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Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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In einem früheren Beitrag „Typ oder Stil / 6“ (siehe verwandte Beiträge, unten) habe ich mich schon zur Umgangsfolge geäussert. Und zwei Gründe angeführt, warum ich sie nicht zur Benennung von Labyrinth Typen benutze.

  • Unter den einachsigen Labyrinthen entspricht nur bei den alternierenden Labyrinthen eine Umgangsfolge genau einem Wegverlauf. Zieht man auch nicht alternierende einachsige Labyrinthe in Betracht, (Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse kreuzt), kann es für die gleiche Umgangsfolge mehrere Wegführungen geben.
  • Bei mehrachsigen Labyrinthen wird die Umgangsfolge schnell lang und unübersichtlich.

Hier will ich auf den ersten Punkt näher eingehen. Und zwar deshalb, weil es eine ganz einfache Lösung gibt. Bei den einachsigen Labyrinthen steht in der Umgangsfolge für jeden Umgang eine Zahl. In der Praxis weisen die grossen dieser Labyrinthe kaum mehr als 15 – 17 Umgänge auf. Die meisten sind deutlich kleiner. Somit könnte man diese Labyrinthe ganz praktisch mit ihrer Umgangsfolge benennen. Aber es besteht das Problem der Mehrdeutigkeit. Erwin hat es in seinem Beitrag „Das klassische 7-gängige Labyrinth mit Achsquerung“ (siehe verwandte Beiträge, unten) aufgegriffen. Ich illustriere es hier und verwende dazu Bilder aus seinem Beitrag.

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Abbildung 1. Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5

In Abbildung 1 sieht man drei Labyrinthe mit der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5. Das erste Bild zeigt den alternierenden Kretischen Typ, das zweite und dritte Bild je ein nicht alternierendes Labyrinth mit der gleichen Umgangsfolge. Beim zweiten Bild quert der Weg die Achse, wenn er vom 1. auf den 4. Umgang wechselt. Beim dritten Bild quert er die Achse vom 4. auf den 7. Umgang. (Es gibt auch noch ein Labyrinth, bei dem der Weg sowohl vom 1. auf den 4. als auch vom 4. auf den 7. Umgang die Achse kreuzt). Wir haben also den einen alternierenden und mehrere nicht-alternierende Labyrinth Typen mit der gleichen Umgangsfolge vorliegen.

Nun gibt es eine einfache Lösung, dies in der Umgangsfolge zu berücksichtigen. Dazu muss man bedenken, dass die einzelnen Zahlen (nicht Ziffern) der Umgangsfolge getrennt sind. Diese Separierung kann man auf verschiedene Weise, mit Leerstelle, Komma, Semikolon u.a.m. machen. Diese Trennzeichen können nun auch benutzt werden, um anzugeben, wie es im nächsten Umgang weiter geht. Wir können also z.B. definieren: wenn der Weg vom einen auf den anderen Umgang die Richtung wechselt, trennen wir mit senkrechtem Strich. Geht der Weg in der gleichen Richtung weiter (und quert somit die Achse), trennen wir mit Bindestrich. Auf diese Weise können wir die Umgangsfolge soweit präzisieren, dass sie auch für nicht alternierende Labyrinthe eindeutig wird. Ich zeige das in Abb. 2 anhand der Bilder aus Abb. 1.

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Abbildung 2. Umgangsfolge mit Trennzeichen


Hier sehen wir zu jedem Labyrinth die entsprechende Umgangsfolge mit Trennzeichen. Die Folge der Zahlen ist überall 3 2 1 4 7 6 5. Aber, während das alternierende Kretische immer senkrechte Striche als Trennzeichen hat (da der Weg nach jedem Umgang die Richtung wechselt), hat die Umgangsfolge von Bild 2 zwischen 1 und 4 einen Bindestrich. Und die Umgangsfolge von Bild 3 hat einen Bindestrich zwischen 4 und 7.

Ja, man kann die Schreibweise noch vereinfachen, indem man die Zahlen mit Leerschlag trennt und nur dort, wo der Weg die Achse kreuzt, einen Bindestrich einfügt. Die Umgangsfolgen würden dann so aussehen:

für das 1. Bild: 3 2 1 4 7 6 5
für das 2. Bild: 3 2 1-4 7 6 5
für das 3. Bild: 3 2 1 4-7 6 5

Es kommt also nur darauf an, in der Umgangsfolge anzugeben, wo die Achse gekreuzt wird. Mit diesen Ergänzungen zur Umgangsfolge ist es nun möglich, jede Wegführung eindeutig zu bezeichnen und somit für jeden alternierenden und nicht alternierenden Labyrinth Typ einen Namen zu vergeben.

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Die Keimstruktur ist ein Auszug der Achse des Labyrinths ohne die Umgänge. Eine Keimstruktur kann auch für mehrachsige Labyrinthe extrahiert werden.

Abbildung 1. Die Achsen

Abbildung 1. Die Achsen

Abb. 1 zeigt das an einem einachsigen und einem zweiachsigen Labyrinth im Vergleich. Beim Einachsigen handelt es sich um den Kretischen Typ, das Zweiachsige ist ein Entwurf von mir. Aus Gründen der Einfachheit wähle ich die Darstellung mit dem Ariadnefaden.

Bei mehrachsigen Labyrinthen muss für jede Achse die Keimstruktur extrahiert werden. Diese beiden Teile gehören natürlich zusammen. Das sollte auch unmittelbar ersichtlich werden.

Die Keimstruktur für den Ariadnefaden zeichnen wir mit einer Hilfslinie, die den Umriss der Keimstruktur begrenzt (siehe verwandte Beiträge, unten). Diese Hilfslinie kann nun dazu verwendet werden, die Teil-Keimstrukturen miteinander zu verbinden.

Abbildung 2. Verbindung der Teil-Keimstrukturen

Abbildung 2. Verbindung der Teil-Keimstrukturen

Abb. 2 zeigt, wie man dabei vorgehen kann. Bei einachsigen Labyrinthen liegt das Zentrum ausserhalb der Keimstruktur. Und streng genommen muss immer noch angegeben werden, wo das Zentrum sich befindet. Bei zweiachsigen Labyrinthen befindet sich die Keimstruktur der Nebenachse gegenüber jener der Hauptachse auf der anderen Seite des Zentrums. Bei der Keimstruktur für mehrachsige Labyrinthe wird das Zentrum durch die gegenseitige Lage der Achsen bestimmt. Es kommt in die Keimstruktur zu liegen. Mit der Hilfslinie lassen sich nun die beiden Teil-Keimstrukturen für den Ariadenfaden elegant in der Form einer „8“ verbinden. Die kann freihändig in einer Linie gezeichnet werden. Wir haben dazu eine Variation der ursprünglich runden oder elliptischen Umrissform in eine Blütenblatt-förmige vollzogen. Aber diese Variation ist geringfügig und tangiert die eigentliche Keimstruktur selbst nicht.

Abbildung 3. Komplettierung der Keimstruktur für den Ariadnefaden

Abbildung 3. Komplettierung der Keimstruktur für den Ariadnefaden

Die Keimstruktur wird bei mehrachsigen Labyrinthen genau gleich zum Labyrinth vervollständigt wie bei einachsigen (siehe verwandte Beiträge unten). Zuerst werden die Enden, die am nächsten beim Zentrum liegen, miteinander verbunden. Auf diese Weise wird der innerste Umgang angelegt. Dann werden die Enden, die am nächsten beim innersten Umgang liegen verbunden usw. So werden von innen nach aussen die weiteren Umgänge angehängt. Der einzige Unterschied gegenüber dem einachsigen Labyrinth ist, dass beim mehrachsigen Labyrinth für jeden Umgang mehrere Teilstrecken erzeugt werden müssen. In der Keimstruktur für ein zwei-achsiges Labyrinth müssen für jeden Umgang vier Enden mit zwei Teilstrecken miteinander verbunden werden.

Die Keimstrukturen der Haupt- und Nebenachse(n) unterscheiden sich in zwei wesentlichen Punkten.

  • Die Keimstruktur für die Hauptachse hat zwei Enden mehr, da dort der Eintritt ins Labyrinth und der Zugang zum Zentrum erfolgt.
  • Im Normalfall gehen wir von alternierenden Labyrinthen aus, bei denen der Weg die Hauptachse nicht quert (obwohl es einige bemerkenswerte Ausnahmen gibt). In diesem Fall muss der Weg die Nebenachse(n) queren, sonst kommt er nicht den Bereich jenseits der Nebenachse und es wäre gar nicht möglich die Nebenachse zu generieren.
Abbildung 4. Komplettierung der Keimstruktur für die Begrenzungsmauern

Abbildung 4. Komplettierung der Keimstruktur für die Begrenzungsmauern

Was mit dem Ariadnefaden geht, geht natürlich auch mit der Begrenzungsmauer. Die Keimstruktur für die Begrenzungsmauer ist jedoch umständlicher und weniger elegant. Die beiden Teile sind nicht grafisch miteinander verbunden, da die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern traditionell ohne Umrisslinie gezeichnet wird. Die Ariadnefadendarstellung ist, sowohl was das Labyrinth als auch was die Keimstruktur betrifft, die einfachere Repräsentation.

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Nochmals komme ich auf die Verschiebung des Zentrums zurück. Hier zeige ich nun, was herauskommt, wenn man die Keimstruktur des Näpfchenstein Labyrinths rotiert.

Näpfchen mit KS

Abbildung 1: Näpfchenstein Labyrinth und Keimstruktur

Abbildung 1 zeigt das Näpfchenstein Labyrinth und seine Keimstruktur für den Ariadnefaden.

Wenn man diese Keimstruktur rotiert, ergeben sich zwei Figuren. Diese entpuppen sich als nur eine Figur, nämlich das Labyrinth selbst, das entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn dreht. Dieses Figurenpaar wird dann fünfmal wiederholt.

Abbildung 2: die beiden Figuren

Abbildung 2: die beiden Figuren

Aus der Keimstruktur ist auch klar ersichtlich, weshalb. Diese besteht nicht nur aus 2 gleichen Hälften, sondern aus sechs gleichen Sechsteln. Jedes dieser Sechstel erzeugt 2 Figuren. Zudem ist jedes dieser Sechstel in sich symmetrisch (Abb. 3). Daher sind die beiden Figuren nur durch ihren Drehsinn (im / gegen den UZS) verschieden.

Abbildung 3: Symmetrie

Abbildung 3: Symmetrie

Besteht die Keimstruktur aus mehreren gleichen Elementen, so sieht sie nach einer gewissen Anzahl Rotationsschritte wieder genau gleich aus wie in der Ausgangsposition. Am Beispiel Näpfchenstein lässt sich das sehr schön zeigen.

Abbildung 4: Rotationsschritte

Abbildung 4: Rotationsschritte

In Abb. 4 halten wir in Bild a die Keimstruktur zunächst in der Ausgangslage fest (grau). Nun legen wir in Bild b eine Kopie (schwarz) darüber. In der Ausgangsposition deckt sich die schwarze genau mit der grauen Keimstruktur, d.h. sie deckt die graue vollständig zu. Deshalb sieht man nur die schwarze. Nun drehen wir in Bild c die schwarze Keimstruktur einen Schritt weiter und verbinden das nächste Ende mit dem Zentrum. Dann wird darunter die graue sichtbar. Drehen wir sie in Bild d noch einen Schritt weiter, verdeckt sie die darunterliegende graue Keimstruktur wieder vollständig.

Bereits nach zwei Rotationsschritten deckt sich die Keimstruktur wieder mit sich selbst. Das erzeugt natürlich auch wieder dieselbe Figur wie in der Ausgangslage.

Die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh muss sechs Schritte gedreht werden, bis sie sich mit sich selbst deckt. Die Keimstruktur für mein Demonstrationslabyrinth deckt sich erst nach einer Volldrehung.

Die Anzahl Rotationsschritte bis sich die Keimstruktur selbst deckt entspricht der Anzahl Figuren. Mit der Keimstruktur meines Demonstrationslabyrinths wurden 12, mit der von Rockcliffe Marsh 6 und mit der von Näpfchenstein 2 Figuren erzeugt. Zu beachten ist, dass dabei die gleiche Figur im und gegen den Uhrzeigersinn als zwei verschiedene gezählt wird. Die Anzahl der verschiedenen Figuren kann sich deshalb noch weiter reduzieren, wenn jedes Element der Keimstruktur in sich symmetrisch ist.

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In einem früheren Beitrag habe ich die Keimstruktur für den Ariadnefaden meines Demonstrationslabyrinths rotiert und 12 verschiedene Figuren erzeugt. Sechs dieser Figuren drehen im und 6 gegen den Uhrzeigersinn (UZS).

Jedes Labyrinth mit 5 Umgängen hat eine Keimstruktur mit 12 Enden. Man kann also die allgemeine Figur aus dem letzten Beitrag benutzen und darin die Keimstruktur für andere Labyrinthe mit 5 Umgängen einsetzen. Das habe ich mit dem Kernlabyrinth von Rockcliffe Marsh (Arnol’d’s Figur 8) gemacht.

Abbildung 1: Rockcliffe Marsh

Abbildung 1: Rockcliffe Marsh

Abbildung 1 zeigt links das Labyrinth von Rockcliffe Marsh mit eingezeichnetem Kernlabyrinth und rechts das Kernlabyrinth in der Skript Form.

Die rechte Hälfte der Keimstruktur von Rockcliffe Marsh ist gleich wie beim Demonstrationslabyrinth, die linke jedoch verschieden. Das wird ersichtlich aus dem Vergleich der beiden Keimstrukturen in Abb. 2.

Abbildung 2: Die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh

Abbildung 2: Die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh

Links ist zur Erinnerung die Keimstruktur für das Demonstrationslabyrinth abgebildet, rechts die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh. Diese besteht aus zwei gleichen Hälften. Das ist typisch für selbstduale Labyrinthe. In meinem Demonstrationslabyrinth ist Figur 7 das Duale zu Figur 1, Figur 8 ist dual zu Figur 2 usw.. Selbstdual nun bedeutet, dass die beiden zu einander dualen Labyrinthe oder Figuren identisch sind. Bei Rockcliffe Marsh ist Figur 7 somit identisch mit Figur 1. Das gilt auch für Figur 8 (identisch mit Figur 2) usw.. Es reicht also, die ersten sechs Enden der Keimstruktur von Rockcliffe Marsh mit dem Zentrum zu verbinden, da die Enden 7 – 12 nur die Figuren 1 – 6 wiederholen. Die Enden 7 – 12 wurden deshalb in der Keimstruktur von Rockcliffe Marsh nicht nummeriert.

Abbildung 3: Die 3 Figurenpaare

Abbildung 3: Die 3 Figurenpaare

Abb. 3 zeigt das Ergebnis. Die Nummern der einzelnen Figuren geben an, welches Ende der Keimstruktur mit dem Zentrum verbunden wurde, um die Figur zu erzeugen.

  • Erstens: die Anzahl Figuren reduziert sich auf sechs. Davon drehen die ersten 3 Figuren im UZS und die letzten 3 gegen den UZS.
  • Zweitens: Genauer betrachtet zeigt sich, dass nur drei verschiedene Figurenpaare entstehen, mit je einer gleichen im und gegen den Uhrzeigersinn drehenden Figur. Die gleichen Figuren sind in der Abbildung 3 nebeneinander gestellt (Fig. 1 und 6, Fig. 2 und 5 sowie Fig. 3 und 4).

Der Grund dafür ist, dass die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh nicht nur zwei gleiche Hälften hat. Darüberhinaus ist jede ihrer Hälften auch noch symmetrisch um die gestrichelte Linie angeordnet (Abb. 4).

Abbildung 4: Symmetrie

Abbildung 4: Symmetrie

Selbstdualität reduziert die Auswahl verschiedener Figuren von 12 auf 6. Die Symmetrie der beiden Hälften reduziert sie weiter auf nur noch 3 verschiedene Figuren.

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Mit Arnol’d’s Figuren kennen wir bereits alle 8 alternierenden Labyrinthe mit einer Achse und fünf Umgängen. Alternierend heisst, dass der Weg die Achse nicht quert. Jedes Mal, wenn der Weg auf einen neuen Umgang wechselt, wechselt er dann auch die Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn). Unter diesen 8 Labyrinthen mit 5 Umgängen gibt es 4 uninteressante, 2 interessante und 2 sehr interessante.

Bei grösserer Anzahl Umgänge steigt die Anzahl der verschiedenen Labyrinthe rasch an. So gibt es 42 Labyrinthe mit 7 Umgängen: 20 uninteressante, 16 interessante und 6 sehr interessante Exemplare. Die Keimstrukturen für die Begrenzungsmauer und die Muster der interessanten und sehr interessanten Labyrinthe sind auf der Website von Tony Phillips einsehbar. Diese Muster erzeugen sechs schöne Labyrinthe. Ich habe deshalb die Muster reproduziert und dazu die Labyrinthe in der sog. Skript Form (auf rundem Grundriss, mit Eingang von unten und im Uhrzeigersinn drehend) ergänzt. Hier sind die Ergebnisse:

Abbildung 1

Abbildung 1

Abb. 1: Das allseits bekannte, meist verbreitete Labyrinth überhaupt: Das Kretische.

Abbildung 2

Abbildung 2

Abb. 2: Ein schon von den Arnol’d’schen Figuren her bekanntes Prinzip: Serpentine von innen nach aussen. Kann auch als Serpentine, eingeschlossen in einen einfachen doppelspiralartigen Mäander (Erwin’s Typ 4 Mäander), aufgefasst werden.

Abbildung 3

Abbildung 3

Abb. 3: Ein sehr schönes Muster mit S-förmigem Wegverlauf.

Abbildung 4

Abbildung 4

Abb. 4: Ebenfalls ein sehr schönes Muster – eine Art Yin/Yang-Bewegung.

Abbildung 5

Abbildung 5

Abb. 5: Eine Serpentine eingewickelt in einen 2-fachen doppelspiralartigen Mäander (Erwin’s Typ 6 Mäander).

Abbildung 6

Abbildung 6

Abb. 6: Ein ebenfalls schon von den Arnol’d’schen Figuren bekanntes Prinzip: Doppelspiralartiger Mäander, hier in dreifacher Ausführung (Erwin’s Typ 8 Mäander).

Das Kretische gehört also zu einer Gruppe von sechs ebenbürtigen selbstdualen interessanten alternierenden 1-achsigen Labyrinthen mit 7 Umgängen.

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Die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern ist schon seit Jahrzehnten bekannt. Sie wurde für das Kretische Labyrinth unzählige Male veröffentlicht. Die Labyrinth Society verwendet sie sogar in ihrem Logo. Kern hat die Keimstruktur als Werkzeug zur Konstruktion von Labyrinthen beschrieben. Dabei stützte er sich auf Anregungen von Thordrup und Löwenstein (Abbildung 1).

Abbildung 1. Konstruktion von Labyrinthen

Abbildung 1. Konstruktion von Labyrinthen

Quelle: Hermann Kern. Labyrinthe: Erscheinungsformen und Deutungen; 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. 2. Auflage, München: Prestel 1983.

Serien A und B zeigen die Konstruktion eines Kretischen und eines Labyrinths vom Typ Hesselager nach Zeichnungen von Thordrup. Serie C zeigt sieben Labyrinthe mit unterschiedlicher Umgangszahl, die nach einem Vorschlag von Löwenstein auf die gleiche Weise konstruiert sind. Darin sind auch die beiden Labyrinth-Typen aus Serie A und B enthalten.

Ein sehr interessanter Beitrag findet sich auf der Website von Tony Phillips. Dieser verwendet die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern, um eine Anzahl interessanter einachsiger Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert, zu beschreiben.

Die Keimstruktur für den Ariadnefaden wurde von Gundula Thormaehlen-Friedman für das Kretische Labyrinth gefunden. Erwin hat sie erstmals auf diesem Blog veröffentlicht. Aber die Keimstruktur ist nicht auf das Kretische Labyrinth beschränkt, sondern kann für jeden einachsigen Labyrinth-Typ gezeichnet werden. Dies wird in den folgenden Abbildungen an drei Beispielen gezeigt.

Abbildung 2. Tholos

Abbildung 2. Tholos

Abbildung 2 zeigt die Keimstruktur für die Begrenzungsmauer und den Ariadnefaden des Tholos-Labyrinths. Das Labyrinth befindet sich innerhalb des inneren Säulenrings des Tholos von Epidauros. Innerhalb dieses Säulenrings hat es drei Umgänge. Der äusserste dieser Umgänge ist von aussen nicht zugänglich und wird durch eine Wand unterbrochen. Er endet beidseits dieser Mauer in einer Sackgasse. Von diesem Umgang (schraffiert) biegt der Weg in das eigentliche Kern-Labyrinth ab, das nur aus den beiden innersten Umgängen besteht. Die Keimstruktur ist für dieses Kernlabyrinth abgebildet.

Abbildung 3. St. Gallen

Abbildung 3. St. Gallen

Das in Abbildung 3 gezeigte Labyrinth von St. Gallen ist eines der seltenen Exemplare, bei denen der Weg die Achse kreuzt. Dies wird auf der Keimstruktur für den Ariadnefaden mit zwei dünnen vertikalen Linien angegeben. Eine Keimstruktur kann somit auch für solche Labyrinthe gezeichnet werden. Es spielt also für die Keimstruktur keine Rolle, ob bei einem Labyrinth der Weg die Achse quert oder nicht.

Abbildung 4. Cakra vyuh

Abbildung 4. Cakra vyuh

Abbildung 4 zeigt ebenfalls ein sehr interessante Labyrinth. An der Keimstruktur für den Ariadnefaden zeigt sich deutlich, dass sich in diesem Labyrinth Serpentinen und einfache (Erwin’s Typ 4-) Mäander abwechseln.

Im Allgemeinen ist die Keimstruktur für den Ariadnefaden einfacher und besser lesbar als jene für die Begrenzungsmauern.

Die Keimstrukturen für 22 einachsige Labyrinthe sind hier zugänglich.

Schlussfolgerung: Eine Keimstruktur kann für jedes einachsige Labyrinth gezeichnet werden. Umgekehrt kann jedes einachsige Labyrinth aus einer Keimstruktur konstruiert werden.

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