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Sektorlabyrinthe

Zum Schluss möchte ich noch ein Sektorlabyrinth in den MiM-Stil umsetzen. Das Besondere an den Sektorlabyrinthen ist, dass der Weg immer zuerst einen Sektor vollendet, bevor er in den nächsten wechselt. Das hat zur Konsequenz, dass der Weg nur jeweils ein Mal jede Nebenachse quert. Sektorlabyrinthe scheinen somit einfacher in den MiM-Stil zu bringen als andere mehrachsige Labyrinthe. Ich nehme als Beispiel ein kleineres Labyrinth mit vier Achsen und fünf Umgängen. Es gibt mehrere Labyrinth Exemplare von diesem Typ. Benannt habe ich ihn nach dem frühesten überlieferten Exemplar, dem polychromen Mosaiklabyrinth, Teil des Winde-Vielmustermosaik von Avenches im Kanton Waadt in der Schweiz.

Abbildung 1. Sektorlabyrinth (Mosaik) von Avenches

Abbildung 1 zeigt das Original dieses Labyrinths (Quelle: Kern 1983: Abb. 119, s. 120). Es ist eines der selteneren Labyrinthe, die gegen den Uhrzeigersinn drehen. Es hat an den Nebenachsen auf jeder Seite je 2, an der Hauptachse je 3 verschachtelte Wendestellen. Das Muster entspricht vier hintereinander geschalteten doppelspiralartigen Mäandern – Erwin’s Typ 6 Mäander (siehe Verwandte Beiträge 2). Beim Übergang in einen nächsten Sektor kommt der Weg jeweils vom äussersten Umgang zu einer Nebenachse, quert diese auf der ganzen Länge von aussen nach innen und fährt im nächsten Sektor auf dem innersten Umgang fort.

Um diesen Labyrinth Typ in den MiM-Stil zu bringen, wurde das Original zuerst gedanklich mit dem Eingang nach unten ausgerichtet und horizontal gespiegelt. So liegt es in der Grundform vor, die ich zwecks Vergleichbarkeit immer verwende. Abb. 2 zeigt die MiM-Hilfsfigur.

Abbildung 2. Hilfsfigur

Sie hat 42 Speichen und 11 Ringe und ist somit deutlich kleiner als die für die Typen Chartres, Reims oder Auxerre. Die Anzahl Speichen ergibt sich aus dem Seed Pattern der Hauptachse mit 12 Enden und den Seed Pattern der Nebenachsen mit je 10 Enden.

In Abb. 3 wird die Hilfsfigur und das vollständige Seed Pattern einschliesslich der achsquerenden Wegstücke gezeigt und die Anzahl benötigter Ringe erklärt. Dafür wird der gleiche Farbcode wie im letzten Beitrag (verwandte Beiträge 1) verwendet.

Abbildung 3. Hilfsfigur, Seed Pattern und Anzahl Ringe

Da nun die Winkel zwischen den Speichen genügend gross sind, kann man alle Ringe der Hilfsfigur für das Labyrinth verwenden. Wir benötigen wir also keinen (grünen) Ring zur Vergrösserung des Zentrums. Es werden nur ein (roter) Ring für die achsquerenden Wegstücke – genauer: für deren innere Begrenzungsmauer – , vier (blaue) Ringe für die drei Verschachtlungen des Seed Pattern an der Hauptachse, ein Ring für das Zentrum (grau) und fünf Ringe (weiss) für die Umgänge benötigt, macht total 11 Ringe.

Abb. 4 schliesslich zeigt das Labyrinth vom Typ Avenches im MiM-Stil.

Abbildung 4. Labyrinth vom Typ Avenches im MiM-Stil

Die Figur ist deutlich kleiner und überschaubarer als die früher gezeigten mehrachsigen Labyrinthe im MiM-Stil. Sie wirkt insgesamt ausgewogen, erhält aber ein stärkeres Moment der Rotation im Uhrzeigersinn, das durch die drei asymmetrischen achsquerenden Wegstücke und deren Begrenzungsmauern auf dem innersten Hilfskreis bewirkt wird.

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Für das Jahr 2019 wünschen wir Euch alles Gute und interessante Begegnungen mit dem Labyrinth.

Labyrinth mit 7 Achsen, 15 Umgängen und an beiden Seiten jeder Achse 6 verschachtelten Wenden, dennoch kein Sektorenlabyrinth – eher das Gegenteil, selbstdual

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Wir wünschen allen Besuchern dieses Blogs frohe Weihnachten, einen guten Beschluss und ein gutes Neues Jahr!

Ein 11-gängiges Weihnachtsbaumlabyrinth

Ein 11-gängiges Weihnachtsbaumlabyrinth

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Typ Reims und Typ Auxerre

Am Beispiel des Labyrinths vom Typ Chartres konnte gezeigt werden, dass sich auch mehrachsige Labyrinthe in den MiM-Stil umsetzen lassen (siehe verwandte Beiträge 1, unten). Alle Labyrinthe mit vier Achsen und 11 Umgängen benötigen im MiM-Stil eine Hilfsfigur mit 90 Speichen (siehe verwandte Beiträge 2). Dies ist durch die Anzahl der Achsen und Umgänge bestimmt.

Die Anzahl Ringe beträgt für den Labyrinth Typ Chartres 22. Sie kann für verschiedene Labyrinth Typen mit vier Achsen und 11 Umgängen variieren. Diese Anzahl hängt ab von der Anzahl der Umgänge, der Tiefe der Verschachtlung der Wendestellen (siehe verwandte Beiträge 5) und der Anzahl der achsquerenden Wegstücke. In Abb. 1 wird dies genauer erläutert.

Abbildung 1. Hilfsfigur für den Typ Chartres – Ringe

Für die äusseren Begrenzungsmauern der 11 Umgänge (weiss) werden 11 Ringe benötigt. Ein weiterer Ring wird für das Zentrum verwendet (grau). (Dieser Raum könnte auch eingespart werden. Mein erster Entwurf für das Labyrinth zum Neuen Jahr enthielt noch keinen separaten Ring für das Zentrum – siehe verwandte Beiträge 3 -. Jedoch hätte man dann keinen eigenen Raum für das Zentrum. Deshalb habe ich in der finalen Form einen eigenen Ring für das Zentrum eingesetzt). Die Hauptachse hat an ihren tiefsten Stellen jeweils nur zwei ineinander verschachtelte Wenden. Dafür werden drei Ringe benötigt (blau). Die Nebenachsen haben alle nur einfache Wendestellen. Dafür würden zwei Ringe genügen. Für die achsquerenden Wegstücke werden zusätzliche fünf Ringe (rot) benötigt. Damit an der schmalsten Stelle zwischen zwei Begrenzungsmauern genug Platz für den Weg frei bleibt, kommen zwei weitere Ringe im Inneren der Figur hinzu, die gar nicht vom Labyrinth belegt werden. Sie dienen der Vergrösserung des Zentrums (grün), damit man die Figur überhaupt vernünftig zeichnen kann. Für das alles werden somit 22 Ringe benötigt.

Ein vierachsiges Labyrinth mit 11 Umgängen in den MiM-Stil umzusetzen ist schon recht aufwändig. Man benötigt Lineal und Zirkel oder ein Zeichenprogramm, um die Figur ausreichend genau zu zeichnen. Nachdem wir nun diese Figur für den Typ Chartres haben, können wir bestimmte andere Labyrinth Typen einfach in den MiM-Stil bringen. Diese Typen müssen vier Achsen, 11 Umgänge, 5 (und weniger) achsquerende Wegstücke sowie zwei (und weniger) ineinander liegende Wendestellen aufweisen. Dies trifft u.a. für die beiden anderen historischen sehr interessanten Labyrinth Typen, den Typ Reims und den Typ Auxerre, zu (verwandte Beiträge 4). Um diese in den MiM-Stil umzusetzen, kann man vom Typ Chartres im MiM-Stil ausgehen. Alle Begrenzungslinien auf allen Speichen und Hilfskreisen ausserhalb des Seed Pattern können belassen werden. Lediglich die Seed Pattern müssen an bestimmten Stellen verändert und deren Anschlüsse an die Begrenzungsmauern angepasst werden.

Abbildung 2. Labyrinth vom Typ Reims im MiM-Stil

Abb. 2 zeigt den Typ Reims im MiM-Stil. Das Seed Pattern der Hauptachse hat nur an zwei Orten neben dem Eingang und neben dem Zentrum des Labyrinths zwei ineinander liegende Wendestellen. Ansonsten hat es an der Hauptachse nur einfache Wendestellen. Es hat an der ersten und dritten Nebenachse fünf, an der zweiten drei achsquerende Wegstücke, wie das Labyrinth vom Typ Chartres. Jedoch liegen die achsquerenden Wegstücke der ersten und dritten Nebenachse an anderen Stellen als beim Labyrinth vom Typ Chartres.

Abbildung 3. Labyrinth vom Typ Auxerre im MiM-Stil

In Abb. 3 ist der Typ Auxerre im MiM-Stil wiedergegeben. Dieser Typ hat an der Hauptachse ein etwas anderes Seed Pattern als der Typ Chartres. Die Seed Pattern der Nebenachsen und somit die achsquerenden Wegstücke sind gleich wie beim Typ Chartres.

Man kann noch andere Labyrinth Typen, wie z.B. das Komplementäre von Reims auf die gleiche Weise in den MiM-Stil umsetzen. Allen liegt eine Hilfsfigur mit 90 Speichen und 22 Ringen zugrunde.

Bei anderen Labyrinth Typen mit 4 Achsen und 11 Umgängen geht es aber nicht so einfach. So haben die Komplementären von Auxerre oder Chartres an der Hauptachse auch Wendestellen mit drei Verschachtlungen. Deshalb braucht man für die Seed Pattern dieser Typen vier (blaue) Ringe. Die Hilfsfigur für diese Labyrinthe hat 23 Ringe. Man müsste das Zentrum und die elf Umgänge alle einen Ring weiter nach aussen verschieben. Dann müssten wiederum die Seed Pattern geändert und die Anschlüsse angepasst werden. Zusätzlich müsste jedes Stück einer Begrenzungsmauer ausserhalb des Zentrums angefasst und verändert werden.

Ich sehe davon ab, diese Labyrinth Typen im MiM-Stil zu zeichnen. Man sieht schon aus den vorliegenden Figuren, dass der Stil ganz klar das Aussehen des Labyrinths dominiert und man schon recht genau hinsehen muss, um die Unterschiede zwischen diesen Typen in diesem Stil auszumachen.

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In den vorangegangenen Artikeln zu diesem Thema habe ich die von Tony Phillips ins Spiel gebrachte Methode der Stempelfalzberechnung schon erläutert.

Nun soll es hier weitergehen. Es lassen sich nämlich weitere Varianten von Labyrinthen erzeugen durch einfaches Drehen des verwendeten Polygons.

Ich nehme noch einmal das Netz mit dem Polygon aus dem letzten Beitrag zu diesem Thema (Teil 2).

Das Netz mit dem Polygon

Das Netz mit dem Polygon

Mit diesem Diagramm lassen sich vier verschiedene Labyrinthe erzeugen. Zwei direkt (Zeile 2 und 3), die beiden anderen durch eine einfache Rechnung.

Andere Konstellationen lassen sich gewinnen durch 12-maliges Drehen des Netzes jeweils um 30 Grad. Oder anders gesagt, es ist so so ähnlich wie beim Umstellen der Uhr bei der Sommer- oder Winterzeit.
Da hier aber nur interessante Labyrinthe interessieren, lasse ich alle Stellungen weg, wo die Linien auf den ersten und/oder den letzten Umgang zeigen würden. Von der 12 aus dürfen also nicht die 1 oder 11 erreicht werden. Es sind nur die „Uhrzeiten“ interessant, die weiter weg zeigen, also spitzer verlaufen.
Das wären bei unserem Netz die 1, 5 und 6. Ich drehe also nur auf diese Zeitangaben. Oder anders ausgedrückt, ich bringe die 1, 5 und 6 in Übereinstimmung mit der 12. Ich drehe daher um 30, 150 und 180 Grad. Zu drehen ist das Netz mit dem Polygon, die Zahlen bleiben stehen.

Hier der erste Dreh:

Drehung um 30 Grad

Drehung um 30 Grad

Ich erhalte vier völlig andere Wegfolgen als im obigen Original.

Der zweite Dreh:

Drehung um 150 Grad

Drehung um 150 Grad

Ich erhalte wieder vier neue Varianten.

Der letzte Dreh:

Drehung um 180 Grad

Drehung um 180 Grad

Hier erhalte ich nur eine andere Reihenfolge der Wegfolgen als im ursprünglichen Polygon; also keine neuen Varianten, nur eine andere Anordnung. Das kommt daher, dass die Drehung um 180 Grad einer symmetrischen Spiegelung entspricht.

Es gelingt also nicht in jedem Fall, neue Varianten zu finden. Mit diesem Netz habe ich insgesamt 12 verschiedene Nummernfolgen für 12 neue Labyrinthe generiert.

Die Wegfolgen lassen sich dann direkt in eine Labyrinthzeichnung umsetzen.

Hier soll nur eine (wieder im konzentrischen Stil) gezeigt werden (die 2. Wegfolge aus dem ersten Polygon oben):

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

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Feinschliff

Eine ungestörte Betrachtung des Labyrinths vom Typ Chartres im Man-in-the-Maze Stil (siehe verwandte Beiträge 1) hat ergeben, dass das Design noch verbessert werden kann. Zusätzlich zur nicht zugänglichen Mitte hat die Figur noch 16 kleinere Segmente, die nicht vom Weg abgedeckt werden. Diese sind in Abb. 1 durchgestrichen markiert. Es gehört zu den Anforderungen an ein Labyrinth, dass der Weg möglichst die ganze Fläche der Figur durchläuft und keine „weissen Flecken“ übrig lässt. Solche nicht abgedeckten Segmente werden darum nicht gerne gesehen.

Abbildung 1. Vom Weg nicht abgedeckte Segmente

Diese Segmente haben sich bei der Konstruktion des Seed Pattern ergeben (verwandte Beiträge 2). Aber bei genauem Hinsehen zeigt es sich, dass sie aufgelöst werden können. Dazu muss man, wie Abb. 2 zeigt, die äussere Begrenzungslinie entfernen und die dazwischenliegende Begrenzungsmauer weiter nach innen verlängern.

Abbildung 2. Korrekturen am Seed Pattern

Die notwendigen Korrekturen sind im Segment links unten in oranger Farbe eingezeichnet. Solche Korrekturen müssen für alle 16 Segmente in entsprechender Weise durchgeführt werden.

Das Ergebnis sieht man in Abb. 3. Das Labyrinth sieht nach der Korrektur noch etwas dynamischer aus. Übrig bleibt nun einzig die nicht zugängliche Mitte, wie das schon bei den einachsigen alternierenden Labyrinthen im MiM-Stil der Fall ist.

Abbildung 3. Das endgültige Labyrinth

 

Jedoch ist jetzt nicht mehr einfach zu sehen, wo der Weg die Nebenachsen quert. Der Gewinn an Einheitlichkeit und Dynamik geht also mit einem Verlust an Transparenz einher.

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Wieder geht es um einachsige, alternierende Labyrinthe, wie der New Yorker Mathematik-Professor Tony Phillips sie definiert hat. Er kommt in seinen Berechnungen auf eine Anzahl von 1014 theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen (12-level mazes).

Er beschreibt auch eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Varianten, die John E. Koehler 1968 entwickelt hat zur Lösung eines verwandten Problems der Stempelfalzberechnung von Briefmarken.

Die nachfolgenden Abbildungen sollen diese Methode erläutern. Dazu verwende ich als erstes die schon bekannte Wegfolge für das 11-gängige Labyrinth, das sich aus dem Grundmuster erzeugen lässt, nämlich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12.
Die Wegfolge muss bekanntlich mit einer ungeraden Zahl beginnen und dann eine Reihe sein, in der sich die ungeraden mit den geraden Zahlen abwechseln. „12“ bezeichnet hierbei das Zentrum und die „Außenwelt“.

Ich zeichne einen Kreis und teile ihn in 12 Abschnitte ein, wie bei einer Uhr. Nun muss ich alle Punkte mit Linien verbinden, wobei sich aber gleichfarbige Linien nicht kreuzen dürfen.

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Ich fange mit Blau in 12 an und gehe zu 5, 2, 3, 4 (Fig. 1). Dann von 4 nach 1, wobei ich die Farbe wechsle (Fig. 2). Ich mache weiter mit 6, 11, 8, 9, 10 (Fig. 3). Ich wechsle wieder die Farbe und verbinde 10 mit 7 und 12 (Fig. 4).

Man kann es aber auch anders machen. Zum Beispiel. alle Linien zuerst in einer Farbe zeichnen und dann die kreuzenden in der anderen. Aber auch hier gilt: Gleichfarbige Linien dürfen sich nicht kreuzen. Wohl aber mehr als einmal, solange sie unterschiedlich sind (siehe 4 – 7).

Das Netz

Das Netz

Da wir aber neue Labyrinthe suchen, gehen wir nun den umgekehrten Weg: Wir zeichnen ein Netz  von 12 Linien, das alle 12 Punkte nach den vorgenannten Vorgaben verbindet und leiten daraus die Wegfolge ab.

Hierzu ein Beispiel:

Das Netz mit dem Polygon

Die erste Wegfolge schreibe ich in Zeile 2 (hier in blau), indem ich in 12 beginne und die niedrigere Ziffer ablese, hier 5. Das ist der Beginn des Weges. Dann verfolge ich das Polygon bis ich wieder bei 12 lande und erhalte: 5-2-3-4-1-6-11-10-9-8-7-12. Das ist das Original.
Nun gehe ich den Weg rückwärts und schreibe die Ziffernfolge in Zeile 3. Also von 12 zu 7 usw. Das ergibt: 7-8-9-10-11-6-1-4-3-2-5-12. Das ist das komplementäre zum Original.

Die Zeilen 1 und 4 erhalte ich durch Rechnen. Ich ergänze jeweils die entsprechenden Zahlen jeder Reihe zu „12“. In Zeile 4 erhalte ich das duale zum Original. In Zeile 1 erhalte ich das komplementäre zum dualen.

Die Probe mache ich, indem ich die so gewonnenen Zahlenkolonnen mit den anderen im „Rückwärtsgang“ vergleiche. Das betrifft die Zeilen 1 und 4, sowie 2 und 3.
Das erinnert an das Vorgehen, wie es früher schon einmal beschrieben wurde, als es um die dualen und komplementären Labyrinthe ging (siehe Verwandte Artikel unten).

Es geht aber auch anders. Ich drehe das Ziffernblatt um, schreibe die Ziffern für die 12 Punkte links herum, gegen den Uhrzeigersinn.
So sieht es dann aus:

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Die linke Seite zeigt das Ziffernblatt wie vorher. Ich beginne bei 5, zähle bis 12 und erhalte das Original. Dann beginne ich bei 7 und zähle wieder bis 12 und erhalte das komplementäre zum Original.
Nun das rechte Ziffernblatt. Ich beginne auch bei 5 und zähle bis 12 und erhalte so das duale zum Original. Dann wieder von 7 bis 12  und ich erhalte das komplementäre zum dualen.

Was sollen nun die blau geschriebenen Wegfolgen bedeuten? Sie weisen darauf hin, dass der Eintritt in das Labyrinth auf die gleiche Achse gelegt werden kann, wie der Eintritt in das Zentrum. Das sind hier die Umgänge 5 und 7. Dadurch lässt sich beim Konstruieren eine kleine ausgesparte Stelle im Labyrinth anlegen, das man als Herz oder (wie früher einmal genannt) Fontanelle ansehen könnte. Vor allem im konzentrischen Stil lässt sich das gut umsetzen.

Aus diesen beiden neu erzeugten (blauen) Wegfolgen konstruiere ich nun zwei neue 11-gängige Labyrinthe im konzentrischen Stil:

Sie haben ein anderes Bewegungsmuster als die bisher schon bekannten Labyrinthe. Zudem sehen wir 6 Wendepunkte für die Umgänge.

Das hier ist das duale zum vorhergehenden Labyrinth. Auch hier gibt es wieder ein anderes „Feeling“.

Wer macht den Anfang und baut einmal ein solches Labyrinth?

Die beiden anderen Wegfolgen ergeben auch neue Labyrinthe, die ich mir aber hier schenke. Die gehören zu den übrigen 1000 Varianten, die für 11-gängige Labyrinthe theoretisch möglich sind.

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