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Wie das Labyrinth von Ravenna ist auch das Wielandshaus Labyrinth ein historischer Labyrinth Typ mit 4 Achsen und 7 Umgängen. Es gibt sogar 2 verschiedene Wielandshaus-Labyrinthe (Abbildung 1).

Abbildung 1. Die beiden Typen Wielandshaus

Ich habe sie mit Wielandshaus 1 und Wielandshaus 2 benannt. Wielandshaus 1 stammt aus einer Handschrift des frühen 14. Jh., Wielandshaus 2 aus einer Handschrift des 15. Jh., beide von Island. Das kann man gut in Kern nachlesen. Ich beziehe mich im folgenden auf Wielandshaus 1.

Bei diesem Labyrinth Typ tritt der Weg nicht auf dem ersten Umgang ein und erreicht auch nicht das Zentrum vom letzten Umgang aus. Somit ist es ein interessantes Labyrinth. Und auch das dazu komplementäre ist ein interessantes Labyrinth. Aber das ist nicht der wichtigste Grund, warum ich diesen Labyrinth Typ und seine Verwandten hier zeige. Anders als beim Labyrinth von Ravenna, zu dem keine verwandten Labyrinthe bekannt sind, gibt es zu jedem Verwandten des Wielandshaus Labyrinths einen zeitgenössischen Labyrinth Typen.

In Abb. 2 sind die Muster des originalen Labyrinths vom Typ Wielandshaus (a), des dazu dualen (b), komplementären (c) und komplementär-dualen (d) wiedergegeben.

Abbildung 2. Die Verwandten des Typs Wielandshaus – Muster

Das originale (a) und duale (b) sind interessante Labyrinthe. Die dazu Komplementären (c) und (d) sind ebenfalls interessante Labyrinthe.

Abbildung 3 zeigt die den Mustern entsprechenden Labyrinthe in der Grundform mit den Begrenzungsmauern auf konzentrischem Grundriss und im Uhrzeigersinn drehend.

Abbildung 3. Die Verwandten des Typs Wielandshaus – Grundform

Die Verwandten des Typs Wielandshaus (a) sind drei der sogenannten neo-mediaevalen Labyrinth Typen (es gibt noch weitere neo-mediaevale Typen). Diese Verwandten sind: das Duale (b) = „Petit Chartres“ , das Komplementäre (c) = „ Santa Rosa“ und das komplementär-duale (d) = „World Peace“ Labyrinth.

Man kann also diese zeitgenössischen Verwandten einfach durch Drehen oder Spiegeln des Musters von Wielandshaus generieren. Damit will ich aber nicht behaupten, diese drei Labyrinth Typen seien von ihren Designern auf diese Weise absichtlich oder wissentlich aus dem Typ Wielandshaus abgeleitet worden. Ja, die vorhandenen Belege sprechen im Gegenteil dafür, dass sie in naiver Weise, d.h. ohne dass die Designer Kenntnis vom Zusammenhang mit dem Labyrinth vom Typ Wielandshaus hatten, entworfen worden sind. Aber faktisch sind sie dessen Verwandte.

Der Typ Wielandshaus hat zwar auf den ersten Blick gewisse Ähnlichkeiten mit dem Typ Chartres. Aber er ist nicht selbstdual und seine Wegführung folgt einem anderen Prinzip.  Und das gilt auch für seine Verwandten. Der Name „Petit Chartres“ scheint mir deshalb ungünstig gewählt. Er scheint wohl daher zu kommen, dass dieser Labyrinth Typ ursprünglich im Chartres Stil ausgeführt worden ist. Somit sieht es so aus, als wäre dieser Typ nach seinem Stil benannt worden.

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Auch bei mehrachsigen Labyrinthen kommt es oft vor, dass ein Labyrinth interessant und das komplementäre uninteressant ist. Ein solches Beispiel ist das Labyrinth vom Typ Ravenna (Abbildung 1).

Abbildung 1. Das Labyrinth von Ravena

Dieses Labyrinth hat 4 Achsen und 7 Umgänge. Der Weg tritt auf dem innersten Umgang ein und erreicht das Zentrum vom fünften Umgang aus. Es ist somit ein interessantes Labyrinth. Der Labyrinth Typ ist nach dem Exemplar aus der Kirche San Vitale in Ravenna benannt. Speziell an diesem Exemplar ist die grafische Gestaltung des Weges. Dieser ist durch eine Folge von nach auswärts zeigenden Dreiecken markiert. Dadurch wird die Richtung aus dem Labyrinth heraus stark betont. Das steht im Gegensatz zur Weise wie wir gewöhnlich an ein Labyrinth herangehen und fordert geradezu heraus, das duale zu diesem Labyrinth aufzusuchen. Denn der Wegverlauf aus einem (originalen) Labyrinth heraus entspricht dem Wegverlauf in das duale Labyrinth hinein.

Als Verwandte eines (originalen) Labyrinths bezeichne ich das dazu duale, komplementäre und komplementär-duale Labyrinth. In Abb. 2 sind die Muster des originalen Labyrinths vom Typ Ravenna (a), des dualen (b), komplementären (c) und komplementär-dualen (d) wiedergegeben.

Abbildung 2. Die Verwandten des Typs Ravenna – Muster

Das originale (a) und duale (b) sind interessante Labyrinthe. Die dazu komplementären sind uninteressante Labyrinthe, da in diesen der Weg auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt (c) oder vom letzten Umgang aus das Zentrum erreicht (d). Das duale zu einem interessanten Labyrinth ist immer auch ein interessantes, das duale zu einem uninteressanten immer ein uninteressantes Labyrinth.

Abbildung 3 zeigt die den Mustern entsprechenden Labyrinthe in der Grundform mit den Begrenzungsmauern auf konzentrischem Grundriss und im Uhrzeigersinn drehend. Aktuell ist mir kein Exemplar eines zum Typ Ravenna (a) dualen (b), komplementären (c) oder komplementär-dualen (d) Labyrinths bekannt.

Abbildung 3. Die Verwandten des Typs Ravenna – Grundform

Aus diesen Grundformen sieht man gut, dass es seine Berechtigung hat, das komplementäre und das komplementär-duale Labyrinth als uninteressant zu bezeichnen. Die äusserste (Labyrinth c), respektive innerste (Labyrinth d) Begrenzungsmauer scheinen durchbrochen. Die Labyrinthe c und d wirken unvollkommener als das originale (a) und duale (b) Labyrinth, bei denen der Weg axial ins Labyrinth eintritt und das Zentrum erreicht.

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Durch Drehen oder Spiegeln kommt man zu dualen und komplementären Labyrinthen bereits bestehender Labyrinthe. Oder anders ausgedrückt: Dadurch lassen sich weitere, neue Labyrinthe bilden.
So kann ich drei neue Labyrinthe erzeugen, denn vom neuen dualen Labyrinth kann ich wieder ein neues komplementäres erzeugen und vom neuen komplementären wieder ein neues duales, die aber identisch sind. (Genaueres darüber in den Verwandten Artikeln unten).

Unter diesen Aspekten habe ich die schon vorgestellten 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe im Knidos Stil genauer angeschaut und stelle hier die für mich interessantesten Varianten vor. Denn nicht alle der möglichen dualen oder komplementären Exemplare scheinen bemerkenswert.

Viele, vor allem komplementäre, würden mit dem ersten Umgang beginnen und dem letzten zum Zentrum führen, was nicht so wünschenswert ist.

Auch durch Weglassen überflüssiger (trivialer) Umgänge lassen sich neue Exemplare generieren. Das trifft auf die beiden letzten Labyrinthe zu. Wenn Sie das erste mit dem letzten Exemplar vergleichen, sehen Sie zwei bemerkenswerte Labyrinthe: Das erste hat 12 Umgänge, das letzte 8 Umgänge; sie haben trotzdem einen ähnlichen Bewegungsverlauf.

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Unter den einachsigen Labyrinthen haben wir keine Paare von zueinander komplementären uninteressanten Labyrinthen gefunden (siehe verwandte Beiträge, unten). Bei mehrachsigen Labyrinthen gibt es aber solche Paare. Jedenfalls, wenn wir Labyrinthe als uninteressant bezeichnen, bei denen der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintritt oder vom innersten Umgang aus das Zentrum erreicht. Das wird am folgenden Beispiel gezeigt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Komplementäre uninteressante Labyrinthe

Das Labyrinth a hat 2 Achsen und 3 Umgänge. Der Weg tritt auf dem äussersten Umgang ein. Deshalb ist es ein uninteressantes Labyrinth. Der Weg erreicht das Zentrum vom äussersten Umgang aus.

Das Komplementäre davon, Labyrinth b, ist ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth. Hier tritt der Weg auf dem innersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus.

Das ist soweit nichts Besonderes. Aber hier kommt eine andere Besonderheit zum Vorschein. Wir sehen das, wenn wir auch noch die beiden Dualen dieser Labyrinthe betrachten. Dies wird in Abb. 2 auf die schon bekannte Art gezeigt.

Abbildung 2. Das duale und komplementäre Labyrinth sind gleich

Das zum Originalen (a) Duale (b) ist gleich dem Komplementären (c). Das zum Komplementären (c) Duale (d) ist gleich dem Originalen (a). Die beiden zu einander komplementär-dualen Labyrinthe sind gleich.

Dies gilt nun nicht für alle Paare von komplementären uninteressanten Labyrinthen. Aber es gibt noch andere Labyrinthe, bei denen das auch zutrifft. In Abb. 3 zeige ich zwei weitere solche Labyrinth Exemplare und ihre Muster (nur Originale). Auch bei diesen sind die komplementären gleich den dualen Labyrinthen.

Abbildung 3. Weitere Labyrinthe mit dieser Eigenschaft

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Unter den einachsigen Labyrinthen bis und mit 7 Umgängen gibt es keine zwei zu einander komplementäre uninteressante Labyrinthe. Das liegt daran, dass bei solchen Labyrinthen immer der Weg auf dem äussersten Umgang eintritt oder vom innersten Umgang das Zentrum erreicht (siehe verwandte Beiträge, unten). Aber es gibt uninteressante Labyrinthe mit mehr als 7 Umgängen bei denen dies nicht der Fall ist.

Um dies zu zeigen, beginne ich mit dem Beispiel des 11-gängigen Cakra-Vyuh Labyrinths (siehe verwandte Beiträge). Abbildung 1 zeigt dieses Labyrinth und sein Muster.

Abbildung 1. Das 11-gängige Cakra Vyuh Labyrinth

Wie man sieht, biegt der Weg auf dem ersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Man kann also den äussersten und innersten Umgang einfach abschneiden (graue Linien in der rechten Figur). Dann erhält man ein 9-gängiges Labyrinth, bei dem der Weg nicht auf dem äussersten Umgang einbiegt und auch nicht das Ziel vom innersten Umgang aus erreicht. Das Muster dieses Labyrinths ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2. Das Muster des 9-gängigen uninteressanten Labyrinths

Durch das Entfernen der grauen Umgänge verläuft das Muster nun von rechts oben nach links unten. Will man es in der gewohnten Weise darstellen, also von links oben nach rechts unten, muss man es horizontal spiegeln. Das ändert nichts am Muster und auch nichts an dem zugrunde liegenden Labyrinth, ausser, dass das Labyrinth seine Drehrichtung ändert (siehe verwandte Beiträge).

Obwohl nun der Weg auf dem 3. Umgang einbiegt und vom 7. Umgang aus das Zentrum erreicht, ist dies ein uninteressantes Labyrinth. Denn es besteht aus zwei Elementen vom Typ Knossos auf den Umgängen 1 – 3 und 7 – 9 (angedeutet mit Klammern in der rechten Figur) und drei dazwischen liegenden trivialen Umgängen 4, 5, 6 (mit Strichen angedeutet). Dieses Labyrinth ist zwar uninteressant, aber selbstdual.

Zwischenbemerkung: Dieses Labyrinth hat Ähnlichkeit mit dem allseits bekannten Grundtyp (vormals: Kretischen Typ). Aber der Grundtyp ist ein sehr interessantes (d.h. interessantes und selbstduales) Labyrinth.

Abbildung 3. Das Muster des Grundtyps

Er besteht, wie Abb. 3 zeigt, ebenfalls aus zwei Elementen vom Typ Knossos. Dazwischen liegt aber nur ein Umgang. Und dieser ist auch keineswegs trivial, sondern wird benötigt, um die beiden Elemente zu verbinden. Fügt man aber weitere Umgänge serpentinenförmig hinzu, entsteht dann ein uninteressantes Labyrinth.

Zurück zum uninteressanten Labyrinth mit 9 Umgängen. Wie sieht nun das dazu komplementäre Labyrinth aus? Ist es vielleicht auch ein uninteressantes Labyrinth?

Abbildung 4. Die beiden komplementären 9-gängigen Labyrinthe

Um das Komplementäre zu erhalten, spiegeln wir das originale Labyrinth vertikal und lassen die Verbindungen zur Aussenwelt und zum Zentrum bestehen. Der Weg tritt nun auf dem 7. Umgang ein und erreicht das Zentrum vom 3. Umgang aus. Die drei internen trivialen Umgänge sind nach wie vor erkennbar. Aber sie sind umhüllt von den axialen Wegstücken, die ins Labyrinth und zum Zentrum führen. So sind sie eine Ebene tiefer verschachtelt. Das führt nun dazu, dass dieses nicht ein uninteressantes, sondern ein interessantes, und, da selbstdual, ein sehr interessantes Labyrinth ist.

Es scheint also auch bei grösseren Labyrinthen keine zwei zu einander komplementäre uninteressante Labyrinthe zu geben.

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Wir wünschen allen Besuchern dieses Blogs frohe Weihnachten, einen guten Beschluss und ein gutes Neues Jahr!

Weihnachtsbaumlabyrinth

Das komplementäre 7-gängige kretische Labyrinth als Weihnachtsbaumlabyrinth

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Es gibt 42 verschiedene einachsige alternierende Labyrinthe mit 7 Umgängen. Darunter befindet sich ein Paar komplementäre interessante Labyrinthe. Wie steht es nun um Paare komplementärer uninteressanter Labyrinthe? Diese Frage wurde indirekt im letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) schon beantwortet: Es gibt keine! Das klingt erstaunlich. Deshalb greife ich es hier auf. Die 42 Labyrinthe bilden 21 komplementäre Paare. Eines davon enthält 2 interessante Labyrinthe. Bekanntlich gibt es 22 interessante Labyrinthe. Also bestehen die übrigen 20 Paare jeweils aus einem interessanten und einem uninteressanten Labyrinth. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig für ein Paar mit zwei uninteressanten Labyrinthen. Woran liegt das?

Wie wir gesehen haben, kann nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl ein Komplementäres gebildet werden (siehe verwandte Beiträge). Bei solchen Labyrinthen tritt der Weg immer auf einem ungeradzahligen Umgang ein und erreicht auch das Zentrum immer von einem ungeradzahligen Umgang aus. Bei einachsigen Labyrinthen kann der Weg auch nicht auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten, von dem er das Zentrum erreicht.

Bei uninteressanten Labyrinthen muss der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten oder das Ziel vom innersten Umgang aus erreichen. Das Komplementäre wird durch Spiegelung erzeugt. Dabei wird der äusserste zum innersten Umgang und umgekehrt. Tritt der Weg auf dem ersten Umgang ins originale Labyrinth ein, so ist es ein uninteressantes Labyrinth. Im komplementären Labyrinth tritt er auf dem innersten Umgang ein. Somit ist das Komplementäre kein uninteressantes Labyrinth, es sei denn, der Weg würde das Zentrum vom innersten Umgang aus erreichen. Das aber ist nicht möglich, weil er auf diesen Umgang eintritt. Das originale ist ein uninteressantes, aber das Komplementäre ein interessantes Labyrinth. Die andere Variante wäre, dass der Weg im originalen Labyrinth das Zentrum vom innersten Umgang erreicht. Dann aber erreicht im komplementären Labyrinth der Weg das Zentrum vom äussersten Umgang aus, was kein uninteressantes Labyrinth ist. Somit könnte das komplmentäre nur ein uninteressantes Labyrinth sein, wenn der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten würde. Was aber wiederum nicht geht, da der Weg von dort das Zentrum erreicht.

Diese Resultate gelten nur für einachsige Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen. Bei mehrachsigen Labyrinthen kann der Weg auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten und das Zentrum erreichen. Also kann er beispielsweise im originalen Labyrinth auf dem ersten Umgang eintreten und das Zentrum vom ersten Umgang aus erreichen. Dies wäre ein uninteressantes Labyrinth. Im Komplementären tritt er dann auf dem innersten Weg ein und erreicht das Zentrum auch vom innersten Umgang aus, was ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth wäre. Bei einachsigen Labyrinthen mit mehr als 7 Umgängen kann die Definition, was ein uninteressantes Labyrinth ist, erweitert werden. Es können dann nicht nur aussen oder innen triviale Umgänge an interessante Labyrinthe angehängt werden (wodurch uninteressante Labyrinthe entstehen). Es können dann auch bei den mittleren Umgängen zwischen zwei interssanten Elementen aussen und innen mehrere triviale Umgänge aneinandergereiht werden, was auch uninteressante Labyrinthe ergibt.

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