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Komplementäre und uninteressante Labyrinthe

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Es gibt 42 verschiedene einachsige alternierende Labyrinthe mit 7 Umgängen. Darunter befindet sich ein Paar komplementäre interessante Labyrinthe. Wie steht es nun um Paare komplementärer uninteressanter Labyrinthe? Diese Frage wurde indirekt im letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) schon beantwortet: Es gibt keine! Das klingt erstaunlich. Deshalb greife ich es hier auf. Die 42 Labyrinthe bilden 21 komplementäre Paare. Eines davon enthält 2 interessante Labyrinthe. Bekanntlich gibt es 22 interessante Labyrinthe. Also bestehen die übrigen 20 Paare jeweils aus einem interessanten und einem uninteressanten Labyrinth. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig für ein Paar mit zwei uninteressanten Labyrinthen. Woran liegt das?

Wie wir gesehen haben, kann nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl ein Komplementäres gebildet werden (siehe verwandte Beiträge). Bei solchen Labyrinthen tritt der Weg immer auf einem ungeradzahligen Umgang ein und erreicht auch das Zentrum immer von einem ungeradzahligen Umgang aus. Bei einachsigen Labyrinthen kann der Weg auch nicht auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten, von dem er das Zentrum erreicht.

Bei uninteressanten Labyrinthen muss der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten oder das Ziel vom innersten Umgang aus erreichen. Das Komplementäre wird durch Spiegelung erzeugt. Dabei wird der äusserste zum innersten Umgang und umgekehrt. Tritt der Weg auf dem ersten Umgang ins originale Labyrinth ein, so ist es ein uninteressantes Labyrinth. Im komplementären Labyrinth tritt er auf dem innersten Umgang ein. Somit ist das Komplementäre kein uninteressantes Labyrinth, es sei denn, der Weg würde das Zentrum vom innersten Umgang aus erreichen. Das aber ist nicht möglich, weil er auf diesen Umgang eintritt. Das originale ist ein uninteressantes, aber das Komplementäre ein interessantes Labyrinth. Die andere Variante wäre, dass der Weg im originalen Labyrinth das Zentrum vom innersten Umgang erreicht. Dann aber erreicht im komplementären Labyrinth der Weg das Zentrum vom äussersten Umgang aus, was kein uninteressantes Labyrinth ist. Somit könnte das komplmentäre nur ein uninteressantes Labyrinth sein, wenn der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten würde. Was aber wiederum nicht geht, da der Weg von dort das Zentrum erreicht.

Diese Resultate gelten nur für einachsige Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen. Bei mehrachsigen Labyrinthen kann der Weg auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten und das Zentrum erreichen. Also kann er beispielsweise im originalen Labyrinth auf dem ersten Umgang eintreten und das Zentrum vom ersten Umgang aus erreichen. Dies wäre ein uninteressantes Labyrinth. Im Komplementären tritt er dann auf dem innersten Weg ein und erreicht das Zentrum auch vom innersten Umgang aus, was ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth wäre. Bei einachsigen Labyrinthen mit mehr als 7 Umgängen kann die Definition, was ein uninteressantes Labyrinth ist, erweitert werden. Es können dann nicht nur aussen oder innen triviale Umgänge an interessante Labyrinthe angehängt werden (wodurch uninteressante Labyrinthe entstehen). Es können dann auch bei den mittleren Umgängen zwischen zwei interssanten Elementen aussen und innen mehrere triviale Umgänge aneinandergereiht werden, was auch uninteressante Labyrinthe ergibt.

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Komplementäre und interessante Labyrinthe

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Ich habe schon auf uninteressante und interessante Labyrinthe hingewiesen (siehe verwandte Beiträge, unten). Uninteressante Labyrinthe werden dadurch erzeugt, dass einfach zusätzliche triviale Umgänge aussen oder innen an kleinere Labyrinthe angehängt werden. Interessante Labyrinthe können so nicht erzeugt werden. Das bedeutet insbesondere, dass bei einem interessanten Labyrinth der Weg nicht auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth einbiegt oder vom innersten Umgang ins Zentrum abbiegt. Das Duale eines interessanten Labyrinths ist auch ein interessantes Labyrinth.

Das ist anders, wenn man zu einem interessanten Labyrinth das Komplementäre bildet. Dabei kann sehr wohl ein uninteressantes Labyrinth entstehen. Komplementäre Labyrinthe gibt es nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl. Beim Komplementären wird das Muster des Ausgangslabyrinths vertikal gespiegelt ohne dass die Verbindungen vom Eingang ins Labyrinth und vom Labyrinth ins Zentrum unterbrochen werden. Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl haben immer einen mittleren Umgang. Beim Spiegeln bleibt der mittlere Umgang an seiner Stelle, während die übrigen Umgänge ihre Positionen symmetrisch darum vertauschen.

Abbildung 1. Spiegelung

In einem siebengängigen Labyrinth, z.B., ist der mittlere Umgang der mit der Nummer 4. Dieser bleibt bei der Spiegelung an seiner Stelle als Nummer 4. Der äusserste Umgang, Nummer 1, wird zum innersten und erhält die Nummer 7, Umgang 2 wird zu Umgang 6, Umgang 3 wird Umgang 5 und vice versa.

Wenn nun bei einem interessanten Labyrinth der Weg zuerst auf den innersten Umgang geht oder das Zentrum vom äussersten Umgang aus erreicht, dann ist das dazu komplementäre ein uninteressantes Labyrinth. Denn bei diesem geht der Weg zuerst auf den äussersten Umgang oder erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Es gibt also Paare von komplementären Labyrinthen, bei denen das eine uninteressant, das andere interessant ist und solche, bei denen beide interessant sind.

Nun will ich herausfinden, welches die Paare von interessanten komplementären Labyrinthen sind. Die Website von Tony Phillips liefert für dieses Vorhaben bestes Material. Auf einer Seite sind HIER die Seed Pattern (linke Figuren) und Muster (rechte Figuren) der interessanten alternierenden einachsigen Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen enthalten. Ich gebe die Seite deshalb hier in Abb. 2 wieder und gebe zu den mit den roten Buchstaben markierten Stellen noch folgende Erläuterungen dazu:

Abbildung 2. Interessante Labyrinthe

 

  • a) Tony zählt zu den Umgängen des Labyrinths noch die Aussenwelt (= 0) und das Zentrum (= Eins mehr als die Anzahl Umgänge) mit. Er nennt das die Tiefe der Labyrinthe. Diese ist als Zahl mit Doppelpunkt in der Abbildung angegeben. Ein Labyrinth der Tiefe 4 hat drei Umgänge, eines der Tiefe 6 hat 5 Umgänge usw.
  • b) Unter den beiden Figuren (Seed Pattern und Muster) steht jeweils die Umgangsfolge. Sie enthält auch die Null für die Aussenwelt und die Nummer für das Zentrum, hier mit roten Kästchen markiert. Die eigentliche Umgangsfolge ist die Zahlenfolge zwischen diesen Kästchen.
  • c) Wenn das Labyrinth selbstdual ist, steht das als „s.d.“ hinter der Umgangsfolge vermerkt.
  • d) Ist das nicht der Fall, so ist trotzdem nur eines der beiden zu einander dualen Labyrinthe abgebildet, aber die Umgangsfolge des nicht abgebildeten steht in Klammern unter der Umgangsfolge des abgebildeten Labyrinths.
  • e) Die Muster sind so gezeichnet, dass der Weg von rechts oben nach links unten verläuft. Das ist anders als ich es handhabe. Ich zeichne das Muster von links oben nach rechts unten. Der Unterschied liegt darin, dass das zum Muster gehörende Labyrinth bei Tony gegen den Uhrzeigersinn, bei mir im Uhrzeigersinn dreht.
  • f) Betrachten wir nun alle interessanten (inkl. sehr interessanten) Labyrinthe mit 7 Umgängen, also alle ausser der ersten Zeile. Davon gibt es 22 (davon 6 sehr interessante). Abgebildet sind nur die Seed Pattern und Muster von 14 Labyrinthen. Die fehlenden 8 sind aber durch die in Klammern stehenden Umgangsfolgen repräsentiert.

Unter den interessanten Labyrinthen mit 7 Umgängen gibt es nur 2, bei denen der Weg nicht auf dem innersten Umgang ins Labyrinth eintritt und auch nicht vom äussersten Umgang das Zentrum erreicht. Und diese beiden bilden das einzige Paar zueinander komplementärer interessanter Labyrinthe. Wir kennen es schon aus dem ersten Beitrag zu dieser Serie. Es handelt sich um den Grundtyp (g) und das Labyrinth mit dem S-förmigen Wegverlauf (h).

Abbildung 3. Komplementäre und interessante Labyrinthe

Diese sind selbstdual, also sehr interessante Labyrinthe. Bei den übrigen 20 interessanten Labyrinthen ist das komplementäre jeweils ein uninteressantes Labyrinth.

Es gibt also 42 verschiedene alternierende Labyrinthe mit einer Achse und 7 Umgängen. Davon sind 8 Paare interessante duale Labyrinthe, 6 selbstduale sehr interessante Labyrinthe, aber nur gerade 1 Paar zu einander komplementäre interessante Labyrinthe. Auch gibt es keine zwei zueinander komplementäre interessante Labyrinthe mit weniger als 7 Umgängen.

Komplementäre Labyrinthe, bei denen beide auch noch interessante Labyrinthe sind, scheinen also selten und etwas Besonderes zu sein.

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