Die verwandten Labyrinthe

Das Thema der eng verwandten Labyrinthe wurde schon verschiedentlich auf diesem Blog behandelt. Ich bin bei der Herleitung des komplementären Labyrinths auf die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe gestossen. Dabei habe ich zum Basislabyrinth das Komplementäre gebildet und dann jeweils die zum Basislabyrinth und zum Komplementären dualen Labyrinthe (siehe: verwandte Beiträge 1, unten). Als viertes ergibt sich indirekt das zum Komplementären duale Labyrinth. Das ist nichts anderes als das gegenläufige Labyrinth.

Schon früher hat allerdings Richard Myers Shelton diese Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe publiziert°. In seinem Artikel hat er das Konzept der Gegenläufigkeit vorgestellt. Zum Basislabyrinth und zum gegenläufigen Labyrinth hat er dann die Dualen gebildet. So ergab sich als viertes indirekt das zum Gegenläufigen duale, d.i. das komplementäre Labyrinth.

Wir haben somit verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts vorliegen. Diesen will ich im Folgenden näher auf den Grund gehen und noch eine dritte Variante des gleichen Sachverhalts vorstellen. Ich gehe dafür wieder von dem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen aus, das ich schon für die Herleitung des komplementären Labyrinths verwendet habe. Das ist das zweite der acht verschiedenen alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen und das einfachste Labyrinth, für welches eine vollständige Gruppe von vier eng Verwandten existiert (verwandte Beiträge 2). Es ist das «Basislabyrinth» und hat die drei Verwandten, das „Duale“, das „Gegenläufige“ und das „Komplementäre“, wie in Abb. 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe

In Abb. 2 zeige ich, wie man direkt vom Basislabyrinth zu den anderen drei Labyrinthen kommt. Dafür wird das Muster des Labyrinths verwendet. Dieses wird als Ariadnefaden in der Rechteckform gewonnen (verwandte Beiträge 3). 

In der ersten Zeile wird die Herleitung des dualen Musters gezeigt. Dazu wird das Basismuster um 180 Grad gedreht. Die Verbindungen zur Aussenwelt (Dreieck) und zum Zentrum werden unterbrochen. Nach der Drehung werden die Enden wieder verbunden, aber die Verbindungen sind vertauscht.

Die zweite Zeile zeigt die Herleitung des gegenläufigen Musters. Dazu wird das Basismuster horizontal (an der Senkrechten) gespiegelt. Wieder werden die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum unterbrochen. Nach der Spiegelung zeigen die Enden in die falsche Richtung. Sie müssen umgeklappt werden, damit sie mit der Aussenwelt und dem Zentrum verbunden werden können. Diese beiden Vorgänge, Spiegeln und Umklappen sind im Symbol für das Gegenläufige kombiniert.

In der dritten Zeile wird die Herleitung des komplementären Musters gezeigt. Diese erfolgt durch vertikale Spiegelung (an der Waagrechten) des Basismusters. Auch hier werden die Verbindungen unterbrochen und müssen nach der Spiegelung umgeklappt werden. Das Symbol für die Herleitung des Komplements steht also wieder die beiden Vorgänge Spiegelung und Umklappen.

Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth

Dies sind die drei Operationen, mit denen aus dem Basislabyrinth das duale, gegenläufige und komplementäre Labyrinth abgeleitet werden können. Die direkte Anwendung von zwei dieser Operationen reicht, um indirekt die dritte zu bewirken. Damit kann die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Mehr dazu im nächsten Beitrag.

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

  1. Das komplementäre versus das duale Labyrinth
  2. Das komplementäre Labyrinth
  3. Vom Ariadnefaden zum Muster

Erwins Labyrinthe mit Dreifachbarrieren

Erwin hat in einem früheren Beitrag schon Labyrinthe mit zwei Achsen und Dreifachbarrieren gezeigt (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Die will ich nun verwenden und prüfen, ob sie mit meinen Verläufen und Sektormustern erklärt werden können und wie sie zusammengesetzt sind. Sie haben eine gerade Anzahl Achsen, also kommen nur die Verläufe AB oder CD in Frage. Erwins Labyrinthe müssen somit aus Kombinationen der Sektormuster A und B oder C und D bestehen. Mal schauen, ob die sich mit unseren Sektormustern identifizieren lassen. 

Abbildung 1 zeigt das erste Labyrinth von Erwin. Dieses hat einen Verlauf AB und ist aus zwei zu einander (horizontal) spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 1. Erstes Labyrinth – Verlauf AB

Auch das zweite Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf AB und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 2. Zweites Labyrinth – Verlauf AB

Das dritte Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf CD und ist wiederum aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt. Zudem ist es das Komplementäre zum zweiten Labyrinth.

Abbildung 3. Drittes Labyrinth – Verlauf CD

Erwins viertes Labyrinth, schliesslich, ist das Komplementäre zum ersten, hat also einen Verlauf CD und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 4. Viertes Labyrinth – Verlauf CD

Alle vier Labyrinthe von Erwin sind somit selbstgegenläufig. Das erste und zweite Labyrinth sind zwei von 16 möglichen Kombinationen des Verlaufs AB, das dritte und vierte zwei von 16 aus Verlauf CD.

Verwandte Beiträge

Die „Fehler“ in historischen Skandinavischen Labyrinthen

Dieser Gastbeitrag wurde freundlicherweise von Richard Myers Shelton zur Verfügung gestellt, als sich ein Gespräch über einen früheren Artikel entwickelte. Sein Beitrag:

Wessen Fehler?

Das Komplement des klassischen 7-gängigen Labyrinths wird in Erwins jüngstem Beitrag „Das komplementäre 7-gängige klassische Labyrinth“ (20. September 2020) hervorgehoben. Der Begriff „Komplement“ stammt von Andreas; siehe seinen Beitrag vom 2. Juli 2017. Das Komplement eines Labyrinths begeht die Umgänge in umgekehrter Reihenfolge: Das Komplement des klassischen Labyrinths zeichnet beispielsweise die Umgänge in der Reihenfolge 5-6-7-4-1-2-3-8 nach, genau umgekehrt der klassischen Reihenfolge 3-2-1-4-7-6-5-8. Fotos eines modernen Beispiels dieses Entwurfs am Rheinufer bei Duisburg sind in Erwins Beitrag enthalten.
Mein Kommentar zu dem Beitrag wies darauf hin, dass „komplementäre klassische“ historisch nicht unbekannt sind. Das Komplement des klassischen 15-gängigen Labyrinths in der Nähe von Borgo (heutzutage Porvoo, Finnland, etwa 50 km östlich von Helsinki) wurde von Johan Reinhold Aspelin in einem Brief an die Berliner Gesellschaft für Anthropologie, Ethnologie und Vorgeschichte beschrieben. (Der Brief ist im Bericht der Gesellschaft vom 17. November 1877 in der Zeitschrift für Ethnologie, Bd. 9, 1877, S. 439–442 enthalten.)
Dies ist eines von zwei Steinlabyrinthen in der Nähe von Borgo, die in Aspelins Brief erwähnt wurden. Das andere ist ein Labyrinth im baltischen Stil mit einer zentralen Spirale und einem separaten Ausgangsweg. Beide sind in dem Brief dargestellt und in den Abbildungen 2 und 3 von Nigel Pennicks „European Troytowns“ (http: //www.cantab .net / users / michael.behrend / repubs / et / pages / pennick.html) wiedergegeben. Das komplementäre klassische von Borgo ist auch in Abb. 125, Seite 148, im Buch von Matthews „Mazes and Labyrinths“ dargestellt.

Abbildung 1: Aspelins Zeichnung des Borgo Labyrinths

Abbildung 1: Aspelins Zeichnung des Borgo Labyrinths

Das komplementäre Borgo Labyrinth weist jedoch eine Besonderheit auf, die in Aspelins Zeichnung leicht zu erkennen ist: Während es die beiden Mäander in umgekehrter Reihenfolge (zuerst innen, dann außen) nachzeichnet, führt der Weg nicht zum Zentrum. Stattdessen endet er im äußeren Mäander: Der äußerste Umgang 1 ist mit Umgang 7 anstelle von Umgang 6 verbunden; der Umgang 4 bietet daher kein Entrinnen und zwingt den Weg in eine Sackgasse. Tatsächlich enthält das Labyrinth einen großen Steinhaufen, der die linke Seite vollständig von jeglichem Zugang zum Zentrum isoliert. Der Unterschied lässt sich anhand der beiden folgenden Diagrammdarstellungen erkennen: eine für das komplementäre 15-gängige klassische Labyrinth und eine für das Borgo Labyrinth.

Abbildung 2: Diagrammdarstellung des komplementären 15-gängigen klassischen Labyrinths

Abbildung 2: Diagrammdarstellung des komplementären 15-gängigen klassischen Labyrinths

Anmerkung: Der Eingang liegt unten links, das Zentrum oben rechts (anders als in den Diagrammen von Andreas oder Erwin). Abbildung 2 ist selbst-dual.

Abbildung 3: Diagrammdarstellung des Borgo Labyrinths

Abbildung 3: Diagrammdarstellung des Borgo Labyrinths

In meinen Kommentaren habe ich die Sackgasse als Fehler bezeichnet; und Erwin und ich tauschten ein paar E-Mails darüber aus, ob der Fehler im Labyrinth selbst oder in Aspelins Zeichnung lag. Tatsächlich zeigen einige frühe Zeichnungen von Labyrinthen aus Skandinavien Merkmale, die wir häufig als Fehler betrachten – Pfade, die nicht zum Zentrum führen, oder verzweigte Pfade, die den Wanderer zwingen, eine Wahl zu treffen, oder sogar Teile des Pfades, die vollständig von außen isoliert sind (und manchmal auch von der Mitte).
Ein weiteres gutes Beispiel hierfür ist die bekannte Zeichnung von Karl Ernst von Baer aus dem Jahr 1844 des Steinlabyrinths auf der Insel Wier im Finnischen Meerbusen (heute bekannt als South Virgin Island). Dies hat eine Weggabelung, und während ein Weg zum Zentrum führt, endet der andere in einer Sackgasse ganz nah am Eingang.

Abbildung 4: von Baers Zeichnung des Wier Labyrinths

Abbildung 4: von Baers Zeichnung des Wier Labyrinths

Ich bezweifle, dass diese frühen Forscher in ihren Zeichnungen nachlässig waren. Im Gegenteil, sie versuchten ernsthaft, eine schnell verschwindende Vergangenheit vor dem Vergessen zu bewahren, indem sie diese Objekte sorgfältig für die Nachwelt aufzeichneten. Ich schließe daraus, dass diese Anomalien in den Labyrinthen selbst vorhanden waren. Wir sollten jedoch nicht zu dem Schluss kommen, dass das, was wir als Anomalien betrachten, Fehler sind. Stattdessen machen wir den „Fehler“: nämlich anzunehmen, dass die Menschen, die diese Labyrinthe gebaut haben, beabsichtigten, dass sie so laufen, wie wir sie heute gehen; davon auszugehen, dass jedes Labyrinth, das auf diese Weise nicht begehbar ist, falsch sein muss.
Einige der seltsamen Labyrinthe waren wahrscheinlich fehlerhaft. Ein Beispiel dafür, das mit einer gewissen Häufigkeit vorkommt, erhalten Sie, wenn Sie ein klassisches Labyrinth nach dem Grundmuster zeichnen, bei dem vergessen wird, die vier Punkte in den vier Winkeln einzubeziehen.
Und aus verschiedenen Berichten geht hervor, dass Labyrinthe in Deutschland und England tatsächlich oft dazu gedacht waren, zeremoniell oder in Wettbewerben oder Spielen begangen oder gelaufen zu werden, insbesondere im Zusammenhang mit Frühlingsfeiern am 1. Mai oder Ostern oder Pfingsten – und dass dieser Brauch später auch in Skandinavien auftauchte.
(In dieser Hinsicht ist es merkwürdig, dass Englisch und Deutsch die einzigen Sprachen sind, deren Wort für Ostern an die heidnische Göttin Ēostre erinnert, wie sie in Bede aufgezeichnet ist. Andere Sprachen beziehen sich auf die christliche Natur des Feiertags oder auf Pessach oder das Ende der Fastenzeit .)
Aber die Beweise und die Geschichten aus Skandinavien (und weiter östlich nach Estland und Russland) deuten auf einen dunkleren Zweck hin: Viele dieser Anlagen waren wahrscheinlich als Fallen gedacht und enthielten möglicherweise die Idee, die die Römer dazu veranlasste, Labyrinthe in der Nähe von Eingängen zu platzieren um das Böse abzuwehren.
Christer Westerdahls Artikel „The Stone Labyrinths of the North“ (Caerdroia 43, 2014) listet verschiedene Zusammenhänge auf, in denen Labyrinthe in dieser Weise gedacht waren: in der Nähe von Friedhöfen (um die Toten in ihren Gräbern zu halten), in der Nähe von alten Grabhügeln (um ihre Vorfahren und möglicherweise nichtmenschliche Bewohner zurückzuhalten), in der Nähe von Galgen (gegen die rachsüchtigen Geister hingerichteter Krimineller), entlang der Küste (gegen Trolle oder andere das Unglück anziehende Wesen, die versuchen, den Fischerbooten zu folgen, oder um ungünstige Winde und Strömungen in Schach zu halten).
Beispiele aus Island beeindrucken mich besonders. In „The Labyrinth in Iceland“ (Caerdroia 29, 1998) erzählen Jeff und Deb Saward von ihrer Suche nach allen aufgezeichneten isländischen Steinlabyrinthen. Sie fanden heraus, dass in Dritvík auf Snæfellsnes nur noch eines überlebte. Als die Sawards es sahen, war dieses Labyrinth stark bewachsen, aber inzwischen hat es jemand als typisches baltisches Labyrinth restauriert. Eine Zeichnung von Brynjúlfs Jónssonar aus der Zeit um 1900 zeigt jedoch einen anderen Verlauf mit vier getrennten Pfaden, von denen einige in Sackgassen enden und einer vollständig isoliert ist.

Abbildung 5: Jónssonars Grafik für Dritvik, ca. 1900

Abbildung 5: Jónssonars Grafik für Dritvik, ca. 1900

Die Sawards fanden auch drei Labyrinthe auf alten Holzbettbrettern, die im isländischen Nationalmuseum in Reykjavík aufbewahrt werden. Eines davon zeigt das klassische 7-gängige Design, aber zwei andere (NMI 3135 und NMI 5628) zeigen identische Zeichnungen mit isolierten Pfaden. Obwohl diese identischen Pläne nicht mit dem alten Dritvík-Plan identisch sind (weil sie zwei Umgänge mehr haben), zeigen sie dieselbe allgemeine Anordnung mit einem großen Mäander auf der einen Seite gegenüber zwei kleineren auf der anderen. Und in allen drei Fällen endet der Weg, der im großen Mäander endet, auch im Zentrum. Diese Merkmale sind eindeutig nicht zufällig; das gleiche allgemeine Gestaltungsprinzip (der „isländische Weg“?) war am Werk.

Abbildung 6: Grafik für NMI 3135

Abbildung 6: Grafik für NMI 3135

Abbildung 7: Grafik für NMI 5628

Abbildung 7: Grafik für NMI 5628

Warum überhaupt sollte man überhaupt Sackgassen oder isolierte Pfade einschließen? Die Geschichten scheinen darauf hinzudeuten, dass die gewöhnlichen klassischen oder baltischen Entwürfe als wirksam angesehen wurden, um Trolle lange genug zu verlangsamen, damit ein Boot sicher über das Wasser entkommen konnte.
Aber wenn das Design in seiner Konstruktion die Magie der „Unbegehbarkeit“ enthält, könnte es noch effektiver sein! Das Design selbst wird von der Eigenschaft des Einschlusses oder der Inhaftierung durchdrungen. Könnte es auf diese Weise nicht umso mächtiger werden, böse Dinge in Schach zu halten? Es würde sie nicht nur verlangsamen; es könnte sie festhalten!
Für uns heute scheint dies nicht ganz logisch. Aber Magie basiert jedoch nicht nur auf logischer Analogie. Unsere irrationalen Hoffnungen und Ängste vermischen sich ebenfalls. Betrachten Sie die Mauer im Borgo-Labyrinth: Die Sackgasse allein hätte die Trolle und Geister verlangsamen sollen. Warum diese massive Wand entlang der Seite des Mäanders hinzufügen? Logischerweise erscheint dies völlig überflüssig, da sich die Trolle und Geister einfach umdrehen und ihren Weg zurückverfolgen können, um herauszukommen. Aber irgendwie muss diese Mauer die Falle so viel sicherer erscheinen lassen.

– Richard Myers Shelton, 17. Dezember 2020

Das komplementäre (umgestellte) 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil

Die Darstellung im konzentrischen Stil habe ich in meinem letzten Beitrag (siehe Verwandte Artikel unten) beschrieben. Heute geht es um die Darstellung dieses Typs im Knidos Stil.

Die Umgangsfolge ist: 5-6-7-4-1-2-3-8. Das besondere daran ist, dass der Eintritt ins Labyrinth auf dem 5. Umgang erfolgt und der Eintritt ins Zentrum auf dem 3. Umgang.

Die Begrenzungslinien und der Ariadnefaden

Die Begrenzungslinien und der Ariadnefaden

Und trotzdem lässt sich dieser Typ auf die zentrale Achse ausrichten. Das wird nur möglich durch die Bearbeitung im Knidos Stil.

Zum ursprünglichen Labyrinth zurück komme ich mit der gleichen Methode, mit der ich auch zum komplementären Typ gelangt bin: Ich ergänze die Zahlenreihe der Umgangsfolge um die Differenz auf die letzte Ziffer (das Ziel). Also:
5-6-7-4-1-2-3-8
3-2-1-4-7-6-5-8
8-8-8-8-8-8-8-8
Das ist dann das originale, wohlbekannte klassische (kretische) Labyrinth.

Was bedeutet eigentlich der Knidos Stil?
Darunter verstehe ich vor allem, dass das Labyrinth ein größeres Zentrum erhält als nur eine Wegbreite, dass es möglichst kompakt ist und vor allem aus der Umgangsfolge entwickelt wird und nicht nach dem Grundmuster für die Begrenzungslinien. Es ist also der Ariadnefaden, der Weg im Labyrinth, der die Konstruktion bestimmt. Und diese muss geometrisch korrekt sein mit gleichbleibenden Wegbreiten, möglichst runden Elementen  und möglichst wenigen „Leerstellen“.

Hier in einer weiteren Grafik:

Das komplementäre Labyrinth im Knidos Stil

Das komplementäre Labyrinth im Knidos Stil

Hier die Zeichenanweisung für eine Art Prototyp zum skalieren für das Achsmaß von 1 m.

Die Konstruktionszeichnung

Die Konstruktionszeichnung

Und hier als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder downloaden.

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