Feeds:
Beiträge
Kommentare

Posts Tagged ‘selbstdual’

Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

Verwandte Beiträge:

 

 

Advertisements

Read Full Post »

Das Chartres Labyrinth hat viele Qualitäten. Für viele ist es das perfekteste und schönste Labyrinth überhaupt, für einige (hoffentlich nicht so viele) ist es gar nicht so toll bis kein Labyrinth.

Die speziellen Eigenschaften des Chartres Labyrinths sind nicht auf den ersten Augenblick zu erkennen. Dazu muss man etwas genauer hinschauen und sich mit der Struktur und dem inneren Aufbau befassen.

Zuerst erforschen wir die Selbstdualität.

Die Linienführung im Chartres Labyrinth

Die Linienführung im Chartres Labyrinth

Die Umgänge sind in der Zeichnung sowohl von außen nach innen als auch  von innen nach außen nummeriert (wie auch unten im Diagramm).

Zuerst ermitteln wir die Linienfolge für den Weg hinein, also von außen (0) nach innen (12):
(0)-5-6-11-10-9-8-7-8-9-10-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-4-3-2-1-6-7-(12).

Jetzt nummerieren wir die Umgänge von innen (0) nach außen (12) und lesen dann die Linienfolge für den Weg zurück ab:
(0)-5-6-11-10-9-8-7-8-9-10-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-4-3-2-1-6-7-(12).

Wir stellen fest, sie sind identisch. Damit ist das Chartres Labyrinth selbstdual, ein Zeichen seiner besonderen Qualität.

In der Linienfolge drücken sich der Rhythmus und die Bewegungsfigur eines Labyrinthes aus. Im Chartres Labyrinth werden manchmal zwei Quadranten berührt, manchmal nur einer. Niemals drei oder gar vier. Die größte Schrittweite ist fünf (0-5, 6-11, 1-6, 7-12), am häufigsten aber eins. Das charakteristischste am Chartres Labyrinth ist für mich die Schrittfolge am Anfang 0-5-6-11 und 1-6-7-12 am Ende. Es geht gleich hinein, man kommt ganz schnell an die Mitte heran, pendelt dann im ganzen Labyrinth hin und her und erreicht überraschend die Mitte von ganz außen aus. Das macht die Dramaturgie dieser besonderen Bewegungsfigur aus.

Zugegeben, die Zählerei ist mühselig. Beim Begehen des Chartres Labyrinths muss man das auch gar nicht machen. Die eigentliche Erfahrung teilt sich ja im Gehen mit.


Was ist mit der Symmetrie?

Dazu wählen wir wieder die Rechteckform und geben den Umgängen unterschiedliche Farben. Unten rechts ist der Eingang und oben links geht es in die Mitte. Die Umgänge sind in beiden Richtungen nummeriert. Es kommt hier nicht auf die wahren Größenverhältnisse (also Länge der Abschnitte) an, sondern es geht nur um die Struktur (Andreas nennt es das Muster).

Das rechteckige Diagramm

Das rechteckige Diagramm

Umgang 6 verkörpert in beiden Richtungen die Mitte, das ist die Spiegelachse. Die grünen und die blauen Felder gleichen sich. Durch Spiegeln und Drehen lassen sie sich übereinanderlegen. Die gelben Felder sind die verbindenden Elemente. Sie verlaufen stufenförmig in Serpentinen.
Andreas Frei nennt sie kaskadierende Serpentinen. Für ihn steckt darin ein Prinzip der Labyrinthkonstruktion. Mehr darüber erfahren Sie auf seiner Website (siehe Link unten).

Verwandte Artikel

Weiterführender Link

Read Full Post »

%d Bloggern gefällt das: