Berechnung der Verwandten des Klassischen Labyrinth Typs

Nun will ich die Verwandten des Grundtyps / klassischen (kretischen) Typs berechnen. Denjenigen, die schon mit der Materie vertraut sind, dürfte das Ergebnis bekannt sein. Trotzdem führe ich die Berechnung einmal konsequent durch. Abbildung 1 zeigt den Schritt vom Basislabyrinth zum Gegenläufigen.

Abbildung 1. Vom Basislabyrinth zum Gegenläufigen
Abbildung 1. Vom Basislabyrinth zum Gegenläufigen

Die Berechnung des Komplements wird in Abb. 2 illustriert. 

Abbildung 2. Vom Basislabyrinth zum Komplement
Abbildung 2. Vom Basislabyrinth zum Komplement

Die direkt berechneten Umgangsfolgen für das Gegenläufige und das Komplement sind gleich. Leiten wir nun noch in Abb 3 indirekt die Umgangsfolge für das Duale ab. Dazu wird bekanntlich die Umgangsfolge des Komplements rückwärts geschrieben. 

Abbildung 3. Vom Komplement zum Dualen
Abbildung 3. Vom Komplement zum Dualen

Dies führt uns zu der gleichen Umgangsfolge wie für das Basislabyrinth. Das bedeutet nichts anderes, als dass das Labyrinth vom klassischen Grundtyp selbstdual ist. Bei selbstdualen Labyrinthen sind auch die beiden anderen Verwandten, das Gegenläufige und das Komplementäre einander gleich. Denn diese sind zu einander dual und in diesem Falle ebenfalls selbstdual. 

Nun gibt es (ausser dem “Labyrinth” mit einem Umgang) kein selbstkomplementäres Labyrinth (siehe verwandte Beiträge, unten). Deshalb gibt es in jeder Gruppe entweder 2 oder 4 verschiedene verwandte Labyrinthe. Das gilt aber nur für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Umgänge, wie im nächsten Beitrag gezeigt werden soll.

Verwandter Beitrag:

Verwandte Labyrinthe berechnen

Basierend auf der dritten Anordnung der Labyrinthe aus dem letzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) können das gegenläufige und komplementäre direkt und das duale Labyrinth indirekt ganz einfach berechnet werden. Dazu wird die Umgangsfolge des Basislabyrinths verwendet.

Das will ich hier am Beispiel des in Abb. 1 abgebildeten Labyrinths durchführen.

Abbildung 1. Labyrinth aus dem 18. oder 19. Jh. geschnitzt auf einem Holzpfeiler in der alten Moschee in Tal, Nordpakistan.
Abbildung 1. Labyrinth aus dem 18. oder 19. Jh. geschnitzt auf einem Holzpfeiler in der alten Moschee in Tal, Nordpakistan. Quelle: Saward, S. 60°

Das Labyrinth liegt mit dem Eingang oben und dreht gegen den Uhrzeigersinn. Ich zeichne es zuerst um, so dass der Eingang unten liegt und es im Uhrzeigersinn dreht. So liegt es in der Form vor, die ich immer bei Vergleichen von Labyrinthen verwende. Dieses einachsige Labyrinth mit 9 Umgängen wird nun unser Basislabyrinth. Seine Umgangsfolge ist 5 4 3 2 1 6 9 8 7.

Abbildung 2. Labyrinth von Tal, Umzeichnung: Basislabyrinth
Abbildung 2. Labyrinth von Tal, Umzeichnung: Basislabyrinth

Als erstes schreiben wir die Umgangsfolge rückwärts

Basis: 5 4 3 2 1 6 9 8 7 <—> 7 8 9 6 1 2 3 4 5: Gegenläufiges.

Das bringt uns zum gegenläufigen Labyrinth (Abb. 3).

Abbildung 3. Das Gegenläufige zum Labyrinth von Tal
Abbildung 3. Das Gegenläufige zum Labyrinth von Tal

Nun ergänzen wir, zweitens, die Umgangsfolge des Basislabyrinths zur Anzahl der Umgänge plus eins, also zu 10. 

So erhalten wir die Umgangsfolge 5 6 7 8 9 4 1 2 3 des komplementären Labyrinths, das in Abb. 4 gezeigt wird. 

Abbildung 4. Das Komplementäre zum Labyrinth von Tal
Abbildung 4. Das Komplementäre zum Labyrinth von Tal

Und schreiben wir nun die Umgangsfolge des Komplementären rückwärts, erhalten wir mittelbar diejenige des dualen Labyrinths: 

Komplement: 5 6 7 8 9 4 1 2 3 <—> 3 2 1 4 9 8 7 6 5: Duales. 

Das duale Labyrinth wird in Abb. 5 dargestellt. 

Abbildung 5. Das Duale zum Labyrinth von Tal
Abbildung 5. Das Duale zum Labyrinth von Tal

Dieses Ergebnis können wir nun noch prüfen, indem wir die Umgangsfolgen des Gegenläufigen und des Dualen addieren. Sie müssen sich an jeder Stelle zu 10 ergänzen, denn das Duale ist komplementär zum Gegenläufigen.

Addition

Die Prüfung bestätigt das Resultat. Das Duale kann auch indirekt aus dem Gegenläufigen berechnet werden, indem man die Umgangsfolge des Gegenläufigen zu 10 ergänzt. Einfacher ist es aber, die Umgangsfolge des Komplementären rückwärts zu schreiben. 

Wir müssen somit die Umgangsfolge des Basislabyrinths kennen. Dann schreiben wir sie rückwärts und erhalten das Gegenläufige. Wir ergänzen sie zu eins mehr als die Anzahl der Umgänge und erhalten das Komplementäre. Und zum Schluss schreiben wir die Umgangsfolge des Komplementären rückwärts und erhalten das Duale.

° Saward Jeff. Labyrinths & Mazes. The Definitive Guide to Ancient & Modern Traditions. Gaia Books: 2003.

Verwandte Beiträge:

Die drei Anordnungen der verwandten Labyrinthe

Im letzten Beitrag habe ich die drei Operationen vorgestellt, die vom Basislabyrinth direkt zu den drei verwandten, dem dualen, dem gegenläufigen und dem komplementären Labyrinth führen (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Zwei dieser Aktionen genügen, um zwei verwandte Labyrinthe auf direktem Weg und das dritte indirekt zu erzeugen. Das ist auf drei verschiedene Arten möglich. Diese drei Anordnungen will ich nun vorstellen. Immer steht dabei das Basislabyrinth im linken oberen Feld. 

Abbildung 1 zeigt die erste Anordnung. Vom Basislabyrinth 2 gelangt man dabei durch horizontale Spiegelung des Musters direkt zum gegenläufigen Muster 5 rechts davon. Durch Rotation des Basismusters 2 erhält man direkt das duale Muster 4 unterhalb. Wenn wir nun weiter das gegenläufige Muster 5 drehen oder das duale Muster 4 horizontal spiegeln, führt das indirekt zum komplementären Muster 7. Diese Darstellung der vier verwandten Labyrinthe hat Richard Myers Shelton in seiner Publikation° angewendet. 

Abbildung 1. Erste Anordnung
Abbildung 1. Erste Anordnung

Eine Kombination der beiden direkten Operationen horizontales Spiegeln und Rotation führt indirekt vom Basismuster zum komplementären Muster. Dieses kann man auch direkt mit der Operation vertikales Spiegeln (der diagonal gegenüberliegenden Muster) erzielen, wie in Abb. 2 veranschaulicht wird.

Abbildung 2. Erste Anordnung mit direkter Herleitung (diagonal)
Abbildung 2. Erste Anordnung mit direkter Herleitung (diagonal)

Wir haben hier somit für die Labyrinthe Basis (B), Gegenläufiges (G), Duales (D) und Komplementäres (K) die Anordnung:

B G

D K

Die zweite Anordnung wird in Abb. 3 dargestellt. Dies ist die Art, wie ich bisher die vier verwandten Labyrinthe angeordnet habe. Durch Rotation des Basismusters 2 erzeuge ich das duale Muster 4 und stelle es rechts nebenan. Durch vertikale Spiegelung des Basismusters 2 erzeuge ich das komplementäre Muster 7 und stelle es unter das Basismuster. Das gegenläufige Muster 5 ergibt sich durch Rotation des komplementären oder vertikale Spiegelung des dualen Musters diagonal gegenüber dem Basismuster. 

Abbildung 3. Zweite Anordnung
Abbildung 3. Zweite Anordnung

Die Anordnung der vier verwandten Labyrinthe in Abb. 3 ist:

B D

K G

Nun gibt es noch eine dritte Möglichkeit, wie man vom Basislabyrinth links oben aus die verwandten Labyrinthe anordnen kann. Diese wird in Abb. 4 gezeigt. Hier spiegle ich das Muster des Basislabyrinth 2 horizontal, erzeuge so das gegenläufige Muster 5 und setze es rechts daneben. Durch vertikale Spiegelung des Basismusters 2 erzeuge ich das komplementäre Muster 7 und stelle es unter das Basismuster. Dann ergibt sich das duale Muster 4 indirekt durch horizontale Spiegelung des komplementären oder vertikale Spiegelung des gegenläufigen Musters diagonal gegenüber dem Basismuster. 

Abbildung 4. Dritte Anordnung
Abbildung 4. Dritte Anordnung

Die Anordnung der vier verwandten Labyrinthe in Abb. 4 ist:

B G

K D

Alle drei Anordnungen zeigen die gleichen vier verwandten Labyrinthe. Die stehen auch immer in derselben Verwandtschaftsbeziehung zu einander. Das Basislabyrinth ist 2. In jeder Anordnung ist zu diesem Basislabyrinth dual Labyrinth 4, gegenläufig Labyrinth 5 und komplementär Labyrinth 7.

Die in Abb. 4 vorgestellte dritte Anordnung hat aber zwei Vorteile gegenüber den anderen beiden. Erstens sie ist anschaulicher: Nebeneinander stehen die horizontal gespiegelten Muster, untereinander die vertikal gespiegelten. Damit stehen sie dort, wo sie durch die Vorgänge der Spiegelung hingehören. Horizontales Spiegeln des Basismusters (mit Umklappen der Anschlussstücke) und anschliessendes vertikales Spiegeln des so erzeugten gegenläufigen Musters (mit erneutem Umklappen der Anschlussstücke) kommen auf dasselbe heraus wie Drehen des Basismusters ohne Umklappen der Anschlussstücke (eigentlich: hin- und zurückklappen). Man sieht so am besten, wie aus der Addition von zwei Operatoren der dritte entsteht.

Zweitens können in dieser Anordnung vom Basislabyrinth aus die drei anderen durch einfache Berechnung der Umgangsfolgen ermittelt werden. Dies ist in Abb. 5 veranschaulicht. Man braucht dazu nur die Umgangsfolge eines, sagen wir des Basislabyrinths. Diese lautet 1 2 5 4 3. Nun muss man für das Gegenläufige diese Umgangsfolge rückwärts schreiben, also 

1 2 5 4 3 <—> 3 4 5 2 1. 

Die Umgangsfolge des Komplementären ist ebenfalls leicht zu ermitteln. Man muss die Umgangsfolge des Basislabyrinths immer zu eins mehr als die Anzahl Umgänge ergänzen, hier also zu 6, also

1 2 5 4 3

5 4 1 2 3

6 6 6 6 6. 

Und aus der Umgangsfolge des Komplementären lässt sich nun ganz einfach durch Rückwärtsschreiben die des Dualen ermitteln: 

5 4 1 2 3 <—> 3 2 1 4 5. 

Abbildung 5. Einfache Berechnung mit Umgangsfolgen
Abbildung 5. Einfache Berechnung mit Umgangsfolgen

Wenn wir also für irgendein Labyrinth wissen wollen, welches seine Verwandten sind, müssen wir nur seine Umgangsfolge ermitteln. Dann müssen wir die Umgangsfolge rückwärts schreiben und erhalten so das dazu gegenläufige Labyrinth. Ergänzen wir seine Umgangsfolge an jeder Stelle zu Eins mehr als die Anzahl seiner Umgänge, erhalten wir das dazu komplementäre Labyrinth. Und schreiben wir die Umgangsfolge des Kompelements rückwärts führt uns das zum dualen Labyrinth. 

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

Die verwandten Labyrinthe

Das Thema der eng verwandten Labyrinthe wurde schon verschiedentlich auf diesem Blog behandelt. Ich bin bei der Herleitung des komplementären Labyrinths auf die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe gestossen. Dabei habe ich zum Basislabyrinth das Komplementäre gebildet und dann jeweils die zum Basislabyrinth und zum Komplementären dualen Labyrinthe (siehe: verwandte Beiträge 1, unten). Als viertes ergibt sich indirekt das zum Komplementären duale Labyrinth. Das ist nichts anderes als das gegenläufige Labyrinth.

Schon früher hat allerdings Richard Myers Shelton diese Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe publiziert°. In seinem Artikel hat er das Konzept der Gegenläufigkeit vorgestellt. Zum Basislabyrinth und zum gegenläufigen Labyrinth hat er dann die Dualen gebildet. So ergab sich als viertes indirekt das zum Gegenläufigen duale, d.i. das komplementäre Labyrinth.

Wir haben somit verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts vorliegen. Diesen will ich im Folgenden näher auf den Grund gehen und noch eine dritte Variante des gleichen Sachverhalts vorstellen. Ich gehe dafür wieder von dem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen aus, das ich schon für die Herleitung des komplementären Labyrinths verwendet habe. Das ist das zweite der acht verschiedenen alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen und das einfachste Labyrinth, für welches eine vollständige Gruppe von vier eng Verwandten existiert (verwandte Beiträge 2). Es ist das «Basislabyrinth» und hat die drei Verwandten, das „Duale“, das „Gegenläufige“ und das „Komplementäre“, wie in Abb. 1 dargestellt.

Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe
Abbildung 1. Die vier verwandten Labyrinthe

In Abb. 2 zeige ich, wie man direkt vom Basislabyrinth zu den anderen drei Labyrinthen kommt. Dafür wird das Muster des Labyrinths verwendet. Dieses wird als Ariadnefaden in der Rechteckform gewonnen (verwandte Beiträge 3). 

In der ersten Zeile wird die Herleitung des dualen Musters gezeigt. Dazu wird das Basismuster um 180 Grad gedreht. Die Verbindungen zur Aussenwelt (Dreieck) und zum Zentrum werden unterbrochen. Nach der Drehung werden die Enden wieder verbunden, aber die Verbindungen sind vertauscht.

Die zweite Zeile zeigt die Herleitung des gegenläufigen Musters. Dazu wird das Basismuster horizontal (an der Senkrechten) gespiegelt. Wieder werden die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum unterbrochen. Nach der Spiegelung zeigen die Enden in die falsche Richtung. Sie müssen umgeklappt werden, damit sie mit der Aussenwelt und dem Zentrum verbunden werden können. Diese beiden Vorgänge, Spiegeln und Umklappen sind im Symbol für das Gegenläufige kombiniert.

In der dritten Zeile wird die Herleitung des komplementären Musters gezeigt. Diese erfolgt durch vertikale Spiegelung (an der Waagrechten) des Basismusters. Auch hier werden die Verbindungen unterbrochen und müssen nach der Spiegelung umgeklappt werden. Das Symbol für die Herleitung des Komplements steht also wieder die beiden Vorgänge Spiegelung und Umklappen.

Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth
Abbildung 2. Direkte Herleitung der Verwandten aus dem Basislabyrinth

Dies sind die drei Operationen, mit denen aus dem Basislabyrinth das duale, gegenläufige und komplementäre Labyrinth abgeleitet werden können. Die direkte Anwendung von zwei dieser Operationen reicht, um indirekt die dritte zu bewirken. Damit kann die Gruppe der vier eng verwandten Labyrinthe auf drei verschiedene Arten dargestellt werden. Mehr dazu im nächsten Beitrag.

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

Verwandte Beiträge:

  1. Das komplementäre versus das duale Labyrinth
  2. Das komplementäre Labyrinth
  3. Vom Ariadnefaden zum Muster