer grauen Linie mit runden Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind grau geschrieben. Auch hier gilt: schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 4 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 7 und vice versa.

Verwandte Beiträge:

Ich habe schon ausführlich über die Babylonischen Labyrinthe geschrieben. Dazu verweise ich auf die Verwandten Artikel unten. Hier soll es nun um eine Zusammenstellung gehen.

Die meisten Informationen habe ich dem ausführlichen und ausgezeichneten Artikel von Richard Myers Shelton in Jeff Sawards Caerdroia 42 (März 2014) entnommen, auf den ich auch hier noch einmal hinweisen möchte.

Die Funde befinden sich in den verschiedensten Sammlungen und Museen weltweit. Ich verwende die Katalognummer, um die unterschiedlichen Tontafeln zu bezeichnen.

Die ältesten Exemplare in eckiger Form stammen aus der alt-babylonischen Zeit um 2000 – 1700 v. Chr. und befinden sich in der norwegischen Schøyen Collection.

Das rechteckige Babylonische Labyrinth MS 3194

Das rechteckige Babylonische Labyrinth MS 3194

Das quadratische Babylonische Labyrinth MS 4515

Das quadratische Babylonische Labyrinth MS 4515

Dann folgen die verschiedenen mehr runden Eingeweidelabyrinthe aus der mittel- bis neubabylonischen Zeit um 1500 – 500 v. Chr.. Sie sind zu finden im Vorderasiatischen Museum Berlin (VAN … und VAT … Nrn.), im Louvre (AO 6033), im Rijksmuseum van Oudheden in Leiden (Leiden Labyrinth) oder stammen aus Tell Barri in Syrien (E 3384).

Die Tafeln mit mehreren Darstellungen habe ich von links oben nach rechts unten nummeriert und zeige die gut sichtbaren (21 Stück) in größeren Nachzeichnungen. Einige Darstellungen sind unleserlich oder zerstört. Insgesamt sind es 48 Abbildungen.

Dann gibt es noch 6 Einzelexemplare. Die folgen hier:

Eingeweidelabyrinthe

Eingeweidelabyrinthe

Hier nun die 21 größeren Nachzeichnungen der gut erkennbaren Exemplare:

Eingeweidelabyrinth auf VAT 984

Eingeweidelabyrinth auf VAT 984

Eingeweidelabyrinthe auf VAN 9447

Eingeweidelabyrinthe auf VAN 9447

Eingeweidelabyrinthe auf E 3384 recto

Eingeweidelabyrinthe auf E 3384 recto

Eingeweidelabyrinthe auf E 3384 verso

Eingeweidelabyrinthe auf E 3384 verso

Damit haben wir insgesamt 56 Babylonische Labyrinthe vor uns, von denen 29 eindeutig zu erkennen sind.

Allen 29 Exemplaren ist gemeinsam, dass sie einen eindeutigen Weg aufweisen, der komplett zurückzulegen ist. Es gibt also keinerlei Abzweigungen, Sackgassen oder tote Enden wie bei einem Irrgarten.

Ebenso haben alle 29 Exemplare eine unterschiedliche Linienführung und kein gemeinsames Muster.

Alle (bis auf VAT 9560_4) haben zwei Eingänge. Bei den eckigen Labyrinthen liegen sie ungefähr in der Mitte der gegenüberliegenden Seiten. Bei den übrigen, meist rundlichen Exemplaren liegen sie nebeneinander oder sind versetzt.

Das Leiden Labyrinth ist einfach eine Doppelspirale. Eine weitere Besonderheit ist das Eingeweidelabyrinth VAT 9560_4. Es hat nur einen Eingang und eine spiralförmige Mitte, ganz so wie wir es vom Indischen Labyrinth kennen. Es stellt also einwandfrei ein Labyrinth dar.

Das Mesopotamische Labyrinth könnte auch eine geschlossene Mitte (und deshalb nur einen Eingang) haben und die Schlingen verlaufen in einfachen Serpentinen.

Die übrigen 24 Exemplare haben alle eine viel kompliziertere Linienführung mit ineinander verschachtelten Schlaufen und Schlingen.

Die 27 unleserlichen Exemplare sind vermutlich ähnlich strukturiert. Und vielleicht existieren ja noch andere Tontafeln, die der Entdeckung harren?

Über die Bedeutung der eckigen Exemplare wissen wir so gut wie nichts, die übrigen 27 mehr runden Exemplare sind Eingeweidelabyrinthe.

Bei den Eingeweidelabyrinthen sind die Darmschlingen eines Opfertieres als Vorlage für die Deutung bei der Eingeweideschau dargestellt. Von daher ist auch zu verstehen, dass sie möglichst unterschiedlich aussehen sollten. Das erklärt ihre große Vielfalt. Und auch wiederum ihre Ähnlichkeit. Sie stellen eher einen eigenen Stil als einen eigenen Typ dar.

Die Babylonischen Labyrinthe stammen aus einem eigenen Zeitraum, aus einem anderen Kulturkreis und folgen einem anderen Paradigma als das übliche westliche Verständnis des Labyrinths. Sie sind vor allem Durchgangslabyrinthe. Doch auch in unserer Tradition kennen wir Durchgangslabyrinthe, so auch den Wunderkreis.

Ein Wunderkreis im Babylonischen Stil

Ein Wunderkreis im Babylonischen Stil: Das Logo des diesjährigen Treffens der Labyrinth Society (TLS), Entwurf und © Lisa Moriarty

Verwandte Artikel

Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

Verwandte Beiträge:

 

 

Was verstehe ich unter „Indisches Labyrinth“? Damit bezeichne ich zunächst ein einfaches 3- oder mehr-gängiges Labyrinth (um zwei Wendepunkte herum) mit einer Spirale in der Mitte. Diese kann beliebig groß sein. Es handelt sich also um ein zusammengesetztes Labyrinth.

Die Labyrinth Society (TLS) reiht es in „Andere Klassische Grundmuster“ ein, wobei als Untertypen „Chakra-Vyuha Labyrinth“ und „Baltisches Labyrinth“ aufgeführt sind.

Dieser Typ wird auch heutzutage noch verwendet, und sei es als Verzierung auf einer Geburtstagstorte, wie vor kurzem durch Lisa Gidlow Moriarty (USA):

Chakra Vyuha auf Torte

Chakra Vyuha auf Torte, © Lisa Moriarty

Ein solches Labyrinth kann aus einem Grundmuster erzeugt werden, das auf einem Dreieck beruht. Es wird auch Chakra Vyuha genannt. Doch auch andere Grundmuster gibt es (siehe Verwandte Artikel unten).

Und damit wird die Einordnung in eine gemeinsame Typologie schwierig, weil auch Zeit und Ort des Erscheinens ganz unterschiedlich sind.

Ich fange mit einem einfachen Labyrinth an. Es findet sich bei Hermann Kern und stammt aus dem 12. Jhdt.

Chakra Vyuha

Das Indische Labyrinth, Quelle: Hermann Kern, Labyrinthe (1982), Abb. 602, S. 422

Gute 2000 Jahre älter ist das Eingeweidelabyrinth auf einem Tontäfelchen im Vorderasiatischen Museum Berlin mit der Nummer VAT 9560. Der Archäologe Ernst Friedrich Weidner (mehr darüber hier) zeigt es in einem Beitrag von 1917 als Abb. 4:

Das Babylonische Eingeweidelabyrinth

Das Babylonische Eingeweidelabyrinth VAT 9560, Abb. 4

Das sieht nicht so aus, als wäre es aus einem Grundmuster entstanden.

Eingeweidelabyrinth in drei Zügen

Eingeweidelabyrinth in drei Zügen

Es lässt sich jedoch in drei Zügen zeichnen. Ich beginne in der Mitte, zeichne die Spirale, mache auf der rechten Seite eine Schleife nach außen und schwinge in einem Bogen zur linken Seite (grüne Linie). Dann setze ich mich in die Schlaufe, umkurve die vorhergehende Linie und beende die Linie an der Unterseite der Spirale (blaue Linie). Die dritte Linie beginnt neben der vorhergehenden und schwingt nach links oben (gelbe Linie).

Genauso einfach lässt sich auch das Chakra Vyuha zeichnen:

Chakra Vyuha in zwei Zügen

Chakra Vyuha in zwei Zügen

Der eigentliche Weg im Labyrinth, der Ariadnefaden, muss in einem Zug gezeichnet werden.

Das kann von innen nach außen geschehen oder auch umgekehrt.


Im Artikel „Variationen des Wunderkreises“ (siehe Verwandte Artikel unten) hatte ich eine Methode beschrieben, um Durchgangslabyrinthe vom Typ Wunderkreis mit beliebig vielen Umgängen zu erzeugen.

Diese Methode, leicht abgewandelt, lässt sich auch verwenden, um die aus Spiralen mit beliebig vielen Umdrehungen zusammengesetzten einfachen Labyrinthe mit drei und mehr Umgängen zu erzeugen.

Noch einmal kurz die Prinzipien:

Ich beginne in der Mitte und zeichne eine Spirale mit mindestens einer, jedoch auch mehr Umgängen. Die Begrenzungslinien sind hier in Grün, der Ariadnefaden in Braun dargestellt.

Darüber kommt die gewünschte Anzahl an labyrinthischen Umgängen, mindestens drei bis zu (unendlich) vielen. Jedoch immer eine ungerade Anzahl.

Dann kommen die Schlaufen von außen nach innen (in Gelb). Da ich bei den Begrenzungslinien jeweils auf beiden Seiten eine ungerade Anzahl an Linienenden haben muss, beginnt oder endet eine Linie an der Unterseite der Spirale.

Beim Zeichnen der Begrenzungslinien wird die zwischen den Schlaufen liegende mittlere freie Linie nach vorne verlängert (in Rot).

Beim Zeichnen des Ariadnefadens wird auf der Seite mit den ungeraden Linienenden die innerste Linie nach vorne verlängert (in Rot). Die dann noch übrigen freien Linienenden werden in Schlaufen verbunden (in Gelb).

Im letzten Beispiel drehe ich noch eine „Ehrenrunde“ (in Schwarz) um das Ganze. So kann ich mit der richtigen Anzahl an Umgängen die historisch belegte Windelburg von Stolp erzeugen.

Windelburg von Stolp

Windelburg von Stolp

Die Windelburg von Stolp hatte eine dreigängige Spirale und 15 labyrinthische Umgänge plus einem zusätzlichen Umgang außen herum.

Wie soll man nun die vorgestellten Beispiele richtig klassifizieren? Als Indianisches Labyrinth kann man sicher nicht alle bezeichnen. Die Windelburg gehört eher zu den Trojaburgen und wird auch zu den Baltischen Labyrinthen gezählt. Jedoch haben sie alle das gleiche Muster, gehören also zum gleichen Typ.

Um ein Labyrinth auch bauen zu können, muss man es in eine geometrisch korrekte Form bringen. Ich nehme hierfür die Windelburg, nehme etwas weniger Umgänge und erstelle dazu eine Konstruktionszeichnung.

Eine neue Windelburg

Eine neue Windelburg

Diese stelle ich als eine Art Prototyp mit 1 m-Achsmaß, zweifacher Spirale und 9 labyrinthischen Umgängen als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder speichern zur Verfügung.

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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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