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Archive for the ‘Labyrinth’ Category

Wieder geht es um einachsige, alternierende Labyrinthe, wie der New Yorker Mathematik-Professor Tony Phillips sie definiert hat. Er kommt in seinen Berechnungen auf eine Anzahl von 1014 theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen (12-level mazes).

Er beschreibt auch eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Varianten, die John E. Koehler 1968 entwickelt hat zur Lösung eines verwandten Problems der Stempelfalzberechnung von Briefmarken.

Die nachfolgenden Abbildungen sollen diese Methode erläutern. Dazu verwende ich als erstes die schon bekannte Wegfolge für das 11-gängige Labyrinth, das sich aus dem Grundmuster erzeugen lässt, nämlich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12.
Die Wegfolge muss bekanntlich mit einer ungeraden Zahl beginnen und dann eine Reihe sein, in der sich die ungeraden mit den geraden Zahlen abwechseln. „12“ bezeichnet hierbei das Zentrum und die „Außenwelt“.

Ich zeichne einen Kreis und teile ihn in 12 Abschnitte ein, wie bei einer Uhr. Nun muss ich alle Punkte mit Linien verbinden, wobei sich aber gleichfarbige Linien nicht kreuzen dürfen.

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Ich fange mit Blau in 12 an und gehe zu 5, 2, 3, 4 (Fig. 1). Dann von 4 nach 1, wobei ich die Farbe wechsle (Fig. 2). Ich mache weiter mit 6, 11, 8, 9, 10 (Fig. 3). Ich wechsle wieder die Farbe und verbinde 10 mit 7 und 12 (Fig. 4).

Man kann es aber auch anders machen. Zum Beispiel. alle Linien zuerst in einer Farbe zeichnen und dann die kreuzenden in der anderen. Aber auch hier gilt: Gleichfarbige Linien dürfen sich nicht kreuzen. Wohl aber mehr als einmal, solange sie unterschiedlich sind (siehe 4 – 7).

Das Netz

Das Netz

Da wir aber neue Labyrinthe suchen, gehen wir nun den umgekehrten Weg: Wir zeichnen ein Netz  von 12 Linien, das alle 12 Punkte nach den vorgenannten Vorgaben verbindet und leiten daraus die Wegfolge ab.

Hierzu ein Beispiel:

Das Netz mit dem Polygon

Die erste Wegfolge schreibe ich in Zeile 2 (hier in blau), indem ich in 12 beginne und die niedrigere Ziffer ablese, hier 5. Das ist der Beginn des Weges. Dann verfolge ich das Polygon bis ich wieder bei 12 lande und erhalte: 5-2-3-4-1-6-11-10-9-8-7-12. Das ist das Original.
Nun gehe ich den Weg rückwärts und schreibe die Ziffernfolge in Zeile 3. Also von 12 zu 7 usw. Das ergibt: 7-8-9-10-11-6-1-4-3-2-5-12. Das ist das komplementäre zum Original.

Die Zeilen 1 und 4 erhalte ich durch Rechnen. Ich ergänze jeweils die entsprechenden Zahlen jeder Reihe zu „12“. In Zeile 4 erhalte ich das duale zum Original. In Zeile 1 erhalte ich das komplementäre zum dualen.

Die Probe mache ich, indem ich die so gewonnenen Zahlenkolonnen mit den anderen im „Rückwärtsgang“ vergleiche. Das betrifft die Zeilen 1 und 4, sowie 2 und 3.
Das erinnert an das Vorgehen, wie es früher schon einmal beschrieben wurde, als es um die dualen und komplementären Labyrinthe ging (siehe Verwandte Artikel unten).

Es geht aber auch anders. Ich drehe das Ziffernblatt um, schreibe die Ziffern für die 12 Punkte links herum, gegen den Uhrzeigersinn.
So sieht es dann aus:

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Die linke Seite zeigt das Ziffernblatt wie vorher. Ich beginne bei 5, zähle bis 12 und erhalte das Original. Dann beginne ich bei 7 und zähle wieder bis 12 und erhalte das komplementäre zum Original.
Nun das rechte Ziffernblatt. Ich beginne auch bei 5 und zähle bis 12 und erhalte so das duale zum Original. Dann wieder von 7 bis 12  und ich erhalte das komplementäre zum dualen.

Was sollen nun die blau geschriebenen Wegfolgen bedeuten? Sie weisen darauf hin, dass der Eintritt in das Labyrinth auf die gleiche Achse gelegt werden kann, wie der Eintritt in das Zentrum. Das sind hier die Umgänge 5 und 7. Dadurch lässt sich beim Konstruieren eine kleine ausgesparte Stelle im Labyrinth anlegen, das man als Herz oder (wie früher einmal genannt) Fontanelle ansehen könnte. Vor allem im konzentrischen Stil lässt sich das gut umsetzen.

Aus diesen beiden neu erzeugten (blauen) Wegfolgen konstruiere ich nun zwei neue 11-gängige Labyrinthe im konzentrischen Stil:

Sie haben ein anderes Bewegungsmuster als die bisher schon bekannten Labyrinthe. Zudem sehen wir 6 Wendepunkte für die Umgänge.

Das hier ist das duale zum vorhergehenden Labyrinth. Auch hier gibt es wieder ein anderes „Feeling“.

Wer macht den Anfang und baut einmal ein solches Labyrinth?

Die beiden anderen Wegfolgen ergeben auch neue Labyrinthe, die ich mir aber hier schenke. Die gehören zu den übrigen 1000 Varianten, die für 11-gängige Labyrinthe theoretisch möglich sind.

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Erstmals gibt es einen Labyrinthkalender für das Jahr 2019.

Das Deckblatt

Das Deckblatt

Die poetischen Texte auf den einzelnen Blättern sind von Bettine Reichelt aus Leipzig. Die Luftaufnahmen (April, Juli, September) sind von meinem Sohn, die übrigen Bilder von mir.

Hier eine kleine Vorschau:

Der Kalender im DIN A4-Format kostet 10,– € + 3,– € Verpackungs- und Versandkostenpauschale innerhalb Deutschlands und kann per E-Mail an: lektorin at bettine-reichelt.de (für at das richtige Zeichen einsetzen) bestellt werden.

Die Rückseite

Die Rückseite

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Fertigstellung des Labyrinths

Nun haben wir beide nötigen Elemente (siehe verwandte Beiträge 2, unten) und können das Labyrinth vom Typ Chartres im Man-in-the-Maze Stil fertigstellen. Es sind dies die Hilfsfigur und das Seed Pattern (Abb. 1).

Abbildung 1. Hilfsfigur und Seed Pattern

Die Hilfsfigur hat 90 Speichen und 22 Ringe. Sie hat im Inneren 2 Ringe, die nicht für das Labyrinth genutzt werden. Der Grund dafür ist, dass sonst der Abstand zwischen zwei Speichen zu schmal wird und kein Platz für den Weg frei bleibt (verwandte Beiträge 1).

Zur Vollendung des Labyrinths gehen wir genau wie im ersten Beitrag dieser Serie gezeigt vor (verwandte Beiträge 4). Zuerst müssen wir die Lage des Zentrums bestimmen (Abb. 2).

Abbildung 2. Lage des Zentrums

Das Zentrum liegt am oberen Ende der rechten Hälfte des Seed Patterns der Hauptachse. Das ist genau gleich wie bei den einachsigen MiM-Labyrinthen (verwandte Beiträge 4). Da hier aber nun vier Seed Pattern mit je zwei Hälften auf dem zentralen Hilfskreis angeordnet sind, verschiebt sich das Zentrum in das obere Ende des Achtels rechts unten.

Abbildung 3. Schritt 1, Quadrant IV

In Abb. 3 ziehen wir nun eine Begrenzungsmauer entlang der Linien der Hilfsfigur um das Zentrum.

Von dort aus fügen wir eine Begrenzungsmauer nach der anderen an und vervollständigen so den IV. Quadranten (Abb. 4).

Abbildung 4. Vollendung Quadrant IV

Die Begrenzungsmauern des IV. Quadranten umschliessen das Zentrum und verbinden die rechte Hälfte des Seed Patterns der Hauptachse mit der linken Hälfte des Seed Patterns der 3. Nebenachse.

Nun sollen die Begrenzungsmauern der anderen Quadranten fertiggestellt werden. Wo ist damit zu beginnen? Dies zeigt Abbildung 5.

Abbildung 5. Schritt 1, Quadranten I – III

Dort wo die Seed Pattern von zwei verschiedenen Achsen zusammenstossen, befindet man sich jeweils auf dem innersten, 11. Umgang. Diese Stellen sind bereits aus dem 9. Beitrag dieser Serie bekannt (verwandte Beiträge 3). Sie sind durch die gestrichelten Geraden markiert. Auf diesen Speichen liegen inneren Begrenzungsmauern der Wegstücke, die verbunden werden müssen. Zuerst verlängern wir also diese Begrenzungsmauern bis zu dem Radius, der mit dem gestrichelten Kreis markiert ist. Auf diesem Hilfskreis liegen die inneren Begrenzungsmauern des 11. Umgangs.

Abbildung 6. Schritt 2, Quadranten I-III

Diese werden nun jeweils mit einem Linienzug entlang der Speichen und Ringe der Hilfsfigur verbunden (Abb. 6). Dieser repräsentiert die äussere Begrenzungsmauer für den 11. Umgang und die innere Begrenzungsmauer für den 10. Umgang.

Abbildungen 7 bis 9 zeigen, wie die übrigen Quadranten nacheinander fertiggestellt werden.

Abbildung 7. Vollendung Quadrant III

 

Abbildung 8. Vollendung Quadrant II

 

Abbildung 9. Vollendung Quadrant I

Entfernen wir nun noch die Hilfsfigur, so lässt sich das Resultat ungestört betrachten (Abb. 10).

Abbildung 10. Labyrinth vom Typ Chartres im Man-in-the-Maze Stil

Verwandte Beiträge

  1. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 11
  2. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 10
  3. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 9
  4. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth

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In meinen letzten Beiträgen hatte ich die Methode der Umwandlung vom Mittelalterlichen Labyrinth durch Weglassen der Barrieren aufgezeigt.

Die erste Möglichkeit um Labyrinthe zu generieren ist natürlich die Verwendung des Grundmusters. So sind die meisten skandinavischen Trojaburgen mit 7, 11 oder 15 Umgängen erzeugt worden.

Vor einigen Jahren hatte ich mit der Mäandertechnik beschäftigt. Dabei sind schon viele neue, bisher unbekannte Labyrinthe entstanden.

Ein weitere Möglichkeit hat Andreas in seinen Beiträgen zu den dualen und komplementären Labyrinthen aufgezeigt. Da werden durch Rotieren und Spiegeln neue Versionen von schon bekannten Typen erzeugt.

Diese Technik will ich nun verwenden, um einige neue Varianten vorzustellen.

Dabei beziehe ich mich auf einachsige, alternierende Labyrinthe. Diese Bezeichnung verwendet Tony Phillips in seinen Ausführungen als Mathematiker zum Labyrinth. Er nennt auch die Anzahl der theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen: 1014 Stück.

Die theoretisch möglichen interessanten Varianten der 3-, bis 7-gängigen Labyrinthe sind in diesem Blog schon alle einmal aufgetaucht.

Ich konstruiere die hier gezeigten Beispiele im konzentrischen Stil. Aufgrund der Wegfolge (= Umgangsfolge) lässt sich das relativ einfach bewerkstelligen. Man benötigt kein Muster dazu. Die Wegfolge ist auch das Unterscheidungsmerkmal der verschiedenen Varianten.

Ich beginne mit dem gut bekannten 11-gängigen klassischen Labyrinth, das aus dem Grundmuster erzeugt werden kann:

Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Um das duale Exemplar davon zu erzeugen, nummeriere ich die einzelnen Umgänge von innen nach außen, gehe dann von innen nach außen und schreibe dazu die Wegfolge auf. Es ergibt sich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-(12).
Diese ist in diesem Fall identisch mit dem Original, es entsteht also kein neues Labyrinth. Daher ist dieses Labyrinth selbstdual. Das wiederum zeugt von einer besonderen Qualität dieses Typs.

Jetzt erzeuge ich das komplementäre Exemplar. Dazu ergänze ich die einzelnen Ziffern der Wegfolge zur Ziffer des Zentrums „12“.
5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7
7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5
Die einzelnen Werte der Reihe oben und unten addiert, ergibt jeweils 12.

Oder, ich lese die Wegfolge rückwärts. Das bringt die gleiche neue Wegfolge. Doch so direkt geht das nur bei selbstdualen Labyrinthen.

Zu dieser Wegfolge 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12 zeichne ich nun ein Labyrinth.
So sieht es aus:

Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Dieses neue Labyrinth ist bisher kaum bekannt.


Jetzt nehme ich ein anderes schon einmal im Blog gezeigtes Labyrinth, das mit Mäandertechnik erzeugt wurde, jedoch ein nicht-selbstduales.

Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik

Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik

Zuerst ermittle ich die Wegfolge für das duale Labyrinth, indem ich von innen nach außen gehe. Und erhalte: 7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9-(12).

Danach konstruiere ich nach dieser Wegfolge das duale Labyrinth.
So sieht es dann aus:

Das duale 11-gängige Labyrinth

Das duale 11-gängige Labyrinth

Jetzt kann ich jeweils zu beiden vorgenannten Labyrinthen die komplementären Exemplare generieren.

Obere Reihe das Original. Untere Reihe das komplementäre.
3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7
Die untere Reihe erzeugt durch Ergänzen der oberen zu „12“.

Das komplementäre Labyrinth sieht wie folgt aus:

Das komplementäre Labyrinth zum Original

Das komplementäre Labyrinth zum Original

Nun die Wegfolge des dualen in der oberen Reihe. Das dazu komplementäre in der unteren.
7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3
Wieder ermittelt durch Ergänzung zu „12“.

Das sieht so aus:

Das komplementäre Labyrinth zum dualen

Das komplementäre Labyrinth zum dualen

Ich habe also drei neue Labyrinthe zu einem schon bekannten hinzugewonnen. Bei einem sebstdualen Labyrinth erhalte ich dagegen nur ein neues dazu.

Nun kann ich das Spielchen noch weitertreiben. Auch für die neu erzeugten komplementären Labyrinthe könnte ich wieder duale Labyrinthe erzeugen, indem ich von innen nach außen nummeriere.

Das duale des komplementären zum Original ergibt das komplementäre des dualen. Und das duale des komplementären zum dualen ergibt das komplementäre des Originals.

Die nebeneinander geschriebenen Wegfolgen verdeutlichen das. Oben stehen das Original (links) und das duale (rechts).
Unten stehen die komplementären, links das komplementäre zum Original. Und rechts das komplementäre zum dualen.

3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5  *  7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7  *  5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3

Die oberen und die unteren einzelnen Ziffern addiert, ergibt jeweils „12“.

Auch kann man erkennen, dass die über Kreuz gelesenen Wegfolgen zueinander rückwärts verlaufen.

Diese Eigenschaften kann ich auch nutzen, wenn ich neue Labyrinthe  erzeugen will. Indem ich die Wegfolgen des Originals und des dualen rückwärts interpretiere, erzeuge ich zum Original das komplementäre des dualen, und zum dualen das komplementäre des Originals. Und umgekehrt.

Wenn ich eine einzige Wegfolge habe, kann ich so die übrigen drei rein rechnerisch ermitteln.

Klingt verwirrend, ist es auch, denn wir reden von Labyrinthen.

Zum besseren Verstehen am besten selbst ausprobieren oder den Artikel (Die Umgangsfolgen … siehe unten) von Andreas zu diesem Thema aufmerksam studieren.

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Komplettierung des Seed Pattern

Zwei Schritte braucht es noch, um das Labyrinth vom Typ Chartres in den Man-in-the-Maze Stil zu bringen. Zuerst muss das Seed Pattern vervollständigt werden.

Wir haben das Seed Pattern für die Begrenzungsmauern, aber noch ohne die achsquerenden Wegstücke. Die sind noch in der Ariadnefadendarstellung (Abb. 1).

Abbildung 1. Seed Pattern und achsquerende Wegstücke

Das Labyrinth soll mit den Begrenzungsmauern dargestellt werden. Dazu müssen noch die Begrenzungsmauern um die achsquerenden Wegstücke ergänzt werden (Abb 2).

Abbildung 2. Ergänzung der Begrenzungsmauern – 1

Wir beginnen von aussen nach innen und zeichnen um die äussersten dieser Wegstücke die Begrenzungsmauern.

Als nächsten Schritt fügen wir die Begrenzungsmauern um die nächst inneren Wegstücke hinzu (Abb. 3).

Abbildung 3. Ergänzung der Begrenzungsmauern – 2

Man sieht, dass bei jedem Schritt pro Wegstück 2 oder 4 Speichen nach innen verlängert werden müssen, die dann mit einem Kreisbogen verbunden werden.

Und so fahren wir fort, bis alle achsquerenden Wegstücke von Begrenzungsmauern umhüllt sind (Abb 4).

Abbildung 4. Das fertige Seed Pattern für die Begrenzungsmauern

Dies ergibt das vollständige Seed Pattern für die Begrenzungsmauern. In der Mitte des Seed Patterns und wo der Weg die Achsen quert, gibt es auch unzugängliche Bereiche. Das ist ganz analog zu den Seed Patterns bei alternierenden Labyrinthen im MiM-Stil, bei denen die Mitte auch unzugänglich ist.

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Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das vor Jahren schon einmal ausprobiert. Und in den letzten beiden Beiträgen zu diesem Thema bei den Typen Auxerre und Reims. Siehe dazu die Verwandten Artikel unten.

Heute soll noch einmal der Chartres Typ behandelt werden. Hier das Original in wesentlicher Form, im konzentrischem Stil.

Das Chartres Labyrinth

Das Chartres Labyrinth

Das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Zacken und das sechsblättrige Element in der Mitte gehören zum Stil Chartres und sind hier weggelassen.

Nun ohne die Barrieren in den Nebenachsen.

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Anders als bei den Typen Auxerre und Reims können alle Umgänge in das nun entstehende Labyrinth einbezogen werden. Die Wegfolge ist: 5-4-3-2-1-6-11-10-9-8-7-12. Wir haben acht Wendepunkte mit gestapelten Umgängen. Es ist selbstdual. Das heißt, von innen nach außen geht es im gleichen Rhythmus wie hinein.

Das ergibt aber nun nicht einfach ein 11-gängiges Labyrinth wie wir es aus dem erweiterten Grundmuster erzeugen können.
Denn das sieht so aus:

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Die Wegfolge hier ist: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12. Wir haben vier Wendepunkte mit verschachtelten Umgängen. Es liegt also ein anderes Prinzip der Konstruktion zugrunde als beim Chartres Labyrinth. Doch ist es selbstdual.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu.

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals.
So sieht es dann aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Der Eintritt ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte geschieht vom 5. Umgang aus. Die Barrieren rechts und links sind anders angeordnet, die oberen bleiben. Es ist selbstdual.

Ohne Barrieren sieht es so aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Die Umwandlung funktioniert wieder, wie beim Original auch. Die Wegfolge lautet: 7-8-9-10-11-6-1-2-3-4-5-12. Auch dieses Labyrinth ist selbstdual.

Dem stellen wir wieder das komplementäre Labyrinth gegenüber, das aus dem Grundmuster erzeugt wurde.

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Die Wegfolge hierzu lautet: 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12.
Anders als das Original ist dieser Typ historisch noch nicht aufgetaucht.

Wir haben also aus dem Chartres Labyrinth zwei völlig neue 11-gängige Labyrinthe erzeugt, die anders aussehen als die bisher bekannten 11-gängigen Labyrinthe, die aus dem Grundmuster entwickelt werden können.

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Die Achsquerungen

Bei alternierenden mehrachsigen Labyrinthen quert der Weg die Hauptachse nicht. Aber er muss jede Nebenachse queren (siehe unten: verwandte Beiträge 1). Wie also sind Achsquerungen im MiM-Stil umzusetzen? Hier sei zunächst daran erinnert, dass ich früher schon ein nichtalternierndes einachsiges Labyrinth in den MiM-Stil gebracht habe (siehe verwandte Beiträge 2). Daraus wird ersichtlich, was passiert, wenn der Weg die Achse kreuzt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Labyrinth vom Typ St. Gallen im MiM-Stil

An der Stelle, wo der Weg die Achse quert, wird der innerste Kreis durchbrochen. Die achsquerenden Wegstücke, und nur diese, gehen im MiM-Stil durch die Mitte des Seed Pattern. Bei allen alternierenden einachsigen Labyrinthen ist der innerste Kreis geschlossen. Das Zentrum des Labyrinths liegt immer ausserhalb.

Nun müssen beim Labyrinth vom Typ Chartres im MiM-Stil an jeder Nebenachse mehrere Wegstücke durch die Mitte geführt werden. Aus den Seed Patterns ist klar ersichtlich, wo Achsquerungen vorkommen. Es sind dies die Stellen, an denen der innerste Kreis durchbrochen ist. Betrachten wir die erste Nebenachse im Detail (Abbildung 2). Das Seed Pattern dieser Nebenachse liegt im westlichen Quadranten (schwarz hervorgehoben).

Abbildung 2. Das Seed Pattern der ersten Nebenachse

Es gilt, die Achsquerungen an dieser Nebenachse in den MiM-Stil umzuformen (Abbildung 3).

Abbildung 3. Die achsquerenden Wegstücke

Bekanntlich geht der Weg im Labyrinth vom Typ Chartres zuerst entlang der Hauptachse auf den 5. Umgang, wendet an der ersten Nebenachse, kehrt auf Umgang 6 zur Hauptachse zurück und erreicht von dort den innersten Umgang 11. Auf diesem Umgang macht er einen Halbkreis und quert dabei die erste Nebenachse. Dann wendet er an der zweiten Nebenachse. Von dort kehrt er auf dem 10. Umgang zur Hauptachse zurück und quert wieder die erste Nebenachse. Auch auf dem 7., 4. und 1. Umgang quert der Weg die erste Nebenachse. Die Wegstücke auf den äusseren Umgängen umhüllen die Wegstücke auf den inneren Umgängen und das äusserste Wegstück auf Umgang 1 umhüllt alle anderen.

In Abbildung 4 wird gezeigt, was mit den achsquerenden Wegstücken (in der Farbe des Ariadnefadens rot) passiert, wenn die Nebenachse aus dem konzentrischen in den MiM-Stil überführt wird.

Abbildung 4. Umformung vom konzentrischen in den MiM-Stil

Das linke Bild zeigt die gespaltene, leicht geöffnete Nebenachse. Der Verlauf der Wegstücke ist noch sehr ähnlich wie in der Ausgangslage von unten nach oben und umgekehrt. Aber alle Wegstücke biegen in die gegenteilige Richtung. Im mittleren Bild ist der ursprüngliche Verlauf kaum mehr erkennbar. Die beiden Hälften der Nebenachse sind weit geöffnet. Die Wegstücke kommen von seitwärts auf die eine Hälfte der Achse zu und gehen seitwärts von der anderen Hälfte ab. Zwischen den Hälften der Achse verlaufen sie in vertikaler Richtung. Die Wegstücke auf den inneren Umgängen umhüllen die äusseren. Das innerste Wegstück auf Umgang 11 umhüllt alle anderen. Bis zum rechten Bild ist es dann nur noch eine kleine Veränderung. Alle Wegstücke und das Seed Pattern werden in eine Form gebracht, dass sie zwischen (Wegstücke = Stücke des Ariadnefadens) und auf (Seed Pattern für die Begrenzungsmauern) den Speichen und Kreisen der MiM-Hilfsfigur zu liegen kommen.

Abbildung 5 zeigt alle achsquerenden Wegstücke auf allen drei Nebenachsen im MiM-Stil.

Abbildung 5. Alle Achsquerungen

Die westliche und östliche Nebenachse haben je fünf, die nördliche Nebenachse drei achsquerende Wegstücke. Es braucht also im Zentrum der MiM-Hilfsfigur weitere Hilfskreise, um die Achsquerungen unterzubringen. Dafür sind fünf Hilfskreise erforderlich. Und auch die Speichen müssen nach innen fortgesetzt werden, weil die Begrenzungsmauern (schwarz) auf die Hilfskreise und Speichen zu liegen kommen. Gegen die Mitte zu wird der Abstand zwischen den Speichen immer enger. Deshalb muss der inneste Hilfskreis einen gewissen minimalen Radius haben, damit sich Begrenzungsmauern und Wegstücke nicht überlappen.

Nun haben wir alle Elemente vorliegen, um den Labyrinth Typ Chartres im MiM-Stil fertigzustellen.

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  1. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 9
  2. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 6

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