Wie sortiere ich eine Labyrinth-Gruppe?

Wo gehört ein Labyrinth hin? Und welche Verwandten hat es? Wie sortiere ich eigentlich die verwandten Labyrinthe einer Gruppe? Was gibt es da für Beziehungen? Oder: Wie finde ich die Verwandten in einer Gruppe?

Wenn ich da etwas mehr wissen will, nehme ich erst einmal ein beliebiges Labyrinth und erzeuge die weiteren Verwandten einer Gruppe durch Rückwärtszählen und Ergänzen der Ziffern der Umgangsfolgen. Dabei spielt es keine Rolle, ob ich zufällig das Basislabyrinth „erwische“ oder ein x-beliebiges Mitglied der Gruppe.

Als Beispiel nehme ich das in meinem letzten Beitrag als zweiten Vorschlag gewählte 11-gängige Labyrinth. Hier ist es in einer zentrierten Version im Knidos Stil zu sehen:

11-gängiges klassisches 7_9 Labyrinth
11-gängiges klassisches 7_9 Labyrinth

Die Umgangsfolge lautet: 0-7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9-12. Der Eintritt ins Labyrinth liegt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in das Zentrum erfolgt vom 9. Umgang aus. Daher rührt auch die Bezeichnung 7_9 Labyrinth.

Durch Rückwärtszählen (und vertauschen von 0 und 12) erzeuge ich das dazu gegenläufige Labyrinth: 0-9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7-12.

11-gängiges klassisches 9_7 Labyrinth
11-gängiges klassisches 9_7 Labyrinth

Der Eintritt ins Labyrinth liegt auf dem 9. Umgang, der ins Zentrum auf dem 7. Umgang.

Jetzt ergänze ich diese Umgangsfolge 9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7 auf die Ziffer 12, also das Zentrum.und erhalte als Wegfolge: 0-3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5-12. Das ergibt dann das dazugehörige komplementäre Exemplar.

11-gängiges klassisches 3_5 Labyrinth
11-gängiges klassisches 3_5 Labyrinth

Jetzt fehlt noch ein Labyrinth, denn bei den nicht selbst-dualen Typen gibt es vier verschiedene Versionen.
Dazu zähle ich am einfachsten wieder rückwärts (ich bilde also die dazugehörige gegenläufige Version) und erhalte von der Umgangsfolge 0-3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5-12 die Umgangsfolge: 0-5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3-12.
Wahlweise hätte ich aber durch Ergänzen der Ziffern der Wegfolge des obigen ersten Beispiels auf 12 das dazu komplementäre Exemplar produzieren können..

11-gängiges klassisches 5_3 Labyrinth
11-gängiges klassisches 5_3 Labyrinth

Der Eintritt in das Labyrinth geschieht auf dem 5. Umgang, der in das Zentrum vom 3. aus.


Jetzt habe ich lauter gegenläufige und komplementäre Exemplare produziert. Aber welches ist das Basislabyrinth und welches das duale? Und die „echten“ gegenläufigen und komplementären?

Das Sortieren erfolgt anhand der Umgangsfolgen. Das Basislabyrinth ist dasjenige, das mit der niedrigsten Ziffer beginnt: 0-3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5-12, kurz gesagt: das 3_5 Labyrinth, also unser drittes Beispiel oben.

Das nächste ist das gegenläufige, das 5_3 Labyrinth, das vierte Beispiel oben.

Danach folgt das duale, das 7_9 Labyrinth, das ist das erste Beispiel oben.

Das vierte ist das komplementäre Labyrinth, das 9_7 Labyrinth, das zweite Beispiel oben.

Die Reihenfolge ist also: B, G, D, K. Das ist unabhängig davon, wie das Labyrinth gebildet wurde, ob durch Rückwärtszählen oder durch Ergänzen der Umgangsfolgen.

Zum Abschluss dazu ein kurzer Ausschnitt aus der Arbeit von Yadina Clark, die gerade dabei ist, Grundlegendes über die Labyrinth Typologie zu erarbeiten:

Gruppen

Verwandte Labyrinthe DURCH BASIS-DUAL-GEGENLÄUFIG-KOMPLEMENTÄR BEZIEHUNGEN

Jedes beliebige Labyrinth in einer Gruppe kann als Ausgangspunkt für die Betrachtung dieser Beziehungen gewählt werden, aber die Standardanordnung der Gruppe beginnt mit der numerisch niedrigsten Ziffer der Umgangsfolge in der Basisposition.

Verwandte Artikel

Wie mache ich die verwandten Labyrinthe?

Ich verwende eine andere Methode, um die verwandten Labyrinthe zu generieren als Andreas. Aber ich bekomme das gleiche Ergebnis. So ergänzen wir uns.

Im Wesentlichen arbeite ich mit der Weg- oder Umgangsfolge, um die gewünschte Version eines bestimmten Labyrinths zu erhalten. Außerdem nehme ich die Wegfolge, um das Labyrinth zu konstruieren und nicht das Grundmuster.

Das Basis Labyrinth
Fig.1: Das Basis Labyrinth

Normalerweise nummeriere ich von außen nach innen (die linken Ziffern in blau), zusätzlich hier noch von innen nach außen (die rechten Ziffern in grün).
Die Wegfolge für das Basislabyrinth lautet hier: 0-1-2-5-4-3-6. „0“ steht für außen, „6“ steht hier für die Mitte. Wir haben ein 5-gängiges Labyrinth vor uns. „1“ bis „5“ sind die Nummern der Umgänge, daher die Umgangsfolge 1-2-5-4-3 (Fig. 1).


Um das duale Labyrinth zu erzeugen, verwende ich einfach die grünen Zahlen rechts im Basislabyrinth. Die Wegfolge ermittle ich, indem ich vom Zentrum aus nach außen gehe. Ich erhalte 6-3-2-1-4-5-0. Nun zeichne ich mit dieser Ziffernreihe ein Labyrinth, bei dem ich von außen zur Mitte gehe. Vorher ersetze ich aber „6“ durch „0“ und „0“ durch „6“, ich tausche gleichsam innen und außen. Die neue Wegfolge ist dann: 0-3-2-1-4-5-6 (Fig. 2).

Das duale Labyrinth
Fig. 2: Das duale Labyrinth zum Basis Labyrinth

Die linken Zahlen geben nun die Wegfolge an: 0-3-2-1-4-5-6. Wenn ich nun die grünen Ziffern auf der rechten Seite lese, erhalte ich natürlich wieder das Basislabyrinth.


Jetzt benutze ich eine andere Technik, um das gegenläufige Labyrinth zu erzeugen. Ich nehme die Umgangsfolge des dualen Labyrinths, hier: 3-2-1-4-5, und ergänze alle Zahlen zu „6“.
3-2-1-4-5 dual
3-4-5-2-1 ergänzt
———–
6-6-6-6-6
Die zweite Zeile, vervollständigt um „0“ für außen und „6“ für das Zentrum, ergibt die Wegfolge für das gegenläufige Labyrinth: 0-3-4-5-2-1-6 (Fig. 3).

Aber es gibt noch eine weitere Technik, um das zu erreichen: Ich kann die Umgangsfolge vom Basislabyrinth rückwärts lesen und wieder mit „0“ und „6“ komplettieren.
1-2-5-4-3 Basis
3-4-5-2-1 umgestellt
Die zweite Zeile, ergänzt durch „0“ für die Außenseite und „6“ für das Zentrum, ergibt auch die Wegfolge für das gegenläufige Labyrinth: 0-3-4-5-2-1-6 Fig. 3).

Das gegenläufige Labyrinth
Fig.3: Das gegenläufige Labyrinth zum Basis Labyrinth

Wenn ich nun die grünen Zahlen der rechten Seite nehme, erhalte ich das duale zum gegenläufigen Labyrinth, nämlich das komplementäre Labyrinth mit der Wegfolge: 0-5-4-1-2-3-6 (Fig. 4).


Aber auch hier gibt es die oben beschriebene Technik, um das komplementäre Labyrinth zu erhalten. Ich nehme das Basislabyrinth und ergänze die Ziffern seiner Wegfolge zu „6“.
1-2-5-4-3 Basis
5-4-1-2-3 ergänzt
———–
6-6-6-6-6
Die zweite Zeile, ergänzt durch „0“ für außen und „6“ für das Zentrum, ergibt die Wegfolge für das komplementäre Labyrinth: 0-5-4-1-2-3-6 (Fig. 4).

Ich kann auch das duale Labyrinth nehmen und die Umgangsfolge rückwärts lesen und wieder „0“ und „6“ hinzufügen.
3-2-1-4-5 dual
5-4-1-2-3 umgestellt
Die zweite Zeile, ergänzt mit Außen und Zentrum, ergibt ebenso die Wegfolge für das komplementäre Labyrinth: 0-5-4-1-2-3-6 (Fig. 4).

Das komplementäre Labyrinth
Fig.4: Das komplementäre Labyrinth zum Basis Labyrinth

Wenn ich nun die grünen Zahlen der rechten Seite nehme, erhalte ich das duale Labyrinth zu diesem komplementären Labyrinth, nämlich das gegenläufige Labyrinth mit der Wegfolge: 0-3-4-5-2-1-6 (Fig. 3).


Wir haben also drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, ein Labyrinth in ein anderes zu verwandeln, indem man die Umgangs- oder Wegfolge verwendet.

Es werden jedoch nur zwei Methoden benötigt, um die entsprechenden Labyrinthe zu erzeugen. Ich persönlich bevorzuge die Technik „Umstellen“ und die Technik „Ergänzen“.

Zuerst haben wir das Basislabyrinth (Fig. 1). Durch Umstellen der Wegfolge des Basislabyrinths 1-2-5-4-3 in 3-4-5-2-1 erhalte ich das gegenläufige Labyrinth (Fig. 3).
Dieses gegenläufige Labyrinth mit der Umgangsfolge 3-4-5-2-1 transformiere ich in das duale Labyrinth, indem ich die Umgangsfolge zu 3-2-1-4-5 ergänze (Fig. 2).
Dieses duale Labyrinth transformiere ich dann in das komplementäre Labyrinth, indem ich seine Umgangsfolge 3-2-1-4-5 in 5-4-1-2-3 für das komplementäre Labyrinth umstelle (Fig. 4).
Zur Kontrolle kann ich das Basislabyrinth auch in das komplementäre umwandeln, indem ich die Umgangsfolge 1-2-5-4-3 des Basislabyrinths in 5-4-1-2-3 (Fig. 4) für das komplementäre ergänze.

Alle diese Transformationsmethoden haben die gleiche Wirkung wie die Rotations- und Spiegelungstechniken von Andreas.

Verwandter Artikel

Die verwandten Labyrinthe

Das Thema der eng verwandten Labyrinthe wurde schon verschiedentlich auf diesem Blog behandelt. Ich bin bei der Herleitung des komplementären Labyrinths auf die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe gestossen. Dabei habe ich zum Basislabyrinth das Komplementäre gebildet und dann jeweils die zum Basislabyrinth und zum Komplementären dualen Labyrinthe (siehe: verwandte Beiträge 1, unten). Als viertes ergibt sich indirekt das zum Komplementären duale Labyrinth. Das ist nichts anderes als das gegenläufige Labyrinth.

Schon früher hat allerdings Richard Myers Shelton diese Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe publiziert°. In seinem Artikel hat er das Konzept der Gegenläufigkeit vorgestellt. Zum Basislabyrinth und zum gegenläufigen Labyrinth hat er dann die Dualen gebildet. So ergab sich als viertes indirekt das zum Gegenläufigen duale, d.i. das komplementäre Labyrinth.

Wir haben somit verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts vorliegen. Diesen will ich im Folgenden näher auf den Grund gehen und noch eine dritte Variante des gleichen Sachverhalts vorstellen. Ich gehe dafür wieder von dem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen aus, das ich schon für die Herleitung des komplementären Labyrinths verwendet habe. Das ist das zweite der acht verschiedenen alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen und das einfachste Labyrinth, für welches eine vollständige Gruppe von vier eng Verwandten existiert (verwandte Beiträge 2). Es ist das «Basislabyrinth» und hat die drei Verwandten, das „Duale“, das „Gegenläufige“ und das „Komplementäre“, wie in Abb. 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe
Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe

In Abb. 2 zeige ich, wie man direkt vom Basislabyrinth zu den anderen drei Labyrinthen kommt. Dafür wird das Muster des Labyrinths verwendet. Dieses wird als Ariadnefaden in der Rechteckform gewonnen (verwandte Beiträge 3). 

In der ersten Zeile wird die Herleitung des dualen Musters gezeigt. Dazu wird das Basismuster um 180 Grad gedreht. Die Verbindungen zur Aussenwelt (Dreieck) und zum Zentrum werden unterbrochen. Nach der Drehung werden die Enden wieder verbunden, aber die Verbindungen sind vertauscht.

Die zweite Zeile zeigt die Herleitung des gegenläufigen Musters. Dazu wird das Basismuster horizontal (an der Senkrechten) gespiegelt. Wieder werden die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum unterbrochen. Nach der Spiegelung zeigen die Enden in die falsche Richtung. Sie müssen umgeklappt werden, damit sie mit der Aussenwelt und dem Zentrum verbunden werden können. Diese beiden Vorgänge, Spiegeln und Umklappen sind im Symbol für das Gegenläufige kombiniert.

In der dritten Zeile wird die Herleitung des komplementären Musters gezeigt. Diese erfolgt durch vertikale Spiegelung (an der Waagrechten) des Basismusters. Auch hier werden die Verbindungen unterbrochen und müssen nach der Spiegelung umgeklappt werden. Das Symbol für die Herleitung des Komplements steht also wieder die beiden Vorgänge Spiegelung und Umklappen.

Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth
Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth

Dies sind die drei Operationen, mit denen aus dem Basislabyrinth das duale, gegenläufige und komplementäre Labyrinth abgeleitet werden können. Die direkte Anwendung von zwei dieser Operationen reicht, um indirekt die dritte zu bewirken. Damit kann die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Mehr dazu im nächsten Beitrag.

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

  1. Das komplementäre versus das duale Labyrinth
  2. Das komplementäre Labyrinth
  3. Vom Ariadnefaden zum Muster

Erwins Labyrinthe mit Dreifachbarrieren

Erwin hat in einem früheren Beitrag schon Labyrinthe mit zwei Achsen und Dreifachbarrieren gezeigt (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Die will ich nun verwenden und prüfen, ob sie mit meinen Verläufen und Sektormustern erklärt werden können und wie sie zusammengesetzt sind. Sie haben eine gerade Anzahl Achsen, also kommen nur die Verläufe AB oder CD in Frage. Erwins Labyrinthe müssen somit aus Kombinationen der Sektormuster A und B oder C und D bestehen. Mal schauen, ob die sich mit unseren Sektormustern identifizieren lassen. 

Abbildung 1 zeigt das erste Labyrinth von Erwin. Dieses hat einen Verlauf AB und ist aus zwei zu einander (horizontal) spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 1. Erstes Labyrinth - Verlauf AB
Abbildung 1. Erstes Labyrinth – Verlauf AB

Auch das zweite Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf AB und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 2. Zweites Labyrinth - Verlauf AB
Abbildung 2. Zweites Labyrinth – Verlauf AB

Das dritte Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf CD und ist wiederum aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt. Zudem ist es das Komplementäre zum zweiten Labyrinth.

Abbildung 3. Drittes Labyrinth - Verlauf CD
Abbildung 3. Drittes Labyrinth – Verlauf CD

Erwins viertes Labyrinth, schliesslich, ist das Komplementäre zum ersten, hat also einen Verlauf CD und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 4. Viertes Labyrinth - Verlauf CD
Abbildung 4. Viertes Labyrinth – Verlauf CD

Alle vier Labyrinthe von Erwin sind somit selbstgegenläufig. Das erste und zweite Labyrinth sind zwei von 16 möglichen Kombinationen des Verlaufs AB, das dritte und vierte zwei von 16 aus Verlauf CD.

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