Ein zweites selbstduales Muster basierend auf dem Typ Gossembrot 51 r

Im letzten Beitrag habe ich gezeigt, wie das Muster des Sieben mal Sieben Labyrinth erzeugt wurde (siehe: Verwandte Beiträge unten). Den gleichen Vorgang kann man natürlich auch mit dem Teil auf der linken Seite des Mäanders durchführen. Das ergibt dann ein selbstduales Labyrinth mit drei Achsen.

In Abbildung 1 zeige ich die Vorbereitung. Das Muster des Labyrinth Typs Gossembrot 51r bildet den Ausgangspunkt (a) und ist grau dargestellt. Wieder isoliere ich zuerst das Segment mit dem Mäander (b). In einem zweiten Schritt nehme ich nun aber die Figur aus Segment I und stelle sie an die linke Seite von Segment II (c).

Abbildung 1. Vorbereitung

In Abb. 2 wird verkürzt die Erzeugung des Musters gezeigt. Hier beginnen wir in der mittleren Reihe bei den grau dargestellten Figuren (c). In einem dritten Schritt wird die Figur aus Segment I dupliziert (d). Dieses Duplikat wird dann, viertens, um 180 Grad gedreht. So entsteht die dazu duale Figur (e). Sie wird auf der rechten Seite an die Figur mit dem Mäander angeschlossen, und die drei Teile werden wieder miteinander verbunden (f).

Abbildung 2. Erzeugung des Musters

Abbildung 3 zeigt das Labyrinth in der Grundform.

Abbildung 3. Das Labyrinth in der Grundform

Wieder ein sehr ausgewogenes Labyrinth. Die Hauptachse ist gleich wie beim Grundtyp. Segment II gegenüber der Hauptachse enthält den Mäander.

Verwandte Beiträge:

Wie erzeuge ich das Sieben mal Sieben Labyrinth

Zum neuen Jahr habe ich das Sieben mal Sieben Labyrinth vorgestellt (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Erwin hat sofort kommentiert und die Ähnlichkeit mit dem Typ Gossembrot 51 r bemerkt. Das trifft zu. Ich wollte aus diesem Typ ein selbst-duales Labyrinth entwickeln. Dabei sollte das Typische des Wegverlaufs erhalten bleiben. Typisch am Labyrinth von Gossembrot sind nicht nur die Doppelbarrieren, sondern auch die Art der Wegführung durch alle Segmente durch. Es ist kein Sektorenlabyrinth, sondern in etwa das Gegenteil davon.

In Abbildung 1 zeige ich das Muster des Labyrinth Typs Gossembrot 51r. Dieses bildet den Ausgangspunkt (a) und ist grau dargestellt. Das Typische des Wegverlaufs habe ich früher beschrieben (Verwandte Beiträge 2). Es spielt sich in den Segmenten III – V ab. Auch eine Besonderheit ist der Mäander in Segment II. Dieser Mäander liegt auf den Umgängen 2 – 6. Es hat also noch je einen Umgang aussen und innen am Mäander.
Zuerst isoliere ich das Segment mit dem Mäander (b). Der Mäander selbst ist selbst-dual. Und da aussen und innen je ein weiterer Umgang hinzukommen, ist die ganze Figur (b) ebenfalls selbst-dual. An diese Figur schliessen sich rechts die Segmente III – V an. Die enthalten die typische Wegführung von Gossembrot. Dass Segment II selbst-dual ist, hat auch zur Folge, dass man an seine eine Seite die Figur anschliessen kann, welche dual zur Figur an seiner anderen Seite ist. In einem zweiten Schritt nehme ich also die Figur aus Segmenten III – V und stelle sie an die rechte Seite von Segment II. Figur (c) zeigt nun nichts anderes als Segment II nicht verbunden mit Segmenten III – V des Musters von Gossembrot 51 r.

Abbildung 1. Vorbereitung

Diese Figur (c) bildet die Basis für die Erzeugung des Sieben mal Sieben Labyrinths, bzw. von dessen Muster. Der Prozess wird in Abb. 2 veranschaulicht. Hier beginnen wir in der dritten Reihe bei den grau dargestellten Figuren (c). In einem dritten Schritt wird nun die Figur aus Segmenten III – V dupliziert (d). Dieses Duplikat wird dann, viertens, um 180 Grad gedreht. So entsteht die dazu duale Figur (e). Wir verschieben sie nach unten und sehen: sie kann auf der linken Seite an die Figur mit dem Mäander aus Segment II angeschlossen werden (f). Nun brauchen wir nur noch die Elemente miteinander verbinden und erhalten in Figur (g) das Muster des Sieben mal Sieben Labyrinths.
Dieses ganze Muster ist selbst-dual. Aus den fünf Segmenten des Labyrinth Typs Gossembrot 51 r sind nun sieben Segmente geworden. Das Duale zu Gossembrots Segmenten III – V belegt neu Segmente I – III, im zentralen Segment IV folgt der Mäander mit den zusätzlichen Umgängen innen und aussen, und Gossembrots ursprüngliche Segmente III – V werden hier zu Segmenten V – VII.­

Abbildung 2. Erzeugung des Musters

Abbildung 3 zeigt das Labyrinth in der Grundform ohne den Siebenstern im Zentrum und ohne das Siebeneck an der Peripherie. Diese sind Zutaten und dem Stil zuzuordnen, nicht dem Labyrinth Typ.

Abbildung 3. Das Labyrinth in der Grundform

Ein sehr ausgewogenes Labyrinth. Die Hauptachse ist gleich wie beim Grundtyp. Gegenüber der Hauptachse, im mittleren Segment IV­, liegt der Mäander. In den drei Segmenten vor und nach dem Mäander findet sich der typische Wegverlauf. Der Weg verläuft in hüllenden und umhüllten Kurven durch alle Segmente, passiert dabei den Mäander und kommt in der Rückwärtsbewegung durch die drei Segmente VII-V in Segment IV, welches er als Mäander durchläuft, setzt die Rückwärtsbewegung durch Segmente III – I fort und führt erneut in der Vorwärtsbewegung durch alle Segmente bis ins Zentrum.

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  2. Sigmund Gossembrot / 2

Sektorenlabyrinthe mit Doppelbarrieren – Zusammenfassung

Heute will ich zu einem vorläufigen Abschluss kommen. Ich habe begonnen bei 4-achsigen Labyrinthen mit Doppelbarrieren, wie sie Gossembrot verwendet hat (siehe: Verwandte Beiträge 3). Die habe ich später als echte Doppelbarriere bezeichnet. Auf einen Kommentar von Erwin hin habe ich auch Labyrinthe mit unechten Doppelbarrieren betrachtet. Davon gibt es bereits einen historischen Typ, den Typ Avenches. Echte und unechte Doppelbarrieren können auch gemischt im gleichen Labyrinth vorkommen (Verwandte Beiträge 2).

Labyrinthe mit Doppelbarrieren und fünf Umgängen müssen Sektorenlabyrinthe sein. Doppelbarrieren können nur an Nebenachsen vorkommen. Ein Labyrinth mit einer Doppelbarriere muss also mindestens 2 Achsen haben. Es gibt für 2, 3, 4 und 5 Achsen immer 8 unterschiedliche Labyrinthe mit echten Doppelbarrieren.

Das legt den Schluss nahe, dass die Anzahl verschiedener Labyrinthe mit nur echten Doppelbarrieren unabhängig ist von der Anzahl Achsen. Sie hängt nur ab von den vier Sektormustern, die in dem ersten und den vier, die in dem letzten Sektor stehen können. Zwei der vier Sektormuster für den ersten Sektor werden über den äussersten, zwei über den innersten Umgang mit dem folgenden Sektor verbunden. Ebenfalls werden je zwei der vier Sektormuster für den letzten Sektor über den äussersten resp innersten Umgang mit dem vorangehenden Sektor verbunden. Daraus ergeben sich die 8 verschiedenen Labyrinthe mit zwei Achsen und einer Doppelbarriere (verwandte Beiträge 1).

Die Anzahl Achsen kann nur erhöht werden, indem zwischen die beiden Sektoren neben der Hauptachse zusätzliche Sektoren eingeschoben werden. In den Sektoren zwischen dem ersten und dem letzten Sektor können immer nur die Sektormuster 3 oder 8 stehen. Und diese müssen zudem abwechselnd angeordnet werden. Deshalb steht für die Sektoren zwischen dem ersten und letzten Sektor immer nur eine Anschlussstelle zur Verfügung. Für jede Anzahl Achsen sind zwei komplementäre Anordnungen von Sektormustern für die zentralen Sektoren möglich. Die eine beginnt mit Sektormuster Nr. 3, die andere mit Sektormuster Nr. 8. Für jede dieser Anordnungen können vier verschiedene Muster gebildet werden, wenn man sie mit den beiden passenden Sektormustern für den ersten und letzten Sektor verbindet.

Es gibt also 8 verschiedene Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren für jede Anzahl von mehr als einer Achsen. Für jedes dieser 8 Labyrinthe lässt sich ein Baumdiagramm erstellen. Wir haben das am Beispiel von Labyrinth D gezeigt (verwandte Beiträge 2). Das Baumdiagramm enthält Muster für Labyrinthe mit nur echten, nur unechten oder mit gemischten Doppelbarrieren. Am Baumdiagramm haben wir gesehen, dass es gleich viele Muster mit ausschliesslich unechten wie mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren gibt. Der oberste Ast eines Baumdiagramms enthält die Muster mit nur echten, der unterste die mit nur unechten Doppelbarrieren. Somit gibt es auch immer 8 verschiedene Labyrinthe mit nur unechten Doppelbarrieren. Auch dies gilt unabhängig von der Anzahl Achsen.

Das gilt aber nicht für die Anzahl Labyrinthe mit gemischten Doppelbarrieren. Die vergrössert sich stark mit zunehmender Anzahl Achsen. So gibt es bei 2 achsigen Labyrinthen nur entweder 8 mit echter oder 8 mit unechter, aber keine mit gemischten Doppelbarrieren, da diese nur eine Doppelbarriere aufweisen. Bei 3 achsigen Labyrinthen gibt es wiederum 8 mit nur echten, 8 mit nur unechten und zusätzlich 16 mit gemischten Doppelbarrieren. Bei 4 achsigen haben wir gesehen, dass es 48 Labyrinthe mit gemischten Doppelbarrieren gibt. Und bei 5 achsigen steigt die Anzahl der Labyrinthe mit gemischten Doppelbarrieren auf 112 usw.

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Die zweiachsigen Labyrinthe mit echter Doppelbarriere und 5 Umgängen

Im letzten Beitrag wurde gezeigt, wie man von fünfachsigen zu dreiachsigen Labyrinthen kommt durch Weglassen von zwei der drei mittleren Sektoren (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Auf die gleiche Weise kann man von den vierachsigen (verwandte Beiträge 3) zu den zweiachsigen Labyrinthen gelangen. Die Muster der Sektoren neben der Hauptachse liegen dann nebeneinander und können direkt verbunden werden. Wieder sind es zwei Gruppen von je vier Mustern, die auf diese Weise erzeugt werden können.

Abbildung 1 zeigt, wie in der ersten Gruppe die beiden Sektormuster für ersten Sektor mit den beiden Sektormustern für den letzten über den äussersten Umgang verbunden werden können.

Abbildung 1. Die Kombinationen über den äusseren Umgang

Abbildung 2 zeigt das gleiche für die jeweils zwei Sektormuster, die über den innersten Umgang miteinander kombiniert werden können.

Abbildung 2. Die Kombinationen über den inneren Umgang

Abbildung 3 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die durch die Kombinationen aus Abb. 1 gebildet wurden.

Abbildung 3. Die vier Muster und Labyrinthe der ersten Gruppe, erzeugt aus Abbildung 1

Abbildung 4 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die durch die Kombinationen aus Abb. 2 gebildet wurden.

Abbildung 4. Die vier Muster und Labyrinthe der zweiten Gruppe erzeugt aus Abbildung 2

Es gibt also auch 8 verschiedene zweiachsige Labyrinthe mit einer echten Doppelbarriere. Benannt sind sie nach der bekannten Regel (verwandte Beiträge 2). Der Name enthält also einen Grossbuchstaben, gefolgt von einem horizontalen Strich.

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