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Zusammenfassung

Zum Schluss möchte ich einige Erkenntnisse aus den vorangehenden Artikeln über Gossembrot zusammenfassen. Zwei Aspekte scheinen mir wichtig.

Neue Labyrinth Typen

Gossembrot hat zwei Labyrinthe mit neuen Wegverläufen, also neue Typen, geschaffen. Der fünfachsige Typ auf Fol. 51 r ist ein herausragendes Labyrinth. Das einachsige Labyrinth mit neun Umgängen (Fol. 53 r) einer der selteneren, nicht-alternierenden Labyrinth Typen. Zudem ist im Entwurf auf Fol. 53 v noch ein neuer vierachsiger Labyrinth Typ verborgen.

Gossembrot könnte auch der erste gewesen sein, der das Labyrinth vom Typ Schedel (Fol. 51 v) oder den vergrösserten Grundtyp (Fol. 54 v) gezeichnet hat. Die Handschrift mit dem Typ Schedel ist zwar etwas früher datiert als die von Gossembrot. Aber die Zeichnung in der Handschrift Schedel könnte später hinzugefügt worden sein. Die beiden frühesten Exemplare des vergrösserten Grundtyps sind ungenau ins 15. Jh. datiert. Somit könnten sie auch nach 1480 entstanden sein. Das halte ich aber für unwahrscheinlich. Beide Exemplare (Hesselager und Sibbo) sind im klassischen Stil ausgeführt – in dem Stil also, der zur „natürlichen“ Konstruktionsweise dieses Typ aus einem Seed Pattern passt.

Ansätze zu Irrgärten

Der Unterschied zwischen Labyrinth und Irrgarten hat Gossembrot stark beschäftigt. Das bezeugen die Ableitungen von Irrgärten aus dem Labyrinth vom Typ Schedel (Fol. 52 r und Fol. 52 v oben) und, nach anderer Methode, aus dem Typ Chartres (Fol. 54 r). Und auch die Tatsache, dass Gossembrot dieses komplexe Labyrinth für sein bestes Labyrinth hielt.

Ich halte auch seinen verworfenen Entwurf auf Fol. 53 v nicht für einen misslungenen Versuch zu dem fünfachsigen Labyrinth auf Fol. 51 r. Sondern mir scheint hier der Versuch misslungen, aus diesem fünfachsigen Labyrinth einen Irrgarten abzuleiten. Dafür spricht vor allem die Gestaltung der Hauptachse. Diese ist vergleichbar abgewandelt wie jene der Irrgärten (Fol. 52 r und Fol. 52 v oben), die Gossembrot aus dem Typ Schedel abgeleitet hat.

Im 15. Jh. beginnt erst die Schaffung von Irrgärten. Die erste Zeichnung eines Irrgartens stammt von Giovanni Fontana aus dem Jahr 1420 (siehe Literatur, unten: S. 202, Abb. 235). Gossembrot ist einer der ersten, die Irrgärten zeichnen. Seine Irrgärten sind aber, verglichen mit anderen auch von Fontana (Literatur, S. 203, Abb. 236), noch rudimentär und noch ganz an unikursale Labyrinthe angelehnt.

Schlussfolgerung

Gossembrot hat zweifellos seine grosse Bedeutung im Bereich der unikursalen Labyrinthe. Auch wenn ihn der Irrgarten stark fasziniert haben muss, so dass er einen Irrgarten für sein bestes Labyrinth hielt, stellen seine Zeichnungen noch zaghafte Annäherungen und Versuche zu Irrgärten dar. Hingegen hat er grossartige, eigenständige Entwürfe mit fundamentalen Neuerungen bei unikursalen Labyrinthen geschaffen.

Literatur
Kern H. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel 1982.

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Die vier Labyrinthe mit 4 Achsen und 8 Umgängen

Vier Zeichnungen von Gossembrot zeigen Labyrinthe mit 4 Achsen und 8 Umgängen. Davon sind je zwei auf rundem und rechteckigem Grundriss. Abbildung 1 zeigt diese vier Figuren im Vergleich. Figuren a (rund) und c (rechteckig) haben den gleichen Wegverlauf (=). Ebenso Figuren b (rund) und d (rechteckig). Die beiden runden Figuren (a, b) ebenso wie die beiden rechteckigen (c, d) haben verschiedene Wegführungen (≠).

Abbildung 1. Vergleich

Alle vier Figuren haben Inschriften in ihrem Zentrum.

Figur a (Fol. 51 v): „Laborintus inducens et educens“ – Labyrinth hineinführend und hinausführend


Figur b (Fol. 52 r): „Laborintus tamen educens nunquam intus perveniens fines“ – Labyrinth, hinausführend, jedoch nirgends im Zentrum ankommend

Figur c (Fol. 52 v unten): „Ibi introis et exis“ – hier trittst du ein und gehst hinaus.

Figur d (Fol. 52 v oben): „Der Irrgang clausus est et numquam introibis“ der Irrgang ist geschlossen und nirgends trittst du ein.

Daraus ersieht man gut, dass Gossembrot sich mit dem Unterschied zwischen Labyrinth und Irrgarten beschäftigte. Abbildung 2 zeigt an den unteren, rechteckigen Figuren, dass die Nebenachsen in allen vier Figuren gleich sind (blau umrandete Bereiche). Die Figuren auf der rechten Seite unterscheiden sich nur in der Hauptachse gegenüber den Figuren auf der linken Seite (rot umrandete Bereiche). Das wird auch aus den beiden Mustern unten in der Abbildung deutlich. Die Figuren links sind Labyrinthe, die rechts eine spezielle Form eines einfachen Irrgartens. Der Weg geht auf den 6. Umgang und verzweigt sich dort. Ein Ast führt vorwärts bis zur ersten Nebenachse. Dort wendet der Weg auf den 7. Umgang, macht einen vollen Umgang und quert dabei die Hauptachse. Er wendet wieder an der ersten Nebenachse, führt durch die äusseren Umgänge 6 – 1 und kommt zurück in den anderen Ast der Weggabelung. Der innerste 8. Umgang ist vom übrigen Wegverlauf abgetrennt, beginnt in einer Sackgasse, macht eine Runde und endet dann im Zentrum.

Abbildung 2. Labyrinth und Irrgarten

Gossembrot hat also wohl aus dem Labyrinth einen Irrgarten abgeleitet. Es gibt nämlich ein zweites historisches Labyrinth mit dem gleichen Muster. Dieses stammt aus einer Handschrift (1456/63) des Nürnberger Arztes und Humanisten Hartmann Schedel (siehe Literatur, unten). Die freihändige Labyrinthzeichnung wurde auf eine der letzten leer gebliebenen Seiten der Handschrift aufgeklebt. Diese Handschrift ist in der gleichen digitalen Bibliothek wie jene von Gossembrot online zugänglich (zusätzliche Links, unten). Im Original ist das Labyrinth mit dem Eingang nach links ausgerichtet. In Abb. 3 gebe ich es zur besseren Vergleichbarkeit mit dem Eingang nach unten gedreht wieder.

Abbildung 3. Typ Schedel

Aufgrund des früheren Datums (1456/63) der Publikation von Schedel habe ich diesen Labyrinthtyp mit „Typ Schedel„ benannt. Gossembrot war mit dem Onkel von Hartmann, mit Hermann Schedel, befreundet. Die Handschrift von Gossembrot ist auf 1480 datiert. Allerdings ist die Labyrinthzeichnung bei Schedel eingeklebt. Sie könnte also auch nachträglich zu seiner Handschrift hinzugefügt worden sein. Es ist somit durchaus möglich, dass die Zeichnungen von Gossembrot die früheren sind und somit Gossembrot auch der Urheber dieses Labyrinth Typs war.

Literatur

  • Kern H. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel 1982, S. 177, Abb. 212

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Es gibt 42 verschiedene einachsige alternierende Labyrinthe mit 7 Umgängen. Darunter befindet sich ein Paar komplementäre interessante Labyrinthe. Wie steht es nun um Paare komplementärer uninteressanter Labyrinthe? Diese Frage wurde indirekt im letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) schon beantwortet: Es gibt keine! Das klingt erstaunlich. Deshalb greife ich es hier auf. Die 42 Labyrinthe bilden 21 komplementäre Paare. Eines davon enthält 2 interessante Labyrinthe. Bekanntlich gibt es 22 interessante Labyrinthe. Also bestehen die übrigen 20 Paare jeweils aus einem interessanten und einem uninteressanten Labyrinth. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig für ein Paar mit zwei uninteressanten Labyrinthen. Woran liegt das?

Wie wir gesehen haben, kann nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl ein Komplementäres gebildet werden (siehe verwandte Beiträge). Bei solchen Labyrinthen tritt der Weg immer auf einem ungeradzahligen Umgang ein und erreicht auch das Zentrum immer von einem ungeradzahligen Umgang aus. Bei einachsigen Labyrinthen kann der Weg auch nicht auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten, von dem er das Zentrum erreicht.

Bei uninteressanten Labyrinthen muss der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten oder das Ziel vom innersten Umgang aus erreichen. Das Komplementäre wird durch Spiegelung erzeugt. Dabei wird der äusserste zum innersten Umgang und umgekehrt. Tritt der Weg auf dem ersten Umgang ins originale Labyrinth ein, so ist es ein uninteressantes Labyrinth. Im komplementären Labyrinth tritt er auf dem innersten Umgang ein. Somit ist das Komplementäre kein uninteressantes Labyrinth, es sei denn, der Weg würde das Zentrum vom innersten Umgang aus erreichen. Das aber ist nicht möglich, weil er auf diesen Umgang eintritt. Das originale ist ein uninteressantes, aber das Komplementäre ein interessantes Labyrinth. Die andere Variante wäre, dass der Weg im originalen Labyrinth das Zentrum vom innersten Umgang erreicht. Dann aber erreicht im komplementären Labyrinth der Weg das Zentrum vom äussersten Umgang aus, was kein uninteressantes Labyrinth ist. Somit könnte das komplmentäre nur ein uninteressantes Labyrinth sein, wenn der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten würde. Was aber wiederum nicht geht, da der Weg von dort das Zentrum erreicht.

Diese Resultate gelten nur für einachsige Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen. Bei mehrachsigen Labyrinthen kann der Weg auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten und das Zentrum erreichen. Also kann er beispielsweise im originalen Labyrinth auf dem ersten Umgang eintreten und das Zentrum vom ersten Umgang aus erreichen. Dies wäre ein uninteressantes Labyrinth. Im Komplementären tritt er dann auf dem innersten Weg ein und erreicht das Zentrum auch vom innersten Umgang aus, was ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth wäre. Bei einachsigen Labyrinthen mit mehr als 7 Umgängen kann die Definition, was ein uninteressantes Labyrinth ist, erweitert werden. Es können dann nicht nur aussen oder innen triviale Umgänge an interessante Labyrinthe angehängt werden (wodurch uninteressante Labyrinthe entstehen). Es können dann auch bei den mittleren Umgängen zwischen zwei interssanten Elementen aussen und innen mehrere triviale Umgänge aneinandergereiht werden, was auch uninteressante Labyrinthe ergibt.

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Ich habe schon auf uninteressante und interessante Labyrinthe hingewiesen (siehe verwandte Beiträge, unten). Uninteressante Labyrinthe werden dadurch erzeugt, dass einfach zusätzliche triviale Umgänge aussen oder innen an kleinere Labyrinthe angehängt werden. Interessante Labyrinthe können so nicht erzeugt werden. Das bedeutet insbesondere, dass bei einem interessanten Labyrinth der Weg nicht auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth einbiegt oder vom innersten Umgang ins Zentrum abbiegt. Das Duale eines interessanten Labyrinths ist auch ein interessantes Labyrinth.

Das ist anders, wenn man zu einem interessanten Labyrinth das Komplementäre bildet. Dabei kann sehr wohl ein uninteressantes Labyrinth entstehen. Komplementäre Labyrinthe gibt es nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl. Beim Komplementären wird das Muster des Ausgangslabyrinths vertikal gespiegelt ohne dass die Verbindungen vom Eingang ins Labyrinth und vom Labyrinth ins Zentrum unterbrochen werden. Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl haben immer einen mittleren Umgang. Beim Spiegeln bleibt der mittlere Umgang an seiner Stelle, während die übrigen Umgänge ihre Positionen symmetrisch darum vertauschen.

Abbildung 1. Spiegelung

In einem siebengängigen Labyrinth, z.B., ist der mittlere Umgang der mit der Nummer 4. Dieser bleibt bei der Spiegelung an seiner Stelle als Nummer 4. Der äusserste Umgang, Nummer 1, wird zum innersten und erhält die Nummer 7, Umgang 2 wird zu Umgang 6, Umgang 3 wird Umgang 5 und vice versa.

Wenn nun bei einem interessanten Labyrinth der Weg zuerst auf den innersten Umgang geht oder das Zentrum vom äussersten Umgang aus erreicht, dann ist das dazu komplementäre ein uninteressantes Labyrinth. Denn bei diesem geht der Weg zuerst auf den äussersten Umgang oder erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Es gibt also Paare von komplementären Labyrinthen, bei denen das eine uninteressant, das andere interessant ist und solche, bei denen beide interessant sind.

Nun will ich herausfinden, welches die Paare von interessanten komplementären Labyrinthen sind. Die Website von Tony Phillips liefert für dieses Vorhaben bestes Material. Auf einer Seite sind HIER die Seed Pattern (linke Figuren) und Muster (rechte Figuren) der interessanten alternierenden einachsigen Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen enthalten. Ich gebe die Seite deshalb hier in Abb. 2 wieder und gebe zu den mit den roten Buchstaben markierten Stellen noch folgende Erläuterungen dazu:

Abbildung 2. Interessante Labyrinthe

 

  • a) Tony zählt zu den Umgängen des Labyrinths noch die Aussenwelt (= 0) und das Zentrum (= Eins mehr als die Anzahl Umgänge) mit. Er nennt das die Tiefe der Labyrinthe. Diese ist als Zahl mit Doppelpunkt in der Abbildung angegeben. Ein Labyrinth der Tiefe 4 hat drei Umgänge, eines der Tiefe 6 hat 5 Umgänge usw.
  • b) Unter den beiden Figuren (Seed Pattern und Muster) steht jeweils die Umgangsfolge. Sie enthält auch die Null für die Aussenwelt und die Nummer für das Zentrum, hier mit roten Kästchen markiert. Die eigentliche Umgangsfolge ist die Zahlenfolge zwischen diesen Kästchen.
  • c) Wenn das Labyrinth selbstdual ist, steht das als „s.d.“ hinter der Umgangsfolge vermerkt.
  • d) Ist das nicht der Fall, so ist trotzdem nur eines der beiden zu einander dualen Labyrinthe abgebildet, aber die Umgangsfolge des nicht abgebildeten steht in Klammern unter der Umgangsfolge des abgebildeten Labyrinths.
  • e) Die Muster sind so gezeichnet, dass der Weg von rechts oben nach links unten verläuft. Das ist anders als ich es handhabe. Ich zeichne das Muster von links oben nach rechts unten. Der Unterschied liegt darin, dass das zum Muster gehörende Labyrinth bei Tony gegen den Uhrzeigersinn, bei mir im Uhrzeigersinn dreht.
  • f) Betrachten wir nun alle interessanten (inkl. sehr interessanten) Labyrinthe mit 7 Umgängen, also alle ausser der ersten Zeile. Davon gibt es 22 (davon 6 sehr interessante). Abgebildet sind nur die Seed Pattern und Muster von 14 Labyrinthen. Die fehlenden 8 sind aber durch die in Klammern stehenden Umgangsfolgen repräsentiert.

Unter den interessanten Labyrinthen mit 7 Umgängen gibt es nur 2, bei denen der Weg nicht auf dem innersten Umgang ins Labyrinth eintritt und auch nicht vom äussersten Umgang das Zentrum erreicht. Und diese beiden bilden das einzige Paar zueinander komplementärer interessanter Labyrinthe. Wir kennen es schon aus dem ersten Beitrag zu dieser Serie. Es handelt sich um den Grundtyp (g) und das Labyrinth mit dem S-förmigen Wegverlauf (h).

Abbildung 3. Komplementäre und interessante Labyrinthe

Diese sind selbstdual, also sehr interessante Labyrinthe. Bei den übrigen 20 interessanten Labyrinthen ist das komplementäre jeweils ein uninteressantes Labyrinth.

Es gibt also 42 verschiedene alternierende Labyrinthe mit einer Achse und 7 Umgängen. Davon sind 8 Paare interessante duale Labyrinthe, 6 selbstduale sehr interessante Labyrinthe, aber nur gerade 1 Paar zu einander komplementäre interessante Labyrinthe. Auch gibt es keine zwei zueinander komplementäre interessante Labyrinthe mit weniger als 7 Umgängen.

Komplementäre Labyrinthe, bei denen beide auch noch interessante Labyrinthe sind, scheinen also selten und etwas Besonderes zu sein.

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Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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Die Schreibweise mit den Koordinaten ist einheitlich, verständlich und funktioniert für ein- und mehrachsige alternierende und nicht-alternierende Labyrinthe. Aber sie weist eine Eigenart auf. Während bei mehrachsigen Labyrinthen die Anzahl Segmente sich aus der Anzahl Achsen mal Umgänge ergibt, reicht dies bei einachsigen Labyrinthen nicht. Diese benötigen eine Einteilung zwei Segmente pro Umgang. Und damit gleich viele Segmente wie zweiachsige Labyrinthe mit der gleichen Umgangszahl.

Ich zeige das hier am Beispiel eines zweiachsigen Labyrinths mit 7 Umgängen.

Dies ist ein Labyrinth, das ich im Verlaufe meiner Forschungen über das Labyrinth vom Typ Chartres und seine Weiterentwickungen entworfen habe.

Entsprechend der Anzahl Achsen und Umgänge hat dieses Labyrinth 14 Segmente. Seine Segmentfolge lautet:

Erinnern wir uns an die Segmentfolgen der einachsigen Labyrinthe aus dem letzten Beitrag. Zum Vergleich führe ich hier nochmals die Segmentfolge des Grundtyps an.

Auch diese hat 14 Zahlen und ist somit gleich lang wie die des zweiachsigen Labyrinths.

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