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Archive for the ‘Design’ Category

Wir wünschen allen unseren Lesern ein glückliches, erfolgreiches neues Jahr!

 

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Sieben mal sieben. Labyrinth mit 7 Achsen, 7 Umgängen und Doppelbarrieren an allen Nebenachsen. Kein Sektorenlabyrinth – eher das Gegenteil. Selbstdual. Eigener Entwurf

 

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Wir wünschen allen Besuchern dieses Blogs frohe Weihnachten, einen guten Beschluss und ein gutes Neues Jahr!

Weihnachtsbaumlabyrinth

Weihnachtsbaumlabyrinth

Grundlage für dieses Labyrinth ist das in diesem Blog schon öfter gezeigte, ursprünglich von Sigmund Gossembrot auf Folio 53 v verworfene Labyrinth.
Andreas Frei hat in seinen Beiträgen das Muster für diesen neuen Typ entdeckt und beschrieben.
Diese Struktur habe ich aufgegriffen und in verschiedenen Darstellungsarten (= Stil) gezeigt.
Zuletzt nun im diesjährigem Weihnachtsbaumlabyrinth in dreieckiger und zentrierter Form.

Etwas leicht abgehoben könnte man sagen: Andreas ist der Meister des Typs und ich der Meister des Stils.

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Sigmund Gossembrot hat die Doppelbarriere als neues Gestaltungselement von Labyrinthen verwendet. Sein fünfachsiges Labyrinth auf Fol. 51 r (siehe: Verwandte Beiträge 5) und das im Entwurf auf Fol. 53 v verborgene vierachsige Labyrinth (verwandte Beiträge 4) enthalten an allen Nebenachsen ausschliesslich Doppelbarrieren. Sie haben 7 Umgänge und sind keine Sektorenlabyrinthe.

Erwin hat in einer Reihe von Beiträgen neue Sektorenlabyrinthe mit vier Achsen, fünf Umgängen und Doppelbarrieren vorgestellt (verwandte Beiträge 1, 2, 3). Er ist dabei ausgegangen von den 8 möglichen Verläufen, die der Weg in einem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen nehmen kann. Sektorenlabyrinthe erhält man durch Aneinanderreihung von solchen Wegverläufen. Für eine beliebige Aneinanderreihung von vier aus 8 Wegverläufen gibt es theoretisch 4096 Variationen. Erwin hat einige davon gezeigt. Nicht alle aber haben konsequent das Prinzip der Doppelbarrieren verwirklicht.

Hier gehe ich der Frage nach, wieviele fünfgängige Sektorenlabyrinthe mit vier Achsen und konsequenter Verwendung von Doppelbarrieren es gibt. Ich gehe auch von den 8 verschiedenen möglichen Wegverläufen aus. Diese basieren auf den Arnol’dschen Mäandern in Abb. 1 (verwandte Beiträge 6).

Abbildung 1. Die Arnol’dschen Mäander

In Abb. 2 zeige ich die zu den Mäandern gehörenden Muster. Die Muster tragen die gleichen Nummern wie die Mäander, von denen sie abgeleitet sind. Die linke Hälfte der Abbildung zeigt die Muster aller alternierenden einachsigen Labyrinthe mit fünf Umgängen. Diese Muster enthalten jeweils eine Verbindung von aussen ins Labyrinth hinein (von links oben) und eine Verbindung zum Zentrum (nach rechts unten). Diese Verbindungen sind grau dargestellt. Für die Verwendung als Segmente (Sektoren) in Sektorenlabyrinthen müssen diese Muster zunächst noch ohne die grauen Verbindungsstrecken betrachtet werden. Es geht dabei nur um den Wegverlauf innerhalb des Sektors. In einem Sektorenlabyrinth werden mehrere solche Muster aneinandergereiht. Nur das erste Muster erhält eine Verbindung nach aussen und nur das letzte eine zum Zentrum. Die Muster für die 8 möglichen Wegverläufe in den Sektoren sind im Kasten in der rechten Hälfte wiedergegeben.

Abbildung 2. Die entsprechenden Muster – linke Hälfte: Muster der einachsigen Labyrinthe; rechte Hälfte: Muster der Sektoren

Nun sollen solche Sektorenmuster aneinander gereiht und vierachsige Labyrinthe mit ausschliesslich Doppelbarrieren erzeugt werden. Schauen wir uns zuerst eine solche Doppelbarriere im Labyrinth Typ Gossembrot 51 r an. Abbildung 3 zeigt das Labyrinth mit eingezeichnetem Ariadnefaden (rot). Ausser bei einachsigen Labyrinthen liegt eine Achse immer zwischen zwei Segmenten, wird von zwei verschiedenen Segmenten gebildet. Greifen wir die Doppelbarriere an der dritten Nebenachse heraus. Diese verbindet Segment III und IV und liegt auf den äusseren vier Umgängen. In der Vergrösserung des Ausschnitts ist das Seed Pattern für die Begrenzungsmauern blau nachgezeichnet. Man sieht, wie zwei verschachtelte Wenden des Ariadnefadens symmetrisch an der mittleren Begrenzungsmauer gespiegelt sind. Vier Umgänge werden für die Doppelbarriere benötigt. Bei fünf Umgängen bleibt noch ein Umgang frei für den Übergang von einem Sektor in den nächsten. Daraus wird klar, dass fünfgängige Labyrinthe mit ausschliesslich Doppelbarrieren nur Sektorenlabyrinthe sein können. Der Weg kann nur noch an einer Stelle die Achsen queren, das heisst, er muss den vorangehenden Sektor jeweils vollständig ausgefüllt verlassen.

Abbildung 3. Die Doppelbarriere bei Gossembrot

Abbildung 4 zeigt die zulässigen Verbindungen zwischen den Sektoren. (Pro memoria: die Linien repräsentieren das Muster, also den Ariadnefaden in der Rechteckform). Die Doppelbarrieren beanspruchen vier nebeneinander liegende Umgänge. Sie können so an zwei Stellen auf Umgängen 2 – 5 oder Umgängen 1 – 4 liegen. Zulässig sind nur Verbindungen auf dem gleichen Umgang, also die beiden Möglichkeiten auf dem äussersten (a) oder innersten (b) Umgang. Wollte man bei der Verbindung der Segmente den Umgang wechseln, wie in Verbindungen c und d, würde zusätzlich ein axiales Wegstück zwischen die Hälften der Doppelbarriere eingeschoben, und die Hälften würden um einen Umgang gegeneinander versetzt. Dann ist es aber keine Doppelbarriere mehr.

Abbildung 4. Zulässige Verbindungen der Sektoren

Dieser Umstand schränkt die Möglichkeiten für die Aneinanderreihung der Muster stark ein. Abbildung 5 zeigt, wie die einzelnen Muster verwendet werden können. An den freien Enden eines Musters ist angegeben, mit welchen Mustern es dort verbunden werden kann (Muster Nr., E für Eingang, Z für Zentrum). Ein vierachsiges Labyrinth hat vier Segmente. Diese werden deshalb auch „Quadranten“ genannt.

Abbildung 5. Mögliche Verwendung der Muster

 

  • Zwei Muster, Nr. 1 und Nr. 6, können gar nicht verwendet werden. Mit ihnen kann keine Doppelbarriere erzeugt werden.
  • Vier „einseitige“ Muster, nämlich Nr. 2, Nr. 4, Nr. 5 und Nr. 7 haben nur auf einer Seite eine Hälfte einer Doppelbarriere (rot eingekreist). An dieser Seite können sie mit anderen Mustern zu Doppelbarrieren verbunden werden. Zwar ist es auch noch möglich, Muster Nr. 2 mit Nr. 5 und Muster Nr. 4 mit Nr. 7 zu verbinden (nicht angegeben). Aber das ergibt nur ein zweiachsiges Labyrinth mit einer Doppelbarriere. An der zweiten Seite dieser einseitigen Muster liegt das freie Ende auf dem dritten Umgang. Dort kann keine Doppelbarriere erzeugt werden. Auf dieser Seite kann dann nur die Verbindung zum Eingang oder Zentrum liegen. Diese einseitigen Muster können also nur neben der Hauptachse platziert werden. Muster Nr. 2 und Nr 7 können nur im Quadrant IV liegen, wo sie mit dem Zentrum verbunden sind. Muster Nr. 2 kann nur noch mit Nr. 8 und Muster Nr. 7 nur noch mit Nr. 3 verbunden werden. Muster Nr. 4 und Nr. 5 können nur im Quadrant I liegen, wo sie mit dem Eingang verbunden sind. Muster Nr. 4 kann nur noch mit Nr. 8 und Muster Nr. 5 nur noch mit Nr. 3 verbunden werden.
  • Nur zwei Muster, Nr. 3 und Nr. 8, lassen sich nach beiden Seiten zu Doppelbarrieren ergänzen. Und nur diese können in den Quadranten II oder III verwendet werden. Sie können darüber hinaus auch in Quadranten I oder IV stehen und somit mit dem Eingang oder dem Zentrum verbunden werden (nicht angegeben). Muster Nr. 3 und Nr. 8 können abwechselnd aneinander gereiht oder mit anderen einseitigen Mustern verbunden werden (Muster Nr. 3 mit Nr. 5 und Nr. 7; Muster Nr. 8 mit Nr. 4 und Nr. 2).

Damit haben wir die Grundlagen für die Erzeugung der Muster für die Sektorenlabyrinthe mit den Doppelbarrieren. Wir beginnen mit Mustern für die Quadranten II und III. Hier gibt es nur zwei Anordnungen. Man kann Muster Nr. 8 an Nr. 3 anhängen (oben) oder Muster Nr. 3 an Nr. 8 (unten). Die obere Kombination kann nach Quadrant I hin mit Mustern Nr. 5 oder Nr. 8, nach Quadrant IV hin mit Mustern Nr. 2 oder Nr. 3 ergänzt werden. Die untere Kombination kann nach Quadrant I hin mit Mustern Nr. 3 oder Nr. 4, nach Quadrant IV hin mit Mustern Nr. 7 oder Nr. 8 ergänzt werden.

Mit der oberen Kombination aus den Mustern Nr. 3 und Nr. 8 in Quadranten II und III können also unter konsequenter Verwendung von Doppelbarrieren vier Muster für vierachsige Labyrinthe mit fünf Umgängen gebildet werden. Diese Muster werden in Abb. 6 gezeigt.

Abbildung 6. Die Muster mit der Kombination Nr. 3 in Quadrant II – Nr. 8 in Quadrant III

Auch mit der unteren Kombination aus den Mustern Nr. 8 und Nr. 3 in Quadranten II und III können vier Muster für vierachsige Labyrinthe mit fünf Umgängen und lauter Doppelbarrieren gebildet werden. Diese Muster werden in Abb. 7 wiedergegeben.

Abbildung 7. Die Muster mit der Kombination Nr. 8 in Quadrant II – Nr. 3 in Quadrant III

Abbildung 8 zeigt die zu den Mustern der Abb. 6 gehörenden Labyrinthe.

Abbildung 8. Die Labyrinthe zu den Mustern der Abb. 6

Abbildung 9 schliesslich zeigt die zu den Mustern der Abb. 7 gehörenden Labyrinthe.

Abbildung 9. Die Labyrinthe zu den Mustern der Abb. 7

Die Frage nach der Anzahl möglicher Labyrinthe lässt sich klar beantworten:

  • Es gibt 8 Labyrinthe mit 3 Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen.

Über diese Frage hinaus erhalten wir noch folgende Erkenntnisse:

  • Labyrinthe mit 5 Umgängen mit lauter Doppelbarrieren müssen Sektorenlabyrinthe sein.
  • Solche Labyrinthe können an der Hauptachse keine Doppelbarrieren haben. Doppelbarrieren gibt es nur an den Nebenachsen.

Verwandte Beiträge:

  1. Neue fünfgängige Labyrinthe mit Doppelbarrieren
  2. Eine neue Generation von Sektorenlabyrinthen
  3. Ein neuer Typ von Sektorenlabyrinth nach Gossembrot
  4. Sigmund Gossembrot / 3
  5. Sigmund Gossembrot / 2
  6. Zum Mäander im Labyrinth

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Im Internet habe ich schon viele Abbildungen von Fingerlabyrinthen gesehen. Meistens sind sie aus Holz oder Keramik. Sie zeigen den Weg im Labyrinth, den Ariadnefaden.
Viele davon gefallen mir nicht so recht. Vor allem das letzte Stück des Weges, der Eintritt ins Zentrum, ist oft nicht so gelungen. Bei manchen Fingerlabyrinthen ist das wenig eindeutig; der Weg verläuft oft von der Seite her anstatt von unten und zentral.

Deshalb möchte ich heute dazu einige eigene Ideen vorstellen.
Beim klassischen 7-gängigen Labyrinth ist normalerweise die Mitte nur so breit wie der Weg selbst und daher wenig betont. Darum wähle ich dafür lieber eine etwas größere Mitte, wie üblich beim Knidosstil. Aber nicht das vierfache der Achsbreite, sondern nur das doppelte.

So würde das aussehen:

Der Ariadnefaden im Knidosstil

Der Ariadnefaden im Knidosstil

Die Wendepunkte sind leicht verschoben, die Mitte ist leicht vergrößert. Dadurch verläuft das letzte Wegstück senkrecht ins Zentrum.


Zudem lässt sich das klassische 7-gängige Labyrinth sehr gut zentrieren. Da das erste und das letzte Wegstück auf dem 3. und 5. Umgang liegen.

So sieht es dann aus:

Der zentrierte Ariadnefaden für ein Fingerlabyrinth

Der zentrierte Ariadnefaden für ein Fingerlabyrinth

Die vier Wendepunkte sind dabei etwas mehr verschoben.
Die leere Fläche im Innenraum ist auch etwas mehr verzerrt.


Nachfolgend eine Art Musterzeichnung für ein rundes Labyrinth von 33 cm Durchmesser mit allen Konstruktionselementen.

Die Maßangaben sind aber sehr gut skalierbar. Das heißt, für ein kleineres Labyrinth verwende ich einen entsprechenden Skalierungsfaktor, mit dem alle Maße multipliziert werden.

Soll es beispielsweise halb so groß werden, multipliziere ich alle Maßangaben mit 0.5.

Will ich eine bestimmte Größe erreichen, ermittle ich den erforderlichen Skalierungsfaktor indem ich diese Größe durch 33 cm dividiere.

Für einen gewünschten Durchmesser von 21 cm z.B. errechne ich den Skalierungsfaktor wie folgt: 21 cm : 33 cm = 0.636. Ich nehme dann alle Maße mal 0.636.

Zum Umrechnen in Inch dividiere ich mit 2.54: Also 33 : 2.54  = 13 inches.

Musterzeichnung

Musterzeichnung

Hier als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder herunterladen.

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Das Labyrinth auf Folio 51 r ist das bedeutendste von Gossembrot. Es ist das früheste überlieferte fünfachsige Labyrinth überhaupt. Seine Wegführung mit Doppelbarrieren an allen Nebenachsen ist erstmalig (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Aber es ist nicht selbstdual. Also ist zu erwarten, dass es noch drei Verwandte dazu gibt (verwandte Beiträge 4).

Als Verwandte eines (originalen) Labyrinths bezeichne ich das dazu duale, komplementäre und komplementär-duale Labyrinth (verwandte Beiträge 2 und 3). In Abb. 1 sind die Muster des originalen Labyrinths vom Typ Gossembrot 51 r (a), des dualen (b), komplementären (c) und dual-komplementären (d) wiedergegeben.

Abbilldung 1. Muster der Verwandten des Typs Gossembrot 51 r

Abbildung 2 zeigt die den Mustern entsprechenden Labyrinthe in der Grundform mit den Begrenzungsmauern auf konzentrischem Grundriss und im Uhrzeigersinn drehend.

Abbildung 2. Die Verwandten des Typs Gossembrot 51 r in der Grundform

Diese vier verwandten Labyrinthe sehen alle recht ähnlich aus. Mir scheinen das Duale (b) und das Komplementäre (c) etwas weniger ausgeglichen als das Originale (a) und das Dual-komplementäre (d). Aktuell kenne ich kein Exemplar eines zum Typ Gossembrot 51 r verwandten Labyrinths.

Verwandte Beiträge:

  1. Sigmund Gossembrot / 2
  2. Die Verwandten des Labyrinths vom Typ Wielandshaus
  3. Die Verwandten des Labyrinths vom Typ Ravenna
  4. Das komplementäre versus das duale Labyrinth

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Es lag nahe, die Prinzipien für zweigeteilte 5-gängige Labyrinthe in den vorangegangenen Beiträgen auch für 7-gängige anzuwenden.

Dazu wird die Doppelbarriere auf 6 Umgänge ausgeweitet, es entsteht also eine Dreifachbarriere.

So sieht das dann aus:

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 3. Umgang)

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 3. Umgang)

Bemerkenswert ist dabei, dass sowohl der Eintritt ins Labyrinth wie auch der Eintritt in das Zentrum in und vom selben Umgang möglich ist, hier vom 3. Umgang.
Die Wegfolge dabei ist: 3-6-5-4-7-2-1-2-7-4-5-6-3-8

Es ist aber auch möglich, das vom 5. Umgang aus zu gestalten. Dadurch entsteht wieder ein neuer Typ.
Hier das Beispiel:

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 5. Umgang)

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 5. Umgang)

Die Wegfolge ist dann folgende: 5-4-3-6-7-2-1-2-7-6-3-4-5-8


Und hier die beiden Varianten im Knidos Stil:

Ein zweiteiliges 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil (Eingang 3. Umgang)

Ein zweiteiliges 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil (Eingang 3. Umgang)

 

Und hier vom 5. Umgang aus:

Ein zweiteiliges 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil (Eingang 5. Umgang)

Ein zweiteiliges 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil (Eingang 5. Umgang)

Nun könnte man die Barriere und die daranhängenden Elemente um einen Umgang nach oben verschieben. Dann wäre nicht der 1. Umgang der, der einmal ganz durchlaufen wird, sondern der innerste, der 7 Umgang.

Aber auch die ganze Struktur, ausgedrückt in der Wegfolge, würde sich dadurch ändern. Das ergäbe wieder einen neuen Typ.

Hier in vereinfachter Darstellung:

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 3. Umgang)

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 3. Umgang)

Hier im 5. Umgang:

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 5. Umgang)

Ein zweiteiliges konzentrisches 7-gängiges Labyrinth (Eingang 5. Umgang)

Diese Idee hatte aber auch schon jemand anders. Auf der Website Harmony Labyrinths hat Yvonne R. Jacobs einige hundert neue Labyrinth Entwürfe vorgestellt und mit Copyright geschützt.

Sie nennt diese Typen Luna V (Desert Moon Labyrinth) und Luna VI (Summer Moon Labyrinth). Auf ihrer Website können Sie die entsprechenden Zeichnungen anschauen und sogar Fingerlabyrinthe dazu bestellen (nur in den USA).

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Zusammenfassung

Zum Schluss möchte ich einige Erkenntnisse aus den vorangehenden Artikeln über Gossembrot zusammenfassen. Zwei Aspekte scheinen mir wichtig.

Neue Labyrinth Typen

Gossembrot hat zwei Labyrinthe mit neuen Wegverläufen, also neue Typen, geschaffen. Der fünfachsige Typ auf Fol. 51 r ist ein herausragendes Labyrinth. Das einachsige Labyrinth mit neun Umgängen (Fol. 53 r) einer der selteneren, nicht-alternierenden Labyrinth Typen. Zudem ist im Entwurf auf Fol. 53 v noch ein neuer vierachsiger Labyrinth Typ verborgen.

Gossembrot könnte auch der erste gewesen sein, der das Labyrinth vom Typ Schedel (Fol. 51 v) oder den vergrösserten Grundtyp (Fol. 54 v) gezeichnet hat. Die Handschrift mit dem Typ Schedel ist zwar etwas früher datiert als die von Gossembrot. Aber die Zeichnung in der Handschrift Schedel könnte später hinzugefügt worden sein. Die beiden frühesten Exemplare des vergrösserten Grundtyps sind ungenau ins 15. Jh. datiert. Somit könnten sie auch nach 1480 entstanden sein. Das halte ich aber für unwahrscheinlich. Beide Exemplare (Hesselager und Sibbo) sind im klassischen Stil ausgeführt – in dem Stil also, der zur „natürlichen“ Konstruktionsweise dieses Typ aus einem Seed Pattern passt.

Ansätze zu Irrgärten

Der Unterschied zwischen Labyrinth und Irrgarten hat Gossembrot stark beschäftigt. Das bezeugen die Ableitungen von Irrgärten aus dem Labyrinth vom Typ Schedel (Fol. 52 r und Fol. 52 v oben) und, nach anderer Methode, aus dem Typ Chartres (Fol. 54 r). Und auch die Tatsache, dass Gossembrot dieses komplexe Labyrinth für sein bestes Labyrinth hielt.

Ich halte auch seinen verworfenen Entwurf auf Fol. 53 v nicht für einen misslungenen Versuch zu dem fünfachsigen Labyrinth auf Fol. 51 r. Sondern mir scheint hier der Versuch misslungen, aus diesem fünfachsigen Labyrinth einen Irrgarten abzuleiten. Dafür spricht vor allem die Gestaltung der Hauptachse. Diese ist vergleichbar abgewandelt wie jene der Irrgärten (Fol. 52 r und Fol. 52 v oben), die Gossembrot aus dem Typ Schedel abgeleitet hat.

Im 15. Jh. beginnt erst die Schaffung von Irrgärten. Die erste Zeichnung eines Irrgartens stammt von Giovanni Fontana aus dem Jahr 1420 (siehe Literatur, unten: S. 202, Abb. 235). Gossembrot ist einer der ersten, die Irrgärten zeichnen. Seine Irrgärten sind aber, verglichen mit anderen auch von Fontana (Literatur, S. 203, Abb. 236), noch rudimentär und noch ganz an unikursale Labyrinthe angelehnt.

Schlussfolgerung

Gossembrot hat zweifellos seine grosse Bedeutung im Bereich der unikursalen Labyrinthe. Auch wenn ihn der Irrgarten stark fasziniert haben muss, so dass er einen Irrgarten für sein bestes Labyrinth hielt, stellen seine Zeichnungen noch zaghafte Annäherungen und Versuche zu Irrgärten dar. Hingegen hat er grossartige, eigenständige Entwürfe mit fundamentalen Neuerungen bei unikursalen Labyrinthen geschaffen.

Literatur
Kern H. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel 1982.

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