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Posts Tagged ‘alternierend’

Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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Nicht alternierende Labyrinthe

In allen bisherigen Beiträgen mit Ausnahme des zweiten Teils dieser Serie (siehe: verwandte Beiträge unten) habe ich alternierende Labyrinthe gezeigt. Das sind die Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Es gibt aber auch Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse (bei mehrachsigen Labyrinthen: Hauptachse) quert. Diese werden nicht-alternierend genannt. Ein besonders schönes Beispiel ist das Labyrinth aus einer Handschrift des 10./11. Jh. der Stiftsbibliothek St. Gallen. Erwin hat es in diesem Blog auch schon gezeigt, und ich habe darüber in Caerdroia 38 (2008) geschrieben.

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Aus Teil / 2 dieser Reihe ist bekannt, dass im Prinzip auch nicht alternierende Labyrinthe im MiM-Stil gezeichnet werden können. Denn das Schneckenhauslabyrinth ist ein nicht alternierendes Labyrinth. Bei ihm quert der Weg 2 Mal die Achse. Einmal vom äussersten auf den zweiten Umgang und das andere Mal vom zweit-innersten auf den innersten Umgang.

Abbildung 2. Ariadnefaden

Abbildung 2. Ariadnefaden

Beim Labyrinth von St. Gallen (Abb. 2) kommt der Weg jedoch vom äussersten Umgang, biegt nach rechts ab, verläuft achsial bis zum innersten Umgang und biegt dann nach links ab, ohne die Richtung (im Uhrzeigersinn) zu ändern. Wie sieht nun die Keimstruktur dieses Labyrinths und ihre Variation in den MiM-Stil aus?

Abbildung 3. Keimstrukturen im Vergleich

Abbildung 3. Keimstrukturen im Vergleich

Abb. 3 zeigt die Keimstruktur meines Demonstrationslabyrinths aus Teil / 5 dieser Serie (Figuren a und b) im Vergleich mit der Keimstruktur des Labyrinths von St. Gallen (Figuren c und d). Die Keimstruktur des Demonstrationslabyrinths hat eine zentrale vertikale Linie. Diese markiert die zentrale Begrenzungsmauer, an der die Wenden des Weges anliegen (Fig. a). Das ist bei allen alternierenden Labyrinthen so. Variiert man die Keimstrukturen alternierender Labyrinthe in den MiM-Stil, bleiben die zentrale Linie und der innerste Ring erhalten (Fig. b). Die Hilfsfiguren von alternierenden Labyrinthen haben alle zwei zentrale vertikale Speichen und einen intakten innersten Ring. Beim Labyrinth von St. Gallen ist das anders. Die Keimstruktur hat zwei gleichwertige vertikale Linien. Zwischen diesen Linien verläuft der Weg auf der ganzen Länge der Achse (Fig. c). Das vertikale Zentrum ist hier nicht eine Begrenzungsmauer, sondern das achsiale Wegstück. Bei der Variation in den MiM-Stil finden wir keine zentrale Mauer und der innerste Ring wird durchbrochen. Die Hilfsfigur für das Labyrinth von St.Gallen hat denn auch keine vertikalen Speichen (Fig. d).

Abbildung 4. Labyrinth von St. Gallen im MiM-Stil

Abbildung 4. Labyrinth von St. Gallen im MiM-Stil

Man kann also nicht alternierende Labyrinthe auf die gleiche Weise wie alternierende im MiM-Stil zeichnen. Die Keimstruktur des Labyrinths von St. Gallen hat zwei Elemente mit einfachen und zwei mit zwei verschachtelten Wenden und zusätzlich das achsquerende Wegstück. Sie belegt in der MiM-Hilfsfigur 2 Umgänge. Dies entspricht den Elementen mit zwei verschachtelten Wendestellen. Für das achsquerende Wegstück wird kein zusätzlicher Umgang benötigt, da der innerste Ring durchbrochen ist und den Weg mitten durch die Keimstruktur lässt.

Und hier zum Schluss noch mein Logo im MiM-Stil (Abb. 5).

Abbildung 5. Mein Logo im MiM-Stil

Abbildung 5. Mein Logo im MiM-Stil

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Das „Kretische“ ist der häufigste Labyrinth-Typ überhaupt, und so finden wir für diesen Typen eine grosse Vielfalt von verschiedenen Varianten. Hier zeige ich einige Exemplare, die aus verschiedenen Gründen interessant sind. Wo nichts anderes angegeben, stammen die Bilder aus dem Buch Labyrinthe von Hermann Kern. Die Details zu den Quellenangaben sind hier.

Abbildung 1. Pylos

Abbildung 1. Pylos

Diese Ritzzeichnung auf einem Tontäfelchen aus dem Palast des Nestor in Pylos wird auf spätestens 1200 v.Chr. datiert und ist das älteste sicher datierte Labyrinth überhaupt. Sie zeigt den Kretischen Typ auf rechteckigem Grundriss.

Abbildung 2. Silbermünze, Knossos

Abbildung 2. Silbermünze, Knossos

Diese Abbildung zeigt das Labyrinth mit konzentrischem Grundriss auf einer Silbermünze aus Knossos, ca. 190 – 100 v.Chr.. Das Zentrum des Labyrinths deckt sich mit dem Mittelpunkt der Umgänge. Die Achse ist leicht exzentrisch, da das Wegstück zum Zentrum auf das Zentrum ausgerichtet ist.

Abbildung 3. Walahfrid

Abbildung 3. Walahfrid

In dieser Zeichnung aus einer Pergamenthandschrift des Walahfrid Strabo (808 – 849) ist das Labyrinth in der vollendeten konzentrischen Form dargestellt. Die achsiale Trennwand, welche die innerste mit der äussersten Begrenzungsmauer verbindet, ist auf das Zentrum ausgerichtet.

Dass sich Variationen des Grundrisses nicht auf Standardformen wie Kreis und Rechteck beschränken, zeigen die nächsten Beispiele.

Abbildung 4. Herzlabyrinth

Abbildung 4. Herzlabyrinth

Dieses Herzlabyrinth von Mario Höhn enthält den Kretischen Typ mit einem zusätzlichen geschlossenen Umgang innen. Die Umgänge verlaufen nicht alle parallel zueinander (wie bei einem 7-spurigen Kreisverkehr). Umgänge 7 und 6 sind auf die rechte Herzkammer beschränkt. Umgang 5 führt in die linke Kammer und ist dort mit dem in sich geschlossenen 8. Umgang verbunden.

Abbildung 5. Doppellabyrinth

Abbildung 5. Doppellabyrinth

Eine andere Methode, um ein Herzlabyrinth zu erzeugen haben Marty Kermeen und Jeff Saward angewendet. Sie verwenden dazu ein Doppellabyrinth (DL). Dieses besteht aus zwei identischen Labyrinthen, die horizontal gespiegelt aneinandergefügt sind. Das eigentliche Labyrinth (L) ist also eines der beiden Teillabyrinthe. Dabei handelt es sich um das Kretische, projiziert auf einen halbherzigen Grundriss.

Abbildung 6. Abhuyumani Tantra

Abbildung 6. Abhuyumani Tantra

Diese tantrische Zeichnung aus Rajasthan, Indien, 19. Jh. zeigt das Labyrinth auf einem Dreiviertelskreis angeordnet – das meiste davon jedoch nur auf einem Halbkreis. Nur die Wendestelle vom 1. auf den 4. Umgang nimmt den ganzen dritten Quadranten ein. Der vierte Quadrant wird von der Figur nicht ausgefüllt.

Abbildung 7. Nîmes

Abbildung 7. Nîmes

Dieses römische Mosaik-Labyrinth aus Nîmes, Frankreich, 1. Jh., hat einen unauffälligen rechteckigen, Umriss. Aber es zeigt, wie kein anderes, dass der Grundriss nicht nur aus der geometrischen Form (Kreis, Rechteck, Herz, usw.) besteht. Ebenso wichtig ist, wie innerhalb der Umrissform die Wegführung organisiert ist. Und die hat es wirklich in sich. Man versuche doch einmal, die Keimstruktur / das Grundmuster / das Seed Pattern dieses Labyrinths zu identifizieren. Die Wegführung enthält mindestens drei Auffälligkeiten.

  • Alle Umgänge machen keine volle (360°), sondern nur 3/4 (270°) Drehung. Es ist also – ähnlich wie das indische – ein 3/4 Labyrinth. Der Grundriss deckt aber alle 4 Quadranten ab.
  • Die inneren Umgänge sind vollständig in den Quadranten 1 und 2 untergebracht. Normalerweise decken alle Umgänge alle Quadranten ab.
  • Nur die äusseren 4 Umgänge bedecken auch die Quadranten 3 und 4.

Durch diese Verschiebungen und Umformungen in der Wegführung wird der Grundriss fast bis zur Unkenntlichkeit variiert. Wie komme ich nun dazu, alle diese verschiedenen Exemplare als Kretischen Typ zu bezeichnen? Was ist allen diesen Exemplaren gemeinsam? Das, was das Kretische ausmacht, wurde auf diesem Blog und andernorts schon wiederholt beschrieben.

  • Einachsiges Labyrinth
  • Alternierend, d.h. der Weg quert die Achse nicht
  • 7 Umgänge
  • Umgangsfolge (d.h. die Reihenfolge in der die vom Anfang bis zum Ende des Wegs durchnummerierten Umgänge vom Weg belegt werden): 3-2-1-4-7-6-5.

Es ist wichtig, festzuhalten, dass hier von einem alternierenden Labyrinth die Rede ist. Es gibt auch nicht alternierende Labyrinthe. Nur bei den alternierenden Labyrinthen gibt es pro Umgangsfolge genau einen Labyrinth-Typen. Umgekehrt gilt dann auch, dass man jeden alternierenden Typen mit seiner Umgangsfolge eindeutig beschreiben kann.

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Mit Arnol’d’s Figuren kennen wir bereits alle 8 alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen. Alternierend heisst, dass der Weg die Achse nicht quert. Jedes Mal, wenn der Weg auf einen neuen Umgang wechselt, wechselt er dann auch die Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn). Unter diesen 8 Labyrinthen mit 5 Umgängen gibt es 4 uninteressante, 2 interessante und 2 sehr interessante.

Bei grösserer Anzahl Umgänge steigt die Anzahl der verschiedenen Labyrinthe rasch an. So gibt es 42 Labyrinthe mit 7 Umgängen: 20 uninteressante, 16 interessante und 6 sehr interessante Exemplare. Die Keimstrukturen für die Begrenzungsmauer und die Muster der interessanten und sehr interessanten Labyrinthe sind auf der Website von Tony Phillips einsehbar. Diese Muster erzeugen sechs schöne Labyrinthe. Ich habe deshalb die Muster reproduziert und dazu die Labyrinthe in der sog. Skript Form (auf rundem Grundriss, mit Eingang von unten und im Uhrzeigersinn drehend) ergänzt. Hier sind die Ergebnisse:

Abbildung 1

Abbildung 1

Abb. 1: Das allseits bekannte, meist verbreitete Labyrinth überhaupt: Das Kretische.

Abbildung 2

Abbildung 2

Abb. 2: Ein schon von den Arnol’d’schen Figuren her bekanntes Prinzip: Serpentine von innen nach aussen. Kann auch als Serpentine, eingeschlossen in einen einfachen doppelspiralartigen Mäander (Erwin’s Typ 4 Mäander), aufgefasst werden.

Abbildung 3

Abbildung 3

Abb. 3: Ein sehr schönes Muster mit S-förmigem Wegverlauf.

Abbildung 4

Abbildung 4

Abb. 4: Ebenfalls ein sehr schönes Muster – eine Art Yin/Yang-Bewegung.

Abbildung 5

Abbildung 5

Abb. 5: Eine Serpentine eingewickelt in einen 2-fachen doppelspiralartigen Mäander (Erwin’s Typ 6 Mäander).

Abbildung 6

Abbildung 6

Abb. 6: Ein ebenfalls schon von den Arnol’d’schen Figuren bekanntes Prinzip: Doppelspiralartiger Mäander, hier in dreifacher Ausführung (Erwin’s Typ 8 Mäander).

Das Kretische gehört also zu einer Gruppe von sechs ebenbürtigen selbstdualen interessanten alternierenden 1-achsigen Labyrinthen mit 7 Umgängen.

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