Feeds:
Beiträge
Kommentare

Archive for the ‘Labyrinth’ Category

Es gibt 64 Muster von Labyrinthen mit 3 echten oder unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Nur die wenigsten sind bisher in irgendeiner Form veröffentlicht. Und davon die meisten wohl in diesem Blog. Das älteste jedoch ist ein römisches Mosaiklabyrinth. Nun bin ich versucht, alle Exemplare, die im letzten Jahr in diesem Blog schon gezeigt worden sind, einem der 64 Muster zuordnen.

Bisher habe ich für die Muster folgende Namen verwendet:

  • A – H für die 8 Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren
  • A‘ – H‘ für die 8 Labyrinthe mit ausschliesslich unechten Doppelbarrieren.

Damit sind aber erst 16 der 64 Muster benannt. Diese Namen sind bei der Erarbeitung der letzten Beiträge entstanden. Um jedem der 64 Muster einen Namen zu geben, muss etwas systematischer vorgegangen werden. Die Benennung muss verfeinert werden. Dafür kann ich wieder auf das Baumdiagramm zurückgreifen (verwandte Beiträge 1). Das oberste Muster mit nur echten Doppelbarrieren habe ich mit D, das unterste mit nur unechten Doppelbarrieren mit D‘ benannt. Jetzt braucht es eine Differenzierung, die allen acht Mustern, also auch den übrigen sechs, eine eindeutige Bezeichnung gibt.

Abb. 1 zeigt (immer noch am Beispiel von Ausgangslabyrinth D) die Art und Abfolge der Verbindungen zwischen den Sektoren. Direkte Verbindungen (echte Doppelbarrieren) sind mit einem horizontalen (–), indirekte (unechte Doppelbarrieren) mit einem vertikalen (|) Strich gekennzeichnet. Diese Anordnung der Kombinationen ist nicht zufällig, sondern systematisch geordnet. Die oberste Kombination besteht nur aus direkten Verbindungen und enthält die Abfolge – – –. In der zweiten Kombination wird die letzte direkte Verbindung durch eine indirekte ersetzt, das ergibt die Abfolge – – |. Die dritte Kombination ersetzt die mittlere direkte Verbindung durch eine indirekte und resultiert in der Abfolge – | –. Die vierte Kombination bringt anstelle der direkten letzten und mittleren indirekte Verbindungen (– | |). Und so weiter.

Abbildung 1. Folge der Verbindungen


Ersetzen wir „–„ mit „0“ und „|“ mit „1“ , sehen wir, dass die Anordnung der Kombinationen einfach den binären Zahlen von 000 bis 111 entspricht. Und zwar sind es die ersten acht Zahlen von Null bis Sieben im Binärsystem geschrieben.

Abbildung 2. Anordnung der Kombinationen

Damit kann man die 8 Muster, die in Abb. 1 (ausgehend von Labyrinth D) gebildet worden sind, eindeutig bezeichnen. Und nicht nur das. Die Bezeichnung gibt auch Aufschluss darüber, wie die Sektoren miteinander verbunden sind. In dieser neuen Bezeichnung nenne ich das erste Muster D – – –. Das hiess vorher D. Das zweite Muster hatte noch keinen Namen und heisst nun D – – | usw. bis zum siebten Muster, die alle noch keine Namen hatten. Das unterste, achte Muster hiess bisher D‘ und heisst neu D | | |. Diese Systematik ist unabhängig vom Ausgangslabyrinth. Wir können sie für alle Labyrinthe A – H anwenden. Somit können wir alle 64 Muster eindeutig bezeichnen mit einem Grossbuchstaben gefolgt von drei horizontalen oder vertikalen Strichen.

Nun will ich einige konkrete Beispiele zuordnen.

Drei Labyrinth Exemplare können einem der Muster aus dem Baumdiagramm D zugeordnet werden. Das älteste ist das römische Mosaiklabyrinth vom Typ Avenches (verwandte Beiträge 5). Dieses hat das unterste Muster D | | | .

Das zweite Exemplar wurde von Erwin in seinem Beitrag vom August 2019 (verwandte Beiträge 4) vorgestellt und hat das oberste Muster D – – –.

Das dritte Exemplar ist das im Artikel vom Oktober 2019 gezeigte Labyrinth 233/270 von Mark Wallinger. Es hat das dritte Muster D – | – (verwandte Beiträge 2).

Abbildung 3. Labyrinthe der Gruppe D

 

Die Labyrinthe von Abb. 4 lassen sich keiner Variante von Ausgangslabyrinth D zuordnen. Sie sind alle Labyrinthe mit nur echten Doppelbarrieren. Das heisst, es sind jeweils die Ausgangslabyrinthe und obersten Muster von anderen Baumdiagrammen.

Das erste Labyrinth stammt aus Erwins Beitrag vom August 2019 und hat das Muster G – – – (verwandte Beiträge 4).

Das zweite Labyrinth aus dem Beitrag vom September 2019 von Erwin hat das Muster F – – – (verwandte Beiträge 3).

Das dritte ist das Labyrinth 10/270 von Mark Wallinger aus demselben Beitrag und hat das Muster A – – –. 

Abbildung 4. Klassifizierung von anderen Labyrinthen mit echten Doppelbarrieren

Das neue Sektorenlabyrinth in Abb. 5 aus Erwins Beitrag vom Oktober 2019 hat das Muster G – | – (verwandte Beiträge 2). Es ist das dritte Muster aus dem Baumdiagramm G, also eines der 48 Muster mit gemischten echten und unechten Doppelbarrieren.

Abbildung 5. Labyrinth der Gruppe G mit echten und unechter Doppelbarriere

Hingegen ist das in Ab. 6 gezeigte Labyrinth keinem der 64 Muster zuzuordnen, da es nicht an allen Nebenachsen Doppelbarrieren hat. Dieses Labyrinth stammt ebenfalls aus Erwins Beitrag vom September 2019 (verwandte Beiträge 3). Man sieht an diesem Beispiel gut, dass mit den Sektormustern Nr. 1 und Nr. 6 keine Doppelbarrieren gebildet werden können.

Abbildung 6. Kein Labyrinth mit nur Doppelbarrieren


Das war auch nicht die Absicht. Erwin wollte einfach alle acht Sektormuster einmal in einem Sektorenlabyrinth mit vier Achsen verwendet haben.


Verwandte Beiträge:

  1. Die Labyrinthe mit echten und unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen
  2. Neue 5-gängige Labyrinthe mit Doppelbarrieren
  3. Eine neue Generation von Sektorenlabyrinthen
  4. Ein neuer Typ von Sektorenlabyrinth nach Gossembrot
  5. Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 15

Read Full Post »

Dieser Labyrinthtyp wurde hier schon ausführlich beschrieben und gewürdigt. Trotzdem möchte ich heute noch einmal darauf zurückkommen.
Der fünfzackige Stern (das Pentagramm) in der Mitte hat es mir besonders angetan. Dieser taucht in vielen Nationalflaggen auf, so auch in der Europaflagge. Darum wäre dieser Labyrinthtyp  gut für ein „Europäisches Labyrinth“ geeignet. Und auch der Augsburger Humanist Sigismund Gossembrot der Ältere wäre ein guter „Pate“ für so ein Labyrinth.

Das Gossembrot Labyrinth in den europäischen Farben

Das Gossembrot Labyrinth in den europäischen Farben

Hier mit gleichbreiten Begrenzungs- und Weglinien. Das wäre z.B. als Vorlage für ein Fingerlabyrinth gut geeignet:

Das Gossembrot Fingerlabyrinth in den europäischen Farben

Das Gossembrot Fingerlabyrinth in den europäischen Farben

Es wäre schön, wenn dieser Typ Labyrinth einmal als begehbares und öffentliches Labyrinth gebaut werden würde.
Um das zu erleichtern, stelle ich in der nachfolgenden Zeichnung eine Art Prototyp vor. Das Achsmaß beträgt dabei 1 m. Dadurch ist es sehr leicht in verschiedene Größen umzurechnen. Da die Linienachsen angegeben sind, lassen sich unterschiedliche Linien- und Wegbreiten umsetzen. Der Durchmesser der Mitte beträgt hier das vierfache des Achsmaßes, also 4 m.
Wie das Umrechnen mit einem Skalierungsfaktor geht, wurde in diesem Blog schon in verschiedenen Beiträgen erläutert, zuletzt beim Labyrinthkalkulator.

Die Konstruktionszeichnung

Die Konstruktionszeichnung

Und hier gibt es die Zeichnung als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder herunterladen.

Die Nutzungsrechte sind die gleichen wie für den Labyrinthkalkulator.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Im letzten Beitrag habe ich gezeigt, dass es 64 Labyrinthe mit 3 echten und / oder unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen gibt (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Wieviele davon aber haben ausschliesslich unechte Doppelbarrieren?

Die Antwort auf diese Frage ist in dem Material aus dem letzten Beitrag eigentlich schon enthalten. Um das zu zeigen, greife ich nochmals auf die Baumdarstellung zurück (Abb. 1). Sie zeigt die Kombinationen ausgehend von Labyrinth D. Daraus sieht man, dass die oberste Kombination ein Muster mit lauter echten Doppelbarrieren (eben das Labyrinth D) ergibt. Dies ist das einzige der acht Muster mit nur echten Doppelbarrieren. Genauso ergibt die unterste Kombination das einzige Muster mit nur unechten Doppelbarrieren. Dieses will ich D‘ nennen. Die sechs dazwischen liegenden Kombinationen ergeben alle Muster mit echten und unechten Doppelbarrieren.

Abbildung 1. Kombinationen mit echten, unechten und gemischten Doppelbarrieren

Wenn wir also für alle Labyrinthe A – H gleich verfahren wie in Abb. 1 bei Labyrinth D, erhalten wir jedesmal eine unterste Kombination mit lauter unechten Doppelbarrieren. Diese Muster und die dazu gehörenden Labyrinthe sind in Abb. 2 abgebildet. Ich habe sie mit A‘ – H‘ benannt. Labyrinthe mit dem gleichen Grossbuchstaben gehören zum gleichen Baumdiagramm.

Abbildung 2. Die 8 Labyrinthe mit 3 unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen

Wir können somit feststellen, dass unter den 64 Labyrinthen mit 4 Achsen und 5 Umgängen

  • 8 Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren
  • 8 Labyrinthe mit ausschliesslich unechten Doppelbarrieren und
  • 48 Labyrinthe mit echten und unechten Doppelbarrieren

vorkommen.

Verwandte Beiträge:

Read Full Post »

Immer wieder einmal taucht die Frage auf nach einer Formel oder Tabelle zur Berechnung von Konstruktionselementen im Labyrinth. Für mich habe ich das Problem so gelöst, dass ich die verschiedenen Labyrinthe mit einem Zeichenprogramm (AutoCAD) entwerfe und konstruiere. Dabei entstehen Zeichnungen, die alle Elemente geometrisch und mathematisch exakt darstellen.
Diese plotte (drucke) ich jedoch nicht in einem bestimmten Maßstab, sondern passe die Größe der Zeichnung so an, dass sie immer auf ein Blatt im DIN A4-Format passt.
Maßgeblich zur Umsetzung des Labyrinths in die Örtlichkeit sind dann allein die Maßangaben. Nach Möglichkeit versuche ich auch, keine „krummen“ Maße zu verwenden, sondern einfache Einheiten, meistens den Meter.
Die Maßangaben sind daher geeignet, skaliert zu werden und so können Labyrinthe in unterschiedlichen Größen konstruiert werden.
Die Zeichnungen stellen also eine Art Prototyp dar. Da immer die Achsen der Linien angegeben sind, lassen sich die Breiten der Begrenzungslinien und des Weges variieren.

Die Konstruktionselemente der Linien im Labyrinth bestehen meistens aus Kreisbögen und Geraden. Im verwendeten Programm (AutoCAD) lassen sich diese einzelnen Elemente zu sogenannten Polylinien zusammenfügen und deren Gesamtlänge wird dann berechnet.
Die Längenangaben für die Begrenzungslinien und die Weglinien (der Ariadnefaden) in der Zeichnung kommen so zustande. Die Begrenzungslinien bestehen aus 2 Geraden und 22 Bögen (24 Elemente insgesamt). Der Ariadnefaden besteht aus 1 Gerade und 25 Bögen (26 Elemente insgesamt). Das ganze Labyrinth besteht somit aus 50 einzelnen Elementen.

Das alles in einer Tabelle mit den entsprechenden Formeln zu berechnen, wäre möglich, aber umständlicher und umfangreicher.

Mit dem Skalierungsfaktor lassen sich vor allem Varianten in verschiedenen Größen leichter berechnen. Der Labyrinth Kalkulator ist so etwas wie eine Zusammenfassung und allgemeine Gebrauchsanweisung. Hier speziell für das wohlbekannte 7-gängige kretische Labyrinth.
Jedoch wurde diese Methode auch schon für andere Labyrinthtypen in diesem Blog beschrieben.

Der Labyrinth Kalkulator

Der Labyrinth Kalkulator

Hier die Zeichnung als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder herunterladen

Noch einige Bemerkungen zum Urheberrecht:
Alle Zeichnungen und Fotos in diesem Blog sind entweder von mir oder von Andreas Frei, wenn nicht anders gekennzeichnet, und unterliegen der Lizenz CC BY-NC-SA 4.0
Das bedeutet: Sie dürfen die Zeichnungen und Fotos verwenden oder auch verändern ohne uns erst fragen zu müssen, wenn Sie unsere Namen als Autoren nennen, wenn Sie die Zeichnungen und Fotos nicht für kommerzielle Zwecke nutzen und wenn Sie sie unter der gleichen Lizenz veröffentlichen oder weitergeben. Ein Link zu diesem Blog wäre schön und würde uns freuen, ist aber nicht Bedingung.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Bekanntlich gibt es 8 Labyrinthe mit 3 Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). In Abb. 1 zeige ich die Muster und Labyrinthe wieder und gebe ihnen fortlaufende Namen von „A“ bis „H“.

Abbildung 1. Die 8 Labyrinthe mit echten Doppelbarrieren

Die wichtigste Einschränkung bei der Ableitung dieser Labyrinthe war, dass die Doppelbarriere so aussehen muss, wie bei Gossembrot. Erwin hat kommentiert und will auch Wegführungen einbeziehen, bei denen der Weg vom äussersten auf den innersten Umgang wechselt oder vice versa. Aus meiner Sicht sind das keine Doppelbarrieren. Zudem kommt dieses Gestaltungsprinzip bereits in älteren historischen Labyrinthen vor. Ich will nun die neue, bei Gossembrot erstmals konsequent verwendete Doppelbarriere mit „echte Doppelbarriere“, die ältere Wegführung mit „unechte Doppelbarriere“ bezeichnen. Zweifellos ist die unechte Doppelbarriere ein interessantes Gestaltungselement. Sie ist in reiner Form im Labyrinth Typ Avenches verwirklicht. Die echte Doppelbarriere kommt ebenso in reiner Form in den in Abb. 1 gezeigten 8 Labyrinthen vor. Man kann auch beide Gestaltungs Prinzipien mischen, wie Erwin und Mark Wallinger das getan haben (siehe verwandte Beiträge 2).

Hier interessiert mich die Frage, wieviele Labyrinthe es gibt, wenn echte und /oder unechte Doppelbarrieren verwendet werden. Die wichtigsten Grundlagen dafür wurden schon beschrieben (verwandte Beiträge 1) . Was sich aber ändert, ist, dass nun nicht nur Optionen a) oder b), sondern auch Optionen c) oder d) für die Verbindung der Sektoren zugelassen sind (Abb.2).

Abbildung 2. Zulässige Verbindungen

Die übrigen Einschränkungen bleiben nach wie vor gültig. Sektorenmuster Nr. 1 und Nr. 6 können gar nicht verwendet werden. Die vier einseitigen Sektorenmuster Nr. 2, Nr. 4, Nr. 5 und Nr. 7 dürfen nach wie vor nur in den Quadranten I und IV stehen. Wir wollen ja auch bei Übergängen, wo der Weg den Umgang wechselt, beide Hälften einer Doppelbarriere an der Nebenachse erhalten. Es können also wiederum nur Muster Nr. 3 und Nr. 8 in allen Quadranten stehen.

Daraus folgt, dass wir von den bereits gefundenen acht Labyrinthen mit echten Doppelbarrieren ausgehen können. Zur Illustration der folgenden Betrachtungen greife ich das Labyrinth D heraus. Dieses hat die Musterfolge 8 3 8 3.

Wenn wir nun auch unechte Doppelbarrieren zulassen, führt das dazu, dass an jeder Nebenachse nicht nur eine, sondern zwei Möglichkeiten für die Verbindung mit dem nächsten Sektor bestehen: Eine auf demselben Umgang, die will ich „direkte“ Verbindung nennen, und eine mit Wechsel auf den anderen extremen Umgang, die ich „indirekte“ Verbindung nennen will. Da man an jeder Nebenachse beide Optionen zur Verfügung hat, führt das zu einer viel grösseren Anzahl von möglichen Kombinationen.

Abbildung 3 zeigt die möglichen Kombinationen, wenn wir vom Labyrinth D ausgehen und auch indirekte Verbindungen erlauben. Im ersten Quadrant steht Muster Nr. 8. An der ersten Nebenachse gibt es zwei Verbindungsmöglichkeiten von Quadrant I zu Quadrant II. Muster Nr. 8 aus Quadrant I kann direkt mit Nr. 3 oder auch indirekt mit Nr. 8 in Quadrant II verbunden werden. Muster Nr. 8 ist komplementär zu Muster Nr. 3. Die indirekte Verbindung erfordert das zur direkten Verbindung komplementäre Muster. Das gilt allgemein. An der 2. Nebenachse gibt es für jedes Muster aus Quadrant II wieder zwei Möglichkeiten der Verbindung mit Quadrant III und ebenso an der 3. Nebenachse. Anstatt wie bisher nur 1*1*1 = 1 Kombinationen mit direkter Verbindung gibt es nun insgesamt 2*2*2 = 8 Kombinationen mit direkter und / oder indirekter Verbindung von allen Quadranten.

Abbildung 3. Mögliche Kombinationen mit direkten oder indirekten Verbindungen ausgehend von Labyrinth D

Jede Kombination ergibt ein neues 4-achsiges Sektorenlabyrinth. Ich illustriere das in Abb. 4 mit der ersten Kombination. Diese ergibt das schon bekannte Labyrinth D mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren und der Musterfolge 8 3 8 3.

Abbildung 4. Die erste Kombination: Ausschliesslich direkte Verbindungen mit echten Doppelbarrieren – Labyrinth D

Als weiteres Beispiel zeige ich in Abb. 5 ein Muster, das gebildet wird durch eine Kombination von echten und unechten Doppelbarrieren. Und zwar hat es an der ersten und an der dritten Nebenachse eine unechte Doppelbarriere mit indirekter Verbindung, an der 2. Nebenachse eine echte Doppelbarriere mit direkter Verbindung. Aus dieser Kombination ergibt sich ein Sektorenlabyrinth mit der Musterfolge 8 8 3 3.

Abbildung 5. Die sechste Kombination: Mischung aus echten und unechten Doppelbarrieren

Schliesslich präsentiert Abb. 6 alle acht Muster, die aus dem Labyrinth D durch Kombinationen von echten und unechten Doppelbarrieren gebildet werden können.

Abbildung 8. Alle acht Kombinationen ausgehend von Labyrinth D

Das gleiche Vorgehen wie beim Labyrinth D ist auch für die sieben anderen Labyrinthe, also Labyrinth A, B, C, E, F, G und H durchführbar. Das ergibt dann insgesamt 8 * 8 = 64 verschiedene Labyrinth Typen mit drei echten oder unechten Doppelbarrieren, vier Achsen und fünf Umgängen.

Verwandte Beiträge

  1. Die Labyrinthe mit 3 Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen
  2. Neue 5-gängige Labyrinthe mit Doppelbarrieren

Read Full Post »

Andreas hat im November 2019 in seinem Beitrag die Verwandten des Typs Gossembrot 51 r vorgestellt.

Das Labyrinth Typ Gossembrot 51 r zentriert und in konzentrischer Form

Das Labyrinth Typ Gossembrot 51 r zentriert und in konzentrischer Form

Heute möchte ich die duale Version näher beleuchten.
Diese gefällt mir besonders gut. Und zwar weil der äußerste Umgang (1) ganz um alle Sektoren herumführt. Im Original umrundet der innerste (7) ganz das Zentrum.
Und weil es sich zentrieren lässt. Der Eingang erfolgt auf dem 3. Umgang und in die Mitte geht es vom 5. Umgang aus. Dadurch entsteht auch ein kleines leeres Herzstück.

Der Rhythmus gefällt mir ebenfalls gut und erinnert an den des Chartres Labyrinths. Es geht zügig zur Mitte hin und dann folgt die lange Wanderung in allen Sektoren. Ziemlich am Ende kommt man wieder ganz nah zum Eingang, umrundet das ganze Labyrinth und wird dann zügig ins Zentrum geführt.

In der Handschrift Gossembrots ist ein umgekehrtes Pentagramm in der Mitte eingezeichnet. Das habe ich versucht, voll zu integrieren. Der Stern steht dabei auf der Spitze. Er ist in Richtung der 5 Achsen ausgerichtet. Gossembrot hat um 1480 das Labyrinth entworfen. Also hat diese Anordnung überhaupt keinen satanischen Charakter. Denn diese Vorstellungen gibt es erst seit Mitte des 19. Jahrhunderts.

Ich empfehle ausdrücklich den ausgezeichneten Artikel bei Wikipedia (Link siehe unten) über die Geometrie und die Bedeutung des Pentagramms.

Das duale und zentrierte Labyrinth Typ Gossembrot 51 r im Knidos Stil

Das duale und zentrierte Labyrinth Typ Gossembrot 51 r im Knidos Stil

Die fünf Achsen verführen natürlich auch dazu, einmal einen fünfeckigen Grundriss (Pentagon) zu wählen. Durch die gleichen Breiten für die Linien (in Schwarz) und die Wege (in Weiß) und die eckigen Kanten bekommt es auch eine räumliche Wirkung.

Das duale zentrierte Labyrinth Typ Gossembrot 51 r in fünfeckiger Form

Das duale zentrierte Labyrinth Typ Gossembrot 51 r in fünfeckiger Form

Hier der Ariadnefaden in fünfeckiger Form:

Der Ariadnefaden im dualen zentrierten Labyrinth Typ Gossembrot 51 r in fünfeckiger Form

Der Ariadnefaden im dualen zentrierten Labyrinth Typ Gossembrot 51 r in fünfeckiger Form

Dabei ist die Wirkung auch räumlich, aber es scheint eher in die Tiefe zu gehen.

Wer traut sich, einmal ein solches Labyrinth als begehbares Labyrinth zu bauen?
Meines Wissens gibt es bis jetzt weltweit kein einziges Exemplar. Es sieht neu und modern aus, sein Ursprung liegt aber über 500 Jahre zurück.
Der Stern in der Mitte hingegen könnte auch wegbleiben oder nur leicht angedeutet werden. Er ist kein Element im Typus, sondern zählt zum Stil, so ähnlich wie die sechs „Blütenblätter“ im Chartres Labyrinth.
Eine leere Mitte ist immer einladend und offen für die unterschiedlichsten Anwendungen.

Weiterführender Link

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Wir wünschen allen unseren Lesern ein glückliches, erfolgreiches neues Jahr!

 

GF IW 7A7U7S7E1

Sieben mal sieben. Labyrinth mit 7 Achsen, 7 Umgängen und Doppelbarrieren an allen Nebenachsen. Kein Sektorenlabyrinth – eher das Gegenteil. Selbstdual. Eigener Entwurf

 

Read Full Post »

Older Posts »

%d Bloggern gefällt das: