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In einem Blog sind die einzelnen Beiträge (Artikel) chronologisch angeordnet: die ältesten ganz hinten, die neuesten ganz vorn. Der Aufbau ist somit anders als bei einer Website, wo alles immer an der gleichen Stelle steht.

Wer etwas bestimmtes über Labyrinthe sucht oder einfach nur wissen will, was überhaupt im Blog zu finden ist, möchte vielleicht gerne so eine Art Inhaltsverzeichnis haben.

Das habe ich inzwischen erstellt und biete es in einer eigenen Seite mit dem Titel Übersicht an.

Aufgerufen wird das Inhaltsverzeichnis über das Register Übersicht und es befindet sich im Menü unter dem Titelbild, zusammen mit dem Register Über uns.

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Die meisten Bilder und Grafiken sind von Andreas Frei und mir (Erwin Reißmann) erstellt, soweit nichts anderes vermerkt ist, und werden unter der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0 zur Verfügung gestellt.

Wie mache ich die verwandten Labyrinthe?

Ich verwende eine andere Methode, um die verwandten Labyrinthe zu generieren als Andreas. Aber ich bekomme das gleiche Ergebnis. So ergänzen wir uns.

Im Wesentlichen arbeite ich mit der Weg- oder Umgangsfolge, um die gewünschte Version eines bestimmten Labyrinths zu erhalten. Außerdem nehme ich die Wegfolge, um das Labyrinth zu konstruieren und nicht das Grundmuster.

Fig.1: Das Basis Labyrinth

Normalerweise nummeriere ich von außen nach innen (die linken Ziffern in blau), zusätzlich hier noch von innen nach außen (die rechten Ziffern in grün).
Die Wegfolge für das Basislabyrinth lautet hier: 0-1-2-5-4-3-6. „0“ steht für außen, „6“ steht hier für die Mitte. Wir haben ein 5-gängiges Labyrinth vor uns. „1“ bis „5“ sind die Nummern der Umgänge, daher die Umgangsfolge 1-2-5-4-3 (Fig. 1).


Um das duale Labyrinth zu erzeugen, verwende ich einfach die grünen Zahlen rechts im Basislabyrinth. Die Wegfolge ermittle ich, indem ich vom Zentrum aus nach außen gehe. Ich erhalte 6-3-2-1-4-5-0. Nun zeichne ich mit dieser Ziffernreihe ein Labyrinth, bei dem ich von außen zur Mitte gehe. Vorher ersetze ich aber „6“ durch „0“ und „0“ durch „6“, ich tausche gleichsam innen und außen. Die neue Wegfolge ist dann: 0-3-2-1-4-5-6 (Fig. 2).

the dual labyrinth
Fig. 2: Das duale Labyrinth zum Basis Labyrinth

Die linken Zahlen geben nun die Wegfolge an: 0-3-2-1-4-5-6. Wenn ich nun die grünen Ziffern auf der rechten Seite lese, erhalte ich natürlich wieder das Basislabyrinth.


Jetzt benutze ich eine andere Technik, um das gegenläufige Labyrinth zu erzeugen. Ich nehme die Umgangsfolge des dualen Labyrinths, hier: 3-2-1-4-5, und ergänze alle Zahlen zu „6“.
3-2-1-4-5 dual
3-4-5-2-1 ergänzt
———–
6-6-6-6-6
Die zweite Zeile, vervollständigt um „0“ für außen und „6“ für das Zentrum, ergibt die Wegfolge für das gegenläufige Labyrinth: 0-3-4-5-2-1-6 (Fig. 3).

Aber es gibt noch eine weitere Technik, um das zu erreichen: Ich kann die Umgangsfolge vom Basislabyrinth rückwärts lesen und wieder mit „0“ und „6“ komplettieren.
1-2-5-4-3 Basis
3-4-5-2-1 umgestellt
Die zweite Zeile, ergänzt durch „0“ für die Außenseite und „6“ für das Zentrum, ergibt auch die Wegfolge für das gegenläufige Labyrinth: 0-3-4-5-2-1-6 Fig. 3).

the transpose labyrinth
Fig.3: Das gegenläufige Labyrinth zum Basis Labyrinth

Wenn ich nun die grünen Zahlen der rechten Seite nehme, erhalte ich das duale zum gegenläufigen Labyrinth, nämlich das komplementäre Labyrinth mit der Wegfolge: 0-5-4-1-2-3-6 (Fig. 4).


Aber auch hier gibt es die oben beschriebene Technik, um das komplementäre Labyrinth zu erhalten. Ich nehme das Basislabyrinth und ergänze die Ziffern seiner Wegfolge zu „6“.
1-2-5-4-3 Basis
5-4-1-2-3 ergänzt
———–
6-6-6-6-6
Die zweite Zeile, ergänzt durch „0“ für außen und „6“ für das Zentrum, ergibt die Wegfolge für das komplementäre Labyrinth: 0-5-4-1-2-3-6 (Fig. 4).

Ich kann auch das duale Labyrinth nehmen und die Umgangsfolge rückwärts lesen und wieder „0“ und „6“ hinzufügen.
3-2-1-4-5 dual
5-4-1-2-3 umgestellt
Die zweite Zeile, ergänzt mit Außen und Zentrum, ergibt ebenso die Wegfolge für das komplementäre Labyrinth: 0-5-4-1-2-3-6 (Fig. 4).

the complement labyrinth
Fig.4: Das komplementäre Labyrinth zum Basis Labyrinth

Wenn ich nun die grünen Zahlen der rechten Seite nehme, erhalte ich das duale Labyrinth zu diesem komplementären Labyrinth, nämlich das gegenläufige Labyrinth mit der Wegfolge: 0-3-4-5-2-1-6 (Fig. 3).


Wir haben also drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, ein Labyrinth in ein anderes zu verwandeln, indem man die Umgangs- oder Wegfolge verwendet.

Es werden jedoch nur zwei Methoden benötigt, um die entsprechenden Labyrinthe zu erzeugen. Ich persönlich bevorzuge die Technik „Umstellen“ und die Technik „Ergänzen“.

Zuerst haben wir das Basislabyrinth (Fig. 1). Durch Umstellen der Wegfolge des Basislabyrinths 1-2-5-4-3 in 3-4-5-2-1 erhalte ich das gegenläufige Labyrinth (Fig. 3).
Dieses gegenläufige Labyrinth mit der Umgangsfolge 3-4-5-2-1 transformiere ich in das duale Labyrinth, indem ich die Umgangsfolge zu 3-2-1-4-5 ergänze (Fig. 2).
Dieses duale Labyrinth transformiere ich dann in das komplementäre Labyrinth, indem ich seine Umgangsfolge 3-2-1-4-5 in 5-4-1-2-3 für das komplementäre Labyrinth umstelle (Fig. 4).
Zur Kontrolle kann ich das Basislabyrinth auch in das komplementäre umwandeln, indem ich die Umgangsfolge 1-2-5-4-3 des Basislabyrinths in 5-4-1-2-3 (Fig. 4) für das komplementäre ergänze.

Alle diese Transformationsmethoden haben die gleiche Wirkung wie die Rotations- und Spiegelungstechniken von Andreas.

Verwandter Artikel

Die verwandten Labyrinthe

Das Thema der eng verwandten Labyrinthe wurde schon verschiedentlich auf diesem Blog behandelt. Ich bin bei der Herleitung des komplementären Labyrinths auf die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe gestossen. Dabei habe ich zum Basislabyrinth das Komplementäre gebildet und dann jeweils die zum Basislabyrinth und zum Komplementären dualen Labyrinthe (siehe: verwandte Beiträge 1, unten). Als viertes ergibt sich indirekt das zum Komplementären duale Labyrinth. Das ist nichts anderes als das gegenläufige Labyrinth.

Schon früher hat allerdings Richard Myers Shelton diese Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe publiziert°. In seinem Artikel hat er das Konzept der Gegenläufigkeit vorgestellt. Zum Basislabyrinth und zum gegenläufigen Labyrinth hat er dann die Dualen gebildet. So ergab sich als viertes indirekt das zum Gegenläufigen duale, d.i. das komplementäre Labyrinth.

Wir haben somit verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts vorliegen. Diesen will ich im Folgenden näher auf den Grund gehen und noch eine dritte Variante des gleichen Sachverhalts vorstellen. Ich gehe dafür wieder von dem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen aus, das ich schon für die Herleitung des komplementären Labyrinths verwendet habe. Das ist das zweite der acht verschiedenen alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen und das einfachste Labyrinth, für welches eine vollständige Gruppe von vier eng Verwandten existiert (verwandte Beiträge 2). Es ist das «Basislabyrinth» und hat die drei Verwandten, das „Duale“, das „Gegenläufige“ und das „Komplementäre“, wie in Abb. 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe

In Abb. 2 zeige ich, wie man direkt vom Basislabyrinth zu den anderen drei Labyrinthen kommt. Dafür wird das Muster des Labyrinths verwendet. Dieses wird als Ariadnefaden in der Rechteckform gewonnen (verwandte Beiträge 3). 

In der ersten Zeile wird die Herleitung des dualen Musters gezeigt. Dazu wird das Basismuster um 180 Grad gedreht. Die Verbindungen zur Aussenwelt (Dreieck) und zum Zentrum werden unterbrochen. Nach der Drehung werden die Enden wieder verbunden, aber die Verbindungen sind vertauscht.

Die zweite Zeile zeigt die Herleitung des gegenläufigen Musters. Dazu wird das Basismuster horizontal (an der Senkrechten) gespiegelt. Wieder werden die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum unterbrochen. Nach der Spiegelung zeigen die Enden in die falsche Richtung. Sie müssen umgeklappt werden, damit sie mit der Aussenwelt und dem Zentrum verbunden werden können. Diese beiden Vorgänge, Spiegeln und Umklappen sind im Symbol für das Gegenläufige kombiniert.

In der dritten Zeile wird die Herleitung des komplementären Musters gezeigt. Diese erfolgt durch vertikale Spiegelung (an der Waagrechten) des Basismusters. Auch hier werden die Verbindungen unterbrochen und müssen nach der Spiegelung umgeklappt werden. Das Symbol für die Herleitung des Komplements steht also wieder die beiden Vorgänge Spiegelung und Umklappen.

Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth

Dies sind die drei Operationen, mit denen aus dem Basislabyrinth das duale, gegenläufige und komplementäre Labyrinth abgeleitet werden können. Die direkte Anwendung von zwei dieser Operationen reicht, um indirekt die dritte zu bewirken. Damit kann die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Mehr dazu im nächsten Beitrag.

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

  1. Das komplementäre versus das duale Labyrinth
  2. Das komplementäre Labyrinth
  3. Vom Ariadnefaden zum Muster

Wie mache ich ein Labyrinth aus einem Schleifenquadrat?


Bei meiner Schweden-Tour 2007 ist mir auch ein besonderes Verkehrszeichen aufgefallen, das mir sehr gut gefallen hat. Es weist auf Sehenswürdigkeiten hin und zeigt ein Schleifenquadrat.

Schwedisches Verkehrszeichen
Schwedisches Verkehrszeichen

Das Schleifenquadrat gibt es schon lange, in verschiedenen Ausprägungen und in vielen Kulturen. Es ist ein Ornament, auch als Johanneskreuz bekannt, in der Heraldik als Bowen-Knoten, es dient als Hinweiszeichen, und als Tastatursymbol auf Computern.

Ein sehr schönes Beispiel zeigt dieser Bildstein aus Stora Havor aus der Zeit um 400 – 600 n.Chr., der im Museum Fornsalen in Visby (Gotland) aufbewahrt wird:

Bildstein aus Stora Havor im Museum Fornsalen
Bildstein aus Stora Havor, Foto: Wolfgang Sauber, CC BY-SA 3.0

Oder hier ein Schmuckstück aus Muschelschale aus der Mississippi-Kultur, Tennessee (USA), aus der Zeit um 1250 – 1450:

A Cox style Mississippian culture shell gorget
Muschelschale aus der Mississippi-Kultur, Autor: Herb Roe, CC BY-SA 3.0

Jetzt noch ein Beispiel aus der Heraldik aus einem englischen Werk von Hugh Clark aus dem Jahr 1827, wo das Schleifenquadrat im Bowen-Knoten zu sehen ist:

nod_bowen-knot-Hugh-Clark-18277
Der Bowen-Knoten in der Heraldik, Autor: Hugh Clark 1827, gemeinfrei

Wir haben also eine ununterbrochene Linie mit eindeutiger Linienführung vor uns wie wir sie auch im Labyrinth finden, jedoch ohne Anfang und ohne Ende. Könnte das eine Anregung für ein Labyrinth sein? Es gibt auch keine Verzweigungen, wohl aber Richtungswechsel. Nur müssen wir dafür dreidimensional sehen oder denken. Und wir bräuchten einen Anfang und ein Ende.

Hier erst einmal die Ausgangsfigur:

Schleifenquadrat
Schleifenquadrat

So könnte das Schleifenquadratlabyrinth aussehen:

Schleifenquadratlabyrinth
Schleifenquadratlabyrinth

Die Linienführung ist eindeutig, denn die Schnittpunkte der Linien sind keine Kreuzungen, wo wir abzweigen könnten. Wir müssen immer nur vorwärts und weiter gehen und dabei die Rundungen mitmachen. Man könnte auch an Über- oder Unterführungen denken, wie bei Autobahnen. Im obigen Beispiel sind die Unter- und Überführungen gut zu erkennen. Es geht jedoch auch ohne diese genauen Abgrenzungen.

Das Schleifenquadrat-Labyrinth
Das Schleifenquadrat-Labyrinth

Der Bau eines solchen Labyrinthes wäre doch auch eine Herausforderung? Wer wagt sich daran? Dazu gibt es auch eine Entwurfszeichnung für eine Art Prototyp:

Entwurfszeichnung
Entwurfszeichnung

Hier die Zeichnung als PDF-Datei zum drucken, speichern oder anschauen.
Gehen Sie dazu im Dokument rechts oben auf >> (= Werkzeuge).

Die PDF-Datei

Verwandter Artikel

Andere Sektorenlabyrinthe mit 7 Umgängen

Mit den 42 Sektormustern lassen sich eine riesige Anzahl von verschiedenen Sektorenlabyrinthen mit 7 Umgängen erzeugen. Wollen wir nicht einfach beliebig Sektormuster kombinieren, müssen wir eine Idee für die Gestaltung haben und Bedingungen setzen, die den Bereich der möglichen Kombinationen einschränken. So ist die Verwendung von ausschliesslich Dreifachbarrieren an allen (Neben-) Achsen eine starke Einschränkung (siehe verwandte Beiträge 1).

Eine andere Einschränkung wäre, an jeder Nebenachse nur eine Einfach- und eine Doppelbarriere zu verwenden. Die Einfachbarriere belegt zwei, die Doppelbarriere vier Umgänge nebeneinander. Bleibt ein Umgang übrig für den Übergang vom einen in den nächsten Sektor. 

Nun können wir noch weiter einschränken und verlangen, dass die Einfachbarriere nicht direkt neben der Doppelbarriere liegen soll, also vermeiden, dass die Achsen wie in Abb. 1 aussehen. 

Abbildung 1. Einfach- neben Doppelbarriere

Dann muss der Übergang zwischen den Sektoren immer auf einem der Umgänge 3 oder 5 liegen. Sektormuster, die diese Kriterien an mindestens einer Seite erfüllen, habe ich in Abb. 2 identifiziert. Interessant ist, dass dies wieder bei 14 verschiedene Sektormustern der Fall ist. Davon bei 12 nur an einer Seite und bei 2 an beiden Seiten. 

Abbildung 2. Selektion der Muster mit Einfach- und Doppelbarrieren

Auch diese Sektormuster habe ich in Quadranten eingeordnet, je nach Sektor in dem sie stehen können und Umgang über den sie verbunden werden. Abbildung 3 zeigt, dass wir – mit anderen Sektormustern – genau die gleiche Ausgangslage haben wie schon bei den Dreifachbarrieren (verwandte Beiträge 1). Die Sektormuster, die in beiden Quadranten A und D stehen, entsprechen dem Muster des einachsigen klassischen Labyrinths. Die in beiden Quadranten C und B entsprechen dem dazu Komplementären mit dem S-förmigen Wegverlauf (verwandte Beiträge 2). Nur diese können in jedem Sektor stehen und für den inneren Verlauf verwendet werden.

Somit kann schon jetzt festgestellt werden, dass es unabhängig von der Anzahl Achsen für jede der vier Verlaufsmöglichkeiten AB, CD, CB und AD wiederum 16 verschiedene Muster gibt. Davon will ich jetzt nur 2 herausgreifen. Das erste ist ein selbstgegenläufiges 6 achsiges Labyrinth mit Verlauf AB (angezeigt mit einer Linie mit Bemassungsenden). Das zweite ist ein selbstduales Labyrinth mit fünf Achsen und einem Verlauf CB (angezeigt mit einer Linie mit Pfeilenden). 

Abbildung 3. Quadranten und ausgewählte Kombinationen für den ersten und letzten Sektor

Für die Erzeugung der Muster verbinde ich einfach Sektormuster so, dass die Grundlinien der roten Dreiecke aufeinander passen. Ich verzichte darauf, die Muster fertig zu zeichnen, da sie klar genug erkennbar sind und es mir um die Illustration / Hervorhebung der Methode der Kombination geht. Das Labyrinth mit 6 Achsen und dem Verlauf AB besteht überhaupt nur aus den beiden Sektormustern, die in jedem Sektor stehen können. Dies ist die einzige Möglichkeit, für den Verlauf AB ein selbstgegenläufiges Labyrinth zu bilden, bei dem nicht der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf dem äussersten oder innersten Umgang liegen. Solche sind aus meiner Sicht uninteressant. Dazu gibt es noch das Komplementäre, das den Verlauf CD hat. 

Abbildung 4. Labyrinth mit 6 Achsen und Verlauf AB

Abbildung 5 schliesslich zeigt das selbstduale fünfachsige Labyrinth, das entsteht, wenn man die beiden mit einer Linie mit Pfeilenden verbundenen Sektormuster aus den Quadranten C und B in den ersten und letzten Sektor einsetzt, und sie mit drei Sektormustern für den inneren Verlauf verbindet. Auch hier lässt sich ein selbstduales Labyrinth erzeugen, das nur die beiden inneren Sektormuster enthält. Darüberhinaus kann man aber noch ein weiteres selbstduales Labyrinth herstellen, bei dem der Weg auf dem innersten Umgang eintritt und vom äussersten Umgang das Ziel erreicht. Dieses Labyrinth ist in Abb. 5 dargestellt. Zusätzlich kann man zwei selbstduale Labyrinthe herstellen, bei denen der Eintritt auf dem äussersten und der Zugang zum Zentrum vom innersten Umgang aus erfolgen und die somit uninteressante Labyrinthe sind. 

Abbildung 5. Labyrinth mit 5 Achsen und Verlauf CBEi

Verwandte Beiträge:

  1. Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren
  2. Die sechs sehr interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen