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Archive for the ‘Labyrinth’ Category

Unter den einachsigen Labyrinthen bis und mit 7 Umgängen gibt es keine zwei zu einander komplementäre uninteressante Labyrinthe. Das liegt daran, dass bei solchen Labyrinthen immer der Weg auf dem äussersten Umgang eintritt oder vom innersten Umgang das Zentrum erreicht (siehe verwandte Beiträge, unten). Aber es gibt uninteressante Labyrinthe mit mehr als 7 Umgängen bei denen dies nicht der Fall ist.

Um dies zu zeigen, beginne ich mit dem Beispiel des 11-gängigen Cakra-Vyuh Labyrinths (siehe verwandte Beiträge). Abbildung 1 zeigt dieses Labyrinth und sein Muster.

Abbildung 1. Das 11-gängige Cakra Vyuh Labyrinth

Wie man sieht, biegt der Weg auf dem ersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus. Man kann also den äussersten und innersten Umgang einfach abschneiden (graue Linien in der rechten Figur). Dann erhält man ein 9-gängiges Labyrinth, bei dem der Weg nicht auf dem äussersten Umgang einbiegt und auch nicht das Ziel vom innersten Umgang aus erreicht. Das Muster dieses Labyrinths ist in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2. Das Muster des 9-gängigen uninteressanten Labyrinths

Durch das Entfernen der grauen Umgänge verläuft das Muster nun von rechts oben nach links unten. Will man es in der gewohnten Weise darstellen, also von links oben nach rechts unten, muss man es horizontal spiegeln. Das ändert nichts am Muster und auch nichts an dem zugrunde liegenden Labyrinth, ausser, dass das Labyrinth seine Drehrichtung ändert (siehe verwandte Beiträge).

Obwohl nun der Weg auf dem 3. Umgang einbiegt und vom 7. Umgang aus das Zentrum erreicht, ist dies ein uninteressantes Labyrinth. Denn es besteht aus zwei Elementen vom Typ Knossos auf den Umgängen 1 – 3 und 7 – 9 (angedeutet mit Klammern in der rechten Figur) und drei dazwischen liegenden trivialen Umgängen 4, 5, 6 (mit Strichen angedeutet). Dieses Labyrinth ist zwar uninteressant, aber selbstdual.

Zwischenbemerkung: Dieses Labyrinth hat Ähnlichkeit mit dem allseits bekannten Grundtyp (vormals: Kretischen Typ). Aber der Grundtyp ist ein sehr interessantes (d.h. interessantes und selbstduales) Labyrinth.

Abbildung 3. Das Muster des Grundtyps

Er besteht, wie Abb. 3 zeigt, ebenfalls aus zwei Elementen vom Typ Knossos. Dazwischen liegt aber nur ein Umgang. Und dieser ist auch keineswegs trivial, sondern wird benötigt, um die beiden Elemente zu verbinden. Fügt man aber weitere Umgänge serpentinenförmig hinzu, entsteht dann ein uninteressantes Labyrinth.

Zurück zum uninteressanten Labyrinth mit 9 Umgängen. Wie sieht nun das dazu komplementäre Labyrinth aus? Ist es vielleicht auch ein uninteressantes Labyrinth?

Abbildung 4. Die beiden komplementären 9-gängigen Labyrinthe

Um das Komplementäre zu erhalten, spiegeln wir das originale Labyrinth vertikal und lassen die Verbindungen zur Aussenwelt und zum Zentrum bestehen. Der Weg tritt nun auf dem 7. Umgang ein und erreicht das Zentrum vom 3. Umgang aus. Die drei internen trivialen Umgänge sind nach wie vor erkennbar. Aber sie sind umhüllt von den axialen Wegstücken, die ins Labyrinth und zum Zentrum führen. So sind sie eine Ebene tiefer verschachtelt. Das führt nun dazu, dass dieses nicht ein uninteressantes, sondern ein interessantes, und, da selbstdual, ein sehr interessantes Labyrinth ist.

Es scheint also auch bei grösseren Labyrinthen keine zwei zu einander komplementäre uninteressante Labyrinthe zu geben.

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Hier geht es um die Dechiffrierung der Umgangsfolgen der reihenförmigen 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe aus dem letzten Artikel zu diesem Thema (siehe verwandte Artikel unten).

Die Frage lautet: Lassen sich daraus einachsige alternierende Labyrinthe mit einem Ziel in der Mitte erzeugen? Also keine Durchgangslabyrinthe, wo der auch eindeutige Weg hindurchführt, sondern in ein Zentrum mündet.
Vielleich könnte man sie als „Hinein-Labyrinthe“ bezeichnen im Gegensatz zu den „Hindurch-Labyrinthen“?

Die kurze Antwort: Ja, es geht. Und es entstehen 21 neue, bisher unbekannte Labyrinthe.

Die Umgangsfolge für ein Durchgangslabyrinthe lässt sich umwandeln in eine für ein Hinein-Labyrinth durch Weglassen der letzten „0“, die für „außen“ steht. Die höchste Zahl steht immer für das Zentrum. Sollte diese nicht an letzter Stelle in der Umgangsfolge stehen, muss man noch eine Zahl hinzufügen.
Dieser „Trick“ ist nur bei zwei Labyrinthen notwendig und führt dann zu Labyrinthen mit geradzahligen Umgängen (bei VAT 984_6 und bei VAN 9447_7).

Die Galerie zeigt alle 21 Labyrinthe im konzentrischen Stil mit einer größeren Mitte.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines ist bisher irgendwo aufgetaucht. Sie haben zwischen 9 und 16 Umgänge, die meisten jedoch 11 Umgänge. Es gibt zwischen 3 und 6 Wendepunkte.

In diesen Konstellationen gibt es rein mathematisch gesehen 134871 Varianten von interessanten Labyrinthen wie der Mathematik-Professor Tony Phillips nachgewiesen hat.

Es sind also noch lange nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, neue Labyrinthe zu finden oder zu erfinden.

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Weiterführender Link
Die Website von Tony Phillips (in Englisch)

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Wir hoffen, Ihr seid gut im neuen Jahr gestartet. Auch dieses Jahr verspricht interessante Einsichten in die Welt der Labyrinthe.

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Genauer gesagt: Die Umgangsfolgen der reihenförmig gebildeten Eingeweidelabyrinthe. Unter den bisher insgesamt bekannten 27 Eingeweidelabyrinthen gibt es 21 reihenförmige Eingeweidelabyrinthe als Durchgangslabyrinthe. Als Unterscheidungsmerkmal kann dabei die Umgangsfolge dienen. Hier möchte ich gerne die Umgangsfolgen aller 21 Exemplare darstellen.

Schauen Sie dazu die einzelnen Bilder in der Galerie durch Anklicken in einer größeren Version an:

Die Methode besteht darin, die in Reihe stehenden senkrechten Schleifen von links nach rechts zu nummerieren. Die bogenförmigen Übergänge erhalten keine Nummer. „0“ steht dabei für außen. Bei den beiden quer verlaufenden Schleifen in E 3384 r_4 und E 3384 r_5 gilt ebenfalls: von links nach rechts. Ein besonderes Exemplar ist E 3384 v_4. Hier sind einige Schleifen „ausgelagert“. Doch auch da lässt sich eine sinnvolle Umgangsfolge finden.

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines gleicht dem anderen. Das allein ist schon bemerkenswert. Sie folgen also keinem einheitlichen Muster.

Ein erster Blick auf die Umgangsfolgen zeigt, dass sie sehr stark an die Umgangsfolgen einachsiger alternierender klassischer Labyrinthe erinnern. Das heißt: Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl. Dann folgen im Wechsel gerade und ungerade Zahlen.

In einem der nächsten Artikel geht es dann an die Dechiffrierung der Umgangsfolgen.

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Wir wünschen allen Besuchern dieses Blogs frohe Weihnachten, einen guten Beschluss und ein gutes Neues Jahr!

Weihnachtsbaumlabyrinth

Das komplementäre 7-gängige kretische Labyrinth als Weihnachtsbaumlabyrinth

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Es gibt 42 verschiedene einachsige alternierende Labyrinthe mit 7 Umgängen. Darunter befindet sich ein Paar komplementäre interessante Labyrinthe. Wie steht es nun um Paare komplementärer uninteressanter Labyrinthe? Diese Frage wurde indirekt im letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) schon beantwortet: Es gibt keine! Das klingt erstaunlich. Deshalb greife ich es hier auf. Die 42 Labyrinthe bilden 21 komplementäre Paare. Eines davon enthält 2 interessante Labyrinthe. Bekanntlich gibt es 22 interessante Labyrinthe. Also bestehen die übrigen 20 Paare jeweils aus einem interessanten und einem uninteressanten Labyrinth. Somit bleibt keine Möglichkeit übrig für ein Paar mit zwei uninteressanten Labyrinthen. Woran liegt das?

Wie wir gesehen haben, kann nur für alternierende Labyrinthe mit ungerader Umgangszahl ein Komplementäres gebildet werden (siehe verwandte Beiträge). Bei solchen Labyrinthen tritt der Weg immer auf einem ungeradzahligen Umgang ein und erreicht auch das Zentrum immer von einem ungeradzahligen Umgang aus. Bei einachsigen Labyrinthen kann der Weg auch nicht auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten, von dem er das Zentrum erreicht.

Bei uninteressanten Labyrinthen muss der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten oder das Ziel vom innersten Umgang aus erreichen. Das Komplementäre wird durch Spiegelung erzeugt. Dabei wird der äusserste zum innersten Umgang und umgekehrt. Tritt der Weg auf dem ersten Umgang ins originale Labyrinth ein, so ist es ein uninteressantes Labyrinth. Im komplementären Labyrinth tritt er auf dem innersten Umgang ein. Somit ist das Komplementäre kein uninteressantes Labyrinth, es sei denn, der Weg würde das Zentrum vom innersten Umgang aus erreichen. Das aber ist nicht möglich, weil er auf diesen Umgang eintritt. Das originale ist ein uninteressantes, aber das Komplementäre ein interessantes Labyrinth. Die andere Variante wäre, dass der Weg im originalen Labyrinth das Zentrum vom innersten Umgang erreicht. Dann aber erreicht im komplementären Labyrinth der Weg das Zentrum vom äussersten Umgang aus, was kein uninteressantes Labyrinth ist. Somit könnte das komplmentäre nur ein uninteressantes Labyrinth sein, wenn der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintreten würde. Was aber wiederum nicht geht, da der Weg von dort das Zentrum erreicht.

Diese Resultate gelten nur für einachsige Labyrinthe bis und mit 7 Umgängen. Bei mehrachsigen Labyrinthen kann der Weg auf dem gleichen Umgang ins Labyrinth eintreten und das Zentrum erreichen. Also kann er beispielsweise im originalen Labyrinth auf dem ersten Umgang eintreten und das Zentrum vom ersten Umgang aus erreichen. Dies wäre ein uninteressantes Labyrinth. Im Komplementären tritt er dann auf dem innersten Weg ein und erreicht das Zentrum auch vom innersten Umgang aus, was ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth wäre. Bei einachsigen Labyrinthen mit mehr als 7 Umgängen kann die Definition, was ein uninteressantes Labyrinth ist, erweitert werden. Es können dann nicht nur aussen oder innen triviale Umgänge an interessante Labyrinthe angehängt werden (wodurch uninteressante Labyrinthe entstehen). Es können dann auch bei den mittleren Umgängen zwischen zwei interssanten Elementen aussen und innen mehrere triviale Umgänge aneinandergereiht werden, was auch uninteressante Labyrinthe ergibt.

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Oder anders gefragt: Kann ich ein klassisches Labyrinth in ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth umwandeln?

Da gilt es, zunächst die Unterschiede zu erkennen; und dann das Verbindende.

Als Beispiel wähle ich das wohl bekannteste klassische Labyrinth: das 7-gängige kretische Labyrinth.

Das 7-gängige Labyrinth

Das 7-gängige kretisch Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es hat ein Zentrum und einen Eingang. Es gibt nur einen Weg hinein. In der Mitte bin ich am Ziel und am Ende des Weges. Zurück geht es in umgekehrter Richtung.

Bei den Babylonischen Eingeweidelabyrinthen kann man zwei Hauptgruppen unterscheiden. Die einen sind mehr rund und ineinander verschlungen, bei den anderen sind die Schlingen reihenförmig angeordnet.

Als Beispiel wähle ich hier das Labyrinth E3384_r8 auf einer Tontafel von Tell Barri (Syrien) (mehr dazu siehe Verwandte Artikel unten).

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth mit 10 Umgängen und zwei Zugängen

Beim Eingeweidelabyrinth habe ich zwei Zugänge und kein eigentliches Zentrum. Der Weg führt jedoch durch alle Schlingen hindurch bis zum anderen Zugang. Es ist also ein Durchgangslabyrinth.

Die Umgänge sind hier von links nach rechts nummeriert, während sie bei den klassischen Labyrinthen von außen nach innen nummeriert sind.  „0“ steht jeweils für die Außenwelt, bei den klassischen die letzte Ziffer für das Zentrum.

Bei jedem Labyrinth steht eine Ziffernfolge, die Umgangs- oder Wegfolge. Das ist die Reihenfolge, in der die Umgänge der Reihe nach durchlaufen werden.

Das verbindende Element ist also die Umgangsfolge. Wir müssen daher aus den Umgangsfolgen der klassischen Labyrinthe „reihenförmige“ Durchgangslabyrinthe konstruieren.

Als erstes nehmen wir das 7-gängige Labyrinth, wie oben gezeigt. Wir verwenden die Umgangsfolge und verbinden die in Reihe angeordneten Umgänge dementsprechend. Die zweite „0“ zeigt an, dass wir ein Durchgangslabyrinth haben.
Das sieht dann wie folgt aus:

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das machen wir jetzt noch für einige klassische Labyrinthe.

Das 3-gängige Labyrinth

Das 3-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das Original ist aus dem Mäander entwickelt und wird auch Knossos Labyrinth genannt. Das rechte ist aus dem „abgemagerten“ Grundmuster entwickelt, stellt aber gleichzeitig das komplementäre zum Knossos Labyrinth dar. Darunter dann die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe.


Ein 5-gängiges Labyrinth:

Das 5-gängige Labyrinth

Das 5-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es gibt noch weitere 5-gängige Labyrinthe mit einer anderen Wegfolge. Aber im Prinzip ist der Vorgang der gleiche.

Das waren jetzt alles selbstduale Labyrinthe.


Nun nehmen wir ein 9-gängiges Labyrinth. Da gibt es mehr Varianten:

Das 9-gängige Labyrinth

Ein 9-gängiges Labyrinth in vier Ausführungen

Dazu die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe:

Die Eingeweidelabyrinthe

Die Eingeweidelabyrinthe


Hier das 11-gängige Labyrinth mit den entsprechenden Eingeweidelabyrinthen:

Das 11-gängige Labyrinth

Das 11-gängige Labyrinth

Das ist wieder selbstdual. Darum gibt es nur ein komplementäres dazu.


Hier das 15-gängige Labyrinth:

Das 15-gängige Labyrinth

Das 15-gängige Labyrinth

Auch dieses ist selbstdual.

Wenn wir nun diese hier neu abgeleiteten Eingeweidelabyrinthe mit den bisher bekannten historischen Babylonischen Eingeweidelabyrinthen vergleichen, können wir keine Übereinstimmung feststellen. Vielleicht taucht ja evtl. noch irgendwo und irgendwann eine Tontafel mit einem identischen Labyrinth auf?

Bisher kennen wir etwa 21 Babylonische Eingeweidelabyrinthe verschiedenster Art, die wir als reihenförmige Labyrinthe ansehen können.

Zum Vergleich empfehle ich den untenstehenden Artikel mit der Übersicht.

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