Selbstduale Labyrinthe mit gerader Umgangszahl

Bei Labyrinthen mit gerader Umgangszahl gibt es in der Regel nur zwei Verwandte, das Basislabyrinth und das Duale (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Hier will ich nun ein weiteres Labyrinth mit gerader Umgangszahl vorstellen und zeigen, dass erstens die Berechnung der Verwandten auch mit mehrachsigen Labyrinthen funktioniert und zweitens was bei einem selbstdualen Labyrinth mit gerader Umgangszahl dabei herauskommt. Ich verwende dafür ein kleines Labyrinth mit zwei Achsen, damit die Umgangsfolge nicht zu lang wird (Abb. 1).

Labyrinth mit 2 Achsen und 6 Umgängen
Abbildung 1. Labyrinth mit 2 Achsen und 6 Umgängen

In Abb. 2 führe ich die Berechnung nach der üblichen Methode durch. Sie ergibt, dass die gegenläufige und komplementäre Umgangsfolge gleich sind. Beide ergeben die gleiche Figur, die kein Labyrinth ist, in welcher der Weg das Zentrum nicht erreicht und in einer Sackgasse endet.

Schreibt man die komplementäre Umgangsfolge rückwärts oder ergänzt die gegenläufige Umgangsfolge an jeder Position zu 7, so resultiert die duale Umgangsfolge. Die ist gleich wie die Basis Umgangsfolge.

Die Verwandten des Labyrinths mit 2 Achsen und 6 Umgängen
Abbildung 2. Die Verwandten des Labyrinths mit 2 Achsen und 6 Umgängen

Bei Labyrinthen mit gerader Umgangszahl hat die Gruppe also nur zwei Mitglieder: das Basislabyrinth und das Duale oder nur eines im Falle selbstdualer Labyrinthe.

Verwandte Beiträge:

Verwandte von Labyrinthen mit gerader Umgangszahl

Bisher habe ich nur Labyrinthe mit ungerader Anzahl Umgänge betrachtet (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Nun will ich die Verwandten von einem Labyrinth mit gerader Umgangszahl berechnen. Dafür wähle ich das Labyrinth von Xanten aus. Dieses einachsige Labyrinth hat 6 Umgänge und dreht gegen den Uhrzeigersinn (Abb. 1).

Abbildung 1. Labyrinth von Xanten
Abbildung 1. Labyrinth von Xanten

In Abb. 2 zeichne ich es zuerst um, so dass es im Uhrzeigersinn dreht und setze es als Basislabyrinth. Seine Umgangsfolge ist 3 4 5 2 1 6. Diese Umgangsfolge rückwärts geschrieben lautet 6 1 2 5 4 3 und müsste zum gegenläufigen Labyrinth führen. Versuchen wir nun, das Gegenläufige zu zeichnen, sehen wir, dass es nicht geht. Der Weg kann nicht vom 3. Umgang ins Zentrum geführt werden, sondern endet in einer Sackgasse. 

Die Umgangsfolge für das Gegenläufige beginnt mit einer geraden Zahl. Das allerdings ist bei Labyrinthen nicht zulässig. Die Umgangsfolge muss immer mit einer ungeraden Zahl beginnen. 

Abbildung 2. Das Gegenläufige zum Labyrinth von Xanten
Abbildung 2. Das Gegenläufige zum Labyrinth von Xanten

Versuchen wir nun das komplementäre Labyrinth zu finden und ergänzen wir die Umgangsfolge des Basislabyrinths an jeder Stelle zu 7 (Abb. 3). Auch die komplementäre Umgangsfolge 4 3 2 5 6 1 beginnt mit einer geraden Zahl. Und auch diese ergibt eine Figur, deren Weg nicht ins Zentrum führt und in einer Sackgasse endet.

Abbildung 3. Das Komplement zum Labyrinth von Xanten
Abbildung 3. Das Komplement zum Labyrinth von Xanten

Und zum Schluss wollen wir noch in Abb. 4 indirekt die Umgangsfolge des dualen Labyrinths ermitteln, d.h. wir schreiben die komplementäre Umgangsfolge rückwärts. Diese Umgangsfolge lautet 1 6 5 2 3 4 und beginnt mit einer ungeraden Zahl. Und tatsächlich kann das duale Labyrinth gezeichnet werden. 

Abbildung 4. Das Duale zum Labyrinth von Xanten
Abbildung 4. Das Duale zum Labyrinth von Xanten

Zusammenfassend können wir festhalten, dass es bei Labyrinthen mit gerader Umgangszahl in der Regel nur zwei verwandte Labyrinthe gibt, nämlich das Basislabyrinth und das Duale.

Abblidung 5. Die Verwandten des Labyrinths von Xanten
Abblidung 5. Die Verwandten des Labyrinths von Xanten

Es gibt kein gegenläufiges und kein komplementäres Labyrinth mit gerader Umgangszahl (Abb. 5). Das wurde hier mit Beispielen von einachsigen Labyrinthen gezeigt, es gilt auch für Labyrinthe mit mehr als einer Achse. 

Verwandte Beiträge:

Berechnung der Verwandten des Klassischen Labyrinth Typs

Nun will ich die Verwandten des Grundtyps / klassischen (kretischen) Typs berechnen. Denjenigen, die schon mit der Materie vertraut sind, dürfte das Ergebnis bekannt sein. Trotzdem führe ich die Berechnung einmal konsequent durch. Abbildung 1 zeigt den Schritt vom Basislabyrinth zum Gegenläufigen.

Abbildung 1. Vom Basislabyrinth zum Gegenläufigen
Abbildung 1. Vom Basislabyrinth zum Gegenläufigen

Die Berechnung des Komplements wird in Abb. 2 illustriert. 

Abbildung 2. Vom Basislabyrinth zum Komplement
Abbildung 2. Vom Basislabyrinth zum Komplement

Die direkt berechneten Umgangsfolgen für das Gegenläufige und das Komplement sind gleich. Leiten wir nun noch in Abb 3 indirekt die Umgangsfolge für das Duale ab. Dazu wird bekanntlich die Umgangsfolge des Komplements rückwärts geschrieben. 

Abbildung 3. Vom Komplement zum Dualen
Abbildung 3. Vom Komplement zum Dualen

Dies führt uns zu der gleichen Umgangsfolge wie für das Basislabyrinth. Das bedeutet nichts anderes, als dass das Labyrinth vom klassischen Grundtyp selbstdual ist. Bei selbstdualen Labyrinthen sind auch die beiden anderen Verwandten, das Gegenläufige und das Komplementäre einander gleich. Denn diese sind zu einander dual und in diesem Falle ebenfalls selbstdual. 

Nun gibt es (ausser dem “Labyrinth” mit einem Umgang) kein selbstkomplementäres Labyrinth (siehe verwandte Beiträge, unten). Deshalb gibt es in jeder Gruppe entweder 2 oder 4 verschiedene verwandte Labyrinthe. Das gilt aber nur für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Umgänge, wie im nächsten Beitrag gezeigt werden soll.

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