Weihnachten 2020

Wir wünschen allen Besucherinnen und Besuchern dieses Blogs Frohe Weihnachten und ein gutes Neues Jahr!

Weihnachtsbaumlabyrinth

Weihnachtsbaumlabyrinth

Dieser Typ Labyrinth wurde bereits in diesem Blog beschrieben (siehe unten). Jetzt sollte er als dreieckiges Weihnachtsbaumlabyrinth dienen.

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Das Doktopus-Labyrinth

Gundula Thormaehlen-Friedman war wieder einmal schöpferisch tätig. Und so ist dieses, neue doppelte Oktopus-Labyrinth entstanden. Den Namen leite ich ab vom Kernstück ihrer Idee, den doppelten acht Halbkreisen in der Mitte des Labyrinths. Die bilden auch das Keimmuster für den Ariadnefaden (siehe Verwandte Artikel unten).
Die freien Enden dieser 16 Halbkreise lassen sich auf unterschiedliche Weise miteinander verbinden. So kann das bekannte klassische 7-gängige Labyrinth entstehen oder andere Varianten, wie z.B. auch das Schneckenhauslabyrinth (siehe ebenfalls unten).

Der Ariadnefaden im Doktopus-Labyrinth

Der Ariadnefaden im Doktopus-Labyrinth

Was ist nun das Besondere an diesem Labyrinth? So einiges.
Zur besseren Erklärung folgt hier eine Zeichnung des Fadens in vereinfachter Form mit einigen Konstruktionselementen.

Die Konstruktionselemente

Die Konstruktionselemente

Das Labyrinth umspannt eigentlich eine Kugel. Es ist jedoch aufgeklappt und zeigt deswegen zwei Pole. Das erinnert an die Erdkugel. Die vertikale Achse ist wie die Erdachse auch, geneigt. Durchgeschnitten ist der Faden an der horizontalen Achse (Äquator), gleichzeitig aber hier auch verknüpft. Das ist die Achsquerung in horizontaler Form.
Beginn und Ende ist in der Mitte, nicht außen und innen wie sonst üblich. Der Zugang liegt gleichsam auf einer anderen Ebene (wie ein Tunnel oder eine Brücke), so wirkt es zweidimensional (siehe dazu ganz unten das Buschlabyrinth).
Dadurch wird es auch zu einem Durchgangslabyrinth.
Wenn ich jedoch die Wegfolge nachvollziehe, lande ich bei 0-3-2-1-|-4-7-6-5-8. Und das ist das wohlbekannte klassische 7-gängige Labyrinth.
Der Faden lässt sich aber auch anders nummerieren. Dann erhalte ich eine andere Wegfolge. Dann ergäben sich z.B. zwei miteinander verknüpfte Labyrinthe, ein 3-gängiges und ein 4-gängiges.

Gundula hat zusammen mit ihrer Tochter Dara Friedman ihre Ideen in einem Projekt in Florida umsetzen können. Dort ist ein vielseitig nutzbares, begehbares Begegnungs- und Beziehungslabyrinth entstanden.

Das Doktopus-Labyrinth, Foto: © Dara Friedman

Das Doktopus-Labyrinth, Foto: © Dara Friedman

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Dreifachbarrieren – Muster für den ersten und letzten Sektor

Im letzten Beitrag habe ich die vier Möglichkeiten gezeigt, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Zur Fertigstellung der Hauptachse müssen nun noch die Sektormuster für den ersten und letzten Sektor ergänzt werden. Die lagen als Platzhalter erst zur Hälfte vor. Wir brauchen dafür die Sektormuster, die auf einer Seite eine Hälfte einer Dreifachbarriere aufweisen.

Aus früheren Beiträgen ist bekannt, dass es 42 verschiedene Muster für alternierende einachsige siebengängige Labyrinthe gibt. Diese Muster können wir in der gleichen Weise nutzen, wie wir das bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren getan haben. Wir müssen sie also als Sektormuster ohne die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum zeichnen. Tony Phillips hat die Muster der interessanten einschliesslich der sehr interessanten Labyrinthe auf seiner Website zusammengestellt. Die sind in diesem Blog auch schon gezeigt worden (verwandte Beiträge 4).

Abbildung 1 enthält nur 14 Muster von interessanten Labyrinthen. Interessant sind Labyrinthe, die keine trivialen Umgänge haben. Triviale Umgänge sind hier entweder aussen oder innen serpentinenförmig angehängte Umgänge. Das bedeutet, dass der Weg bei interessanten Labyrinthen weder auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt, noch vom letzten Umgang aus das Zentrum erreicht. Labyrinthe, bei denen dies der Fall ist, sind uninteressant.

In der Abbildung sind aber Informationen über 22 verschiedene Muster enthalten. Unterhalb der Muster ist jeweils die Umgangsfolge angegeben. Bei interessanten Labyrinthen ist zusätzlich in Klammern die Umgangsfolge des Dualen angegeben (a). Es gibt 8 Muster von interessanten Labyrinthen. Bei interessanten Labyrinthen ist das Duale immer auch interessant. Zusammen mit den dazugehörigen Dualen ergibt das 16 Muster von interessanten Labyrinthen.

Bei den sehr interessanten steht dahinter die Abkürzung s.d für selbstdual (b). Es hat 6 sehr interessante Labyrinthe.

Unter den sehr interessanten Labyrinthen sind zwei besonders hervorgehoben (c). Der Grundtyp und das dazu Komplementäre, welche gerade vor Kurzem hier wieder von Erwin im Knidos Stil präsentiert wurden (verwandte Beiträge 2, 3). Es sind die beiden einzigen komplementären Muster in dieser Abbildung. Wir haben nun also Informationen zu den 16 interessanten und 6 sehr interessanten Labyrinthen. Von denen sind zwei komplementär. Bleiben die Muster von 16 interessanten und 4 sehr interessanten Labyrinthen. Das sind 20 Muster von denen keines zu einem anderen komplementär ist. Suchen wir zu diesen die Komplementären auf, erhalten wir 40 Muster. Zusammen mit den beiden komplementären sehr interessanten Labyrinthen ergibt das 42 Muster. Wir können somit auf der Basis von Abb. 1 alle 42 Muster rekonstruieren. (Das ist übrigens auch ohne die Informationen in a), b) und c) rein grafisch möglich, aber mit diesen Informationen kann es schon vorab berechnet werden).

Bleibt zu erwähnen, dass Tony Phillips die Muster von oben rechts nach links unten zeichnet (d).

Abbildung 1. Muster der interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen bei Tony Phillips

Wir benötigen auf jeden Fall auch die Muster der uninteressanten Labyrinthe. Denn sie werden ja nicht für einachsige Labyrinthe, sondern als Sektormuster verwendet. Die Verbindungen von Sektoren geschehen immer auf dem äussersten oder innersten Umgang. Ein Sektor, der auf dem äussersten Umgang an den vorangehenden angehängt oder auf dem innersten Umgang mit dem nachfolgenden verbunden wird hat ein Sektormuster, welches im Falle eines einachsigen Labyrinths mit Verbindungen nach aussen oder zum Zentrum ein uninteressantes Labyrinth ergibt. 

Ich gebe im Folgenden die Muster in meiner Darstellung wieder (Abb. 2). Ich zeichne sie nicht wie Tony Phillips von rechts oben nach links unten (grau), sondern von links oben nach rechts unten (rot).

Abbildung 2. Darstellung des Musters

In Abb. 3 sind alle 42 Sektormuster für siebengängige Sektorenlabyrinthe abgebildet. Ich habe sie nicht näher bezeichnet, nur mit roten Dreiecken die Muster markiert, die für Sektorenlabyrinthe mit ausschliesslich Dreifachbarrieren verwendet werden können. Von diesen haben 12 Muster auf einer Seite und die bereits bekannten aus dem letzten Beitrag auf beiden Seiten eine Hälfte einer Dreifachbarriere.

Abbildung 3. Die 42 Muster

In Abb. 4 werden diese Muster in vier Gruppen geordnet je nach dem, in welchem Sektor sie stehen können und über welchen Umgang sie mit anderen Sektoren verbunden werden. Die beiden Muster mit Dreifachbarrieren an beiden Seiten können in jedem Sektor stehen. Darüberhinaus sind im Quadranten A die Muster eingeordnet, die im ersten Sektor stehen und auf dem äussersten Umgang mit dem nächsten Sektor verbunden werden. Im Quadrant B sind die Muster, die nur im letzten Sektor stehen können und auf dem äussersten Umgang mit dem vorangehenden Sektor verbunden sind. In Quadrant C sind die Muster eingeordnet, die nur im ersten Sektor stehen und über den innersten Umgang verbunden sind. Schliesslich enthält Quadrant D die Muster, die nur im letzten Sekor stehen können und über den innersten Umgang verbunden sind. 

Abbildung 4. Die Muster nach Sektoren

Damit haben wir alle Grundlagen, um jedes siebengängige Sektorenlabyrinth mit ausschliesslich Dreifachbarrieren an den Nebenachsen zu erzeugen. 

Verwandte Beiträge:

Wie zeichne ich ein klassisches 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil?

Es folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Zeichenanleitung zur Konstruktion eines geometrisch-mathematisch korrekten Labyrinthes.

Die Vorgaben sind folgende: Der DurchmesserDie Maßeinheit für den Achsabstand der Linien beträgt 1 m. Der Durchmesser der Mitte soll das Vierfache dieses Abstandes betragen, also 4 m. Der Eintritt ins Labyrinth und in das Zentrum werden auf die zentrale Mittelachse gelegt.

Angaben zum Knidos Stil sind in diesem Artikel zu finden.

Figur 1: Als erstes wird der Mittelpunkt M1 des Labyrinthes festgelegt. Von hier ausgehend erfolgt die Ausrichtung der Hauptachse (senkrechte Linie) zum Eingang des Labyrinthes unten. Dann wird in 1.50 m Abstand dazu eine Parallele als Hilfslinie gezeichnet und in M1 ein Hilfskreis mit einem Radius von 3 m gezeichnet. Mittels Bogenschlag wird anschließend der Punkt Mittelpunkt M2 im Schnittpunkt dieser Hilfslinien rechts unterhalb konstruiert.

Figur 2: Der Punkt M3 wird konstruiert, indem zwei Radien mit Radius 4 m um M1 und M2 links der Hauptachse zum Schnitt gebracht werden.

Figur 3: Zuerst werden die Geraden M1-M2 und M1-M3 verlängert, dann um M1 als Mittelpunkt sieben Kreisbögen gezeichnet mit den Radien 2.5 m bis 8.5 m. Das ist der Ariadnefaden, die Wegachse, für das Labyrinth.

Figur 4: Um M2 und M3 werden Kreisbögen mit den Radien 0.5 m und 1.5 m bis zu den Bogenenden der entsprechenden vorher konstruierten Kreisbögen gezogen. Der rechte Kreisbogen mit dem Radius 1.5 m geht nur bis zum Schnittpunkt mit der waagrechten Konstruktionslinie und führt dann als Gerade ins Zentrum M1.

Figur 5: Eine Parallele wird im Abstand von 1.5 m links der zentralen Achse als Hilfslinie gezeichnet. Um M3 als Mittelpunkt wird ein Hilfskreis mit dem Radius 4 m gezeichnet und mit der senkrechten Hilfslinie geschnitten. So entsteht der Mittelpunkt M4.

Figur 6: Die drei offenen Bogenstücke links der verlängerten Linie M1 – M3 werden mit den Radien 2.5 m, 3.5 m und 4.5 m bis zur Linie M3 – M4 verbunden.

Figur 7: Um M4 als Mittelpunkt werden zwei Bogenstücke mit den Radien 0.5 m und 1.5 m gezogen, der Radius 1.5 m nur bis zur waagrechten Konstruktionslinie zu M4. Von hier schließt sich eine Gerade zum Eingang des Labyrinths ganz unten an.

Figur 8: Um die Mittelpunkte M2 un M4 werden zwei Hilfskreise mit Radius 4 m gezeichnet und rechts der Zentralachse im Schnittpunkt derselben der neue Mittelpunkt M5 konstruiert.

Figur 9: Im neuen Sektor werden die rechts liegenden freien Bogenendstücke mit den Radien 2.5 m bis 5.5 m bis zur Linie M2 – M5, bzw. deren Verlängerung, verbunden.

Figur 10: Um M5 als Mittelpunkt werden noch zwei Halbkreise mit den Radien 0.5 m und 1.5 m konstruiert. Damit ist der komplette Ariadnefaden für das Labyrinth gezeichnet.

Figur 11: Parallel zu allen bisherigen Bogenstücken werden nun im Abstand von jeweils 0.5 m die Begrenzungslinien des Labyrinthes konstruiert. Beginnend mit R 1 m bis zu R 9 m für den äußersten Ring. Damit sind alle Linien für das Labyrinth komplett und können für verschiedene Darstellungen des Labyrinthes in unterschiedlichen Varianten verwendet werden.

Zum Beispiel hier mit gleichen Breiten für die Begrenzungslinien. Der Ariadnefaden ist der freie Raum zwischen diesen Linien:

Das 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil mit zentraler Achse

Das 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil mit zentraler Achse

Hier noch einmal die vorangegangenen Zeichenschritte in einer einzigen Konstruktionszeichnung zusammengefasst, die beliebig skaliert werden kann.

Die Konstruktionszeichnung

Die Konstruktionszeichnung

Und hier als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder downloaden.

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