Komplementäre und interessante Labyrinthe

Ich habe schon auf uninteressante und interessante Labyrinthe hingewiesen (siehe verwandte Beiträge, unten). Uninteressante Labyrinthe werden dadurch erzeugt, dass einfach zusätzliche triviale Umgänge aussen oder innen an kleinere Labyrinthe angehängt werden. Interessante Labyrinthe können so nicht erzeugt werden. Das bedeutet insbesondere, dass bei einem interessanten Labyrinth der Weg nicht auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth einbiegt oder vom innersten Umgang ins Zentrum abbiegt. Das Duale eines interessanten Labyrinths ist auch ein interessantes Labyrinth.

Das ist anders, wenn man zu einem interessanten Labyrinth das Komplementäre bildet. Dabei kann sehr wohl ein uninteressantes Labyrinth entstehen. Komplementäre Labyrinthe gibt es nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl. Beim Komplementären wird das Muster des Ausgangslabyrinths vertikal gespiegelt ohne dass die Verbindungen vom Eingang ins Labyrinth und vom Labyrinth ins Zentrum unterbrochen werden. Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl haben immer einen mittleren Umgang. Beim Spiegeln bleibt der mittlere Umgang an seiner Stelle, während die übrigen Umgänge ihre Positionen symmetrisch darum vertauschen.

Abbildung 1. Spiegelung

In einem siebengängigen Labyrinth, z.B., ist der mittlere Umgang der mit der Nummer 4. Dieser bleibt bei der Spiegelung an seiner Stelle als Nummer 4. Der äusserste Umgang, Nummer 1, wird zum innersten und erhält die Nummer 7, Umgang 2 wird zu Umgang 6, Umgang 3 wird Umgang 5 und vice versa.

Wenn nun bei einem interessanten Labyrinth der Weg zuerst auf den innersten Umgang geht oder das Zentrum vom äussersten Umgang aus erreicht, dann ist das dazu komplementäre ein uninteressantes Labyrinth. Denn bei diesem geht der Weg zuerst auf den äussersten Umgang oder erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Es gibt also Paare von komplementären Labyrinthen, bei denen das eine uninteressant, das andere interessant ist und solche, bei denen beide interessant sind.

Nun will ich herausfinden, welches die Paare von interessanten komplementären Labyrinthen sind. Die Website von Tony Phillips liefert für dieses Vorhaben bestes Material. Auf einer Seite sind HIER die Seed Pattern (linke Figuren) und Muster (rechte Figuren) der interessanten alternierenden einachsigen Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen enthalten. Ich gebe die Seite deshalb hier in Abb. 2 wieder und gebe zu den mit den roten Buchstaben markierten Stellen noch folgende Erläuterungen dazu:

Abbildung 2. Interessante Labyrinthe

 

  • a) Tony zählt zu den Umgängen des Labyrinths noch die Aussenwelt (= 0) und das Zentrum (= Eins mehr als die Anzahl Umgänge) mit. Er nennt das die Tiefe der Labyrinthe. Diese ist als Zahl mit Doppelpunkt in der Abbildung angegeben. Ein Labyrinth der Tiefe 4 hat drei Umgänge, eines der Tiefe 6 hat 5 Umgänge usw.
  • b) Unter den beiden Figuren (Seed Pattern und Muster) steht jeweils die Umgangsfolge. Sie enthält auch die Null für die Aussenwelt und die Nummer für das Zentrum, hier mit roten Kästchen markiert. Die eigentliche Umgangsfolge ist die Zahlenfolge zwischen diesen Kästchen.
  • c) Wenn das Labyrinth selbstdual ist, steht das als „s.d.“ hinter der Umgangsfolge vermerkt.
  • d) Ist das nicht der Fall, so ist trotzdem nur eines der beiden zu einander dualen Labyrinthe abgebildet, aber die Umgangsfolge des nicht abgebildeten steht in Klammern unter der Umgangsfolge des abgebildeten Labyrinths.
  • e) Die Muster sind so gezeichnet, dass der Weg von rechts oben nach links unten verläuft. Das ist anders als ich es handhabe. Ich zeichne das Muster von links oben nach rechts unten. Der Unterschied liegt darin, dass das zum Muster gehörende Labyrinth bei Tony gegen den Uhrzeigersinn, bei mir im Uhrzeigersinn dreht.
  • f) Betrachten wir nun alle interessanten (inkl. sehr interessanten) Labyrinthe mit 7 Umgängen, also alle ausser der ersten Zeile. Davon gibt es 22 (davon 6 sehr interessante). Abgebildet sind nur die Seed Pattern und Muster von 14 Labyrinthen. Die fehlenden 8 sind aber durch die in Klammern stehenden Umgangsfolgen repräsentiert.

Unter den interessanten Labyrinthen mit 7 Umgängen gibt es nur 2, bei denen der Weg nicht auf dem innersten Umgang ins Labyrinth eintritt und auch nicht vom äussersten Umgang das Zentrum erreicht. Und diese beiden bilden das einzige Paar zueinander komplementärer interessanter Labyrinthe. Wir kennen es schon aus dem ersten Beitrag zu dieser Serie. Es handelt sich um den Grundtyp (g) und das Labyrinth mit dem S-förmigen Wegverlauf (h).

Abbildung 3. Komplementäre und interessante Labyrinthe

Diese sind selbstdual, also sehr interessante Labyrinthe. Bei den übrigen 20 interessanten Labyrinthen ist das komplementäre jeweils ein uninteressantes Labyrinth.

Es gibt also 42 verschiedene alternierende Labyrinthe mit einer Achse und 7 Umgängen. Davon sind 8 Paare interessante duale Labyrinthe, 6 selbstduale sehr interessante Labyrinthe, aber nur gerade 1 Paar zu einander komplementäre interessante Labyrinthe. Auch gibt es keine zwei zueinander komplementäre interessante Labyrinthe mit weniger als 7 Umgängen.

Komplementäre Labyrinthe, bei denen beide auch noch interessante Labyrinthe sind, scheinen also selten und etwas Besonderes zu sein.

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4 Gedanken zu „Komplementäre und interessante Labyrinthe

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