Sigmund Gossembrot hat die Doppelbarriere als neues Gestaltungselement von Labyrinthen verwendet. Sein fünfachsiges Labyrinth auf Fol. 51 r (siehe: Verwandte Beiträge 5) und das im Entwurf auf Fol. 53 v verborgene vierachsige Labyrinth (verwandte Beiträge 4) enthalten an allen Nebenachsen ausschliesslich Doppelbarrieren. Sie haben 7 Umgänge und sind keine Sektorenlabyrinthe.
Erwin hat in einer Reihe von Beiträgen neue Sektorenlabyrinthe mit vier Achsen, fünf Umgängen und Doppelbarrieren vorgestellt (verwandte Beiträge 1, 2, 3). Er ist dabei ausgegangen von den 8 möglichen Verläufen, die der Weg in einem einachsigen Labyrinth mit fünf Umgängen nehmen kann. Sektorenlabyrinthe erhält man durch Aneinanderreihung von solchen Wegverläufen. Für eine beliebige Aneinanderreihung von vier aus 8 Wegverläufen gibt es theoretisch 4096 Variationen. Erwin hat einige davon gezeigt. Nicht alle aber haben konsequent das Prinzip der Doppelbarrieren verwirklicht.
Hier gehe ich der Frage nach, wieviele fünfgängige Sektorenlabyrinthe mit vier Achsen und konsequenter Verwendung von Doppelbarrieren es gibt. Ich gehe auch von den 8 verschiedenen möglichen Wegverläufen aus. Diese basieren auf den Arnol’dschen Mäandern in Abb. 1 (verwandte Beiträge 6).
Abbildung 1. Die Arnol’dschen Mäander
In Abb. 2 zeige ich die zu den Mäandern gehörenden Muster. Die Muster tragen die gleichen Nummern wie die Mäander, von denen sie abgeleitet sind. Die linke Hälfte der Abbildung zeigt die Muster aller alternierenden einachsigen Labyrinthe mit fünf Umgängen. Diese Muster enthalten jeweils eine Verbindung von aussen ins Labyrinth hinein (von links oben) und eine Verbindung zum Zentrum (nach rechts unten). Diese Verbindungen sind grau dargestellt. Für die Verwendung als Segmente (Sektoren) in Sektorenlabyrinthen müssen diese Muster zunächst noch ohne die grauen Verbindungsstrecken betrachtet werden. Es geht dabei nur um den Wegverlauf innerhalb des Sektors. In einem Sektorenlabyrinth werden mehrere solche Muster aneinandergereiht. Nur das erste Muster erhält eine Verbindung nach aussen und nur das letzte eine zum Zentrum. Die Muster für die 8 möglichen Wegverläufe in den Sektoren sind im Kasten in der rechten Hälfte wiedergegeben.
Abbildung 2. Die entsprechenden Muster – linke Hälfte: Muster der einachsigen Labyrinthe; rechte Hälfte: Muster der Sektoren
Nun sollen solche Sektorenmuster aneinander gereiht und vierachsige Labyrinthe mit ausschliesslich Doppelbarrieren erzeugt werden. Schauen wir uns zuerst eine solche Doppelbarriere im Labyrinth Typ Gossembrot 51 r an. Abbildung 3 zeigt das Labyrinth mit eingezeichnetem Ariadnefaden (rot). Ausser bei einachsigen Labyrinthen liegt eine Achse immer zwischen zwei Segmenten, wird von zwei verschiedenen Segmenten gebildet. Greifen wir die Doppelbarriere an der dritten Nebenachse heraus. Diese verbindet Segment III und IV und liegt auf den äusseren vier Umgängen. In der Vergrösserung des Ausschnitts ist das Seed Pattern für die Begrenzungsmauern blau nachgezeichnet. Man sieht, wie zwei verschachtelte Wenden des Ariadnefadens symmetrisch an der mittleren Begrenzungsmauer gespiegelt sind. Vier Umgänge werden für die Doppelbarriere benötigt. Bei fünf Umgängen bleibt noch ein Umgang frei für den Übergang von einem Sektor in den nächsten. Daraus wird klar, dass fünfgängige Labyrinthe mit ausschliesslich Doppelbarrieren nur Sektorenlabyrinthe sein können. Der Weg kann nur noch an einer Stelle die Achsen queren, das heisst, er muss den vorangehenden Sektor jeweils vollständig ausgefüllt verlassen.
Abbildung 3. Die Doppelbarriere bei Gossembrot
Abbildung 4 zeigt die zulässigen Verbindungen zwischen den Sektoren. (Pro memoria: die Linien repräsentieren das Muster, also den Ariadnefaden in der Rechteckform). Die Doppelbarrieren beanspruchen vier nebeneinander liegende Umgänge. Sie können so an zwei Stellen auf Umgängen 2 – 5 oder Umgängen 1 – 4 liegen. Zulässig sind nur Verbindungen auf dem gleichen Umgang, also die beiden Möglichkeiten auf dem äussersten (a) oder innersten (b) Umgang. Wollte man bei der Verbindung der Segmente den Umgang wechseln, wie in Verbindungen c und d, würde zusätzlich ein axiales Wegstück zwischen die Hälften der Doppelbarriere eingeschoben, und die Hälften würden um einen Umgang gegeneinander versetzt. Dann ist es aber keine Doppelbarriere mehr.
Abbildung 4. Zulässige Verbindungen der Sektoren
Dieser Umstand schränkt die Möglichkeiten für die Aneinanderreihung der Muster stark ein. Abbildung 5 zeigt, wie die einzelnen Muster verwendet werden können. An den freien Enden eines Musters ist angegeben, mit welchen Mustern es dort verbunden werden kann (Muster Nr., E für Eingang, Z für Zentrum). Ein vierachsiges Labyrinth hat vier Segmente. Diese werden deshalb auch „Quadranten“ genannt.
Abbildung 5. Mögliche Verwendung der Muster
- Zwei Muster, Nr. 1 und Nr. 6, können gar nicht verwendet werden. Mit ihnen kann keine Doppelbarriere erzeugt werden.
- Vier „einseitige“ Muster, nämlich Nr. 2, Nr. 4, Nr. 5 und Nr. 7 haben nur auf einer Seite eine Hälfte einer Doppelbarriere (rot eingekreist). An dieser Seite können sie mit anderen Mustern zu Doppelbarrieren verbunden werden. Zwar ist es auch noch möglich, Muster Nr. 2 mit Nr. 5 und Muster Nr. 4 mit Nr. 7 zu verbinden (nicht angegeben). Aber das ergibt nur ein zweiachsiges Labyrinth mit einer Doppelbarriere. An der zweiten Seite dieser einseitigen Muster liegt das freie Ende auf dem dritten Umgang. Dort kann keine Doppelbarriere erzeugt werden. Auf dieser Seite kann dann nur die Verbindung zum Eingang oder Zentrum liegen. Diese einseitigen Muster können also nur neben der Hauptachse platziert werden. Muster Nr. 2 und Nr 7 können nur im Quadrant IV liegen, wo sie mit dem Zentrum verbunden sind. Muster Nr. 2 kann nur noch mit Nr. 8 und Muster Nr. 7 nur noch mit Nr. 3 verbunden werden. Muster Nr. 4 und Nr. 5 können nur im Quadrant I liegen, wo sie mit dem Eingang verbunden sind. Muster Nr. 4 kann nur noch mit Nr. 8 und Muster Nr. 5 nur noch mit Nr. 3 verbunden werden.
- Nur zwei Muster, Nr. 3 und Nr. 8, lassen sich nach beiden Seiten zu Doppelbarrieren ergänzen. Und nur diese können in den Quadranten II oder III verwendet werden. Sie können darüber hinaus auch in Quadranten I oder IV stehen und somit mit dem Eingang oder dem Zentrum verbunden werden (nicht angegeben). Muster Nr. 3 und Nr. 8 können abwechselnd aneinander gereiht oder mit anderen einseitigen Mustern verbunden werden (Muster Nr. 3 mit Nr. 5 und Nr. 7; Muster Nr. 8 mit Nr. 4 und Nr. 2).
Damit haben wir die Grundlagen für die Erzeugung der Muster für die Sektorenlabyrinthe mit den Doppelbarrieren. Wir beginnen mit Mustern für die Quadranten II und III. Hier gibt es nur zwei Anordnungen. Man kann Muster Nr. 8 an Nr. 3 anhängen (oben) oder Muster Nr. 3 an Nr. 8 (unten). Die obere Kombination kann nach Quadrant I hin mit Mustern Nr. 5 oder Nr. 8, nach Quadrant IV hin mit Mustern Nr. 2 oder Nr. 3 ergänzt werden. Die untere Kombination kann nach Quadrant I hin mit Mustern Nr. 3 oder Nr. 4, nach Quadrant IV hin mit Mustern Nr. 7 oder Nr. 8 ergänzt werden.
Mit der oberen Kombination aus den Mustern Nr. 3 und Nr. 8 in Quadranten II und III können also unter konsequenter Verwendung von Doppelbarrieren vier Muster für vierachsige Labyrinthe mit fünf Umgängen gebildet werden. Diese Muster werden in Abb. 6 gezeigt.
Abbildung 6. Die Muster mit der Kombination Nr. 3 in Quadrant II – Nr. 8 in Quadrant III
Auch mit der unteren Kombination aus den Mustern Nr. 8 und Nr. 3 in Quadranten II und III können vier Muster für vierachsige Labyrinthe mit fünf Umgängen und lauter Doppelbarrieren gebildet werden. Diese Muster werden in Abb. 7 wiedergegeben.
Abbildung 7. Die Muster mit der Kombination Nr. 8 in Quadrant II – Nr. 3 in Quadrant III
Abbildung 8 zeigt die zu den Mustern der Abb. 6 gehörenden Labyrinthe.
Abbildung 8. Die Labyrinthe zu den Mustern der Abb. 6
Abbildung 9 schliesslich zeigt die zu den Mustern der Abb. 7 gehörenden Labyrinthe.
Abbildung 9. Die Labyrinthe zu den Mustern der Abb. 7
Die Frage nach der Anzahl möglicher Labyrinthe lässt sich klar beantworten:
- Es gibt 8 Labyrinthe mit 3 Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen.
Über diese Frage hinaus erhalten wir noch folgende Erkenntnisse:
- Labyrinthe mit 5 Umgängen mit lauter Doppelbarrieren müssen Sektorenlabyrinthe sein.
- Solche Labyrinthe können an der Hauptachse keine Doppelbarrieren haben. Doppelbarrieren gibt es nur an den Nebenachsen.
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