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In einem Blog sind die einzelnen Beiträge (Artikel) chronologisch angeordnet: die ältesten ganz hinten, die neuesten ganz vorn. Der Aufbau ist somit anders als bei einer Website, wo alles immer an der gleichen Stelle steht.

Wer etwas bestimmtes über Labyrinthe sucht oder einfach nur wissen will, was überhaupt im Blog zu finden ist, möchte vielleicht gerne so eine Art Inhaltsverzeichnis haben.

Das habe ich inzwischen erstellt und biete es in einer eigenen Seite mit dem Titel Übersicht an.

Aufgerufen wird das Inhaltsverzeichnis über das Register Übersicht und es befindet sich im Menü unter dem Titelbild, zusammen mit dem Register Über uns.

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Die meisten Bilder und Grafiken sind von Andreas Frei und mir (Erwin Reißmann) erstellt, soweit nichts anderes vermerkt ist, und werden unter der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0 zur Verfügung gestellt.

Die verwandten Labyrinthe

Das Thema der eng verwandten Labyrinthe wurde schon verschiedentlich auf diesem Blog behandelt. Ich bin bei der Herleitung des komplementären Labyrinths auf die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe gestossen. Dabei habe ich zum Basislabyrinth das Komplementäre gebildet und dann jeweils die zum Basislabyrinth und zum Komplementären dualen Labyrinthe (siehe: verwandte Beiträge 1, unten). Als viertes ergibt sich indirekt das zum Komplementären duale Labyrinth. Das ist nichts anderes als das gegenläufige Labyrinth.

Schon früher hat allerdings Richard Myers Shelton diese Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe publiziert°. In seinem Artikel hat er das Konzept der Gegenläufigkeit vorgestellt. Zum Basislabyrinth und zum gegenläufigen Labyrinth hat er dann die Dualen gebildet. So ergab sich als viertes indirekt das zum Gegenläufigen duale, d.i. das komplementäre Labyrinth.

Wir haben somit verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts vorliegen. Diesen will ich im Folgenden näher auf den Grund gehen und noch eine dritte Variante des gleichen Sachverhalts vorstellen. Ich gehe dafür wieder von dem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen aus, das ich schon für die Herleitung des komplementären Labyrinths verwendet habe. Das ist das zweite der acht verschiedenen alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen und das einfachste Labyrinth, für welches eine vollständige Gruppe von vier eng Verwandten existiert (verwandte Beiträge 2). Es ist das «Basislabyrinth» und hat die drei Verwandten, das „Duale“, das „Gegenläufige“ und das „Komplementäre“, wie in Abb. 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe

In Abb. 2 zeige ich, wie man direkt vom Basislabyrinth zu den anderen drei Labyrinthen kommt. Dafür wird das Muster des Labyrinths verwendet. Dieses wird als Ariadnefaden in der Rechteckform gewonnen (verwandte Beiträge 3). 

In der ersten Zeile wird die Herleitung des dualen Musters gezeigt. Dazu wird das Basismuster um 180 Grad gedreht. Die Verbindungen zur Aussenwelt (Dreieck) und zum Zentrum werden unterbrochen. Nach der Drehung werden die Enden wieder verbunden, aber die Verbindungen sind vertauscht.

Die zweite Zeile zeigt die Herleitung des gegenläufigen Musters. Dazu wird das Basismuster horizontal (an der Senkrechten) gespiegelt. Wieder werden die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum unterbrochen. Nach der Spiegelung zeigen die Enden in die falsche Richtung. Sie müssen umgeklappt werden, damit sie mit der Aussenwelt und dem Zentrum verbunden werden können. Diese beiden Vorgänge, Spiegeln und Umklappen sind im Symbol für das Gegenläufige kombiniert.

In der dritten Zeile wird die Herleitung des komplementären Musters gezeigt. Diese erfolgt durch vertikale Spiegelung (an der Waagrechten) des Basismusters. Auch hier werden die Verbindungen unterbrochen und müssen nach der Spiegelung umgeklappt werden. Das Symbol für die Herleitung des Komplements steht also wieder die beiden Vorgänge Spiegelung und Umklappen.

Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth

Dies sind die drei Operationen, mit denen aus dem Basislabyrinth das duale, gegenläufige und komplementäre Labyrinth abgeleitet werden können. Die direkte Anwendung von zwei dieser Operationen reicht, um indirekt die dritte zu bewirken. Damit kann die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Mehr dazu im nächsten Beitrag.

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

  1. Das komplementäre versus das duale Labyrinth
  2. Das komplementäre Labyrinth
  3. Vom Ariadnefaden zum Muster

Wie mache ich ein Labyrinth aus einem Schleifenquadrat?


Bei meiner Schweden-Tour 2007 ist mir auch ein besonderes Verkehrszeichen aufgefallen, das mir sehr gut gefallen hat. Es weist auf Sehenswürdigkeiten hin und zeigt ein Schleifenquadrat.

Schwedisches Verkehrszeichen
Schwedisches Verkehrszeichen

Das Schleifenquadrat gibt es schon lange, in verschiedenen Ausprägungen und in vielen Kulturen. Es ist ein Ornament, auch als Johanneskreuz bekannt, in der Heraldik als Bowen-Knoten, es dient als Hinweiszeichen, und als Tastatursymbol auf Computern.

Ein sehr schönes Beispiel zeigt dieser Bildstein aus Stora Havor aus der Zeit um 400 – 600 n.Chr., der im Museum Fornsalen in Visby (Gotland) aufbewahrt wird:

Bildstein aus Stora Havor im Museum Fornsalen
Bildstein aus Stora Havor, Foto: Wolfgang Sauber, CC BY-SA 3.0

Oder hier ein Schmuckstück aus Muschelschale aus der Mississippi-Kultur, Tennessee (USA), aus der Zeit um 1250 – 1450:

A Cox style Mississippian culture shell gorget
Muschelschale aus der Mississippi-Kultur, Autor: Herb Roe, CC BY-SA 3.0

Jetzt noch ein Beispiel aus der Heraldik aus einem englischen Werk von Hugh Clark aus dem Jahr 1827, wo das Schleifenquadrat im Bowen-Knoten zu sehen ist:

nod_bowen-knot-Hugh-Clark-18277
Der Bowen-Knoten in der Heraldik, Autor: Hugh Clark 1827, gemeinfrei

Wir haben also eine ununterbrochene Linie mit eindeutiger Linienführung vor uns wie wir sie auch im Labyrinth finden, jedoch ohne Anfang und ohne Ende. Könnte das eine Anregung für ein Labyrinth sein? Es gibt auch keine Verzweigungen, wohl aber Richtungswechsel. Nur müssen wir dafür dreidimensional sehen oder denken. Und wir bräuchten einen Anfang und ein Ende.

Hier erst einmal die Ausgangsfigur:

Schleifenquadrat
Schleifenquadrat

So könnte das Schleifenquadratlabyrinth aussehen:

Schleifenquadratlabyrinth
Schleifenquadratlabyrinth

Die Linienführung ist eindeutig, denn die Schnittpunkte der Linien sind keine Kreuzungen, wo wir abzweigen könnten. Wir müssen immer nur vorwärts und weiter gehen und dabei die Rundungen mitmachen. Man könnte auch an Über- oder Unterführungen denken, wie bei Autobahnen. Im obigen Beispiel sind die Unter- und Überführungen gut zu erkennen. Es geht jedoch auch ohne diese genauen Abgrenzungen.

Das Schleifenquadrat-Labyrinth
Das Schleifenquadrat-Labyrinth

Der Bau eines solchen Labyrinthes wäre doch auch eine Herausforderung? Wer wagt sich daran? Dazu gibt es auch eine Entwurfszeichnung für eine Art Prototyp:

Entwurfszeichnung
Entwurfszeichnung

Hier die Zeichnung als PDF-Datei zum drucken, speichern oder anschauen.
Gehen Sie dazu im Dokument rechts oben auf >> (= Werkzeuge).

Die PDF-Datei

Verwandter Artikel

Andere Sektorenlabyrinthe mit 7 Umgängen

Mit den 42 Sektormustern lassen sich eine riesige Anzahl von verschiedenen Sektorenlabyrinthen mit 7 Umgängen erzeugen. Wollen wir nicht einfach beliebig Sektormuster kombinieren, müssen wir eine Idee für die Gestaltung haben und Bedingungen setzen, die den Bereich der möglichen Kombinationen einschränken. So ist die Verwendung von ausschliesslich Dreifachbarrieren an allen (Neben-) Achsen eine starke Einschränkung (siehe verwandte Beiträge 1).

Eine andere Einschränkung wäre, an jeder Nebenachse nur eine Einfach- und eine Doppelbarriere zu verwenden. Die Einfachbarriere belegt zwei, die Doppelbarriere vier Umgänge nebeneinander. Bleibt ein Umgang übrig für den Übergang vom einen in den nächsten Sektor. 

Nun können wir noch weiter einschränken und verlangen, dass die Einfachbarriere nicht direkt neben der Doppelbarriere liegen soll, also vermeiden, dass die Achsen wie in Abb. 1 aussehen. 

Abbildung 1. Einfach- neben Doppelbarriere

Dann muss der Übergang zwischen den Sektoren immer auf einem der Umgänge 3 oder 5 liegen. Sektormuster, die diese Kriterien an mindestens einer Seite erfüllen, habe ich in Abb. 2 identifiziert. Interessant ist, dass dies wieder bei 14 verschiedene Sektormustern der Fall ist. Davon bei 12 nur an einer Seite und bei 2 an beiden Seiten. 

Abbildung 2. Selektion der Muster mit Einfach- und Doppelbarrieren

Auch diese Sektormuster habe ich in Quadranten eingeordnet, je nach Sektor in dem sie stehen können und Umgang über den sie verbunden werden. Abbildung 3 zeigt, dass wir – mit anderen Sektormustern – genau die gleiche Ausgangslage haben wie schon bei den Dreifachbarrieren (verwandte Beiträge 1). Die Sektormuster, die in beiden Quadranten A und D stehen, entsprechen dem Muster des einachsigen klassischen Labyrinths. Die in beiden Quadranten C und B entsprechen dem dazu Komplementären mit dem S-förmigen Wegverlauf (verwandte Beiträge 2). Nur diese können in jedem Sektor stehen und für den inneren Verlauf verwendet werden.

Somit kann schon jetzt festgestellt werden, dass es unabhängig von der Anzahl Achsen für jede der vier Verlaufsmöglichkeiten AB, CD, CB und AD wiederum 16 verschiedene Muster gibt. Davon will ich jetzt nur 2 herausgreifen. Das erste ist ein selbstgegenläufiges 6 achsiges Labyrinth mit Verlauf AB (angezeigt mit einer Linie mit Bemassungsenden). Das zweite ist ein selbstduales Labyrinth mit fünf Achsen und einem Verlauf CB (angezeigt mit einer Linie mit Pfeilenden). 

Abbildung 3. Quadranten und ausgewählte Kombinationen für den ersten und letzten Sektor

Für die Erzeugung der Muster verbinde ich einfach Sektormuster so, dass die Grundlinien der roten Dreiecke aufeinander passen. Ich verzichte darauf, die Muster fertig zu zeichnen, da sie klar genug erkennbar sind und es mir um die Illustration / Hervorhebung der Methode der Kombination geht. Das Labyrinth mit 6 Achsen und dem Verlauf AB besteht überhaupt nur aus den beiden Sektormustern, die in jedem Sektor stehen können. Dies ist die einzige Möglichkeit, für den Verlauf AB ein selbstgegenläufiges Labyrinth zu bilden, bei dem nicht der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf dem äussersten oder innersten Umgang liegen. Solche sind aus meiner Sicht uninteressant. Dazu gibt es noch das Komplementäre, das den Verlauf CD hat. 

Abbildung 4. Labyrinth mit 6 Achsen und Verlauf AB

Abbildung 5 schliesslich zeigt das selbstduale fünfachsige Labyrinth, das entsteht, wenn man die beiden mit einer Linie mit Pfeilenden verbundenen Sektormuster aus den Quadranten C und B in den ersten und letzten Sektor einsetzt, und sie mit drei Sektormustern für den inneren Verlauf verbindet. Auch hier lässt sich ein selbstduales Labyrinth erzeugen, das nur die beiden inneren Sektormuster enthält. Darüberhinaus kann man aber noch ein weiteres selbstduales Labyrinth herstellen, bei dem der Weg auf dem innersten Umgang eintritt und vom äussersten Umgang das Ziel erreicht. Dieses Labyrinth ist in Abb. 5 dargestellt. Zusätzlich kann man zwei selbstduale Labyrinthe herstellen, bei denen der Eintritt auf dem äussersten und der Zugang zum Zentrum vom innersten Umgang aus erfolgen und die somit uninteressante Labyrinthe sind. 

Abbildung 5. Labyrinth mit 5 Achsen und Verlauf CBEi

Verwandte Beiträge:

  1. Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren
  2. Die sechs sehr interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen

Wie zeichne ich ein kretisches 7-gängiges Labyrinth ohne Grundmuster?

Das Zeichnen des Labyrinths mithilfe des Grundmusters, sei es das Keimmuster für die Begrenzungsliniien oder das für den Ariadnefaden war hier schon oft Thema.

Auch das Zeichnen nach der Wegfolge. Das gelingt besonders einfach beim Ariadnefaden. Denn er ist eine ununterbrochene Linie und lässt sich mit etwas Übung gut in einem Zug zeichnen. Hier einer meiner Versuche für ein sogenanntes rechtsläufiges Labyrinth.

Der Ariadnefaden
Der Ariadnefaden, von unten nach oben

Dabei habe ich von unten her begonnen und dann in einem Zug, mich an die Wegfolge 0-3-2-1-4-7-6-5-8 haltend, die Linie gezeichnet. Die Form hat man sowieso im Hinterkopf und es entsteht eine mehr oder weniger harmonische Linie.

Dann wollte ich es aber etwas anspruchsvoller haben und habe versucht, mit dem Linienende in der Mitte zu beginnen. Das ist nicht ganz so einfach, gelingt aber trotzdem. Die Wegfolge kann man auch dazu verwenden, denn dieses Labyrinth ist selbst-dual. So sah es dann aus:

Der Ariadnefaden
Der Ariadnefaden, von oben nach unten

Das sieht schon nicht mehr ganz so harmonisch aus. Aber mit etwas Übung gelingt auch das. Da zeigt sich schon so etwas wie eine individuelle Handschrift.


Nun soll es aber um die Darstellung der Begrenzungslinien gehen.
1877 wurde in der Nähe Roms, in Tragliatella, ein etruskischer Weinkrug gefunden, der aus dem Jahre 620 v.Chr. stammt und eine der ältesten Labyrinthzeichnungen zeigt. In allen namhaften Publikationen ist eine Nachzeichnung davon zu finden.
Aber die nach meiner Meinung beste fand ich bei John L. Heller und Stewart S. Cairns in ihrer Veröffentlichung von 1969: „To draw a labyrinth“. Denn da kann man ziemlich gut erkennen, wie das Labyrinth gezeichnet wurde. Hier ein vergrößerter, gedrehter Scan von der Zeichnung:

TRUIA
TRUIA

Ich habe das Bild gedreht, um es in der gewohnten Art mit dem Eingang von unten betrachten zu können. Man kann ziemlich klar erkennen, dass nicht das Grundmuster mit dem Kreuz, den vier Winkeln und den vier Punkten zur Zeichnung verwendet wurde. Doch war dem Zeichner sicherlich das Muster und vor allem die Labyrinthfigur vertraut, so dass er es freihändig und fehlerfrei zeichnen konnte. Er begann wohl mit dem zentralen Kreuz und hat dann schrittweise, vom mittleren Balken oben beginnend, insgesamt vier Linien gezeichnet. Dabei hat er jeweils zwei Bogenelemente gezeichnet und kommt damit auf insgesamt acht Linien.

Ich habe das einmal nachvollzogen:

Schritte
Die einzelnen Schritte

Zuerst das Kreuz (in grün). Dann ein Bogen nach links und anschließend nach rechts zum fiktiven oberen rechten Punkt (in schwarz). Dabei bleibt etwas mehr Zwischenraum, um die nächste Linie (in blau) dazwischen platzieren zu können. Die verläuft vom oberen linken fiktivem Punkt zwischen der vorher gezeichneten Linie in einem Bogen nach rechts zwischen den schwarzen Linien und umkurvt diese dann nach links bis zum linken Kreuzbalken.
Vom rechten Kreuzbalken aus geht es dann (in braun) parallel zur blauen Linie zurück auf die linke Seite bis ganz nahe an den unteren Kreuzbalken, wobei es in einer scharfen Kurve wieder zurück geht nach rechts bis zum fiktiven rechten unteren Punkt. Dabei muss man etwas mehr Platz zwischen den Linien lassen für das letzte noch zu zeichnende Stück, das noch dazwischen passen muss.

Labyrinth
Das ganze Labyrinth

Diese (rote) Linie beginnt am unteren Kreuzbalken, führt nach links um die ganze Figur herum, umkreist das rechte, untere (braune) Lininende und führt zwischen der vorher gezogenen Linie ganz nach links herum zum linken, unteren fiktivem Punkt. Damit ist das Labyrinth fertig.

Diese Beschreibung liest sich womöglich sehr umständlich. Viel einfacher ist es, das Zeichnen selber einmal zu probieren. Dann wird es (hoffentlich) klarer.


Betrachtet man das Labyrinth genauer, sieht man auch, dass es eigentlich aus nur zwei Linien besteht. Nämlich vom Punkt links oben zum Punkt rechts unten. Und: Vom Punkt rechts oben zum Punkt links unten. Sie überschneiden sich dabei und bilden dabei eine Art zentrales Kreuz.

Hier also der Versuch, das Labyrinth in zwei Linien zu zeichnen:

grüne Linie
von links oben nach rechts unten

Dazu muss man sich vorher das Labyrinth genau anschauen. Dann geht es.
Dann wird die zweite Linie dazu gezeichnet So sieht das dann aus:

beide Linien
von rechts oben nach links unten

In beiden Fällen muss man aufpassen, wo die Abstände zwischen den Linien etwas größer sein müssen, damit die später zu zeichnenden Linien dazwischen passen.

In allen vorgestellten Beispielen haben wir ein sogenanntes rechtsläufiges Labyrinth vor uns. Nach dem Eintritt ins Labyrinth geht es also zuerst nach rechts. Das Zentrum liegt dabei links des zentralen Kreuzes.
Soll es umgekehrt sein, muss der erste Bogen vom oberen Kreuzbalken nach rechts geschlagen werden. Dann ergibt sich ein linksläufiges Labyrinth.
Beim Zeichnen des Ariadnefadens geht es dabei von unten her zuerst nach links.

Oder man spiegelt alle Labyrinthe oder zeichnet sie seitenverkehrt. Dann erhält man jeweils die gewünschte Version.

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