Die Labyrinthe mit 2 echten Doppelbarrieren, 3 Achsen und 5 Umgängen

Es gibt 8 fünfachsige Labyrinthe mit nur echten Doppelbarrieren. Bei vier dieser Labyrinthe stehen in den Sektoren II – IV die Sektormuster in der Abfolge 3 8 3, bei den anderen vier in der Abfolge 8 3 8 (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Von diesen fünfachsigen ist es nur ein kleiner Sprung zu den entsprechenden dreiachsigen Labyrinthen. Man kann nämlich einfach zwei aufeinanderfolgende der mittleren drei Sektoren entfernen. Dann bleibt in der Mitte zwischen den beiden Sektoren neben der Hauptachse noch ein Sektor übrig.

Abbildung 1 zeigt, wie in den ersten vier Mustern die Abfolge von fünf auf drei Sektormuster reduziert wird. Die Sektormuster der Sektoren III und IV werden entfernt (schraffierte Fläche). Sektormuster Nr. 3 im Sektor II wird direkt mit Sektormuster Nr. 7 oder Nr. 8 aus dem bisherigen Sektor V verbunden (rote Linie). Dieses wird neu zum Muster für den dritten Sektor.

Abbildung 1. Verkürzung der Abfolge der Sektormuster von 3 8 3 auf Sektormuster 3

Dasselbe Vorgehen wird in Abb. 2 angewendet, um die zweite Abfolge 8 3 8 auf den mittleren Sektor mit dem Sektormuster Nr. 8 zu reduzieren.

Abbildung 2. Verkürzung der Abfolge der Sektormuster von 8 3 8 auf Sektormuster 8

In beiden Fällen ändert sich an der übrigen Anordnung der Muster nichts. Die Muster für die Sektoren III und IV werden einfach übersprungen.

Abbildung 3 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die durch Reduktion der ersten Abfolge gebildet wurden, in denen nun im mittleren Sektor das Sektormuster Nr. 3 steht.

Abbildung 3. Die vier dreiachsigen Labyrinthe mit dem Sektormuster Nr. 3 im Sektor II

Abbildung 4 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die durch Reduktion der zweiten Abfolge gebildet wurden, in denen nun im mittleren Sektor das Sektormuster Nr. 8 steht.

Abbildung 4. Die vier dreiachsigen Labyrinthe mit dem Sektormuster Nr. 8 im Sektor II


Wie bei den fünfachsigen Labyrinthen gibt es also auch 8 verschiedene dreiachsige Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren. Benannt sind sie nach der bekannten Regel (verwandte Beiträge 2). Der Name enthält also einen Grossbuchstaben, gefolgt von zwei horizontalen Strichen.

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Die Labyrinthe mit 4 echten Doppelbarrieren, 5 Achsen und 5 Umgängen

Bisher habe ich nur Sektorenlabyrinthe mit vier Achsen untersucht. Die echte Doppelbarriere stammt aber aus dem fünfachsigen Labyrinth Typ Gossembrot 51r. Bekanntlich ist das kein Sektorenlabyrinth und hat sieben Umgänge. Nun will ich einmal schauen, wieviele Sektorenlabyrinthe mit fünf Achsen und lauter echten Doppelbarrieren es gibt. Diese müssen fünf Umgänge haben. Somit kann man die gleichen sechs Sektormuster verwenden, wie für die vierachsigen Sektorenlabyrinthe.

Bei den vierachsigen Labyrinthen können nur zwei Sektormuster in allen Quadranten stehen, die Sektormuster Nr. 3 und Nr. 8. Vier Sektormuster können nur in Quadranten neben der Hauptachse stehen (verwandte Beiträge 2). Das ist nun auch bei fünfachsigen Labyrinthen nicht anders. Nur haben wir jetzt nicht vier Quadranten, sondern die fünf Sektoren I bis V mit Sektormustern zu belegen. Sektoren I und V liegen neben der Hauptachse. In den drei Sektoren II, III und IV dazwischen können nur Sektormuster Nr 3 oder Nr 8 platziert werden. Diese können nur in den Abfolgen 3 8 3 oder 8 3 8 angeordnet werden.

Abbildung 1 zeigt, wie die erste Abfolge mit Mustern für die Sektoren I und V ergänzt werden kann. In Sektor I können Sektormuster Nr. 5 oder Nr. 8 mit der Abfolge 3 8 3 verbunden werden. In Sektor V können Sektormuster Nr. 7 oder Nr 8. ergänzt werden.

Abbildung 1. Kombinationen mit der Abfolge 3 8 3 in den Sektoren II – IV

In Abb. 2 wird ersichtlich, wie die zweite Abfolge zu einem vollen fünfachsigen Labyrinth ergänzt werden kann. Hier können in Sektor I die Sektormuster Nr. 3 oder Nr. 4, in Sektor V die Sektormuster Nr. 2 oder Nr. 3 mit der dazwischen liegenden Abfolge 8 3 8 verbunden werden.

Abbildung 2. Kombinationen mit der Abfolge 8 3 8 in den Sektoren II – IV

Abbildung 3 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die aus der ersten Abfolge ( 3 8 3 von Abb. 1) gebildet werden können.

Abbildung 3. Muster und Labyrinthe mit der Abfolge 3 8 3 in den Sektoren II – IV

Abbildung 4 zeigt die vier Muster und zugehörigen Labyrinthe, die mit der zweiten Abfolge (8 3 8 von Abb. 2) gebildet werden können.

Abbildung 4. Muster und Labyrinthe mit der Abfolge 8 3 8 in den Sektoren II – IV


Wie bei den vierachsigen Labyrinthen gibt es also auch 8 verschiedene fünfachsige Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren. Obwohl sie nur fünf Umgänge haben, erinnern sie stark an den Typ Gossembrot 51 r. Wir können sie nach der gleichen Regel wie die vierachsigen Labyrinthe (verwandte Beiträge 1) benennen. Der Name enthält also einen Grossbuchstaben, gefolgt von Strichen. Aber, da diese Labyrinthe vier Nebenachsen haben, müssen nun zu jedem Grossbuchstaben vier Striche geschrieben werden. Die Striche geben an, wie die Sektoren verbunden sind. Wir haben hier ausschliesslich echte Doppelbarrieren mit direkten Verbindungen. Darum sind es zu jedem Grossbuchstaben vier horizontale Striche.

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Wie klassifiziere ich die Labyrinthe mit 3 Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen

Es gibt 64 Muster von Labyrinthen mit 3 echten oder unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Nur die wenigsten sind bisher in irgendeiner Form veröffentlicht. Und davon die meisten wohl in diesem Blog. Das älteste jedoch ist ein römisches Mosaiklabyrinth. Nun bin ich versucht, alle Exemplare, die im letzten Jahr in diesem Blog schon gezeigt worden sind, einem der 64 Muster zuordnen.

Bisher habe ich für die Muster folgende Namen verwendet:

  • A – H für die 8 Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren
  • A‘ – H‘ für die 8 Labyrinthe mit ausschliesslich unechten Doppelbarrieren.

Damit sind aber erst 16 der 64 Muster benannt. Diese Namen sind bei der Erarbeitung der letzten Beiträge entstanden. Um jedem der 64 Muster einen Namen zu geben, muss etwas systematischer vorgegangen werden. Die Benennung muss verfeinert werden. Dafür kann ich wieder auf das Baumdiagramm zurückgreifen (verwandte Beiträge 1). Das oberste Muster mit nur echten Doppelbarrieren habe ich mit D, das unterste mit nur unechten Doppelbarrieren mit D‘ benannt. Jetzt braucht es eine Differenzierung, die allen acht Mustern, also auch den übrigen sechs, eine eindeutige Bezeichnung gibt.

Abb. 1 zeigt (immer noch am Beispiel von Ausgangslabyrinth D) die Art und Abfolge der Verbindungen zwischen den Sektoren. Direkte Verbindungen (echte Doppelbarrieren) sind mit einem horizontalen (–), indirekte (unechte Doppelbarrieren) mit einem vertikalen (|) Strich gekennzeichnet. Diese Anordnung der Kombinationen ist nicht zufällig, sondern systematisch geordnet. Die oberste Kombination besteht nur aus direkten Verbindungen und enthält die Abfolge – – –. In der zweiten Kombination wird die letzte direkte Verbindung durch eine indirekte ersetzt, das ergibt die Abfolge – – |. Die dritte Kombination ersetzt die mittlere direkte Verbindung durch eine indirekte und resultiert in der Abfolge – | –. Die vierte Kombination bringt anstelle der direkten letzten und mittleren indirekte Verbindungen (– | |). Und so weiter.

Abbildung 1. Folge der Verbindungen


Ersetzen wir „–„ mit „0“ und „|“ mit „1“ , sehen wir, dass die Anordnung der Kombinationen einfach den binären Zahlen von 000 bis 111 entspricht. Und zwar sind es die ersten acht Zahlen von Null bis Sieben im Binärsystem geschrieben.

Abbildung 2. Anordnung der Kombinationen

Damit kann man die 8 Muster, die in Abb. 1 (ausgehend von Labyrinth D) gebildet worden sind, eindeutig bezeichnen. Und nicht nur das. Die Bezeichnung gibt auch Aufschluss darüber, wie die Sektoren miteinander verbunden sind. In dieser neuen Bezeichnung nenne ich das erste Muster D – – –. Das hiess vorher D. Das zweite Muster hatte noch keinen Namen und heisst nun D – – | usw. bis zum siebten Muster, die alle noch keine Namen hatten. Das unterste, achte Muster hiess bisher D‘ und heisst neu D | | |. Diese Systematik ist unabhängig vom Ausgangslabyrinth. Wir können sie für alle Labyrinthe A – H anwenden. Somit können wir alle 64 Muster eindeutig bezeichnen mit einem Grossbuchstaben gefolgt von drei horizontalen oder vertikalen Strichen.

Nun will ich einige konkrete Beispiele zuordnen.

Drei Labyrinth Exemplare können einem der Muster aus dem Baumdiagramm D zugeordnet werden. Das älteste ist das römische Mosaiklabyrinth vom Typ Avenches (verwandte Beiträge 5). Dieses hat das unterste Muster D | | | .

Das zweite Exemplar wurde von Erwin in seinem Beitrag vom August 2019 (verwandte Beiträge 4) vorgestellt und hat das oberste Muster D – – –.

Das dritte Exemplar ist das im Artikel vom Oktober 2019 gezeigte Labyrinth 233/270 von Mark Wallinger. Es hat das dritte Muster D – | – (verwandte Beiträge 2).

Abbildung 3. Labyrinthe der Gruppe D

 

Die Labyrinthe von Abb. 4 lassen sich keiner Variante von Ausgangslabyrinth D zuordnen. Sie sind alle Labyrinthe mit nur echten Doppelbarrieren. Das heisst, es sind jeweils die Ausgangslabyrinthe und obersten Muster von anderen Baumdiagrammen.

Das erste Labyrinth stammt aus Erwins Beitrag vom August 2019 und hat das Muster G – – – (verwandte Beiträge 4).

Das zweite Labyrinth aus dem Beitrag vom September 2019 von Erwin hat das Muster F – – – (verwandte Beiträge 3).

Das dritte ist das Labyrinth 10/270 von Mark Wallinger aus demselben Beitrag und hat das Muster A – – –. 

Abbildung 4. Klassifizierung von anderen Labyrinthen mit echten Doppelbarrieren

Das neue Sektorenlabyrinth in Abb. 5 aus Erwins Beitrag vom Oktober 2019 hat das Muster G – | – (verwandte Beiträge 2). Es ist das dritte Muster aus dem Baumdiagramm G, also eines der 48 Muster mit gemischten echten und unechten Doppelbarrieren.

Abbildung 5. Labyrinth der Gruppe G mit echten und unechter Doppelbarriere

Hingegen ist das in Ab. 6 gezeigte Labyrinth keinem der 64 Muster zuzuordnen, da es nicht an allen Nebenachsen Doppelbarrieren hat. Dieses Labyrinth stammt ebenfalls aus Erwins Beitrag vom September 2019 (verwandte Beiträge 3). Man sieht an diesem Beispiel gut, dass mit den Sektormustern Nr. 1 und Nr. 6 keine Doppelbarrieren gebildet werden können.

Abbildung 6. Kein Labyrinth mit nur Doppelbarrieren


Das war auch nicht die Absicht. Erwin wollte einfach alle acht Sektormuster einmal in einem Sektorenlabyrinth mit vier Achsen verwendet haben.


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Die Labyrinthe mit 3 unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen

Im letzten Beitrag habe ich gezeigt, dass es 64 Labyrinthe mit 3 echten und / oder unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen gibt (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Wieviele davon aber haben ausschliesslich unechte Doppelbarrieren?

Die Antwort auf diese Frage ist in dem Material aus dem letzten Beitrag eigentlich schon enthalten. Um das zu zeigen, greife ich nochmals auf die Baumdarstellung zurück (Abb. 1). Sie zeigt die Kombinationen ausgehend von Labyrinth D. Daraus sieht man, dass die oberste Kombination ein Muster mit lauter echten Doppelbarrieren (eben das Labyrinth D) ergibt. Dies ist das einzige der acht Muster mit nur echten Doppelbarrieren. Genauso ergibt die unterste Kombination das einzige Muster mit nur unechten Doppelbarrieren. Dieses will ich D‘ nennen. Die sechs dazwischen liegenden Kombinationen ergeben alle Muster mit echten und unechten Doppelbarrieren.

Abbildung 1. Kombinationen mit echten, unechten und gemischten Doppelbarrieren

Wenn wir also für alle Labyrinthe A – H gleich verfahren wie in Abb. 1 bei Labyrinth D, erhalten wir jedesmal eine unterste Kombination mit lauter unechten Doppelbarrieren. Diese Muster und die dazu gehörenden Labyrinthe sind in Abb. 2 abgebildet. Ich habe sie mit A‘ – H‘ benannt. Labyrinthe mit dem gleichen Grossbuchstaben gehören zum gleichen Baumdiagramm.

Abbildung 2. Die 8 Labyrinthe mit 3 unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen

Wir können somit feststellen, dass unter den 64 Labyrinthen mit 4 Achsen und 5 Umgängen

  • 8 Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren
  • 8 Labyrinthe mit ausschliesslich unechten Doppelbarrieren und
  • 48 Labyrinthe mit echten und unechten Doppelbarrieren

vorkommen.

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