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Archive for the ‘Labyrinth’ Category

In meinem letzten Beitrag hatte ich eine Methode vorgestellt, den Wunderkreis zu zeichnen. Dabei ging es immer um die Begrenzungslinien. Jedoch lässt sich auch der Pfad (Ariadnefaden) im Labyrinth mit dieser dann leicht abgeänderten Methode zeichnen.

Und natürlich lassen sich zahlreiche Varianten mit unterschiedlich vielen Umgängen für die Doppelspirale und die labyrinthischen Windungen erzeugen.

Eckiger Wunderkreis

Eckiger Wunderkreis

Hier noch einmal in Kurzfassung die Methode:

  • Ich beginne in der Mitte
  • Bogen nach oben von links nach rechts, Sprung nach links, Bogen nach unten
  • Pfad: Bogen nach unten, anschließend Bogen nach oben (geschlossene Linie, wie ein liegendes „S“)
  • Sprung nach links, Bogen nach oben um das Ganze
  • Beliebig oft wiederholen (rechts müssen immer zwei freie Enden sein, die nach unten zeigen)
  • Dann um das Ganze, von links beginnend, eine ungerade Anzahl an Bögen ziehen (mindestens 3, bis beliebig viele)
  • Pfad: Die beiden innersten Linien nach unten verlängern (evtl. verbinden)
  • Die übrigen, freien Linienenden auf jeder Seite jeweils in Schleifen verbinden
  • Bei den Begrenzungslinien: Die beiden Linien auf jeder Seite innerhalb der innersten Schleife verlängern

Sorry, das war jetzt doch etwas länger. Einfacher ist es vielleicht, den Text zusammen mit den Zeichnungen nachzuvollziehen.  Die unterschiedlichen Farben helfen dabei. Also, am besten selber probieren.

Die Labyrinthe werden gespiegelt, wenn man den Bogen am Anfang in die andere Richtung zeichnet.

Die Darstellung des Pfades erkennt man daran, dass es nur zwei, evtl. nur ein Linienende gibt (wie bei anderen Typen auch). Sieht man vier freie Linienenden, sind die Begrenzungslinien dargestellt. Die Linien schneiden sich jedoch beim Wunderkreis nicht, wie wir das vom klassischen Labyrinth kennen.

Als Beispiele für die vereinfachte Darstellung der jeweiligen Linienführungen habe ich bekannte Wunderkreise gewählt.
Im nachfolgenden Artikel sind sie alle zu finden. Ebenso noch einmal die Schritt- für Schritt-Anleitung.

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Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Das duale Labyrinth hat das gleiche Muster wie das originale Labyrinth, aber das Muster ist um einen Halbkreis gedreht und der Eingang und das Zentrum sind vertauscht. Darüber ist auf diesem Blog schon viel geschrieben worden (s. verwandte Beiträge, unten).

Nun gibt es noch eine andere Möglichkeit wie zwei Labyrinthe mit einem gleichen Muster in Beziehung stehen können. Bei dieser Art der Beziehung wird das Muster nicht rotiert, sondern vertikal gespiegelt. Auch werden – anders als bei der Beziehung der Dualität – der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht. Ich nenne diese Beziehung zwischen zwei Labyrinthen vorerst Komplementarität, um sie von der Beziehung der Dualität zu unterscheiden.

Hier zeige ich am Beispiel des bekanntesten Labyrinths, was gemeint ist.

Es handelt sich um das „Kretische“, „Klassische“, „Urlabyrinth“ oder wie auch immer genannte alternierende einachsige Labyrinth mit 7 Umgängen und der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5, das ich fortan den „Grundtyp“ nennen werde.

Abbildung 1. Das originale Labyrinth

Abbildung 1 zeigt diesen Typ im konzentrischen Stil.

Die Bilder (1-6) der folgenden Galerie (Abbildung 2) zeigen, wie man vom Muster des Grundtyps zum Muster des komplementären Typs gelangt.

Bild 1 zeigt das Muster des Grundtyps in der herkömmlichen Form. Im Bild 2 wird das Muster leicht anders gezeichnet. Damit werden die Verbindung von der Aussenwelt (markiert mit Pfeil nach unten) ins Labyrinth hinein und der Zugang zum Zentrum (markiert mit einem Punkt) etwas herausgehoben. Dies um zu zeigen, dass bei der Spiegelung des Musters der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht werden. Sie bleiben jeweils mit ihren Anschlussumgängen im Muster verbunden. In Bild 3 bis 5 wird nun die vertikale Spiegelung gezeigt, aufgeteilt in drei Zwischenschritte. Vertikales Spiegeln bedeutet Spiegeln entlang der Horizontalen. Oder auch Kippen der Figur um eine horizontale Achse – hier angedeutet mit der gestrichelten Linie. Man kann sich vorstellen, ein Drahtmodell des Musters (ohne Eingang, Zentrum und die grauen axialen Verbindungsstücke) werde um diese Achse rotiert, bis die Oberkante unten und dementsprechend die Unterkante oben liegt. Im originalen Labyrinth geht der Weg vom Eingang axial auf den dritten Umgang (Bild 3). Mit diesem Umgang bleibt der Eingang in den weiteren Schritten der Spiegelung verbunden (grau dargestellt in Bild 4, 5 und 6). Nach vollendeter Spiegelung ist dieser Umgang nun der fünfte Umgang geworden. Der Weg führt also nun zuerst auf den fünften Umgang (Bild 6) des komplementären Labyrinths. Ein Gleiches passiert auf der gegenüberliegenden Seite des Musters. Der Weg erreicht im Muster des originalen Labyrinths das Zentrum vom fünften Umgang aus. Dieser Umgang bleibt mit dem Zentrum verbunden. Nach der Spiegelung ist es der dritte Umgang.

Abbildung 3: Das komplementäre Labyrinth

Im Muster des komplementären Labyrinths finden wir einen Labyrinth Typ, der hier auf diesem Blog auch schon beschrieben worden ist (siehe verwandte Beiträge). Es ist eines der sechs sehr interessanten (alternierenden) Labyrinthe mit 1 Achse und 7 Umgängen. Und zwar dasjenige mit dem S-förmigen Wegverlauf.

Was also ist der Unterschied zwischen dem dualen und dem komplementären Labyrinth?

Erinnern wir uns daran: der Grundtyp ist selbstdual. Das Duale zum Grundtyp ist also wieder ein Grundtyp.

Das Komplementäre zum Grundtyp ist ein anderer Typ mit S-förmigem Wegverlauf.

Übrigens: In diesem Fall ist das Duale zum Komplementären wiederum das gleiche Komplementäre, da auch das zum Grundtyp Komplementäre selbstdual ist (sonst wäre es kein sehr interessantes Labyrinth).

Das eröffnet nun sehr interessante Perspektiven.

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Der Wunderkreis und das baltische Rad sind zusammengesetzte Labyrinthe, die aus Bögen um unterschiedliche Mittelpunkte konstruiert werden. Die beiden unteren Wendepunkte sind für die „labyrinthischen“ Umgänge zuständig, die in der Mitte für die Doppelspirale.

Ein baltisches Rad hat eine größere, leere Mitte und einen kurzen zweiten Ausgang. Das ist schon eine Doppelspirale, jedoch ohne weitere Windungen. Die zwei Zugänge sind in der Regel durch ein eigenes Zwischenteil, eine Art Schuhlöffel, getrennt.

Das Muster für die Linienführung ist für beide Labyrinthtypen das gleiche. Und die Methode, ein solches Muster zu erzeugen, ebenso. Wobei die Anzahl der Umgänge insgesamt trotzdem unterschiedlich sein kann.

Hier geht es nur um die Methode. Die geometrisch korrekte Umsetzung ist wieder eine andere Sache. Darüber gibt es in diesem Blog schon etliche Beiträge.

Es gibt kein Grundmuster wie beim wohlbekannten kretischen (klassischen) Labyrinth. Jedoch eine im Grunde sehr einfache Methode, solch ein Labyrinth zu zeichnen oder gleich mit Steinen zu legen oder in den Sand zu kratzen.

Eine Schritt- für Schritt-Anleitung soll es zeigen. Es werden die Begrenzungslinien des Labyrinths gezeichnet, der Weg verläuft zwischen den Linien.

Schritt 1

Schritt 1

Schritt 1: Ich zeichne einen halben Bogen nach oben, von links nach rechts.

Schritt 2

Schritt 2

Schritt 2: Ich springe etwas nach links, mache einen Bogen nach links unten, umrunde den ersten Bogen und lande rechts vom vorhergehenden Bogen.
Das wäre schon die Mitte des baltischen Rades oder die Mitte des kleinstmöglichen Wunderkreises.

Schritt 3

Schritt 3

Schritt 3: Die Doppelspirale soll jedoch größer werden.  Daher springe ich wieder etwas nach links zum Ende des ersten Bogens in Grün, mache einen weiteren Bogen nach links unten und umrunde wieder den vorhergehenden Bogen.
So könnte ich jetzt beliebig weiter machen. Es müssen rechts aber immer zwei freie Bogenenden übrig bleiben. Damit wäre die Doppelspirale im Wunderkreis fertig.

Schritt 4

Schritt 4

Schritt 4: Nun muss ich mindestes drei halbkreisförmige Bögen um die bisherigen Linien herum hinzufügen.
Wenn ich ein größeres Labyrinth haben will, kann ich paarweise mehr Linien hinzufügen. Es muss aber immer eine ungerade Anzahl von Bögen sein.
In unserem Beispiel haben wir jetzt auf der linken Seite drei freie Linienenden und auf der rechten Seite fünf.

Schritt 5

Schritt 5

Schritt 5: Nun verbinde ich auf jeder Seite das jeweils innerste und das äußerste freie Linienende so miteinander, dass dazwischen ein Zugang bleibt. Das wird solange fortgesetzt (hier nur rechts), bis auf jeder Seite nur noch ein einzelnes freies Linienende übrig bleibt.

Schritt 6

Schritt 6

Schritt 6: Die beiden auf jeder Seite noch freien Linienenden werden nach vorne zur Mitte hin verlängert. Sie bilden die beiden unteren Wendepunkte.
Das Labyrinth ist fertig.

Am Schluss probieren wir, ob es auch wirklich stimmt. Wir gehen zwischen den Linien hinein, biegen nach links oder rechts ab und müssen wieder am Ausgangspunkt ankommen. Wenn nicht, muss etwas falsch sein.

Am besten probieren Sie das gleich selber aus, mit einem Bleistift auf einem Blatt Papier. Viel Erfolg.

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Ein interessantes Labyrinth wird im Buch von Kern° wiedergegeben (Abb. 196, S. 166). Eine Zeichnung des arabischen Geographen Al Qazwini in seiner 1276 vollendeten Kosmographie soll den Grundriss des Sitzes des Herrschers von Byzanz darstellen, bevor sich die grosse Stadt Konstantinopel entwickelte.

Das nicht alternierende Labyrinth hat 10 Umgänge und eine eigenständige Wegführung. Diese will ich anhand des Ariadnefadens und des Musters zeigen. Im Beitrag „Vom Ariadnefaden zum Muster – Methode 2“ habe ich beschrieben, wie das Muster hergeleitet wird (siehe verwandte Beiträge unten). Für die Herleitung des Musters gehe ich immer von einem Labyrinth aus, das im Uhrzeigersinn dreht und mit dem Eingang von unten liegt. Das Labyrinth von Al Qazwini dreht im Uhrzeigersinn, liegt aber mit dem Eingang von oben. Ich drehe deshalb in den folgenden Abbildungen das Labyrinth um einen Halbkreis, so dass der Eingang unten zu liegen kommt. So kann man nun am Ariadnefaden den Weg verfolgen und parallel dazu, wie sich der Verlauf im Muster niederschlägt.

Der Wegverlauf kann in vier Phasen eingeteilt werden.

Phase 1

Der Weg geht zuerst auf den 3. Umgang. Der Beginn ist mit einem Pfeil, der nach innen zeigt, markiert. Im Muster sind axiale Wegstücke senkrecht, Umgänge waagrecht dargestellt. Der Weg von aussen nach innen wird von oben nach unten repräsentiert.

Phase 2

In einer zweiten Etappe windet sich der Weg nun serpentinenförmig nach innen bis auf den 10. (innersten) Umgang. Bis hierhin ist der Verlauf alternierend.

Phase 3

Nun kommt das Stück, wo der Weg vom innersten auf den äussersten Umgang führt und dabei die Achse quert. Für die Herleitung des Musters wird das Labyrinth entlang der Achse gespalten und auf beiden Seiten nach oben geklappt. Weil hier auf der Achse die Wegstrecke verläuft, muss der Weg gespalten werden (s. verwandte Beiträge „Das Muster bei nicht alternierenden Labyrinthen“). Das wird mit den gestrichelten Linien angedeutet. Diese zeigen ein und dasselbe Wegstück. Im Muster verläuft dieses wie alle axialen Wegstücke vertikal, aber nun auf beiden Seiten der Rechteckform gleichzeitig und zwar von unten nach oben.

Phase 4

Zum Schluss verläuft der Weg auf dem äussersten Umgang in der gleichen Richtung weiter wie vorher auf dem innersten Umgang (gegen den Uhrzeigersinn), geht dann auf den 2. Umgang und von dort ins Zentrum (mit einem Punkt markiert).

Verwandte Beiträge: 

°Kern, Hermann. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen; 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel, 2. Aufl. 1983.

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Unter den Wunderkreisen gibt es einige Varianten:

  • Welche mit zwei Zugängen wie der Zeidner Wunderkreis
  • Welche mit nur einem Zugang, aber einer Verzweigung wie die russischen Babylone und die Wunderkreise von Eberswalde und Kaufbeuren
  • Welche mit einer nahezu perfekten Doppelspirale wie der Zeidner Wunderkreis
  • Welche mit „auseinandergezogener“ Doppelspirale wie die russischen Babylone, der Wunderkreis von Eberswalde, sowie schwedische und finnische Exemplare

Der Babylonische Wunderkreis

Wunderkreise sind zusammengesetzte Labyrinthe, die aus Bögen um unterschiedliche Mittelpunkte konstruiert sind. Die beiden unteren Wendepunkte sind für die „labyrinthtypischen“ Umgänge zuständig, die in der Mitte für die Doppelspirale.
Beim Zeidner Wunderkreises wird die Doppelspirale aus zwei nebeneinanderliegenden Mittelpunkten erzeugt und damit lässt sich der ganze Wunderkreis mit nur vier Mittelpunkten konstruieren.

Hier ein schwedisches Exemplar mit auseinandergezogener Doppelspirale aus dem Buch von Hermann Kern:

Felsritzung auf der Insel Skarv

Felsritzung auf der Insel Skarv, Quelle: Hermann Kern, Labyrinthe, 1982, Abb. 584; Foto: Bo Stiernström, 1976

Eine geometrisch korrekte Konstruktion für einen Wunderkreis mit auseinandergezogener Doppelspirale erfordert mehr Mittelpunkte. So erhalte ich für die russischen Babylonen insgesamt sechs Mittelpunkte.

Als Beispiel soll eine Art Prototyp mit dem Achsmaß von 1 m dienen. Dadurch sind alle Werte skalierbar und unterschiedlich große Labyrinthe können konstruiert werden.

Konstruktionselemente

Konstruktionselemente

Am besten beginnt man mit der Festlegung von M1, bestimmt danach die Hauptrichtung der Mittelsenkrechten und konstruiert dann Schritt für Schritt die übrigen Mittelpunkte M2 bis M6 durch Schnittpunkt der Dreieckseiten von zwei bekannten Punkten aus. Alle dazu notwendigen Maße sind in der Zeichnung enthalten.

Die Hauptabmessungen

Die Hauptabmessungen

Die Radien beziehen sich jeweils auf die Mittelachse der Begrenzungslinien. Der Weg verläuft ja zwischen diesen Begrenzungslinien und ist daher der leere Raum zwischen diesen Linien.

Die verschiedenen Radien

Die verschiedenen Radien

Hier sind alle Komponenten zusammen in einer Zeichnung, die Sie in einer PDF-Datei anschauen, drucken oder kopieren können.

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Die Schreibweise mit den Koordinaten ist einheitlich, verständlich und funktioniert für ein- und mehrachsige alternierende und nicht-alternierende Labyrinthe. Aber man benötigt für ein Labyrinth mit 3 Umgängen mindestens 6 Segmente (für ein- und zweiachsige Labyrinthe: Anzahl Umgänge mal zwei, für die übrigen: Anzahl Umgänge mal Anzahl Achsen).

Dementsprechend werden die Segmentfolgen bei grösseren Labyrinthen rasch lang. Das Labyrinth vom Typ Chartres z.B. hat, wie die anderen Labyrinth Typen mit 4 Achsen und 11 Umgängen, 44 Segmente.

 

Die Segmentfolge des Labyrinths vom Typ Chartres gebe ich hier zur Illustration wieder.

 

 

 

Immerhin ist diese Segmentfolge eine gut verständliche Anweisung, wie das Labyrinth zu zeichnen ist. Sie liest sich etwa so: Gehe zuerst auf den fünften Umgang, schreite das erste Segment (5.1) ab, gehe dann auf den 6. Umgang und bleibe im ersten Segment (6.1). Gehe dann auf den 11. Umgang ins erste Segment (11.1) fahre auf dem gleichen Umgang ins 2. Segment fort (11.2), gehe auf den 10. Umgang im 2. Segment (10.2) usw. Das heisst auch, es wird aus den jeweils auf einander folgenden Koordinaten klar, ob zu wenden ist (wie von Koordinate 5.1 auf 6.1) oder ob die Achse zu queren ist (wie von 11.1 auf 11.2). Aber es ist schon eine lange unübersichtliche Reihe von Zahlen.

Nun gibt es noch verschiedene Möglichkeiten, für mehrachsige Labyrinthe weniger lange Notationen zu schreiben. Gedanklich muss man die Labyrinthe immer zuerst in Segmente unterteilen. Aber man kann in der Notation je nach Verlauf des Weges mehrere Segmente zusammenfassen. Ich gebe hierzu für das Labyrinth von Chartres als Beispiel eine Notation von Hébert° wieder.

 

 

Dies ist eine Notation ähnlich derjenigen im Beitrag „Umgänge und Segmente“ (siehe verwandte Beiträge), wo die Segmente nach Umgängen nummeriert waren. Dort wurde, wenn der Weg auf dem gleichen Umgang mehrere Segmente nacheinander durchläuft, die Nummer für den Umgang entsprechend oft wiederholt. Das ergibt dann für das Labyrinth von Chartres 44 Zahlen. In der Notation von Hébert wird die Anzahl der Zahlen auf 31 reduziert. Dafür muss nun aber vor jeder Zahl ein Vorzeichen stehen. Ein „-“ bedeutet, dass die Zahl nur einmal geschrieben wird, weil nur ein Segment durchlaufen wird. Ein „+“ hingegen bedeutet, dass die Zahl zweimal zu schreiben wäre, weil zwei Segmente hintereinander durchlaufen werden. Man muss sich also unterschiedliche Vorzeichen merken. Mit nur zwei verschiedenen Vorzeichen ist es dabei nicht getan. Zusätzliche Vorzeichen wären nötig, um anzugeben, dass drei oder vier oder mehr Segmente am Stück durchlaufen werden oder dass die Achse gequert und dabei auf einen anderen Umgang gewechselt wird. Diese Notation ist zwar kürzer, aber schwieriger anzuwenden. Ausserdem unterliegt sie der schon früher gezeigten Schwäche, dass man zwar sieht, auf welchem Umgang, nicht aber in welchem Segment man sich gerade befindet.

Es gibt noch andere Notationen. Auf die gehe hier nicht weiter ein. Es dürfte klar geworden sein, dass die Segmentfolgen bei mehrachsigen Labyrinthen rasch lange und unübersichtlich werden. Bei den meisten dieser Labyrinth Typen ist die Segmentfolge deshalb für eine Namensgebung schlecht geeignet. Man stelle sich nur einmal vor, das Labyrinth, das ich im Januar gezeigt habe (s. verwandte Beiträge), mit der Segmentfolge zu benennen. Dieses Labyrinth hat 12 Achsen und 23 Umgänge und somit 276 Segmente.

 

 

Ich verzichte darauf, diese Segmentfolge aufzuschreiben. Sie würde etwa 14 – 15 Zeilen füllen.

Fazit

Zum Schluss komme ich nochmals auf die Ausgangsfrage zurück, ob die Umgangsfolge zur Namensgebung für die verschiedenen Labyrinth Typen verwendet werden kann. Dagegen hatte ich zwei Bedenken:

  • Erstens ist die Umgangsfolge bei einachsigen Labyrinthen nicht eindeutig. Dieses Problem kann man leicht lösen durch Anfügen eines Vorzeichens „-“ nur bei den Nummern der Umgänge, wo der Weg die Achse quert. Somit kann für nicht zu grosse einachsige Labyrinth Typen die Umgangsfolge gut zur Namensgebung verwendet werden.
  • Zweitens nimmt die Folge bei mehrachsigen Labyrinthen rasch an Länge zu. Es hat sich herausgestellt, dass hier die Segmentfolge zu beachten ist. Diese wird schnell entweder zu lang oder zu kompliziert oder beides. Deshalb erachte ich sie nicht für geeignet zur Benennung von mehrachsigen Labyrinthen.

° Hébert J. A Mathematical Notation for Medieval Labyrinths. Caerdroia 2004; 34: 37-43.

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Wieder einmal (zum 9. Mal) lädt die Labyrinth Society ein, den Welt Labyrinth Tag zu begehen.
Es ist, wie jedes Jahr, der erste Samstag im Mai, heuer der 6. Mai 2017.

Unter der Devise: Seid eins und geht um Eins! (Walk as One at 1!) ist jeder als Teil des Ganzen eingeladen, an diesem Tag möglichst um 13 Uhr oder auch zu einem anderen Zeitpunkt, ein Labyrinth zu begehen, damit eine friedliche Welle der Energie rund um den Erdball läuft.

Aufruf der TLS

Aufruf der TLS

Am schönsten wäre es natürlich, wenn jeder, der irgendwie kann, ein Labyrinth begeht. Aber es ist auch möglich, ein Fingerlabyrinth nachzufahren oder sich sonstwie labyrinthisch zu betätigen.

Mehr hier:

Wer ein Labyrinth sucht, kann hier fündig werden:

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