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Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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Die Schreibweise mit den Koordinaten ist einheitlich, verständlich und funktioniert für ein- und mehrachsige alternierende und nicht-alternierende Labyrinthe. Aber sie weist eine Eigenart auf. Während bei mehrachsigen Labyrinthen die Anzahl Segmente sich aus der Anzahl Achsen mal Umgänge ergibt, reicht dies bei einachsigen Labyrinthen nicht. Diese benötigen eine Einteilung zwei Segmente pro Umgang. Und damit gleich viele Segmente wie zweiachsige Labyrinthe mit der gleichen Umgangszahl.

Ich zeige das hier am Beispiel eines zweiachsigen Labyrinths mit 7 Umgängen.

Dies ist ein Labyrinth, das ich im Verlaufe meiner Forschungen über das Labyrinth vom Typ Chartres und seine Weiterentwickungen entworfen habe.

Entsprechend der Anzahl Achsen und Umgänge hat dieses Labyrinth 14 Segmente. Seine Segmentfolge lautet:

Erinnern wir uns an die Segmentfolgen der einachsigen Labyrinthe aus dem letzten Beitrag. Zum Vergleich führe ich hier nochmals die Segmentfolge des Grundtyps an.

Auch diese hat 14 Zahlen und ist somit gleich lang wie die des zweiachsigen Labyrinths.

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In einem früheren Beitrag „Typ oder Stil / 6“ (siehe verwandte Beiträge, unten) habe ich mich schon zur Umgangsfolge geäussert. Und zwei Gründe angeführt, warum ich sie nicht zur Benennung von Labyrinth Typen benutze.

  • Unter den einachsigen Labyrinthen entspricht nur bei den alternierenden Labyrinthen eine Umgangsfolge genau einem Wegverlauf. Zieht man auch nicht alternierende einachsige Labyrinthe in Betracht, (Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse kreuzt), kann es für die gleiche Umgangsfolge mehrere Wegführungen geben.
  • Bei mehrachsigen Labyrinthen wird die Umgangsfolge schnell lang und unübersichtlich.

Hier will ich auf den ersten Punkt näher eingehen. Und zwar deshalb, weil es eine ganz einfache Lösung gibt. Bei den einachsigen Labyrinthen steht in der Umgangsfolge für jeden Umgang eine Zahl. In der Praxis weisen die grossen dieser Labyrinthe kaum mehr als 15 – 17 Umgänge auf. Die meisten sind deutlich kleiner. Somit könnte man diese Labyrinthe ganz praktisch mit ihrer Umgangsfolge benennen. Aber es besteht das Problem der Mehrdeutigkeit. Erwin hat es in seinem Beitrag „Das klassische 7-gängige Labyrinth mit Achsquerung“ (siehe verwandte Beiträge, unten) aufgegriffen. Ich illustriere es hier und verwende dazu Bilder aus seinem Beitrag.

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Abbildung 1. Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5

In Abbildung 1 sieht man drei Labyrinthe mit der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5. Das erste Bild zeigt den alternierenden Kretischen Typ, das zweite und dritte Bild je ein nicht alternierendes Labyrinth mit der gleichen Umgangsfolge. Beim zweiten Bild quert der Weg die Achse, wenn er vom 1. auf den 4. Umgang wechselt. Beim dritten Bild quert er die Achse vom 4. auf den 7. Umgang. (Es gibt auch noch ein Labyrinth, bei dem der Weg sowohl vom 1. auf den 4. als auch vom 4. auf den 7. Umgang die Achse kreuzt). Wir haben also den einen alternierenden und mehrere nicht-alternierende Labyrinth Typen mit der gleichen Umgangsfolge vorliegen.

Nun gibt es eine einfache Lösung, dies in der Umgangsfolge zu berücksichtigen. Dazu muss man bedenken, dass die einzelnen Zahlen (nicht Ziffern) der Umgangsfolge getrennt sind. Diese Separierung kann man auf verschiedene Weise, mit Leerstelle, Komma, Semikolon u.a.m. machen. Diese Trennzeichen können nun auch benutzt werden, um anzugeben, wie es im nächsten Umgang weiter geht. Wir können also z.B. definieren: wenn der Weg vom einen auf den anderen Umgang die Richtung wechselt, trennen wir mit senkrechtem Strich. Geht der Weg in der gleichen Richtung weiter (und quert somit die Achse), trennen wir mit Bindestrich. Auf diese Weise können wir die Umgangsfolge soweit präzisieren, dass sie auch für nicht alternierende Labyrinthe eindeutig wird. Ich zeige das in Abb. 2 anhand der Bilder aus Abb. 1.

uf_3214765_mit_tz

Abbildung 2. Umgangsfolge mit Trennzeichen


Hier sehen wir zu jedem Labyrinth die entsprechende Umgangsfolge mit Trennzeichen. Die Folge der Zahlen ist überall 3 2 1 4 7 6 5. Aber, während das alternierende Kretische immer senkrechte Striche als Trennzeichen hat (da der Weg nach jedem Umgang die Richtung wechselt), hat die Umgangsfolge von Bild 2 zwischen 1 und 4 einen Bindestrich. Und die Umgangsfolge von Bild 3 hat einen Bindestrich zwischen 4 und 7.

Ja, man kann die Schreibweise noch vereinfachen, indem man die Zahlen mit Leerschlag trennt und nur dort, wo der Weg die Achse kreuzt, einen Bindestrich einfügt. Die Umgangsfolgen würden dann so aussehen:

für das 1. Bild: 3 2 1 4 7 6 5
für das 2. Bild: 3 2 1-4 7 6 5
für das 3. Bild: 3 2 1 4-7 6 5

Es kommt also nur darauf an, in der Umgangsfolge anzugeben, wo die Achse gekreuzt wird. Mit diesen Ergänzungen zur Umgangsfolge ist es nun möglich, jede Wegführung eindeutig zu bezeichnen und somit für jeden alternierenden und nicht alternierenden Labyrinth Typ einen Namen zu vergeben.

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Nochmals: Typ im Stil

Nun habe ich drei Beiträge benötigt, um alle Labyrinth Exemplare dieser Serie meinen Typen zuzuordnen. Hier folgt der letzte Teil.

Exemplare im Reims Stil

Reims 1

Reims 1

 

 

 

Typ Reims


Reims 2

Reims 2

 

 

 

Typ Reims


Reims 3

Reims 3

 

 

 

Typ Chartres


Reims 4

Reims 4

 

 

 

Typ Sneinton (Labyrinth fehlerhaft gezeichnet)


Reims 5

Reims 5

 

 

 

Typ Saffron Walden (Labyrinth fehlerhaft gezeichnet)


Exemplare im Knidos Stil

Knidos 1

Knidos 1

 

 

 

Typ Knossos


Knidos 2

Knidos 2

 

 

Kernlabyrinth vom Typ Rockcliffe Marsh, doppelspiralartiger Mäander (Erwins Typ 6 Mäander)


Knidos 3

Knidos 3

 

 

 

 

Kretischer Typ


Knidos 4

Knidos 4

 

 

 

 

Typ Otfrid


Übrige Exemplare

Andere 1

Andere 1

 

 

 

Typ Rockcliffe Marsh


Andere 2

Andere 2

 

 

 

 

Kretischer Typ


Andere 3

Andere 3

 

 

 

 

Kretischer Typ


Andere 4

Andere 4

 

 

 

 

Typ Al Qazwini


Andere 5

Andere 5

 

 

 

Typ Cakra Vyuh


Andere 6

Andere 6

 

 

 

Typ Liger


Andere 7

Andere 7

 

 

 

Typ Ely


Andere 8

Andere 8

 

 

 

Typ Kieser


Andere 9

Andere 9

 

 

 

 

Typ Gent


Wie schon in den beiden letzten Beiträgen ergibt sich auch hier ein ähnliches Bild. Die 18 Exemplare gehören 14 verschiedenen Typen an.

Wie man hier auch noch sehen kann, ist bei gewissen Labyrinthen das Muster schwierig zu bestimmen (Typ Liger, Typ Ely, Typ Kieser, Typ Gent). Darauf gehe ich hier nicht näher ein, weil das den Rahmen dieses Beitrags sprengen würde.

 

Verwendete Typen:

 

 

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Typ im Stil (Fortsetzung)

Hier will ich nun die Labyrinth Exemplare aus dem Beitrag Typ oder Stil / 9 ihren Labyrinth Typen zuordnen. Diese Exemplare waren ja nach Stilen gruppiert.

Die Exemplare im klassischen Stil

Klassisch 1

Klassisch 1

 

 

 

Typ Löwenstein 3


Klassisch 2

Klassisch 2

 

 

 

Typ Löwenstein 5a


Klassisch 3

Klassisch 3

 

 

 

Kretischer Typ


Klassisch 4

Klassisch 4

 

 

 

 

Typ Löwenstein 9b


Klassisch 5

Klassisch 5

 

 

 

Typ Hesselager


Klassisch 6

Klassisch 6

 

 

 

Typ Tibble


Die Exemplare im konzentrischen Stil

Konzentrisch 1

Konzentrisch 1

 

 

 

Kretischer Typ


Konzentrisch 2

Konzentrisch 2

 

 

 

Typ Hesselager


Konzentrisch 3

Konzentrisch 3

 

 

 

Typ Otfrid


Konzentrisch 4

Konzentrisch 4

 

 

 

Typ Chartres


Konzentrisch 5

Konzentrisch 5

 

 

 

Typ Gossembrot 51r


Konzentrisch 6

Konzentrisch 6

 

 

 

Typ Münster


Die Exemplare im Man-in-the-Maze Stil

MiM 1

MiM 1

 

 

 

Kretischer Typ


MiM 2

MiM 2

 

 

 

Typ Pima


MiM 3, MiM 4: keine Labyrinthe

 

Die Exemplare im Chartres Stil

Chartres 1

Chartres 1

 

 

 

Typ Chartres


Chartres 2

Chartres 2

 

 

 

Typ Trinity


Chartres 3

Chartres 3

 

 

 

Typ St. John


Chartres 4

Chartres 4

 

 

 

 

Typ Petit Chartres

Chartres 5: kein Labyrinth

 

Chartres 6

Chartres 6

 

 

 

Typ Grey’s Court


Um den Beitrag nicht zu überladen unterbreche ich hier und bringe die restlichen Exemplare im nächsten Beitrag.

Unter diesen Exemplaren hat es nun auch Figuren, die aus verschiedenen Gründen keine echten unikursalen Labyrinthe sind. Aus Platzgründen gehe ich hier nicht näher darauf ein und komme später einmal darauf zurück.

Die verwendeten Typen:

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Zusammenfassung

Wie das Labyrinth selbst und die Keimstruktur so kann auch die Rechteckform auf zwei Arten dargestellt werden: mit den Begrenzungsmauern oder mit dem Ariadnefaden. Zudem gibt es zwei Methoden zur Gewinnung und damit zwei Versionen der Rechteckform. In Abb. 1 wird das am Beispiel meines Demonstrationslabyrinths zusammengefasst.

L:KS:RF Darst

Abbildung 1. Übersicht

Die Abbildung enthält auf der ersten Linie das Labyrinth (Figuren 1) , auf der zweiten Linie die Keimstruktur (Figuren 2), auf der dritten Linie die Rechteckform gewonnen nach Methode 1 (Figuren 3) und auf der untersten Linie die Rechteckform gewonnen nach Methode 2 (Figuren 4). Diese sind jeweils dargestellt mit den Begrenzungsmauern (linke Figuren a) und mit dem Ariadnefaden (rechte Figuren b).

  • Wenn man von „Labyrinth“ spricht, meint man gewöhnlich das Labyrinth in der Darstellung mit den Begrenzungsmauern. Das ist die Figur 1a. Aber auch die Darstellung mit dem Ariadnefaden ist weit verbreitet und allgemein bekannt (Fig. 1 b). Man nennt diese auch einfach den „Ariadnefaden“
  • Was ich „Keimstruktur“ nenne, heisst bei Erwin „Grundmuster“. Figur 2 a zeigt die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern, Figur 2 b die Keimstruktur für den Ariadnefaden. Darüber haben Erwin und ich in letzter Zeit in diesem Blog soviel geschrieben, dass ich nicht weiter darauf eingehen will.
  • Wenn man vom Labyrinth (Figur 1 a) oder vom Ariadnefaden (Figur 1 b) ausgeht und die Methode 1 anwendet, erhält man als Ergebnis die Rechteckformen der Zeile 3. Es gibt also sowohl eine Rechteckform für die Begrenzungsmauern (fig. 3a) als auch für den Ariadnefaden (fig. 3b).
  • Wendet man die Methode 2 an, erhält man die Rechteckformen der Zeile 4. Das sind dieselben wie in Zeile 3, aber um einen Halbkreis gedreht.

Für „Rechteckform“ findet man in der Literatur auch Bezeichnungen wie „Liniendiagramm“ oder „Kompressionsdiagramm“ oder andere. Dabei sieht man am häufigsten Rechteckformen für die Begrenzungsmauern nach Methode 1, so wie Fig. 3a.

RF BM M1

Abbildung 2. Figur 3a

Ich verwende hingegen ausschliesslich die Rechteckform für den Ariadnefaden. Dies ist die einfachere graphische Darstellung. Zudem verwende ich die mit der Methode 2 gewonnene Version, da sie im Ergebnis von links oben nach rechts unten zu lesen ist, was unseren Lesegewohnheiten mehr entspricht. Diese Figur (als Bsp.: Fig. 4 b), die nach Methode 2 gewonnene Rechteckform des Ariadnefadens, nenne ich das Muster.

RF AF M2

Abbildung 3. Figur 4b

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