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Posts Tagged ‘komplementär’

Jeweils vier Labyrinthe stehen in einer komplementären oder dualen Beziehung zueinander. Das drückt sich auch in den Umgangsfolgen aus. Erwin hat es in seinem Kommentar zu meinem vorletzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) schon bemerkt: Die Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe unter einander geschrieben addieren sich an jeder Position zu Eins mehr als die Anzahl der Umgänge. In der Abbildung 1 zeige ich, was das heisst.

Abbildung 1. Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe

Zuerst schreiben wir zu jedem Muster die entsprechende Umgangsfolge. Die Muster in der gleichen Spalte sind komplementär. Nun nehmen wir die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 2 und 4 und schreiben darunter die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 7 und 5. Dann addieren wir die unter einander stehenden Zahlen. Die Summe ist an jeder Stelle 6. Also 1 höher als die Anzahl 5 der Umgänge.

Nun gibt es noch einen Zusammenhang zwischen den Umgangsfolgen. Dieser wird in Abbildung 2 veranschaulicht.

Abbildung 2. Umgangsfolgen dual-komplementärer Labyrinthe

Die Umgangsfolgen der dual-komplementären Labyrinthe sind spiegelsymmetrisch. Hier werden also die beiden über Kreuz zueinander in Beziehung stehenden Labyrinthe betrachtet. Labyrinth 5 ist das Komplementäre zum Dualen (4), resp das Duale zum Komplementären (7), also das dual-komplementäre von Labyrinth 2. Diese Beziehung ist mit einer schwarzen Linie mit quadratischen Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind schwarz geschrieben. Schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 2 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 5 und umgekehrt (schwarze Umgangsfolgen).
Labyrinth 7 ist das Komplementäre zum Dualen (2), resp das Duale zum Komplementären (5), also das dual-komplementäre von Labyrinth 4. Dies wird mit einer grauen Linie mit runden Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind grau geschrieben. Auch hier gilt: schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 4 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 7 und vice versa.

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Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Das duale Labyrinth hat das gleiche Muster wie das originale Labyrinth, aber das Muster ist um einen Halbkreis gedreht und der Eingang und das Zentrum sind vertauscht. Darüber ist auf diesem Blog schon viel geschrieben worden (s. verwandte Beiträge, unten).

Nun gibt es noch eine andere Möglichkeit wie zwei Labyrinthe mit einem gleichen Muster in Beziehung stehen können. Bei dieser Art der Beziehung wird das Muster nicht rotiert, sondern vertikal gespiegelt. Auch werden – anders als bei der Beziehung der Dualität – der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht. Ich nenne diese Beziehung zwischen zwei Labyrinthen vorerst Komplementarität, um sie von der Beziehung der Dualität zu unterscheiden.

Hier zeige ich am Beispiel des bekanntesten Labyrinths, was gemeint ist.

Es handelt sich um das „Kretische“, „Klassische“, „Urlabyrinth“ oder wie auch immer genannte alternierende einachsige Labyrinth mit 7 Umgängen und der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5, das ich fortan den „Grundtyp“ nennen werde.

Abbildung 1. Das originale Labyrinth

Abbildung 1 zeigt diesen Typ im konzentrischen Stil.

Die Bilder (1-6) der folgenden Galerie (Abbildung 2) zeigen, wie man vom Muster des Grundtyps zum Muster des komplementären Typs gelangt.

Bild 1 zeigt das Muster des Grundtyps in der herkömmlichen Form. Im Bild 2 wird das Muster leicht anders gezeichnet. Damit werden die Verbindung von der Aussenwelt (markiert mit Pfeil nach unten) ins Labyrinth hinein und der Zugang zum Zentrum (markiert mit einem Punkt) etwas herausgehoben. Dies um zu zeigen, dass bei der Spiegelung des Musters der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht werden. Sie bleiben jeweils mit ihren Anschlussumgängen im Muster verbunden. In Bild 3 bis 5 wird nun die vertikale Spiegelung gezeigt, aufgeteilt in drei Zwischenschritte. Vertikales Spiegeln bedeutet Spiegeln entlang der Horizontalen. Oder auch Kippen der Figur um eine horizontale Achse – hier angedeutet mit der gestrichelten Linie. Man kann sich vorstellen, ein Drahtmodell des Musters (ohne Eingang, Zentrum und die grauen axialen Verbindungsstücke) werde um diese Achse rotiert, bis die Oberkante unten und dementsprechend die Unterkante oben liegt. Im originalen Labyrinth geht der Weg vom Eingang axial auf den dritten Umgang (Bild 3). Mit diesem Umgang bleibt der Eingang in den weiteren Schritten der Spiegelung verbunden (grau dargestellt in Bild 4, 5 und 6). Nach vollendeter Spiegelung ist dieser Umgang nun der fünfte Umgang geworden. Der Weg führt also nun zuerst auf den fünften Umgang (Bild 6) des komplementären Labyrinths. Ein Gleiches passiert auf der gegenüberliegenden Seite des Musters. Der Weg erreicht im Muster des originalen Labyrinths das Zentrum vom fünften Umgang aus. Dieser Umgang bleibt mit dem Zentrum verbunden. Nach der Spiegelung ist es der dritte Umgang.

Abbildung 3: Das komplementäre Labyrinth

Im Muster des komplementären Labyrinths finden wir einen Labyrinth Typ, der hier auf diesem Blog auch schon beschrieben worden ist (siehe verwandte Beiträge). Es ist eines der sechs sehr interessanten (alternierenden) Labyrinthe mit 1 Achse und 7 Umgängen. Und zwar dasjenige mit dem S-förmigen Wegverlauf.

Was also ist der Unterschied zwischen dem dualen und dem komplementären Labyrinth?

Erinnern wir uns daran: der Grundtyp ist selbstdual. Das Duale zum Grundtyp ist also wieder ein Grundtyp.

Das Komplementäre zum Grundtyp ist ein anderer Typ mit S-förmigem Wegverlauf.

Übrigens: In diesem Fall ist das Duale zum Komplementären wiederum das gleiche Komplementäre, da auch das zum Grundtyp Komplementäre selbstdual ist (sonst wäre es kein sehr interessantes Labyrinth).

Das eröffnet nun sehr interessante Perspektiven.

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