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Ich habe schon auf uninteressante und interessante Labyrinthe hingewiesen (siehe verwandte Beiträge, unten). Uninteressante Labyrinthe werden dadurch erzeugt, dass einfach zusätzliche triviale Umgänge aussen oder innen an kleinere Labyrinthe angehängt werden. Interessante Labyrinthe können so nicht erzeugt werden. Das bedeutet insbesondere, dass bei einem interessanten Labyrinth der Weg nicht auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth einbiegt oder vom innersten Umgang ins Zentrum abbiegt. Das Duale eines interessanten Labyrinths ist auch ein interessantes Labyrinth.

Das ist anders, wenn man zu einem interessanten Labyrinth das Komplementäre bildet. Dabei kann sehr wohl ein uninteressantes Labyrinth entstehen. Komplementäre Labyrinthe gibt es nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl. Beim Komplementären wird das Muster des Ausgangslabyrinths vertikal gespiegelt ohne dass die Verbindungen vom Eingang ins Labyrinth und vom Labyrinth ins Zentrum unterbrochen werden. Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl haben immer einen mittleren Umgang. Beim Spiegeln bleibt der mittlere Umgang an seiner Stelle, während die übrigen Umgänge ihre Positionen symmetrisch darum vertauschen.

Abbildung 1. Spiegelung

In einem siebengängigen Labyrinth, z.B., ist der mittlere Umgang der mit der Nummer 4. Dieser bleibt bei der Spiegelung an seiner Stelle als Nummer 4. Der äusserste Umgang, Nummer 1, wird zum innersten und erhält die Nummer 7, Umgang 2 wird zu Umgang 6, Umgang 3 wird Umgang 5 und vice versa.

Wenn nun bei einem interessanten Labyrinth der Weg zuerst auf den innersten Umgang geht oder das Zentrum vom äussersten Umgang aus erreicht, dann ist das dazu komplementäre ein uninteressantes Labyrinth. Denn bei diesem geht der Weg zuerst auf den äussersten Umgang oder erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Es gibt also Paare von komplementären Labyrinthen, bei denen das eine uninteressant, das andere interessant ist und solche, bei denen beide interessant sind.

Nun will ich herausfinden, welches die Paare von interessanten komplementären Labyrinthen sind. Die Website von Tony Phillips liefert für dieses Vorhaben bestes Material. Auf einer Seite sind HIER die Seed Pattern (linke Figuren) und Muster (rechte Figuren) der interessanten alternierenden einachsigen Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen enthalten. Ich gebe die Seite deshalb hier in Abb. 2 wieder und gebe zu den mit den roten Buchstaben markierten Stellen noch folgende Erläuterungen dazu:

Abbildung 2. Interessante Labyrinthe

 

  • a) Tony zählt zu den Umgängen des Labyrinths noch die Aussenwelt (= 0) und das Zentrum (= Eins mehr als die Anzahl Umgänge) mit. Er nennt das die Tiefe der Labyrinthe. Diese ist als Zahl mit Doppelpunkt in der Abbildung angegeben. Ein Labyrinth der Tiefe 4 hat drei Umgänge, eines der Tiefe 6 hat 5 Umgänge usw.
  • b) Unter den beiden Figuren (Seed Pattern und Muster) steht jeweils die Umgangsfolge. Sie enthält auch die Null für die Aussenwelt und die Nummer für das Zentrum, hier mit roten Kästchen markiert. Die eigentliche Umgangsfolge ist die Zahlenfolge zwischen diesen Kästchen.
  • c) Wenn das Labyrinth selbstdual ist, steht das als „s.d.“ hinter der Umgangsfolge vermerkt.
  • d) Ist das nicht der Fall, so ist trotzdem nur eines der beiden zu einander dualen Labyrinthe abgebildet, aber die Umgangsfolge des nicht abgebildeten steht in Klammern unter der Umgangsfolge des abgebildeten Labyrinths.
  • e) Die Muster sind so gezeichnet, dass der Weg von rechts oben nach links unten verläuft. Das ist anders als ich es handhabe. Ich zeichne das Muster von links oben nach rechts unten. Der Unterschied liegt darin, dass das zum Muster gehörende Labyrinth bei Tony gegen den Uhrzeigersinn, bei mir im Uhrzeigersinn dreht.
  • f) Betrachten wir nun alle interessanten (inkl. sehr interessanten) Labyrinthe mit 7 Umgängen, also alle ausser der ersten Zeile. Davon gibt es 22 (davon 6 sehr interessante). Abgebildet sind nur die Seed Pattern und Muster von 14 Labyrinthen. Die fehlenden 8 sind aber durch die in Klammern stehenden Umgangsfolgen repräsentiert.

Unter den interessanten Labyrinthen mit 7 Umgängen gibt es nur 2, bei denen der Weg nicht auf dem innersten Umgang ins Labyrinth eintritt und auch nicht vom äussersten Umgang das Zentrum erreicht. Und diese beiden bilden das einzige Paar zueinander komplementärer interessanter Labyrinthe. Wir kennen es schon aus dem ersten Beitrag zu dieser Serie. Es handelt sich um den Grundtyp (g) und das Labyrinth mit dem S-förmigen Wegverlauf (h).

Abbildung 3. Komplementäre und interessante Labyrinthe

Diese sind selbstdual, also sehr interessante Labyrinthe. Bei den übrigen 20 interessanten Labyrinthen ist das komplementäre jeweils ein uninteressantes Labyrinth.

Es gibt also 42 verschiedene alternierende Labyrinthe mit einer Achse und 7 Umgängen. Davon sind 8 Paare interessante duale Labyrinthe, 6 selbstduale sehr interessante Labyrinthe, aber nur gerade 1 Paar zu einander komplementäre interessante Labyrinthe. Auch gibt es keine zwei zueinander komplementäre interessante Labyrinthe mit weniger als 7 Umgängen.

Komplementäre Labyrinthe, bei denen beide auch noch interessante Labyrinthe sind, scheinen also selten und etwas Besonderes zu sein.

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Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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Die Schreibweise mit den Koordinaten ist einheitlich, verständlich und funktioniert für ein- und mehrachsige alternierende und nicht-alternierende Labyrinthe. Aber sie weist eine Eigenart auf. Während bei mehrachsigen Labyrinthen die Anzahl Segmente sich aus der Anzahl Achsen mal Umgänge ergibt, reicht dies bei einachsigen Labyrinthen nicht. Diese benötigen eine Einteilung zwei Segmente pro Umgang. Und damit gleich viele Segmente wie zweiachsige Labyrinthe mit der gleichen Umgangszahl.

Ich zeige das hier am Beispiel eines zweiachsigen Labyrinths mit 7 Umgängen.

Dies ist ein Labyrinth, das ich im Verlaufe meiner Forschungen über das Labyrinth vom Typ Chartres und seine Weiterentwickungen entworfen habe.

Entsprechend der Anzahl Achsen und Umgänge hat dieses Labyrinth 14 Segmente. Seine Segmentfolge lautet:

Erinnern wir uns an die Segmentfolgen der einachsigen Labyrinthe aus dem letzten Beitrag. Zum Vergleich führe ich hier nochmals die Segmentfolge des Grundtyps an.

Auch diese hat 14 Zahlen und ist somit gleich lang wie die des zweiachsigen Labyrinths.

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In einem früheren Beitrag „Typ oder Stil / 6“ (siehe verwandte Beiträge, unten) habe ich mich schon zur Umgangsfolge geäussert. Und zwei Gründe angeführt, warum ich sie nicht zur Benennung von Labyrinth Typen benutze.

  • Unter den einachsigen Labyrinthen entspricht nur bei den alternierenden Labyrinthen eine Umgangsfolge genau einem Wegverlauf. Zieht man auch nicht alternierende einachsige Labyrinthe in Betracht, (Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse kreuzt), kann es für die gleiche Umgangsfolge mehrere Wegführungen geben.
  • Bei mehrachsigen Labyrinthen wird die Umgangsfolge schnell lang und unübersichtlich.

Hier will ich auf den ersten Punkt näher eingehen. Und zwar deshalb, weil es eine ganz einfache Lösung gibt. Bei den einachsigen Labyrinthen steht in der Umgangsfolge für jeden Umgang eine Zahl. In der Praxis weisen die grossen dieser Labyrinthe kaum mehr als 15 – 17 Umgänge auf. Die meisten sind deutlich kleiner. Somit könnte man diese Labyrinthe ganz praktisch mit ihrer Umgangsfolge benennen. Aber es besteht das Problem der Mehrdeutigkeit. Erwin hat es in seinem Beitrag „Das klassische 7-gängige Labyrinth mit Achsquerung“ (siehe verwandte Beiträge, unten) aufgegriffen. Ich illustriere es hier und verwende dazu Bilder aus seinem Beitrag.

uf_3214765

Abbildung 1. Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5

In Abbildung 1 sieht man drei Labyrinthe mit der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5. Das erste Bild zeigt den alternierenden Kretischen Typ, das zweite und dritte Bild je ein nicht alternierendes Labyrinth mit der gleichen Umgangsfolge. Beim zweiten Bild quert der Weg die Achse, wenn er vom 1. auf den 4. Umgang wechselt. Beim dritten Bild quert er die Achse vom 4. auf den 7. Umgang. (Es gibt auch noch ein Labyrinth, bei dem der Weg sowohl vom 1. auf den 4. als auch vom 4. auf den 7. Umgang die Achse kreuzt). Wir haben also den einen alternierenden und mehrere nicht-alternierende Labyrinth Typen mit der gleichen Umgangsfolge vorliegen.

Nun gibt es eine einfache Lösung, dies in der Umgangsfolge zu berücksichtigen. Dazu muss man bedenken, dass die einzelnen Zahlen (nicht Ziffern) der Umgangsfolge getrennt sind. Diese Separierung kann man auf verschiedene Weise, mit Leerstelle, Komma, Semikolon u.a.m. machen. Diese Trennzeichen können nun auch benutzt werden, um anzugeben, wie es im nächsten Umgang weiter geht. Wir können also z.B. definieren: wenn der Weg vom einen auf den anderen Umgang die Richtung wechselt, trennen wir mit senkrechtem Strich. Geht der Weg in der gleichen Richtung weiter (und quert somit die Achse), trennen wir mit Bindestrich. Auf diese Weise können wir die Umgangsfolge soweit präzisieren, dass sie auch für nicht alternierende Labyrinthe eindeutig wird. Ich zeige das in Abb. 2 anhand der Bilder aus Abb. 1.

uf_3214765_mit_tz

Abbildung 2. Umgangsfolge mit Trennzeichen


Hier sehen wir zu jedem Labyrinth die entsprechende Umgangsfolge mit Trennzeichen. Die Folge der Zahlen ist überall 3 2 1 4 7 6 5. Aber, während das alternierende Kretische immer senkrechte Striche als Trennzeichen hat (da der Weg nach jedem Umgang die Richtung wechselt), hat die Umgangsfolge von Bild 2 zwischen 1 und 4 einen Bindestrich. Und die Umgangsfolge von Bild 3 hat einen Bindestrich zwischen 4 und 7.

Ja, man kann die Schreibweise noch vereinfachen, indem man die Zahlen mit Leerschlag trennt und nur dort, wo der Weg die Achse kreuzt, einen Bindestrich einfügt. Die Umgangsfolgen würden dann so aussehen:

für das 1. Bild: 3 2 1 4 7 6 5
für das 2. Bild: 3 2 1-4 7 6 5
für das 3. Bild: 3 2 1 4-7 6 5

Es kommt also nur darauf an, in der Umgangsfolge anzugeben, wo die Achse gekreuzt wird. Mit diesen Ergänzungen zur Umgangsfolge ist es nun möglich, jede Wegführung eindeutig zu bezeichnen und somit für jeden alternierenden und nicht alternierenden Labyrinth Typ einen Namen zu vergeben.

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Nochmals: Typ im Stil

Nun habe ich drei Beiträge benötigt, um alle Labyrinth Exemplare dieser Serie meinen Typen zuzuordnen. Hier folgt der letzte Teil.

Exemplare im Reims Stil

Reims 1

Reims 1

 

 

 

Typ Reims


Reims 2

Reims 2

 

 

 

Typ Reims


Reims 3

Reims 3

 

 

 

Typ Chartres


Reims 4

Reims 4

 

 

 

Typ Sneinton (Labyrinth fehlerhaft gezeichnet)


Reims 5

Reims 5

 

 

 

Typ Saffron Walden (Labyrinth fehlerhaft gezeichnet)


Exemplare im Knidos Stil

Knidos 1

Knidos 1

 

 

 

Typ Knossos


Knidos 2

Knidos 2

 

 

Kernlabyrinth vom Typ Rockcliffe Marsh, doppelspiralartiger Mäander (Erwins Typ 6 Mäander)


Knidos 3

Knidos 3

 

 

 

 

Kretischer Typ


Knidos 4

Knidos 4

 

 

 

 

Typ Otfrid


Übrige Exemplare

Andere 1

Andere 1

 

 

 

Typ Rockcliffe Marsh


Andere 2

Andere 2

 

 

 

 

Kretischer Typ


Andere 3

Andere 3

 

 

 

 

Kretischer Typ


Andere 4

Andere 4

 

 

 

 

Typ Al Qazwini


Andere 5

Andere 5

 

 

 

Typ Cakra Vyuh


Andere 6

Andere 6

 

 

 

Typ Liger


Andere 7

Andere 7

 

 

 

Typ Ely


Andere 8

Andere 8

 

 

 

Typ Kieser


Andere 9

Andere 9

 

 

 

 

Typ Gent


Wie schon in den beiden letzten Beiträgen ergibt sich auch hier ein ähnliches Bild. Die 18 Exemplare gehören 14 verschiedenen Typen an.

Wie man hier auch noch sehen kann, ist bei gewissen Labyrinthen das Muster schwierig zu bestimmen (Typ Liger, Typ Ely, Typ Kieser, Typ Gent). Darauf gehe ich hier nicht näher ein, weil das den Rahmen dieses Beitrags sprengen würde.

 

Verwendete Typen:

 

 

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Typ im Stil (Fortsetzung)

Hier will ich nun die Labyrinth Exemplare aus dem Beitrag Typ oder Stil / 9 ihren Labyrinth Typen zuordnen. Diese Exemplare waren ja nach Stilen gruppiert.

Die Exemplare im klassischen Stil

Klassisch 1

Klassisch 1

 

 

 

Typ Löwenstein 3


Klassisch 2

Klassisch 2

 

 

 

Typ Löwenstein 5a


Klassisch 3

Klassisch 3

 

 

 

Kretischer Typ


Klassisch 4

Klassisch 4

 

 

 

 

Typ Löwenstein 9b


Klassisch 5

Klassisch 5

 

 

 

Typ Hesselager


Klassisch 6

Klassisch 6

 

 

 

Typ Tibble


Die Exemplare im konzentrischen Stil

Konzentrisch 1

Konzentrisch 1

 

 

 

Kretischer Typ


Konzentrisch 2

Konzentrisch 2

 

 

 

Typ Hesselager


Konzentrisch 3

Konzentrisch 3

 

 

 

Typ Otfrid


Konzentrisch 4

Konzentrisch 4

 

 

 

Typ Chartres


Konzentrisch 5

Konzentrisch 5

 

 

 

Typ Gossembrot 51r


Konzentrisch 6

Konzentrisch 6

 

 

 

Typ Münster


Die Exemplare im Man-in-the-Maze Stil

MiM 1

MiM 1

 

 

 

Kretischer Typ


MiM 2

MiM 2

 

 

 

Typ Pima


MiM 3, MiM 4: keine Labyrinthe

 

Die Exemplare im Chartres Stil

Chartres 1

Chartres 1

 

 

 

Typ Chartres


Chartres 2

Chartres 2

 

 

 

Typ Trinity


Chartres 3

Chartres 3

 

 

 

Typ St. John


Chartres 4

Chartres 4

 

 

 

 

Typ Petit Chartres

Chartres 5: kein Labyrinth

 

Chartres 6

Chartres 6

 

 

 

Typ Grey’s Court


Um den Beitrag nicht zu überladen unterbreche ich hier und bringe die restlichen Exemplare im nächsten Beitrag.

Unter diesen Exemplaren hat es nun auch Figuren, die aus verschiedenen Gründen keine echten unikursalen Labyrinthe sind. Aus Platzgründen gehe ich hier nicht näher darauf ein und komme später einmal darauf zurück.

Die verwendeten Typen:

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