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In einem Blog sind die einzelnen Beiträge (Artikel) chronologisch angeordnet: die ältesten ganz hinten, die neuesten ganz vorn. Der Aufbau ist somit anders als bei einer Website, wo alles immer an der gleichen Stelle steht.

Wer etwas bestimmtes über Labyrinthe sucht oder einfach nur wissen will, was überhaupt im Blog zu finden ist, möchte vielleicht gerne so eine Art Inhaltsverzeichnis haben.

Das habe ich inzwischen erstellt und biete es in einer eigenen Seite mit dem Titel Übersicht an.

Aufgerufen wird das Inhaltsverzeichnis über das Register Übersicht und es befindet sich im Menü unter dem Titelbild, zusammen mit dem Register Über uns.

Für einen besseren Durchblick

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Die meisten Bilder und Grafiken sind von Andreas Frei und mir (Erwin Reißmann) erstellt, soweit nichts anderes vermerkt ist, und werden unter der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0 zur Verfügung gestellt.

Dreifachbarrieren – Muster für den ersten und letzten Sektor

Im letzten Beitrag habe ich die vier Möglichkeiten gezeigt, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Zur Fertigstellung der Hauptachse müssen nun noch die Sektormuster für den ersten und letzten Sektor ergänzt werden. Die lagen als Platzhalter erst zur Hälfte vor. Wir brauchen dafür die Sektormuster, die auf einer Seite eine Hälfte einer Dreifachbarriere aufweisen.

Aus früheren Beiträgen ist bekannt, dass es 42 verschiedene Muster für alternierende einachsige siebengängige Labyrinthe gibt. Diese Muster können wir in der gleichen Weise nutzen, wie wir das bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren getan haben. Wir müssen sie also als Sektormuster ohne die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum zeichnen. Tony Phillips hat die Muster der interessanten einschliesslich der sehr interessanten Labyrinthe auf seiner Website zusammengestellt. Die sind in diesem Blog auch schon gezeigt worden (verwandte Beiträge 4).

Abbildung 1 enthält nur 14 Muster von interessanten Labyrinthen. Interessant sind Labyrinthe, die keine trivialen Umgänge haben. Triviale Umgänge sind hier entweder aussen oder innen serpentinenförmig angehängte Umgänge. Das bedeutet, dass der Weg bei interessanten Labyrinthen weder auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt, noch vom letzten Umgang aus das Zentrum erreicht. Labyrinthe, bei denen dies der Fall ist, sind uninteressant.

In der Abbildung sind aber Informationen über 22 verschiedene Muster enthalten. Unterhalb der Muster ist jeweils die Umgangsfolge angegeben. Bei interessanten Labyrinthen ist zusätzlich in Klammern die Umgangsfolge des Dualen angegeben (a). Es gibt 8 Muster von interessanten Labyrinthen. Bei interessanten Labyrinthen ist das Duale immer auch interessant. Zusammen mit den dazugehörigen Dualen ergibt das 16 Muster von interessanten Labyrinthen.

Bei den sehr interessanten steht dahinter die Abkürzung s.d für selbstdual (b). Es hat 6 sehr interessante Labyrinthe.

Unter den sehr interessanten Labyrinthen sind zwei besonders hervorgehoben (c). Der Grundtyp und das dazu Komplementäre, welche gerade vor Kurzem hier wieder von Erwin im Knidos Stil präsentiert wurden (verwandte Beiträge 2, 3). Es sind die beiden einzigen komplementären Muster in dieser Abbildung. Wir haben nun also Informationen zu den 16 interessanten und 6 sehr interessanten Labyrinthen. Von denen sind zwei komplementär. Bleiben die Muster von 16 interessanten und 4 sehr interessanten Labyrinthen. Das sind 20 Muster von denen keines zu einem anderen komplementär ist. Suchen wir zu diesen die Komplementären auf, erhalten wir 40 Muster. Zusammen mit den beiden komplementären sehr interessanten Labyrinthen ergibt das 42 Muster. Wir können somit auf der Basis von Abb. 1 alle 42 Muster rekonstruieren. (Das ist übrigens auch ohne die Informationen in a), b) und c) rein grafisch möglich, aber mit diesen Informationen kann es schon vorab berechnet werden).

Bleibt zu erwähnen, dass Tony Phillips die Muster von oben rechts nach links unten zeichnet (d).

Abbildung 1. Muster der interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen bei Tony Phillips

Wir benötigen auf jeden Fall auch die Muster der uninteressanten Labyrinthe. Denn sie werden ja nicht für einachsige Labyrinthe, sondern als Sektormuster verwendet. Die Verbindungen von Sektoren geschehen immer auf dem äussersten oder innersten Umgang. Ein Sektor, der auf dem äussersten Umgang an den vorangehenden angehängt oder auf dem innersten Umgang mit dem nachfolgenden verbunden wird hat ein Sektormuster, welches im Falle eines einachsigen Labyrinths mit Verbindungen nach aussen oder zum Zentrum ein uninteressantes Labyrinth ergibt. 

Ich gebe im Folgenden die Muster in meiner Darstellung wieder (Abb. 2). Ich zeichne sie nicht wie Tony Phillips von rechts oben nach links unten (grau), sondern von links oben nach rechts unten (rot).

Abbildung 2. Darstellung des Musters

In Abb. 3 sind alle 42 Sektormuster für siebengängige Sektorenlabyrinthe abgebildet. Ich habe sie nicht näher bezeichnet, nur mit roten Dreiecken die Muster markiert, die für Sektorenlabyrinthe mit ausschliesslich Dreifachbarrieren verwendet werden können. Von diesen haben 12 Muster auf einer Seite und die bereits bekannten aus dem letzten Beitrag auf beiden Seiten eine Hälfte einer Dreifachbarriere.

Abbildung 3. Die 42 Muster

In Abb. 4 werden diese Muster in vier Gruppen geordnet je nach dem, in welchem Sektor sie stehen können und über welchen Umgang sie mit anderen Sektoren verbunden werden. Die beiden Muster mit Dreifachbarrieren an beiden Seiten können in jedem Sektor stehen. Darüberhinaus sind im Quadranten A die Muster eingeordnet, die im ersten Sektor stehen und auf dem äussersten Umgang mit dem nächsten Sektor verbunden werden. Im Quadrant B sind die Muster, die nur im letzten Sektor stehen können und auf dem äussersten Umgang mit dem vorangehenden Sektor verbunden sind. In Quadrant C sind die Muster eingeordnet, die nur im ersten Sektor stehen und über den innersten Umgang verbunden sind. Schliesslich enthält Quadrant D die Muster, die nur im letzten Sekor stehen können und über den innersten Umgang verbunden sind. 

Abbildung 4. Die Muster nach Sektoren

Damit haben wir alle Grundlagen, um jedes siebengängige Sektorenlabyrinth mit ausschliesslich Dreifachbarrieren an den Nebenachsen zu erzeugen. 

Verwandte Beiträge:

Wie zeichne ich ein klassisches 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil?

Es folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Zeichenanleitung zur Konstruktion eines geometrisch-mathematisch korrekten Labyrinthes.

Die Vorgaben sind folgende: Der DurchmesserDie Maßeinheit für den Achsabstand der Linien beträgt 1 m. Der Durchmesser der Mitte soll das Vierfache dieses Abstandes betragen, also 4 m. Der Eintritt ins Labyrinth und in das Zentrum werden auf die zentrale Mittelachse gelegt.

Angaben zum Knidos Stil sind in diesem Artikel zu finden.

Figur 1: Als erstes wird der Mittelpunkt M1 des Labyrinthes festgelegt. Von hier ausgehend erfolgt die Ausrichtung der Hauptachse (senkrechte Linie) zum Eingang des Labyrinthes unten. Dann wird in 1.50 m Abstand dazu eine Parallele als Hilfslinie gezeichnet und in M1 ein Hilfskreis mit einem Radius von 3 m gezeichnet. Mittels Bogenschlag wird anschließend der Punkt Mittelpunkt M2 im Schnittpunkt dieser Hilfslinien rechts unterhalb konstruiert.

Figur 2: Der Punkt M3 wird konstruiert, indem zwei Radien mit Radius 4 m um M1 und M2 links der Hauptachse zum Schnitt gebracht werden.

Figur 3: Zuerst werden die Geraden M1-M2 und M1-M3 verlängert, dann um M1 als Mittelpunkt sieben Kreisbögen gezeichnet mit den Radien 2.5 m bis 8.5 m. Das ist der Ariadnefaden, die Wegachse, für das Labyrinth.

Figur 4: Um M2 und M3 werden Kreisbögen mit den Radien 0.5 m und 1.5 m bis zu den Bogenenden der entsprechenden vorher konstruierten Kreisbögen gezogen. Der rechte Kreisbogen mit dem Radius 1.5 m geht nur bis zum Schnittpunkt mit der waagrechten Konstruktionslinie und führt dann als Gerade ins Zentrum M1.

Figur 5: Eine Parallele wird im Abstand von 1.5 m links der zentralen Achse als Hilfslinie gezeichnet. Um M3 als Mittelpunkt wird ein Hilfskreis mit dem Radius 4 m gezeichnet und mit der senkrechten Hilfslinie geschnitten. So entsteht der Mittelpunkt M4.

Figur 6: Die drei offenen Bogenstücke links der verlängerten Linie M1 – M3 werden mit den Radien 2.5 m, 3.5 m und 4.5 m bis zur Linie M3 – M4 verbunden.

Figur 7: Um M4 als Mittelpunkt werden zwei Bogenstücke mit den Radien 0.5 m und 1.5 m gezogen, der Radius 1.5 m nur bis zur waagrechten Konstruktionslinie zu M4. Von hier schließt sich eine Gerade zum Eingang des Labyrinths ganz unten an.

Figur 8: Um die Mittelpunkte M2 un M4 werden zwei Hilfskreise mit Radius 4 m gezeichnet und rechts der Zentralachse im Schnittpunkt derselben der neue Mittelpunkt M5 konstruiert.

Figur 9: Im neuen Sektor werden die rechts liegenden freien Bogenendstücke mit den Radien 2.5 m bis 5.5 m bis zur Linie M2 – M5, bzw. deren Verlängerung, verbunden.

Figur 10: Um M5 als Mittelpunkt werden noch zwei Halbkreise mit den Radien 0.5 m und 1.5 m konstruiert. Damit ist der komplette Ariadnefaden für das Labyrinth gezeichnet.

Figur 11: Parallel zu allen bisherigen Bogenstücken werden nun im Abstand von jeweils 0.5 m die Begrenzungslinien des Labyrinthes konstruiert. Beginnend mit R 1 m bis zu R 9 m für den äußersten Ring. Damit sind alle Linien für das Labyrinth komplett und können für verschiedene Darstellungen des Labyrinthes in unterschiedlichen Varianten verwendet werden.

Zum Beispiel hier mit gleichen Breiten für die Begrenzungslinien. Der Ariadnefaden ist der freie Raum zwischen diesen Linien:

Das 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil mit zentraler Achse

Das 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil mit zentraler Achse

Hier noch einmal die vorangegangenen Zeichenschritte in einer einzigen Konstruktionszeichnung zusammengefasst, die beliebig skaliert werden kann.

Die Konstruktionszeichnung

Die Konstruktionszeichnung

Und hier als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder downloaden.

Verwandte Artikel

Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren

Bei siebengängigen Labyrinthen mit Dreifachbarrieren haben wir eine analoge Situation wie bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren (Verwandte Beiträge, unten). Ausser für den ersten und letzten Sektor können in den dazwischen liegenden Sektoren nur gerade zwei verschiedene Sektormuster verwendet werden. 

Labyrinthe mit Dreifachbarrieren müssen mindestens sieben Umgänge haben. Dann sind es auf jeden Fall Sektorenlabyrinthe. Eine Dreifachbarriere belegt sechs Umgänge nebeneinander. Somit bleibt noch ein Umgang für den Übergang vom einen in den nächsten Sektor. Das kann nur der innerste oder der äusserste Umgang sein. 

Abbildung 1. Muster für die inneren Sektoren

Im ersten Sektor können nur Sektormuster verwendet werden, die an der rechten Seite drei verschachtelte Wenden haben. 

Abbildung 2. Muster für den ersten Sektor

Für den letzten Sektor können nur Sektormuster verwendet werden, die an der linken Seite drei verschachtelte Wenden haben. 

Abbildung 3. Muster für den letzten Sektor

Die gegenüberliegenden Seiten dieser Sektormuster bilden die Hauptachse. An diesen Seiten können die Sektormuster andere Wendestellen aufweisen. Wie der Weg ins Labyrinth eintritt und wie er das Zentrum erreicht, ist vorläufig noch offen.

Was allerdings zwischen dem ersten und dem letzten Sektor abläuft, kann hier schon bestimmt werden. Unabhängig von der Anzahl Achsen gibt es für den Wegverlauf in den inneren Sektoren immer vier Möglichkeiten. Zwei Möglichkeiten für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen und zwei für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen. 

Eine Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen wird in Abb. 4 gezeigt. Bei Labyrinthen mit 2, 4, 6 usf. Achsen kann der Weg vom ersten Sektor auf dem äussersten Umgang in den zweiten Sektor hinüberführen. Dies kann dann gleich der letzte Sektor sein (oberste Zeile). Auch bei 4 (2. Zeile), 6 (unterste Zeile) oder jeder anderen geraden Anzahl Achsen wechselt der Weg auf dem äussersten Umgang in den letzten Sektor. 

Abbildung 4. Erste Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen

Die andere Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen wird in Abb. 5 gezeigt. Sie ist komplementär zum Verlauf in Abb 4. Der Weg tritt auf dem innersten Umgang vom ersten in den zweiten Sektor über und wechselt auch auf dem innersten Umgang vom vorletzten in den letzten Sektor. 

Abbildung 5. Zweite Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen

Die erste Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl (3, 5, 7 usf.) Achsen ist in Abb. 6 wiedergegeben. Hier wechselt der Weg vom ersten in den zweiten Sektor auf dem äussersten Umgang. Den letzten Sektor erreicht der Weg bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen nicht auf dem gleichen (äussersten) Umgang wie bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen, sondern auf dem entgegengesetzten (innersten ) Umgang. Was für Labyrinthe mit 3, 5 und 7 Achsen gezeigt, gilt für alle Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen. 

Abbildung 6. Erste Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen

Die zweite Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen wird in Abb. 7 gezeigt. Sie ist komplementär zum ersten Verlauf in Abb. 6. 

Abbildung 7. Zweite Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen

Das sind die vier einzigen Möglichkeiten, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann, je zwei für Labyrinthe mit gerader und ungerader Anzahl Achsen. Fehlt nur noch die Gestaltung der Hauptachse. Dazu müssen die halben Sektormuster für den ersten und letzten Sektor noch komplettiert werden. Die Sektormuster, die für den ersten und letzten Sektor in Frage kommen, sollen im nächsten Beitrag identifiziert werden. 

Verwandte Beiträge

Die Labyrinthe mit 3 Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen

Das komplementäre (umgestellte) 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil

Die Darstellung im konzentrischen Stil habe ich in meinem letzten Beitrag (siehe Verwandte Artikel unten) beschrieben. Heute geht es um die Darstellung dieses Typs im Knidos Stil.

Die Umgangsfolge ist: 5-6-7-4-1-2-3-8. Das besondere daran ist, dass der Eintritt ins Labyrinth auf dem 5. Umgang erfolgt und der Eintritt ins Zentrum auf dem 3. Umgang.

Die Begrenzungslinien und der Ariadnefaden

Die Begrenzungslinien und der Ariadnefaden

Und trotzdem lässt sich dieser Typ auf die zentrale Achse ausrichten. Das wird nur möglich durch die Bearbeitung im Knidos Stil.

Zum ursprünglichen Labyrinth zurück komme ich mit der gleichen Methode, mit der ich auch zum komplementären Typ gelangt bin: Ich ergänze die Zahlenreihe der Umgangsfolge um die Differenz auf die letzte Ziffer (das Ziel). Also:
5-6-7-4-1-2-3-8
3-2-1-4-7-6-5-8
8-8-8-8-8-8-8-8
Das ist dann das originale, wohlbekannte klassische (kretische) Labyrinth.

Was bedeutet eigentlich der Knidos Stil?
Darunter verstehe ich vor allem, dass das Labyrinth ein größeres Zentrum erhält als nur eine Wegbreite, dass es möglichst kompakt ist und vor allem aus der Umgangsfolge entwickelt wird und nicht nach dem Grundmuster für die Begrenzungslinien. Es ist also der Ariadnefaden, der Weg im Labyrinth, der die Konstruktion bestimmt. Und diese muss geometrisch korrekt sein mit gleichbleibenden Wegbreiten, möglichst runden Elementen  und möglichst wenigen „Leerstellen“.

Hier in einer weiteren Grafik:

Das komplementäre Labyrinth im Knidos Stil

Das komplementäre Labyrinth im Knidos Stil

Hier die Zeichenanweisung für eine Art Prototyp zum skalieren für das Achsmaß von 1 m.

Die Konstruktionszeichnung

Die Konstruktionszeichnung

Und hier als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder downloaden.

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