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Jeweils vier Labyrinthe stehen in einer komplementären oder dualen Beziehung zueinander. Das drückt sich auch in den Umgangsfolgen aus. Erwin hat es in seinem Kommentar zu meinem vorletzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) schon bemerkt: Die Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe unter einander geschrieben addieren sich an jeder Position zu Eins mehr als die Anzahl der Umgänge. In der Abbildung 1 zeige ich, was das heisst.

Abbildung 1. Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe

Zuerst schreiben wir zu jedem Muster die entsprechende Umgangsfolge. Die Muster in der gleichen Spalte sind komplementär. Nun nehmen wir die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 2 und 4 und schreiben darunter die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 7 und 5. Dann addieren wir die unter einander stehenden Zahlen. Die Summe ist an jeder Stelle 6. Also 1 höher als die Anzahl 5 der Umgänge.

Nun gibt es noch einen Zusammenhang zwischen den Umgangsfolgen. Dieser wird in Abbildung 2 veranschaulicht.

Abbildung 2. Umgangsfolgen dual-komplementärer Labyrinthe

Die Umgangsfolgen der dual-komplementären Labyrinthe sind spiegelsymmetrisch. Hier werden also die beiden über Kreuz zueinander in Beziehung stehenden Labyrinthe betrachtet. Labyrinth 5 ist das Komplementäre zum Dualen (4), resp das Duale zum Komplementären (7), also das dual-komplementäre von Labyrinth 2. Diese Beziehung ist mit einer schwarzen Linie mit quadratischen Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind schwarz geschrieben. Schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 2 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 5 und umgekehrt (schwarze Umgangsfolgen).
Labyrinth 7 ist das Komplementäre zum Dualen (2), resp das Duale zum Komplementären (5), also das dual-komplementäre von Labyrinth 4. Dies wird mit einer grauen Linie mit runden Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind grau geschrieben. Auch hier gilt: schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 4 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 7 und vice versa.

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Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

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Was verstehe ich unter „Indisches Labyrinth“? Damit bezeichne ich zunächst ein einfaches 3- oder mehr-gängiges Labyrinth (um zwei Wendepunkte herum) mit einer Spirale in der Mitte. Diese kann beliebig groß sein. Es handelt sich also um ein zusammengesetztes Labyrinth.

Die Labyrinth Society (TLS) reiht es in „Andere Klassische Grundmuster“ ein, wobei als Untertypen „Chakra-Vyuha Labyrinth“ und „Baltisches Labyrinth“ aufgeführt sind.

Dieser Typ wird auch heutzutage noch verwendet, und sei es als Verzierung auf einer Geburtstagstorte, wie vor kurzem durch Lisa Gidlow Moriarty (USA):

Chakra Vyuha auf Torte

Chakra Vyuha auf Torte, © Lisa Moriarty

Ein solches Labyrinth kann aus einem Grundmuster erzeugt werden, das auf einem Dreieck beruht. Es wird auch Chakra Vyuha genannt. Doch auch andere Grundmuster gibt es (siehe Verwandte Artikel unten).

Und damit wird die Einordnung in eine gemeinsame Typologie schwierig, weil auch Zeit und Ort des Erscheinens ganz unterschiedlich sind.

Ich fange mit einem einfachen Labyrinth an. Es findet sich bei Hermann Kern und stammt aus dem 12. Jhdt.

Chakra Vyuha

Das Indische Labyrinth, Quelle: Hermann Kern, Labyrinthe (1982), Abb. 602, S. 422

Gute 2000 Jahre älter ist das Eingeweidelabyrinth auf einem Tontäfelchen im Vorderasiatischen Museum Berlin mit der Nummer VAT 9560. Der Archäologe Ernst Friedrich Weidner (mehr darüber hier) zeigt es in einem Beitrag von 1917 als Abb. 4:

Das Babylonische Eingeweidelabyrinth

Das Babylonische Eingeweidelabyrinth VAT 9560, Abb. 4

Das sieht nicht so aus, als wäre es aus einem Grundmuster entstanden.

Eingeweidelabyrinth in drei Zügen

Eingeweidelabyrinth in drei Zügen

Es lässt sich jedoch in drei Zügen zeichnen. Ich beginne in der Mitte, zeichne die Spirale, mache auf der rechten Seite eine Schleife nach außen und schwinge in einem Bogen zur linken Seite (grüne Linie). Dann setze ich mich in die Schlaufe, umkurve die vorhergehende Linie und beende die Linie an der Unterseite der Spirale (blaue Linie). Die dritte Linie beginnt neben der vorhergehenden und schwingt nach links oben (gelbe Linie).

Genauso einfach lässt sich auch das Chakra Vyuha zeichnen:

Chakra Vyuha in zwei Zügen

Chakra Vyuha in zwei Zügen

Der eigentliche Weg im Labyrinth, der Ariadnefaden, muss in einem Zug gezeichnet werden.

Das kann von innen nach außen geschehen oder auch umgekehrt.


Im Artikel „Variationen des Wunderkreises“ (siehe Verwandte Artikel unten) hatte ich eine Methode beschrieben, um Durchgangslabyrinthe vom Typ Wunderkreis mit beliebig vielen Umgängen zu erzeugen.

Diese Methode, leicht abgewandelt, lässt sich auch verwenden, um die aus Spiralen mit beliebig vielen Umdrehungen zusammengesetzten einfachen Labyrinthe mit drei und mehr Umgängen zu erzeugen.

Noch einmal kurz die Prinzipien:

Ich beginne in der Mitte und zeichne eine Spirale mit mindestens einer, jedoch auch mehr Umgängen. Die Begrenzungslinien sind hier in Grün, der Ariadnefaden in Braun dargestellt.

Darüber kommt die gewünschte Anzahl an labyrinthischen Umgängen, mindestens drei bis zu (unendlich) vielen. Jedoch immer eine ungerade Anzahl.

Dann kommen die Schlaufen von außen nach innen (in Gelb). Da ich bei den Begrenzungslinien jeweils auf beiden Seiten eine ungerade Anzahl an Linienenden haben muss, beginnt oder endet eine Linie an der Unterseite der Spirale.

Beim Zeichnen der Begrenzungslinien wird die zwischen den Schlaufen liegende mittlere freie Linie nach vorne verlängert (in Rot).

Beim Zeichnen des Ariadnefadens wird auf der Seite mit den ungeraden Linienenden die innerste Linie nach vorne verlängert (in Rot). Die dann noch übrigen freien Linienenden werden in Schlaufen verbunden (in Gelb).

Im letzten Beispiel drehe ich noch eine „Ehrenrunde“ (in Schwarz) um das Ganze. So kann ich mit der richtigen Anzahl an Umgängen die historisch belegte Windelburg von Stolp erzeugen.

Windelburg von Stolp

Windelburg von Stolp

Die Windelburg von Stolp hatte eine dreigängige Spirale und 15 labyrinthische Umgänge plus einem zusätzlichen Umgang außen herum.

Wie soll man nun die vorgestellten Beispiele richtig klassifizieren? Als Indianisches Labyrinth kann man sicher nicht alle bezeichnen. Die Windelburg gehört eher zu den Trojaburgen und wird auch zu den Baltischen Labyrinthen gezählt. Jedoch haben sie alle das gleiche Muster, gehören also zum gleichen Typ.

Um ein Labyrinth auch bauen zu können, muss man es in eine geometrisch korrekte Form bringen. Ich nehme hierfür die Windelburg, nehme etwas weniger Umgänge und erstelle dazu eine Konstruktionszeichnung.

Eine neue Windelburg

Eine neue Windelburg

Diese stelle ich als eine Art Prototyp mit 1 m-Achsmaß, zweifacher Spirale und 9 labyrinthischen Umgängen als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder speichern zur Verfügung.

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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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In meinem letzten Beitrag hatte ich eine Methode vorgestellt, den Wunderkreis zu zeichnen. Dabei ging es immer um die Begrenzungslinien. Jedoch lässt sich auch der Pfad (Ariadnefaden) im Labyrinth mit dieser dann leicht abgeänderten Methode zeichnen.

Und natürlich lassen sich zahlreiche Varianten mit unterschiedlich vielen Umgängen für die Doppelspirale und die labyrinthischen Windungen erzeugen.

Eckiger Wunderkreis

Eckiger Wunderkreis

Hier noch einmal in Kurzfassung die Methode:

  • Ich beginne in der Mitte
  • Bogen nach oben von links nach rechts, Sprung nach links, Bogen nach unten
  • Pfad: Bogen nach unten, anschließend Bogen nach oben (geschlossene Linie, wie ein liegendes „S“)
  • Sprung nach links, Bogen nach oben um das Ganze
  • Beliebig oft wiederholen (rechts müssen immer zwei freie Enden sein, die nach unten zeigen)
  • Dann um das Ganze, von links beginnend, eine ungerade Anzahl an Bögen ziehen (mindestens 3, bis beliebig viele)
  • Pfad: Die beiden innersten Linien nach unten verlängern (evtl. verbinden)
  • Die übrigen, freien Linienenden auf jeder Seite jeweils in Schleifen verbinden
  • Bei den Begrenzungslinien: Die beiden Linien auf jeder Seite innerhalb der innersten Schleife verlängern

Sorry, das war jetzt doch etwas länger. Einfacher ist es vielleicht, den Text zusammen mit den Zeichnungen nachzuvollziehen.  Die unterschiedlichen Farben helfen dabei. Also, am besten selber probieren.

Die Labyrinthe werden gespiegelt, wenn man den Bogen am Anfang in die andere Richtung zeichnet.

Die Darstellung des Pfades erkennt man daran, dass es nur zwei, evtl. nur ein Linienende gibt (wie bei anderen Typen auch). Sieht man vier freie Linienenden, sind die Begrenzungslinien dargestellt. Die Linien schneiden sich jedoch beim Wunderkreis nicht, wie wir das vom klassischen Labyrinth kennen.

Als Beispiele für die vereinfachte Darstellung der jeweiligen Linienführungen habe ich bekannte Wunderkreise gewählt.
Im nachfolgenden Artikel sind sie alle zu finden. Ebenso noch einmal die Schritt- für Schritt-Anleitung.

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Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Das duale Labyrinth hat das gleiche Muster wie das originale Labyrinth, aber das Muster ist um einen Halbkreis gedreht und der Eingang und das Zentrum sind vertauscht. Darüber ist auf diesem Blog schon viel geschrieben worden (s. verwandte Beiträge, unten).

Nun gibt es noch eine andere Möglichkeit wie zwei Labyrinthe mit einem gleichen Muster in Beziehung stehen können. Bei dieser Art der Beziehung wird das Muster nicht rotiert, sondern vertikal gespiegelt. Auch werden – anders als bei der Beziehung der Dualität – der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht. Ich nenne diese Beziehung zwischen zwei Labyrinthen vorerst Komplementarität, um sie von der Beziehung der Dualität zu unterscheiden.

Hier zeige ich am Beispiel des bekanntesten Labyrinths, was gemeint ist.

Es handelt sich um das „Kretische“, „Klassische“, „Urlabyrinth“ oder wie auch immer genannte alternierende einachsige Labyrinth mit 7 Umgängen und der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5, das ich fortan den „Grundtyp“ nennen werde.

Abbildung 1. Das originale Labyrinth

Abbildung 1 zeigt diesen Typ im konzentrischen Stil.

Die Bilder (1-6) der folgenden Galerie (Abbildung 2) zeigen, wie man vom Muster des Grundtyps zum Muster des komplementären Typs gelangt.

Bild 1 zeigt das Muster des Grundtyps in der herkömmlichen Form. Im Bild 2 wird das Muster leicht anders gezeichnet. Damit werden die Verbindung von der Aussenwelt (markiert mit Pfeil nach unten) ins Labyrinth hinein und der Zugang zum Zentrum (markiert mit einem Punkt) etwas herausgehoben. Dies um zu zeigen, dass bei der Spiegelung des Musters der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht werden. Sie bleiben jeweils mit ihren Anschlussumgängen im Muster verbunden. In Bild 3 bis 5 wird nun die vertikale Spiegelung gezeigt, aufgeteilt in drei Zwischenschritte. Vertikales Spiegeln bedeutet Spiegeln entlang der Horizontalen. Oder auch Kippen der Figur um eine horizontale Achse – hier angedeutet mit der gestrichelten Linie. Man kann sich vorstellen, ein Drahtmodell des Musters (ohne Eingang, Zentrum und die grauen axialen Verbindungsstücke) werde um diese Achse rotiert, bis die Oberkante unten und dementsprechend die Unterkante oben liegt. Im originalen Labyrinth geht der Weg vom Eingang axial auf den dritten Umgang (Bild 3). Mit diesem Umgang bleibt der Eingang in den weiteren Schritten der Spiegelung verbunden (grau dargestellt in Bild 4, 5 und 6). Nach vollendeter Spiegelung ist dieser Umgang nun der fünfte Umgang geworden. Der Weg führt also nun zuerst auf den fünften Umgang (Bild 6) des komplementären Labyrinths. Ein Gleiches passiert auf der gegenüberliegenden Seite des Musters. Der Weg erreicht im Muster des originalen Labyrinths das Zentrum vom fünften Umgang aus. Dieser Umgang bleibt mit dem Zentrum verbunden. Nach der Spiegelung ist es der dritte Umgang.

Abbildung 3: Das komplementäre Labyrinth

Im Muster des komplementären Labyrinths finden wir einen Labyrinth Typ, der hier auf diesem Blog auch schon beschrieben worden ist (siehe verwandte Beiträge). Es ist eines der sechs sehr interessanten (alternierenden) Labyrinthe mit 1 Achse und 7 Umgängen. Und zwar dasjenige mit dem S-förmigen Wegverlauf.

Was also ist der Unterschied zwischen dem dualen und dem komplementären Labyrinth?

Erinnern wir uns daran: der Grundtyp ist selbstdual. Das Duale zum Grundtyp ist also wieder ein Grundtyp.

Das Komplementäre zum Grundtyp ist ein anderer Typ mit S-förmigem Wegverlauf.

Übrigens: In diesem Fall ist das Duale zum Komplementären wiederum das gleiche Komplementäre, da auch das zum Grundtyp Komplementäre selbstdual ist (sonst wäre es kein sehr interessantes Labyrinth).

Das eröffnet nun sehr interessante Perspektiven.

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Der Wunderkreis und das baltische Rad sind zusammengesetzte Labyrinthe, die aus Bögen um unterschiedliche Mittelpunkte konstruiert werden. Die beiden unteren Wendepunkte sind für die „labyrinthischen“ Umgänge zuständig, die in der Mitte für die Doppelspirale.

Ein baltisches Rad hat eine größere, leere Mitte und einen kurzen zweiten Ausgang. Das ist schon eine Doppelspirale, jedoch ohne weitere Windungen. Die zwei Zugänge sind in der Regel durch ein eigenes Zwischenteil, eine Art Schuhlöffel, getrennt.

Das Muster für die Linienführung ist für beide Labyrinthtypen das gleiche. Und die Methode, ein solches Muster zu erzeugen, ebenso. Wobei die Anzahl der Umgänge insgesamt trotzdem unterschiedlich sein kann.

Hier geht es nur um die Methode. Die geometrisch korrekte Umsetzung ist wieder eine andere Sache. Darüber gibt es in diesem Blog schon etliche Beiträge.

Es gibt kein Grundmuster wie beim wohlbekannten kretischen (klassischen) Labyrinth. Jedoch eine im Grunde sehr einfache Methode, solch ein Labyrinth zu zeichnen oder gleich mit Steinen zu legen oder in den Sand zu kratzen.

Eine Schritt- für Schritt-Anleitung soll es zeigen. Es werden die Begrenzungslinien des Labyrinths gezeichnet, der Weg verläuft zwischen den Linien.

Schritt 1

Schritt 1

Schritt 1: Ich zeichne einen halben Bogen nach oben, von links nach rechts.

Schritt 2

Schritt 2

Schritt 2: Ich springe etwas nach links, mache einen Bogen nach links unten, umrunde den ersten Bogen und lande rechts vom vorhergehenden Bogen.
Das wäre schon die Mitte des baltischen Rades oder die Mitte des kleinstmöglichen Wunderkreises.

Schritt 3

Schritt 3

Schritt 3: Die Doppelspirale soll jedoch größer werden.  Daher springe ich wieder etwas nach links zum Ende des ersten Bogens in Grün, mache einen weiteren Bogen nach links unten und umrunde wieder den vorhergehenden Bogen.
So könnte ich jetzt beliebig weiter machen. Es müssen rechts aber immer zwei freie Bogenenden übrig bleiben. Damit wäre die Doppelspirale im Wunderkreis fertig.

Schritt 4

Schritt 4

Schritt 4: Nun muss ich mindestes drei halbkreisförmige Bögen um die bisherigen Linien herum hinzufügen.
Wenn ich ein größeres Labyrinth haben will, kann ich paarweise mehr Linien hinzufügen. Es muss aber immer eine ungerade Anzahl von Bögen sein.
In unserem Beispiel haben wir jetzt auf der linken Seite drei freie Linienenden und auf der rechten Seite fünf.

Schritt 5

Schritt 5

Schritt 5: Nun verbinde ich auf jeder Seite das jeweils innerste und das äußerste freie Linienende so miteinander, dass dazwischen ein Zugang bleibt. Das wird solange fortgesetzt (hier nur rechts), bis auf jeder Seite nur noch ein einzelnes freies Linienende übrig bleibt.

Schritt 6

Schritt 6

Schritt 6: Die beiden auf jeder Seite noch freien Linienenden werden nach vorne zur Mitte hin verlängert. Sie bilden die beiden unteren Wendepunkte.
Das Labyrinth ist fertig.

Am Schluss probieren wir, ob es auch wirklich stimmt. Wir gehen zwischen den Linien hinein, biegen nach links oder rechts ab und müssen wieder am Ausgangspunkt ankommen. Wenn nicht, muss etwas falsch sein.

Am besten probieren Sie das gleich selber aus, mit einem Bleistift auf einem Blatt Papier. Viel Erfolg.

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