Die drei Anordnungen der verwandten Labyrinthe

Im letzten Beitrag habe ich die drei Operationen vorgestellt, die vom Basislabyrinth direkt zu den drei verwandten, dem dualen, dem gegenläufigen und dem komplementären Labyrinth führen (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Zwei dieser Aktionen genügen, um zwei verwandte Labyrinthe auf direktem Weg und das dritte indirekt zu erzeugen. Das ist auf drei verschiedene Arten möglich. Diese drei Anordnungen will ich nun vorstellen. Immer steht dabei das Basislabyrinth im linken oberen Feld. 

Abbildung 1 zeigt die erste Anordnung. Vom Basislabyrinth 2 gelangt man dabei durch horizontale Spiegelung des Musters direkt zum gegenläufigen Muster 5 rechts davon. Durch Rotation des Basismusters 2 erhält man direkt das duale Muster 4 unterhalb. Wenn wir nun weiter das gegenläufige Muster 5 drehen oder das duale Muster 4 horizontal spiegeln, führt das indirekt zum komplementären Muster 7. Diese Darstellung der vier verwandten Labyrinthe hat Richard Myers Shelton in seiner Publikation° angewendet. 

Abbildung 1. Erste Anordnung

Eine Kombination der beiden direkten Operationen horizontales Spiegeln und Rotation führt indirekt vom Basismuster zum komplementären Muster. Dieses kann man auch direkt mit der Operation vertikales Spiegeln (der diagonal gegenüberliegenden Muster) erzielen, wie in Abb. 2 veranschaulicht wird.

Abbildung 2. Erste Anordnung mit direkter Herleitung (diagonal)

Wir haben hier somit für die Labyrinthe Basis (B), Gegenläufiges (G), Duales (D) und Komplementäres (K) die Anordnung:

B G

D K

Die zweite Anordnung wird in Abb. 3 dargestellt. Dies ist die Art, wie ich bisher die vier verwandten Labyrinthe angeordnet habe. Durch Rotation des Basismusters 2 erzeuge ich das duale Muster 4 und stelle es rechts nebenan. Durch vertikale Spiegelung des Basismusters 2 erzeuge ich das komplementäre Muster 7 und stelle es unter das Basismuster. Das gegenläufige Muster 5 ergibt sich durch Rotation des komplementären oder vertikale Spiegelung des dualen Musters diagonal gegenüber dem Basismuster. 

Abbildung 3. Zweite Anordnung

Die Anordnung der vier verwandten Labyrinthe in Abb. 3 ist:

B D

K G

Nun gibt es noch eine dritte Möglichkeit, wie man vom Basislabyrinth links oben aus die verwandten Labyrinthe anordnen kann. Diese wird in Abb. 4 gezeigt. Hier spiegle ich das Muster des Basislabyrinth 2 horizontal, erzeuge so das gegenläufige Muster 5 und setze es rechts daneben. Durch vertikale Spiegelung des Basismusters 2 erzeuge ich das komplementäre Muster 7 und stelle es unter das Basismuster. Dann ergibt sich das duale Muster 4 indirekt durch horizontale Spiegelung des komplementären oder vertikale Spiegelung des gegenläufigen Musters diagonal gegenüber dem Basismuster. 

Abbildung 4. Dritte Anordnung

Die Anordnung der vier verwandten Labyrinthe in Abb. 4 ist:

B G

K D

Alle drei Anordnungen zeigen die gleichen vier verwandten Labyrinthe. Die stehen auch immer in derselben Verwandtschaftsbeziehung zu einander. Das Basislabyrinth ist 2. In jeder Anordnung ist zu diesem Basislabyrinth dual Labyrinth 4, gegenläufig Labyrinth 5 und komplementär Labyrinth 7.

Die in Abb. 4 vorgestellte dritte Anordnung hat aber zwei Vorteile gegenüber den anderen beiden. Erstens sie ist anschaulicher: Nebeneinander stehen die horizontal gespiegelten Muster, untereinander die vertikal gespiegelten. Damit stehen sie dort, wo sie durch die Vorgänge der Spiegelung hingehören. Horizontales Spiegeln des Basismusters (mit Umklappen der Anschlussstücke) und anschliessendes vertikales Spiegeln des so erzeugten gegenläufigen Musters (mit erneutem Umklappen der Anschlussstücke) kommen auf dasselbe heraus wie Drehen des Basismusters ohne Umklappen der Anschlussstücke (eigentlich: hin- und zurückklappen). Man sieht so am besten, wie aus der Addition von zwei Operatoren der dritte entsteht.

Zweitens können in dieser Anordnung vom Basislabyrinth aus die drei anderen durch einfache Berechnung der Umgangsfolgen ermittelt werden. Dies ist in Abb. 5 veranschaulicht. Man braucht dazu nur die Umgangsfolge eines, sagen wir des Basislabyrinths. Diese lautet 1 2 5 4 3. Nun muss man für das Gegenläufige diese Umgangsfolge rückwärts schreiben, also 

1 2 5 4 3 <—> 3 4 5 2 1. 

Die Umgangsfolge des Komplementären ist ebenfalls leicht zu ermitteln. Man muss die Umgangsfolge des Basislabyrinths immer zu eins mehr als die Anzahl Umgänge ergänzen, hier also zu 6, also

1 2 5 4 3

5 4 1 2 3

6 6 6 6 6. 

Und aus der Umgangsfolge des Komplementären lässt sich nun ganz einfach durch Rückwärtsschreiben die des Dualen ermitteln: 

5 4 1 2 3 <—> 3 2 1 4 5. 

Abbildung 5. Einfache Berechnung mit Umgangsfolgen

Wenn wir also für irgendein Labyrinth wissen wollen, welches seine Verwandten sind, müssen wir nur seine Umgangsfolge ermitteln. Dann müssen wir die Umgangsfolge rückwärts schreiben und erhalten so das dazu gegenläufige Labyrinth. Ergänzen wir seine Umgangsfolge an jeder Stelle zu Eins mehr als die Anzahl seiner Umgänge, erhalten wir das dazu komplementäre Labyrinth. Und schreiben wir die Umgangsfolge des Kompelements rückwärts führt uns das zum dualen Labyrinth. 

° Shelton, Richard Myers. 2015. „Wayland’s New Labyrinths“ Caerdroia 44, 44-55.

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