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Unter den einachsigen Labyrinthen haben wir keine Paare von zueinander komplementären uninteressanten Labyrinthen gefunden (siehe verwandte Beiträge, unten). Bei mehrachsigen Labyrinthen gibt es aber solche Paare. Jedenfalls, wenn wir Labyrinthe als uninteressant bezeichnen, bei denen der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintritt oder vom innersten Umgang aus das Zentrum erreicht. Das wird am folgenden Beispiel gezeigt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Komplementäre uninteressante Labyrinthe

Das Labyrinth a hat 2 Achsen und 3 Umgänge. Der Weg tritt auf dem äussersten Umgang ein. Deshalb ist es ein uninteressantes Labyrinth. Der Weg erreicht das Zentrum vom äussersten Umgang aus.

Das Komplementäre davon, Labyrinth b, ist ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth. Hier tritt der Weg auf dem innersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus.

Das ist soweit nichts Besonderes. Aber hier kommt eine andere Besonderheit zum Vorschein. Wir sehen das, wenn wir auch noch die beiden Dualen dieser Labyrinthe betrachten. Dies wird in Abb. 2 auf die schon bekannte Art gezeigt.

Abbildung 2. Das duale und komplementäre Labyrinth sind gleich

Das zum Originalen (a) Duale (b) ist gleich dem Komplementären (c). Das zum Komplementären (c) Duale (d) ist gleich dem Originalen (a). Die beiden zu einander komplementär-dualen Labyrinthe sind gleich.

Dies gilt nun nicht für alle Paare von komplementären uninteressanten Labyrinthen. Aber es gibt noch andere Labyrinthe, bei denen das auch zutrifft. In Abb. 3 zeige ich zwei weitere solche Labyrinth Exemplare und ihre Muster (nur Originale). Auch bei diesen sind die komplementären gleich den dualen Labyrinthen.

Abbildung 3. Weitere Labyrinthe mit dieser Eigenschaft

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Genauer gesagt, geht es hier um die aus einigen vorherigen Beiträgen (dazu die Verwandten Artikel unten) schon bekannten 21 reihenförmig angeordneten Eingeweidelabyrinthe.

Das Aussehen wird bestimmt durch die Weg- oder Umgangsfolge. Danach lassen sich die (hier 21) verschiedenen und neuen Labyrinth-Typen konstruieren. Dazu verwende ich die schon einmal vorgestellte Methode, ein Labyrinth zu zeichnen (siehe unten).

Der Weg und die Begrenzung sind gleich breit. Die Mitte ist größer. Das letzte Wegstück führt senkrecht in das Zentrum. Alle Elemente schließen knickfrei und geometrisch korrekt aneinander an. Es gibt nur Geraden und Bögen. Alles auf möglichst kleinem Raum. Das zusammen macht den Knidos Stil aus.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Ich finde, dass durch diesen Stil der Bewegungsverlauf eines jeden Labyrinths besonders gut erkennbar wird. Damit lassen sie sich vielleicht auch leichter mit den schon bekannten Labyrinthen vergleichen.

Bemerkenswert für mich ist, dass nur ein Exemplar (E 3384 v_6) mit dem ersten Umgang beginnt. Und dass viele zuerst und direkt die Mitte umkreisen und schließlich vom ersten Umgang aus direkt die Mitte erreicht wird. Auffällig sind auch die vielen senkrechten, geraden und parallelen Wegstücke im Mittelteil.

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Unter den einachsigen Labyrinthen bis und mit 7 Umgängen gibt es keine zwei zu einander komplementäre uninteressante Labyrinthe. Das liegt daran, dass bei solchen Labyrinthen immer der Weg auf dem äussersten Umgang eintritt oder vom innersten Umgang das Zentrum erreicht (siehe verwandte Beiträge, unten). Aber es gibt uninteressante Labyrinthe mit mehr als 7 Umgängen bei denen dies nicht der Fall ist.

Um dies zu zeigen, beginne ich mit dem Beispiel des 11-gängigen Cakra-Vyuh Labyrinths (siehe verwandte Beiträge). Abbildung 1 zeigt dieses Labyrinth und sein Muster.

Abbildung 1. Das 11-gängige Cakra Vyuh Labyrinth

Wie man sieht, biegt der Weg auf dem ersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Man kann also den äussersten und innersten Umgang einfach abschneiden (graue Linien in der rechten Figur). Dann erhält man ein 9-gängiges Labyrinth, bei dem der Weg nicht auf dem äussersten Umgang einbiegt und auch nicht das Ziel vom innersten Umgang aus erreicht. Das Muster dieses Labyrinths ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2. Das Muster des 9-gängigen uninteressanten Labyrinths

Durch das Entfernen der grauen Umgänge verläuft das Muster nun von rechts oben nach links unten. Will man es in der gewohnten Weise darstellen, also von links oben nach rechts unten, muss man es horizontal spiegeln. Das ändert nichts am Muster und auch nichts an dem zugrunde liegenden Labyrinth, ausser, dass das Labyrinth seine Drehrichtung ändert (siehe verwandte Beiträge).

Obwohl nun der Weg auf dem 3. Umgang einbiegt und vom 7. Umgang aus das Zentrum erreicht, ist dies ein uninteressantes Labyrinth. Denn es besteht aus zwei Elementen vom Typ Knossos auf den Umgängen 1 – 3 und 7 – 9 (angedeutet mit Klammern in der rechten Figur) und drei dazwischen liegenden trivialen Umgängen 4, 5, 6 (mit Strichen angedeutet). Dieses Labyrinth ist zwar uninteressant, aber selbstdual.

Zwischenbemerkung: Dieses Labyrinth hat Ähnlichkeit mit dem allseits bekannten Grundtyp (vormals: Kretischen Typ). Aber der Grundtyp ist ein sehr interessantes (d.h. interessantes und selbstduales) Labyrinth.

Abbildung 3. Das Muster des Grundtyps

Er besteht, wie Abb. 3 zeigt, ebenfalls aus zwei Elementen vom Typ Knossos. Dazwischen liegt aber nur ein Umgang. Und dieser ist auch keineswegs trivial, sondern wird benötigt, um die beiden Elemente zu verbinden. Fügt man aber weitere Umgänge serpentinenförmig hinzu, entsteht dann ein uninteressantes Labyrinth.

Zurück zum uninteressanten Labyrinth mit 9 Umgängen. Wie sieht nun das dazu komplementäre Labyrinth aus? Ist es vielleicht auch ein uninteressantes Labyrinth?

Abbildung 4. Die beiden komplementären 9-gängigen Labyrinthe

Um das Komplementäre zu erhalten, spiegeln wir das originale Labyrinth vertikal und lassen die Verbindungen zur Aussenwelt und zum Zentrum bestehen. Der Weg tritt nun auf dem 7. Umgang ein und erreicht das Zentrum vom 3. Umgang aus. Die drei internen trivialen Umgänge sind nach wie vor erkennbar. Aber sie sind umhüllt von den axialen Wegstücken, die ins Labyrinth und zum Zentrum führen. So sind sie eine Ebene tiefer verschachtelt. Das führt nun dazu, dass dieses nicht ein uninteressantes, sondern ein interessantes, und, da selbstdual, ein sehr interessantes Labyrinth ist.

Es scheint also auch bei grösseren Labyrinthen keine zwei zu einander komplementäre uninteressante Labyrinthe zu geben.

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Hier geht es um die Dechiffrierung der Umgangsfolgen der reihenförmigen 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe aus dem letzten Artikel zu diesem Thema (siehe verwandte Artikel unten).

Die Frage lautet: Lassen sich daraus einachsige alternierende Labyrinthe mit einem Ziel in der Mitte erzeugen? Also keine Durchgangslabyrinthe, wo der auch eindeutige Weg hindurchführt, sondern in ein Zentrum mündet.
Vielleich könnte man sie als „Hinein-Labyrinthe“ bezeichnen im Gegensatz zu den „Hindurch-Labyrinthen“?

Die kurze Antwort: Ja, es geht. Und es entstehen 21 neue, bisher unbekannte Labyrinthe.

Die Umgangsfolge für ein Durchgangslabyrinthe lässt sich umwandeln in eine für ein Hinein-Labyrinth durch Weglassen der letzten „0“, die für „außen“ steht. Die höchste Zahl steht immer für das Zentrum. Sollte diese nicht an letzter Stelle in der Umgangsfolge stehen, muss man noch eine Zahl hinzufügen.
Dieser „Trick“ ist nur bei zwei Labyrinthen notwendig und führt dann zu Labyrinthen mit geradzahligen Umgängen (bei VAT 984_6 und bei VAN 9447_7).

Die Galerie zeigt alle 21 Labyrinthe im konzentrischen Stil mit einer größeren Mitte.

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Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines ist bisher irgendwo aufgetaucht. Sie haben zwischen 9 und 16 Umgänge, die meisten jedoch 11 Umgänge. Es gibt zwischen 3 und 6 Wendepunkte.

In diesen Konstellationen gibt es rein mathematisch gesehen 134871 Varianten von interessanten Labyrinthen wie der Mathematik-Professor Tony Phillips nachgewiesen hat.

Es sind also noch lange nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, neue Labyrinthe zu finden oder zu erfinden.

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Weiterführender Link
Die Website von Tony Phillips (in Englisch)

Wir hoffen, Ihr seid gut im neuen Jahr gestartet. Auch dieses Jahr verspricht interessante Einsichten in die Welt der Labyrinthe.

Genauer gesagt: Die Umgangsfolgen der reihenförmig gebildeten Eingeweidelabyrinthe. Unter den bisher insgesamt bekannten 27 Eingeweidelabyrinthen gibt es 21 reihenförmige Eingeweidelabyrinthe als Durchgangslabyrinthe. Als Unterscheidungsmerkmal kann dabei die Umgangsfolge dienen. Hier möchte ich gerne die Umgangsfolgen aller 21 Exemplare darstellen.

Schauen Sie dazu die einzelnen Bilder in der Galerie durch Anklicken in einer größeren Version an:

Die Methode besteht darin, die in Reihe stehenden senkrechten Schleifen von links nach rechts zu nummerieren. Die bogenförmigen Übergänge erhalten keine Nummer. „0“ steht dabei für außen. Bei den beiden quer verlaufenden Schleifen in E 3384 r_4 und E 3384 r_5 gilt ebenfalls: von links nach rechts. Ein besonderes Exemplar ist E 3384 v_4. Hier sind einige Schleifen „ausgelagert“. Doch auch da lässt sich eine sinnvolle Umgangsfolge finden.

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines gleicht dem anderen. Das allein ist schon bemerkenswert. Sie folgen also keinem einheitlichen Muster.

Ein erster Blick auf die Umgangsfolgen zeigt, dass sie sehr stark an die Umgangsfolgen einachsiger alternierender klassischer Labyrinthe erinnern. Das heißt: Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl. Dann folgen im Wechsel gerade und ungerade Zahlen.

In einem der nächsten Artikel geht es dann an die Dechiffrierung der Umgangsfolgen.

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