Die verwandten Labyrinthe

Das Thema der eng verwandten Labyrinthe wurde schon verschiedentlich auf diesem Blog behandelt. Ich bin bei der Herleitung des komplementären Labyrinths auf die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe gestossen. Dabei habe ich zum Basislabyrinth das Komplementäre gebildet und dann jeweils die zum Basislabyrinth und zum Komplementären dualen Labyrinthe (siehe: verwandte Beiträge 1, unten). Als viertes ergibt sich indirekt das zum Komplementären duale Labyrinth. Das ist nichts anderes als das gegenläufige Labyrinth.

Schon früher hat allerdings Richard Myers Shelton diese Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe publiziert°. In seinem Artikel hat er das Konzept der Gegenläufigkeit vorgestellt. Zum Basislabyrinth und zum gegenläufigen Labyrinth hat er dann die Dualen gebildet. So ergab sich als viertes indirekt das zum Gegenläufigen duale, d.i. das komplementäre Labyrinth.

Wir haben somit verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts vorliegen. Diesen will ich im Folgenden näher auf den Grund gehen und noch eine dritte Variante des gleichen Sachverhalts vorstellen. Ich gehe dafür wieder von dem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen aus, das ich schon für die Herleitung des komplementären Labyrinths verwendet habe. Das ist das zweite der acht verschiedenen alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen und das einfachste Labyrinth, für welches eine vollständige Gruppe von vier eng Verwandten existiert (verwandte Beiträge 2). Es ist das «Basislabyrinth» und hat die drei Verwandten, das „Duale“, das „Gegenläufige“ und das „Komplementäre“, wie in Abb. 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe

In Abb. 2 zeige ich, wie man direkt vom Basislabyrinth zu den anderen drei Labyrinthen kommt. Dafür wird das Muster des Labyrinths verwendet. Dieses wird als Ariadnefaden in der Rechteckform gewonnen (verwandte Beiträge 3). 

In der ersten Zeile wird die Herleitung des dualen Musters gezeigt. Dazu wird das Basismuster um 180 Grad gedreht. Die Verbindungen zur Aussenwelt (Dreieck) und zum Zentrum werden unterbrochen. Nach der Drehung werden die Enden wieder verbunden, aber die Verbindungen sind vertauscht.

Die zweite Zeile zeigt die Herleitung des gegenläufigen Musters. Dazu wird das Basismuster horizontal (an der Senkrechten) gespiegelt. Wieder werden die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum unterbrochen. Nach der Spiegelung zeigen die Enden in die falsche Richtung. Sie müssen umgeklappt werden, damit sie mit der Aussenwelt und dem Zentrum verbunden werden können. Diese beiden Vorgänge, Spiegeln und Umklappen sind im Symbol für das Gegenläufige kombiniert.

In der dritten Zeile wird die Herleitung des komplementären Musters gezeigt. Diese erfolgt durch vertikale Spiegelung (an der Waagrechten) des Basismusters. Auch hier werden die Verbindungen unterbrochen und müssen nach der Spiegelung umgeklappt werden. Das Symbol für die Herleitung des Komplements steht also wieder die beiden Vorgänge Spiegelung und Umklappen.

Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth

Dies sind die drei Operationen, mit denen aus dem Basislabyrinth das duale, gegenläufige und komplementäre Labyrinth abgeleitet werden können. Die direkte Anwendung von zwei dieser Operationen reicht, um indirekt die dritte zu bewirken. Damit kann die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Mehr dazu im nächsten Beitrag.

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

  1. Das komplementäre versus das duale Labyrinth
  2. Das komplementäre Labyrinth
  3. Vom Ariadnefaden zum Muster

Andere Sektorenlabyrinthe mit 7 Umgängen

Mit den 42 Sektormustern lassen sich eine riesige Anzahl von verschiedenen Sektorenlabyrinthen mit 7 Umgängen erzeugen. Wollen wir nicht einfach beliebig Sektormuster kombinieren, müssen wir eine Idee für die Gestaltung haben und Bedingungen setzen, die den Bereich der möglichen Kombinationen einschränken. So ist die Verwendung von ausschliesslich Dreifachbarrieren an allen (Neben-) Achsen eine starke Einschränkung (siehe verwandte Beiträge 1).

Eine andere Einschränkung wäre, an jeder Nebenachse nur eine Einfach- und eine Doppelbarriere zu verwenden. Die Einfachbarriere belegt zwei, die Doppelbarriere vier Umgänge nebeneinander. Bleibt ein Umgang übrig für den Übergang vom einen in den nächsten Sektor. 

Nun können wir noch weiter einschränken und verlangen, dass die Einfachbarriere nicht direkt neben der Doppelbarriere liegen soll, also vermeiden, dass die Achsen wie in Abb. 1 aussehen. 

Abbildung 1. Einfach- neben Doppelbarriere

Dann muss der Übergang zwischen den Sektoren immer auf einem der Umgänge 3 oder 5 liegen. Sektormuster, die diese Kriterien an mindestens einer Seite erfüllen, habe ich in Abb. 2 identifiziert. Interessant ist, dass dies wieder bei 14 verschiedene Sektormustern der Fall ist. Davon bei 12 nur an einer Seite und bei 2 an beiden Seiten. 

Abbildung 2. Selektion der Muster mit Einfach- und Doppelbarrieren

Auch diese Sektormuster habe ich in Quadranten eingeordnet, je nach Sektor in dem sie stehen können und Umgang über den sie verbunden werden. Abbildung 3 zeigt, dass wir – mit anderen Sektormustern – genau die gleiche Ausgangslage haben wie schon bei den Dreifachbarrieren (verwandte Beiträge 1). Die Sektormuster, die in beiden Quadranten A und D stehen, entsprechen dem Muster des einachsigen klassischen Labyrinths. Die in beiden Quadranten C und B entsprechen dem dazu Komplementären mit dem S-förmigen Wegverlauf (verwandte Beiträge 2). Nur diese können in jedem Sektor stehen und für den inneren Verlauf verwendet werden.

Somit kann schon jetzt festgestellt werden, dass es unabhängig von der Anzahl Achsen für jede der vier Verlaufsmöglichkeiten AB, CD, CB und AD wiederum 16 verschiedene Muster gibt. Davon will ich jetzt nur 2 herausgreifen. Das erste ist ein selbstgegenläufiges 6 achsiges Labyrinth mit Verlauf AB (angezeigt mit einer Linie mit Bemassungsenden). Das zweite ist ein selbstduales Labyrinth mit fünf Achsen und einem Verlauf CB (angezeigt mit einer Linie mit Pfeilenden). 

Abbildung 3. Quadranten und ausgewählte Kombinationen für den ersten und letzten Sektor

Für die Erzeugung der Muster verbinde ich einfach Sektormuster so, dass die Grundlinien der roten Dreiecke aufeinander passen. Ich verzichte darauf, die Muster fertig zu zeichnen, da sie klar genug erkennbar sind und es mir um die Illustration / Hervorhebung der Methode der Kombination geht. Das Labyrinth mit 6 Achsen und dem Verlauf AB besteht überhaupt nur aus den beiden Sektormustern, die in jedem Sektor stehen können. Dies ist die einzige Möglichkeit, für den Verlauf AB ein selbstgegenläufiges Labyrinth zu bilden, bei dem nicht der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf dem äussersten oder innersten Umgang liegen. Solche sind aus meiner Sicht uninteressant. Dazu gibt es noch das Komplementäre, das den Verlauf CD hat. 

Abbildung 4. Labyrinth mit 6 Achsen und Verlauf AB

Abbildung 5 schliesslich zeigt das selbstduale fünfachsige Labyrinth, das entsteht, wenn man die beiden mit einer Linie mit Pfeilenden verbundenen Sektormuster aus den Quadranten C und B in den ersten und letzten Sektor einsetzt, und sie mit drei Sektormustern für den inneren Verlauf verbindet. Auch hier lässt sich ein selbstduales Labyrinth erzeugen, das nur die beiden inneren Sektormuster enthält. Darüberhinaus kann man aber noch ein weiteres selbstduales Labyrinth herstellen, bei dem der Weg auf dem innersten Umgang eintritt und vom äussersten Umgang das Ziel erreicht. Dieses Labyrinth ist in Abb. 5 dargestellt. Zusätzlich kann man zwei selbstduale Labyrinthe herstellen, bei denen der Eintritt auf dem äussersten und der Zugang zum Zentrum vom innersten Umgang aus erfolgen und die somit uninteressante Labyrinthe sind. 

Abbildung 5. Labyrinth mit 5 Achsen und Verlauf CBEi

Verwandte Beiträge:

  1. Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren
  2. Die sechs sehr interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen

Symmetrien bei Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarrieren

Abgesehen vom ersten und letzten Sektor gibt es nur vier Verläufe für Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Diese vier „inneren“ Verläufe haben besondere Eigenschaften. Die Verläufe AB und CD der Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen sind spiegelsymmetrisch (Abb. 1).

Abbildung 1. Spiegelsymmetrische Verläufe AB und CD

Das bedeutet, dass man durch Kombination von gegenläufigen Sektormustern für den ersten und letzten Sektor selbstgegenläufige Labyrinthe erzeugen kann.

Es gibt 4 Paare von gegenläufigen Sektormustern aus den Quadranten A und B, wie in Abb. 2 gezeigt.

Abbildung 2. Gegenläufige Sektormuster Quadranten A und B

Und ebenso gibt es 4 Paare von gegenläufigen Sektormustern aus Quadranten C und D (Abb. 3).

Abbildung 3. Gegenläufige Sektormuster Quadranten C und D

Jede dieser Kombinationen ergibt ein selbstgegenläufiges Labyrinth. Von den 16 möglichen Kombinationen für jeden Verlauf sind also 4 selbstgegenläufig. Das gilt unabhängig von der Anzahl Achsen, trifft also für Labyrinthe mit 2, 4, 6, 8, usf. Achsen zu.

Die Verläufe CB und AD der Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen sind rotationssymmetrisch (Abb. 4).

Abbildung 4. Rotationssymmetrische Verläufe AD und CB

Das bedeutet, dass man durch Kombination von dualen Sektormustern für den ersten und letzten Sektor selbstduale Labyrinthe erzeugen kann.

Die vier Paare von dualen Mustern aus Quadranten C und B zeigt Abb. 5

Abbildung 5. Duale Sektormuster Quadranten C und B

Und in Abb 6 sind die vier Paare von dualen Mustern der Quadranten A und D wiedergegeben.

Abbildung 6. Duale Sektormuster Quadranten A und D

Jede dieser Kombinationen ergibt ein selbstduales Labyrinth. Von den 16 möglichen Kombinationen für jeden Verlauf sind also 4 selbstdual. Das gilt unabhängig von der Anzahl Achsen, trifft also für Labyrinthe mit 3, 5, 7, 9, usf. Achsen zu.

Zum Schluss zeige ich in Abb. 7 noch ein selbstduales Labyrinth mit drei Achsen und dem Verlauf CB.

Abbildung 7. Selbstduales Labyrinth mit Verlauf CB und drei Achsen

Die gleiche Eigenschaft besitzen auch die Sektorenlabyrinthe mit echten Doppelbarrieren. Nur gibt es dort weniger Kombinationen überhaupt, nämlich für jeden Verlauf 4. Deshalb sind auch weniger selbstgegenläufige oder selbstduale Labyrinthe möglich, nämlich für jeden Verlauf 2.

Erwins Labyrinthe mit Dreifachbarrieren

Erwin hat in einem früheren Beitrag schon Labyrinthe mit zwei Achsen und Dreifachbarrieren gezeigt (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Die will ich nun verwenden und prüfen, ob sie mit meinen Verläufen und Sektormustern erklärt werden können und wie sie zusammengesetzt sind. Sie haben eine gerade Anzahl Achsen, also kommen nur die Verläufe AB oder CD in Frage. Erwins Labyrinthe müssen somit aus Kombinationen der Sektormuster A und B oder C und D bestehen. Mal schauen, ob die sich mit unseren Sektormustern identifizieren lassen. 

Abbildung 1 zeigt das erste Labyrinth von Erwin. Dieses hat einen Verlauf AB und ist aus zwei zu einander (horizontal) spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 1. Erstes Labyrinth – Verlauf AB

Auch das zweite Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf AB und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 2. Zweites Labyrinth – Verlauf AB

Das dritte Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf CD und ist wiederum aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt. Zudem ist es das Komplementäre zum zweiten Labyrinth.

Abbildung 3. Drittes Labyrinth – Verlauf CD

Erwins viertes Labyrinth, schliesslich, ist das Komplementäre zum ersten, hat also einen Verlauf CD und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 4. Viertes Labyrinth – Verlauf CD

Alle vier Labyrinthe von Erwin sind somit selbstgegenläufig. Das erste und zweite Labyrinth sind zwei von 16 möglichen Kombinationen des Verlaufs AB, das dritte und vierte zwei von 16 aus Verlauf CD.

Verwandte Beiträge