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In eigener Sache

In einem Blog sind die einzelnen Beiträge (Artikel) chronologisch angeordnet: die ältesten ganz hinten, die neuesten ganz vorn. Der Aufbau ist somit anders als bei einer Website, wo alles immer an der gleichen Stelle steht.

Wer etwas bestimmtes über Labyrinthe sucht oder einfach nur wissen will, was überhaupt im Blog zu finden ist, möchte vielleicht gerne so eine Art Inhaltsverzeichnis haben.

Das habe ich inzwischen erstellt und biete es in einer eigenen Seite mit dem Titel Übersicht an.

Aufgerufen wird das Inhaltsverzeichnis über das Register Übersicht und befindet sich auf dem Blog ganz oben über dem Titelbild, gleich rechts neben dem Register Über uns.

Für einen besseren Durchblick

Für einen besseren Durchblick

Noch etwas:

So ungefähr zweimal im Monat soll ein neuer Beitrag erscheinen. Mittlerweile bin ich nicht mehr allein, Andreas Frei ist mein Gastautor.

Wer immer darüber informiert sein will, kann diesen Blog auch (natürlich kostenlos und unverbindlich) abonnieren, auch folgen genannt.
Das entsprechende Feld: BLOGGERMYMAZE FOLGEN gibt es in der rechten Seitenleiste zwischen „IM BLOG SUCHEN“ und „KATEGORIEN“.
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In meinen letzten Beiträgen hatte ich die Methode der Umwandlung vom Mittelalterlichen Labyrinth durch Weglassen der Barrieren aufgezeigt.

Die erste Möglichkeit um Labyrinthe zu generieren ist natürlich die Verwendung des Grundmusters. So sind die meisten skandinavischen Trojaburgen mit 7, 11 oder 15 Umgängen erzeugt worden.

Vor einigen Jahren hatte ich mit der Mäandertechnik beschäftigt. Dabei sind schon viele neue, bisher unbekannte Labyrinthe entstanden.

Ein weitere Möglichkeit hat Andreas in seinen Beiträgen zu den dualen und komplementären Labyrinthen aufgezeigt. Da werden durch Rotieren und Spiegeln neue Versionen von schon bekannten Typen erzeugt.

Diese Technik will ich nun verwenden, um einige neue Varianten vorzustellen.

Dabei beziehe ich mich auf einachsige, alternierende Labyrinthe. Diese Bezeichnung verwendet Tony Phillips in seinen Ausführungen als Mathematiker zum Labyrinth. Er nennt auch die Anzahl der theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen: 1014 Stück.

Die theoretisch möglichen interessanten Varianten der 3-, bis 7-gängigen Labyrinthe sind in diesem Blog schon alle einmal aufgetaucht.

Ich konstruiere die hier gezeigten Beispiele im konzentrischen Stil. Aufgrund der Wegfolge (= Umgangsfolge) lässt sich das relativ einfach bewerkstelligen. Man benötigt kein Muster dazu. Die Wegfolge ist auch das Unterscheidungsmerkmal der verschiedenen Varianten.

Ich beginne mit dem gut bekannten 11-gängigen klassischen Labyrinth, das aus dem Grundmuster erzeugt werden kann:

Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Um das duale Exemplar davon zu erzeugen, nummeriere ich die einzelnen Umgänge von innen nach außen, gehe dann von innen nach außen und schreibe dazu die Wegfolge auf. Es ergibt sich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-(12).
Diese ist in diesem Fall identisch mit dem Original, es entsteht also kein neues Labyrinth. Daher ist dieses Labyrinth selbstdual. Das wiederum zeugt von einer besonderen Qualität dieses Typs.

Jetzt erzeuge ich das komplementäre Exemplar. Dazu ergänze ich die einzelnen Ziffern der Wegfolge zur Ziffer des Zentrums „12“.
5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7
7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5
Die einzelnen Werte der Reihe oben und unten addiert, ergibt jeweils 12.

Oder, ich lese die Wegfolge rückwärts. Das bringt die gleiche neue Wegfolge. Doch so direkt geht das nur bei selbstdualen Labyrinthen.

Zu dieser Wegfolge 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12 zeichne ich nun ein Labyrinth.
So sieht es aus:

Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Dieses neue Labyrinth ist bisher kaum bekannt.


Jetzt nehme ich ein anderes schon einmal im Blog gezeigtes Labyrinth, das mit Mäandertechnik erzeugt wurde, jedoch ein nicht-selbstduales.

Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik

Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik

Zuerst ermittle ich die Wegfolge für das duale Labyrinth, indem ich von innen nach außen gehe. Und erhalte: 7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9-(12).

Danach konstruiere ich nach dieser Wegfolge das duale Labyrinth.
So sieht es dann aus:

Das duale 11-gängige Labyrinth

Das duale 11-gängige Labyrinth

Jetzt kann ich jeweils zu beiden vorgenannten Labyrinthen die komplementären Exemplare generieren.

Obere Reihe das Original. Untere Reihe das komplementäre.
3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7
Die untere Reihe erzeugt durch Ergänzen der oberen zu „12“.

Das komplementäre Labyrinth sieht wie folgt aus:

Das komplementäre Labyrinth zum Original

Das komplementäre Labyrinth zum Original

Nun die Wegfolge des dualen in der oberen Reihe. Das dazu komplementäre in der unteren.
7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3
Wieder ermittelt durch Ergänzung zu „12“.

Das sieht so aus:

Das komplementäre Labyrinth zum dualen

Das komplementäre Labyrinth zum dualen

Ich habe also drei neue Labyrinthe zu einem schon bekannten hinzugewonnen. Bei einem sebstdualen Labyrinth erhalte ich dagegen nur ein neues dazu.

Nun kann ich das Spielchen noch weitertreiben. Auch für die neu erzeugten komplementären Labyrinthe könnte ich wieder duale Labyrinthe erzeugen, indem ich von innen nach außen nummeriere.

Das duale des komplementären zum Original ergibt das komplementäre des dualen. Und das duale des komplementären zum dualen ergibt das komplementäre des Originals.

Die nebeneinander geschriebenen Wegfolgen verdeutlichen das. Oben stehen das Original (links) und das duale (rechts).
Unten stehen die komplementären, links das komplementäre zum Original. Und rechts das komplementäre zum dualen.

3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5  *  7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7  *  5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3

Die oberen und die unteren einzelnen Ziffern addiert, ergibt jeweils „12“.

Auch kann man erkennen, dass die über Kreuz gelesenen Wegfolgen zueinander rückwärts verlaufen.

Diese Eigenschaften kann ich auch nutzen, wenn ich neue Labyrinthe  erzeugen will. Indem ich die Wegfolgen des Originals und des dualen rückwärts interpretiere, erzeuge ich zum Original das komplementäre des dualen, und zum dualen das komplementäre des Originals. Und umgekehrt.

Wenn ich eine einzige Wegfolge habe, kann ich so die übrigen drei rein rechnerisch ermitteln.

Klingt verwirrend, ist es auch, denn wir reden von Labyrinthen.

Zum besseren Verstehen am besten selbst ausprobieren oder den Artikel (Die Umgangsfolgen … siehe unten) von Andreas zu diesem Thema aufmerksam studieren.

Verwandte Artikel

Komplettierung des Seed Pattern

Zwei Schritte braucht es noch, um das Labyrinth vom Typ Chartres in den Man-in-the-Maze Stil zu bringen. Zuerst muss das Seed Pattern vervollständigt werden.

Wir haben das Seed Pattern für die Begrenzungsmauern, aber noch ohne die achsquerenden Wegstücke. Die sind noch in der Ariadnefadendarstellung (Abb. 1).

Abbildung 1. Seed Pattern und achsquerende Wegstücke

Das Labyrinth soll mit den Begrenzungsmauern dargestellt werden. Dazu müssen noch die Begrenzungsmauern um die achsquerenden Wegstücke ergänzt werden (Abb 2).

Abbildung 2. Ergänzung der Begrenzungsmauern – 1

Wir beginnen von aussen nach innen und zeichnen um die äussersten dieser Wegstücke die Begrenzungsmauern.

Als nächsten Schritt fügen wir die Begrenzungsmauern um die nächst inneren Wegstücke hinzu (Abb. 3).

Abbildung 3. Ergänzung der Begrenzungsmauern – 2

Man sieht, dass bei jedem Schritt pro Wegstück 2 oder 4 Speichen nach innen verlängert werden müssen, die dann mit einem Kreisbogen verbunden werden.

Und so fahren wir fort, bis alle achsquerenden Wegstücke von Begrenzungsmauern umhüllt sind (Abb 4).

Abbildung 4. Das fertige Seed Pattern für die Begrenzungsmauern

Dies ergibt das vollständige Seed Pattern für die Begrenzungsmauern. In der Mitte des Seed Patterns und wo der Weg die Achsen quert, gibt es auch unzugängliche Bereiche. Das ist ganz analog zu den Seed Patterns bei alternierenden Labyrinthen im MiM-Stil, bei denen die Mitte auch unzugänglich ist.

Verwandte Beiträge

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das vor Jahren schon einmal ausprobiert. Und in den letzten beiden Beiträgen zu diesem Thema bei den Typen Auxerre und Reims. Siehe dazu die Verwandten Artikel unten.

Heute soll noch einmal der Chartres Typ behandelt werden. Hier das Original in wesentlicher Form, im konzentrischem Stil.

Das Chartres Labyrinth

Das Chartres Labyrinth

Das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Zacken und das sechsblättrige Element in der Mitte gehören zum Stil Chartres und sind hier weggelassen.

Nun ohne die Barrieren in den Nebenachsen.

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Anders als bei den Typen Auxerre und Reims können alle Umgänge in das nun entstehende Labyrinth einbezogen werden. Die Wegfolge ist: 5-4-3-2-1-6-11-10-9-8-7-12. Wir haben acht Wendepunkte mit gestapelten Umgängen. Es ist selbstdual. Das heißt, von innen nach außen geht es im gleichen Rhythmus wie hinein.

Das ergibt aber nun nicht einfach ein 11-gängiges Labyrinth wie wir es aus dem erweiterten Grundmuster erzeugen können.
Denn das sieht so aus:

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Die Wegfolge hier ist: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12. Wir haben vier Wendepunkte mit verschachtelten Umgängen. Es liegt also ein anderes Prinzip der Konstruktion zugrunde als beim Chartres Labyrinth. Doch ist es selbstdual.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu.

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals.
So sieht es dann aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Der Eintritt ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte geschieht vom 5. Umgang aus. Die Barrieren rechts und links sind anders angeordnet, die oberen bleiben. Es ist selbstdual.

Ohne Barrieren sieht es so aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Die Umwandlung funktioniert wieder, wie beim Original auch. Die Wegfolge lautet: 7-8-9-10-11-6-1-2-3-4-5-12. Auch dieses Labyrinth ist selbstdual.

Dem stellen wir wieder das komplementäre Labyrinth gegenüber, das aus dem Grundmuster erzeugt wurde.

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Die Wegfolge hierzu lautet: 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12.
Anders als das Original ist dieser Typ historisch noch nicht aufgetaucht.

Wir haben also aus dem Chartres Labyrinth zwei völlig neue 11-gängige Labyrinthe erzeugt, die anders aussehen als die bisher bekannten 11-gängigen Labyrinthe, die aus dem Grundmuster entwickelt werden können.

Verwandte Artikel

Die Achsquerungen

Bei alternierenden mehrachsigen Labyrinthen quert der Weg die Hauptachse nicht. Aber er muss jede Nebenachse queren (siehe unten: verwandte Beiträge 1). Wie also sind Achsquerungen im MiM-Stil umzusetzen? Hier sei zunächst daran erinnert, dass ich früher schon ein nichtalternierndes einachsiges Labyrinth in den MiM-Stil gebracht habe (siehe verwandte Beiträge 2). Daraus wird ersichtlich, was passiert, wenn der Weg die Achse kreuzt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Labyrinth vom Typ St. Gallen im MiM-Stil

An der Stelle, wo der Weg die Achse quert, wird der innerste Kreis durchbrochen. Die achsquerenden Wegstücke, und nur diese, gehen im MiM-Stil durch die Mitte des Seed Pattern. Bei allen alternierenden einachsigen Labyrinthen ist der innerste Kreis geschlossen. Das Zentrum des Labyrinths liegt immer ausserhalb.

Nun müssen beim Labyrinth vom Typ Chartres im MiM-Stil an jeder Nebenachse mehrere Wegstücke durch die Mitte geführt werden. Aus den Seed Patterns ist klar ersichtlich, wo Achsquerungen vorkommen. Es sind dies die Stellen, an denen der innerste Kreis durchbrochen ist. Betrachten wir die erste Nebenachse im Detail (Abbildung 2). Das Seed Pattern dieser Nebenachse liegt im westlichen Quadranten (schwarz hervorgehoben).

Abbildung 2. Das Seed Pattern der ersten Nebenachse

Es gilt, die Achsquerungen an dieser Nebenachse in den MiM-Stil umzuformen (Abbildung 3).

Abbildung 3. Die achsquerenden Wegstücke

Bekanntlich geht der Weg im Labyrinth vom Typ Chartres zuerst entlang der Hauptachse auf den 5. Umgang, wendet an der ersten Nebenachse, kehrt auf Umgang 6 zur Hauptachse zurück und erreicht von dort den innersten Umgang 11. Auf diesem Umgang macht er einen Halbkreis und quert dabei die erste Nebenachse. Dann wendet er an der zweiten Nebenachse. Von dort kehrt er auf dem 10. Umgang zur Hauptachse zurück und quert wieder die erste Nebenachse. Auch auf dem 7., 4. und 1. Umgang quert der Weg die erste Nebenachse. Die Wegstücke auf den äusseren Umgängen umhüllen die Wegstücke auf den inneren Umgängen und das äusserste Wegstück auf Umgang 1 umhüllt alle anderen.

In Abbildung 4 wird gezeigt, was mit den achsquerenden Wegstücken (in der Farbe des Ariadnefadens rot) passiert, wenn die Nebenachse aus dem konzentrischen in den MiM-Stil überführt wird.

Abbildung 4. Umformung vom konzentrischen in den MiM-Stil

Das linke Bild zeigt die gespaltene, leicht geöffnete Nebenachse. Der Verlauf der Wegstücke ist noch sehr ähnlich wie in der Ausgangslage von unten nach oben und umgekehrt. Aber alle Wegstücke biegen in die gegenteilige Richtung. Im mittleren Bild ist der ursprüngliche Verlauf kaum mehr erkennbar. Die beiden Hälften der Nebenachse sind weit geöffnet. Die Wegstücke kommen von seitwärts auf die eine Hälfte der Achse zu und gehen seitwärts von der anderen Hälfte ab. Zwischen den Hälften der Achse verlaufen sie in vertikaler Richtung. Die Wegstücke auf den inneren Umgängen umhüllen die äusseren. Das innerste Wegstück auf Umgang 11 umhüllt alle anderen. Bis zum rechten Bild ist es dann nur noch eine kleine Veränderung. Alle Wegstücke und das Seed Pattern werden in eine Form gebracht, dass sie zwischen (Wegstücke = Stücke des Ariadnefadens) und auf (Seed Pattern für die Begrenzungsmauern) den Speichen und Kreisen der MiM-Hilfsfigur zu liegen kommen.

Abbildung 5 zeigt alle achsquerenden Wegstücke auf allen drei Nebenachsen im MiM-Stil.

Abbildung 5. Alle Achsquerungen

Die westliche und östliche Nebenachse haben je fünf, die nördliche Nebenachse drei achsquerende Wegstücke. Es braucht also im Zentrum der MiM-Hilfsfigur weitere Hilfskreise, um die Achsquerungen unterzubringen. Dafür sind fünf Hilfskreise erforderlich. Und auch die Speichen müssen nach innen fortgesetzt werden, weil die Begrenzungsmauern (schwarz) auf die Hilfskreise und Speichen zu liegen kommen. Gegen die Mitte zu wird der Abstand zwischen den Speichen immer enger. Deshalb muss der inneste Hilfskreis einen gewissen minimalen Radius haben, damit sich Begrenzungsmauern und Wegstücke nicht überlappen.

Nun haben wir alle Elemente vorliegen, um den Labyrinth Typ Chartres im MiM-Stil fertigzustellen.

Verwandte Beiträge

  1. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 9
  2. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 6

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das schon ausprobiert (siehe Verwandte Artikel unten). Aber geht das auch bei jedem anderen Mittelalterlichen Labyrinth?

In Teil 1 hatte ich das für den Typ Auxerre gemacht. Jetzt nehme ich den Typ Reims, das wie Chartres und Auxerre selbstdual ist. Und wieder die komplementäre Version. Als Darstellungsform wähle ich den konzentrischen Stil.

Das Reims Labyrinth

Das Reims Labyrinth

 

Hier das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Querbalken in der oberen Hauptachse sind identisch mit denen im Typ Chartres, die Querbalken in den seitlichen Nebenachsen sind unterschiedlich von Chartres, wie auch die Anordnung der Wendepunkte an der Hauptachse unterhalb der Mitte.

Das Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Das Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Die Barrieren sind weggelassen. Beim Zeichnen des Ariadnefadens musste ich feststellen, dass vier Umgänge nicht einbezogen werden können. Das sind die beiden äußeren und die beiden inneren Umgänge (1, 2, 10, 11). Daher habe ich die Umgänge neu nummeriert und es bleiben nunmehr 7 Umgänge statt der ursprünglichen 11. Das bedeutet aber auch, dass bei der Umwandlung in ein konzentrisches klassisches Labyrinth durch diese Methode kein 11-gängiges Labyrinth erzeugt wird, sondern ein 7-gängiges.

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das ist ein bisher kaum bekanntes und genaugenommen auch uninteressantes Labyrinth. Denn ich betrete das Labyrinth auf dem ersten Umgang und in die Mitte komme ich vom letzten Umgang aus. Die Wegfolge ist ebenfalls sehr einfach: 1-2-3-4-5-6-7-8. Es geht einfach serpentinenförmig in die Mitte.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu:

Das komplementäre Reims Labyrinth

Das komplementäre Reims Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals. Die oberen Barrieren bleiben, rechts und links verlaufen sie anders und in der Hauptachse verschieben sich die Wendepunkte. Der Eintritt ins Labyrinth wechselt zur Mitte hin (Umgang 9) und der Eintritt ins Zentrum erfolgt von weiter außen (Umgang 3).

Das komplementäre Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Wie beim Original werden vier Umgänge nicht erfasst (1, 2, 10, 11). Daher ergibt sich wiederum ein 7-gängiges Labyrinth. Ich habe die Umgänge neu nummeriert und das Labyrinth neu gezeichnet.

So sieht es dann aus:

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Der Eingang ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte vom 1. aus. Die Wegfolge lautet: 7-6-5-4-3-2-1-8. Dieses Labyrinth gehört nicht zu den historisch bekannten Labyrinthen. Es ist aber in diesem Blog schon aufgetaucht (siehe Verwandte Artikel unten).

Das Überraschende bei dieser Umwandlung ist, dass auch hier keine 11-gängigen klassischen Labyrinthe generiert werden konnten. Vielmehr zwei 7-gängige Labyrinthe.

Verwandte Artikel

Die Seed Pattern

Um ein mehrachsiges Labyrinth in den Man-in-the-Maze (MiM) Stil zu bringen, müssen auch die Nebenachsen richtig umgeformt werden (siehe Verwandte Beiträge 1, unten). Schauen wir also zunächst an, was bei der Umformung der Hauptachse geschieht. Das können wir mit dem einachsigen Labyrinth von Heiric von Auxerre tun. Dieses hat ja das gleiche Seed Pattern wie die Hauptachse des Labyrinths vom Typ Chartres.

Zuerst wird das Seed Pattern gewonnen (Abb. 1).

Abbildung 1. Seed Pattern des Labyrinths von Heiric von Auxerre

Es kommt nicht auf eine exakte Kopie (linkes Bild) an. Wichtig ist dass die Struktur gut erkennbar ist. Das Seed Pattern besteht aus senkrechten und waagrechten Linien und Punkten. Es ist an der senkrechten mittleren Begrenzungsmauer ausgerichtet (mittleres Bild). Es muss nun so umgeformt werden, dass es auf die Hilfsfigur für den MiM-Stil passt (vergleiche weitere Beiträge 2). Dazu muss es an einem Kreis aus der Hilfsfigur ausgerichtet, bzw. auf einen solchen Hilfskreis aufgezogen werden. Dabei sollen die mittlere Begrenzungsmauer auf den Hilfskreis zu liegen kommen und die waagrechten Stücke und Punkte radial davon abgehen. Man kann dazu das Seed Pattern entlang der mittleren Begrenzungsmauer spalten und in zwei Hälften aufteilen (rechte Figur).

Als nächstes werden die beiden Hälften auf einen Hilfskreis aufgezogen (Abb. 2).

Abbildung 2. Umformung in den MiM-Stil

Die beiden Hälften werden zuerst so weit geöffnet, dass sie an den Hilfskreis angelegt werden können (linkes Bild). Dann werden sie dem Kreis entlang aufgezogen und sie oben wieder zusammengeführt (rechtes Bild). Man beachte, dass bei diesem Vorgang zwei Stücke an der mittleren Begrenzungsmauer verlängert werden müssen (gestrichelte Linien). Ansonsten würden nach der Umformung der senkrechten zentralen Linien in Halbkreise zwei Lücken auf dem zentralen Kreis entstehen. Eine gegenüber dem Eingang und die andere gegenüber dem Zentrum.

Nun wenden wir das Verfahren auf die vier Achsen des Labyrinths vom Typ Chartres an (Abb. 3).

Abbildung 3. Die 4 Seed Pattern des Labyrnths vom Typ Chartres

Zuerst werden die Seed Pattern aller vier Achsen gewonnen. Um das einfach zu illustrieren nehme ich ein Labyrinth mit stark vergrössertem Zentrum und kopiere die Seed Patterns der vier Achsen. Dann rücke ich jedes Seed Pattern nach innen. Um sie in den MiM-Stil zu bringen, müssen alle vier Seed Pattern auf einen der Kreise der Hilfsfigur aufgezogen werden. Also werden sie in zwei Hälften gespalten, ganz analog wie vorher beim Seed Pattern des einachsigen Labyrinths.

In einem nächsten Schritt werden die Seed Pattern weiter geöffnet, so dass sie auf den Hilfskreis aufgezogen werden können (Abb 4).

Abbildung 4. Ihre 8 Hälften weit geöffnet

Dann werden die acht Hälften an den Hilfskreis angelegt, d.h. von der geraden Form in die Form eines Teilkreises gebracht (Abb. 5).

Abbildung 5. Anlegen der 8 Hälften an den Hilfskreis

Wieder müssen beim Seed Pattern für die Hauptachse an der mittleren Begrenzungsmauer zwei Stück ergänzt werden, damit die Umformung in die Kreisform vollständig gelingt. Das ist nur für die Hauptachse nötig, da von hier aus der Eintritt ins Labyrinth und der Zugang zum Zentrum erfolgen. Bei den Seed Pattern für die Nebenachsen ist das nicht erforderlich. Das Ergebnis des ganzen Vorgangs ist in Abb. 6 dargestellt.

Abbildung 6. Die 4 Seed Pattern im MiM-Stil

Es wird ein viel grösserer Hilfskreis benötigt, denn es müssen nicht 2, sondern 8 Hälften von 4 Seed Pattern aufgezogen werden.

Das Seed Pattern der Hauptachse liegt im südlichen Quadranten Es hat, gleich dem Seed Pattern des Labyrinths vom Typ Heiric von Auxerre, 24 Enden.

Die Seed Pattern für die linke / obere / rechte Nebenachse liegen in den westlichen / nördlichen / östlichen Quadranten. Die Seed Pattern haben alle zwei Enden weniger als das Seed Pattern der Hauptachse, also je 22 Enden.

Somit lässt sich die Anzahl Speichen, die für die Hilfsfigur des Labyrinths vom Typ Chartres im MiM-Stil benötigt wird, berechnen. Sie entspricht dem Total aller Enden, dh. 24 + 3*22 = 90 Speichen.

Die vormals äusseren Enden der Seed Pattern liegen nun an den mit kleinen Quadraten markierten Stellen im Süden, Norden und knapp über dem Horizont im Osten und Westen. Hier sind jeweils die zwei Hälften eines gleichen Seed Patterns miteinander verbunden.

Die vormals inneren Enden der Seed Pattern aber verbinden sich mit den inneren Enden der je benachbarten Seed Pattern. Dies erfolgt an den mit den gestrichelten Linien markierten Stellen.

Noch etwas ist erwähnenswert. Der innere Kreisbogen des Seed Pattern der Hauptachse besteht aus einer durchgezogenen Linie Diese repräsentiert die mittlere Begrenzungsmauer. Die Labyrinthe vom Typ Heiric von Auxerre wie vom Typ Chartres sind alternierende Labyrinthe. Das heisst, der Weg quert die Achse (Typ Heiric von Auxerre) / Hauptachse (Typ Chartres) nicht. Das ist anders an den Nebenachsen. Der Weg muss diese immer irgendwie queren, ansonsten können gar keine mehrachsigen Labyrinthe gebildet werden. Die Stellen, an denen der Weg die Nebenachsen quert, sind klar ersichtlich dort, wo die innere Kreislinie durchbrochen ist.

Was das für Auswirkungen auf die Gestaltung des Labyrinths hat, wird im nächsten Beitrag gezeigt.

Verwandte Beiträge:

  1. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 8
  2. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth 

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das schon ausprobiert (siehe Verwandte Artikel unten). Aber geht das auch bei jedem anderen Mittelalterlichen Labyrinth?

Als Beispiel habe ich den Typ Auxerre ausgesucht, den Andreas hier vor kurzem gezeigt hat. Dieses Labyrinth ist wie Chartres und Reims selbstdual, daher von besonderer Qualität. Und sie haben alle eine komplementäre Version.

Das Auxerre Labyrinth

Das Auxerre Labyrinth

Hier das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Querbalken in den Nebenachsen sind identisch mit denen im Typ Chartres, nur an der Hauptachse in der Mitte unten gibt es eine andere Anordnung der Wendepunkte (die Umgänge 4, 5, 7, 8).

Das originale Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Das originale Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Die Barrieren sind weggelassen. Beim Zeichnen des Ariadnefadens musste ich feststellen, dass vier Umgänge nicht einbezogen werden können. Daher habe ich die Umgänge neu nummeriert und es bleiben nunmehr 7 Umgänge statt der ursprünglichen 11. Das bedeutet aber auch, dass bei der Umwandlung in ein konzentrisches klassisches Labyrinth durch diese Methode kein 11-gängiges Labyrinth erzeugt wird, sondern ein 7-gängiges.

Das 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Das 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Schaut man es genauer an, erkennt man die wohlbekannte Wegfolge: 3-2-1-4-7-6-5-8. Wir haben also ein kretisches Labyrinth vor uns, hier im konzentrischen Stil.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu:

Das komplementäre Auxerre Labyrinth

Das komplementäre Auxerre Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals. Die oberen Barrieren bleiben, rechts und links verlaufen sie anders und in der Hauptachse verschieben sich die Wendepunkte. Der Eintritt ins Labyrinth wechselt zur Mitte hin (Umgang 9) und der Eintritt ins Zentrum erfolgt von weiter außen (Umgang 3).

Das komplementäre Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Wie beim Original werden vier Umgänge nicht erfasst (4, 5, 7, 8). Daher ergibt sich wiederum ein 7-gängiges Labyrinth. Ich habe die Umgänge neu nummeriert und das Labyrinth neu gezeichnet.

So sieht es dann aus:

Das komplementäre 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Das komplementäre 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Der Eingang ins Labyrinth erfolgt auf dem 5. Umgang, der Eintritt in die Mitte vom 3. aus. Die Wegfolge ist: 5-6-7-4-1-2-3-8. Dieses Labyrinth gehört nicht zu den historisch bekannten Labyrinthen. Es ist aber in diesem Blog schon mehrfach aufgetaucht (siehe Verwandte Artikel unten). Denn es gehört zu den interessanten Labyrinthen unter den mathematisch möglichen 7-gängigen Labyrinthen.

Das Überraschende bei dieser Umwandlung ist, dass kein 11-gängiges klassisches Labyrinth generiert werden konnte. Dafür aber das 7-gängige kretische Labyrinth. Daher können wir sagen, dass auch im Herzen des mittelalterlichen Auxerre Labyrinths ein kretisches (Minoisches) steckt so wie im Chartres Labyrinth. kretisches Labyrinth.

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