Wie erzeuge ich das Sieben mal Sieben Labyrinth

Zum neuen Jahr habe ich das Sieben mal Sieben Labyrinth vorgestellt (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Erwin hat sofort kommentiert und die Ähnlichkeit mit dem Typ Gossembrot 51 r bemerkt. Das trifft zu. Ich wollte aus diesem Typ ein selbst-duales Labyrinth entwickeln. Dabei sollte das Typische des Wegverlaufs erhalten bleiben. Typisch am Labyrinth von Gossembrot sind nicht nur die Doppelbarrieren, sondern auch die Art der Wegführung durch alle Segmente durch. Es ist kein Sektorenlabyrinth, sondern in etwa das Gegenteil davon.

In Abbildung 1 zeige ich das Muster des Labyrinth Typs Gossembrot 51r. Dieses bildet den Ausgangspunkt (a) und ist grau dargestellt. Das Typische des Wegverlaufs habe ich früher beschrieben (Verwandte Beiträge 2). Es spielt sich in den Segmenten III – V ab. Auch eine Besonderheit ist der Mäander in Segment II. Dieser Mäander liegt auf den Umgängen 2 – 6. Es hat also noch je einen Umgang aussen und innen am Mäander.
Zuerst isoliere ich das Segment mit dem Mäander (b). Der Mäander selbst ist selbst-dual. Und da aussen und innen je ein weiterer Umgang hinzukommen, ist die ganze Figur (b) ebenfalls selbst-dual. An diese Figur schliessen sich rechts die Segmente III – V an. Die enthalten die typische Wegführung von Gossembrot. Dass Segment II selbst-dual ist, hat auch zur Folge, dass man an seine eine Seite die Figur anschliessen kann, welche dual zur Figur an seiner anderen Seite ist. In einem zweiten Schritt nehme ich also die Figur aus Segmenten III – V und stelle sie an die rechte Seite von Segment II. Figur (c) zeigt nun nichts anderes als Segment II nicht verbunden mit Segmenten III – V des Musters von Gossembrot 51 r.

Abbildung 1. Vorbereitung

Diese Figur (c) bildet die Basis für die Erzeugung des Sieben mal Sieben Labyrinths, bzw. von dessen Muster. Der Prozess wird in Abb. 2 veranschaulicht. Hier beginnen wir in der dritten Reihe bei den grau dargestellten Figuren (c). In einem dritten Schritt wird nun die Figur aus Segmenten III – V dupliziert (d). Dieses Duplikat wird dann, viertens, um 180 Grad gedreht. So entsteht die dazu duale Figur (e). Wir verschieben sie nach unten und sehen: sie kann auf der linken Seite an die Figur mit dem Mäander aus Segment II angeschlossen werden (f). Nun brauchen wir nur noch die Elemente miteinander verbinden und erhalten in Figur (g) das Muster des Sieben mal Sieben Labyrinths.
Dieses ganze Muster ist selbst-dual. Aus den fünf Segmenten des Labyrinth Typs Gossembrot 51 r sind nun sieben Segmente geworden. Das Duale zu Gossembrots Segmenten III – V belegt neu Segmente I – III, im zentralen Segment IV folgt der Mäander mit den zusätzlichen Umgängen innen und aussen, und Gossembrots ursprüngliche Segmente III – V werden hier zu Segmenten V – VII.­

Abbildung 2. Erzeugung des Musters

Abbildung 3 zeigt das Labyrinth in der Grundform ohne den Siebenstern im Zentrum und ohne das Siebeneck an der Peripherie. Diese sind Zutaten und dem Stil zuzuordnen, nicht dem Labyrinth Typ.

Abbildung 3. Das Labyrinth in der Grundform

Ein sehr ausgewogenes Labyrinth. Die Hauptachse ist gleich wie beim Grundtyp. Gegenüber der Hauptachse, im mittleren Segment IV­, liegt der Mäander. In den drei Segmenten vor und nach dem Mäander findet sich der typische Wegverlauf. Der Weg verläuft in hüllenden und umhüllten Kurven durch alle Segmente, passiert dabei den Mäander und kommt in der Rückwärtsbewegung durch die drei Segmente VII-V in Segment IV, welches er als Mäander durchläuft, setzt die Rückwärtsbewegung durch Segmente III – I fort und führt erneut in der Vorwärtsbewegung durch alle Segmente bis ins Zentrum.

Verwandte Beiträge

  1. Labyrinth zum Neuen Jahr 2020
  2. Sigmund Gossembrot / 2

Wie mache ich ein (neues) 11-gängiges Labyrinth? Teil 3

In den vorangegangenen Artikeln zu diesem Thema habe ich die von Tony Phillips ins Spiel gebrachte Methode der Stempelfalzberechnung schon erläutert.

Nun soll es hier weitergehen. Es lassen sich nämlich weitere Varianten von Labyrinthen erzeugen durch einfaches Drehen des verwendeten Polygons.

Ich nehme noch einmal das Netz mit dem Polygon aus dem letzten Beitrag zu diesem Thema (Teil 2).

Das Netz mit dem Polygon

Das Netz mit dem Polygon

Mit diesem Diagramm lassen sich vier verschiedene Labyrinthe erzeugen. Zwei direkt (Zeile 2 und 3), die beiden anderen durch eine einfache Rechnung.

Andere Konstellationen lassen sich gewinnen durch 12-maliges Drehen des Netzes jeweils um 30 Grad. Oder anders gesagt, es ist so so ähnlich wie beim Umstellen der Uhr bei der Sommer- oder Winterzeit.
Da hier aber nur interessante Labyrinthe interessieren, lasse ich alle Stellungen weg, wo die Linien auf den ersten und/oder den letzten Umgang zeigen würden. Von der 12 aus dürfen also nicht die 1 oder 11 erreicht werden. Es sind nur die „Uhrzeiten“ interessant, die weiter weg zeigen, also spitzer verlaufen.
Das wären bei unserem Netz die 1, 5 und 6. Ich drehe also nur auf diese Zeitangaben. Oder anders ausgedrückt, ich bringe die 1, 5 und 6 in Übereinstimmung mit der 12. Ich drehe daher um 30, 150 und 180 Grad. Zu drehen ist das Netz mit dem Polygon, die Zahlen bleiben stehen.

Hier der erste Dreh:

Drehung um 30 Grad

Drehung um 30 Grad

Ich erhalte vier völlig andere Wegfolgen als im obigen Original.

Der zweite Dreh:

Drehung um 150 Grad

Drehung um 150 Grad

Ich erhalte wieder vier neue Varianten.

Der letzte Dreh:

Drehung um 180 Grad

Drehung um 180 Grad

Hier erhalte ich nur eine andere Reihenfolge der Wegfolgen als im ursprünglichen Polygon; also keine neuen Varianten, nur eine andere Anordnung. Das kommt daher, dass die Drehung um 180 Grad einer symmetrischen Spiegelung entspricht.

Es gelingt also nicht in jedem Fall, neue Varianten zu finden. Mit diesem Netz habe ich insgesamt 12 verschiedene Nummernfolgen für 12 neue Labyrinthe generiert.

Die Wegfolgen lassen sich dann direkt in eine Labyrinthzeichnung umsetzen.

Hier soll nur eine (wieder im konzentrischen Stil) gezeigt werden (die 2. Wegfolge aus dem ersten Polygon oben):

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

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Wie mache ich ein (neues) 11-gängiges Labyrinth? Teil 2

Wieder geht es um einachsige, alternierende Labyrinthe, wie der New Yorker Mathematik-Professor Tony Phillips sie definiert hat. Er kommt in seinen Berechnungen auf eine Anzahl von 1014 theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen (12-level mazes).

Er beschreibt auch eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Varianten, die John E. Koehler 1968 entwickelt hat zur Lösung eines verwandten Problems der Stempelfalzberechnung von Briefmarken.

Die nachfolgenden Abbildungen sollen diese Methode erläutern. Dazu verwende ich als erstes die schon bekannte Wegfolge für das 11-gängige Labyrinth, das sich aus dem Grundmuster erzeugen lässt, nämlich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12.
Die Wegfolge muss bekanntlich mit einer ungeraden Zahl beginnen und dann eine Reihe sein, in der sich die ungeraden mit den geraden Zahlen abwechseln. „12“ bezeichnet hierbei das Zentrum und die „Außenwelt“.

Ich zeichne einen Kreis und teile ihn in 12 Abschnitte ein, wie bei einer Uhr. Nun muss ich alle Punkte mit Linien verbinden, wobei sich aber gleichfarbige Linien nicht kreuzen dürfen.

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Ich fange mit Blau in 12 an und gehe zu 5, 2, 3, 4 (Fig. 1). Dann von 4 nach 1, wobei ich die Farbe wechsle (Fig. 2). Ich mache weiter mit 6, 11, 8, 9, 10 (Fig. 3). Ich wechsle wieder die Farbe und verbinde 10 mit 7 und 12 (Fig. 4).

Man kann es aber auch anders machen. Zum Beispiel. alle Linien zuerst in einer Farbe zeichnen und dann die kreuzenden in der anderen. Aber auch hier gilt: Gleichfarbige Linien dürfen sich nicht kreuzen. Wohl aber mehr als einmal, solange sie unterschiedlich sind (siehe 4 – 7).

Das Netz

Das Netz

Da wir aber neue Labyrinthe suchen, gehen wir nun den umgekehrten Weg: Wir zeichnen ein Netz  von 12 Linien, das alle 12 Punkte nach den vorgenannten Vorgaben verbindet und leiten daraus die Wegfolge ab.

Hierzu ein Beispiel:

Das Netz mit dem Polygon

Die erste Wegfolge schreibe ich in Zeile 2 (hier in blau), indem ich in 12 beginne und die niedrigere Ziffer ablese, hier 5. Das ist der Beginn des Weges. Dann verfolge ich das Polygon bis ich wieder bei 12 lande und erhalte: 5-2-3-4-1-6-11-10-9-8-7-12. Das ist das Original.
Nun gehe ich den Weg rückwärts und schreibe die Ziffernfolge in Zeile 3. Also von 12 zu 7 usw. Das ergibt: 7-8-9-10-11-6-1-4-3-2-5-12. Das ist das komplementäre zum Original.

Die Zeilen 1 und 4 erhalte ich durch Rechnen. Ich ergänze jeweils die entsprechenden Zahlen jeder Reihe zu „12“. In Zeile 4 erhalte ich das duale zum Original. In Zeile 1 erhalte ich das komplementäre zum dualen.

Die Probe mache ich, indem ich die so gewonnenen Zahlenkolonnen mit den anderen im „Rückwärtsgang“ vergleiche. Das betrifft die Zeilen 1 und 4, sowie 2 und 3.
Das erinnert an das Vorgehen, wie es früher schon einmal beschrieben wurde, als es um die dualen und komplementären Labyrinthe ging (siehe Verwandte Artikel unten).

Es geht aber auch anders. Ich drehe das Ziffernblatt um, schreibe die Ziffern für die 12 Punkte links herum, gegen den Uhrzeigersinn.
So sieht es dann aus:

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Die linke Seite zeigt das Ziffernblatt wie vorher. Ich beginne bei 5, zähle bis 12 und erhalte das Original. Dann beginne ich bei 7 und zähle wieder bis 12 und erhalte das komplementäre zum Original.
Nun das rechte Ziffernblatt. Ich beginne auch bei 5 und zähle bis 12 und erhalte so das duale zum Original. Dann wieder von 7 bis 12  und ich erhalte das komplementäre zum dualen.

Was sollen nun die blau geschriebenen Wegfolgen bedeuten? Sie weisen darauf hin, dass der Eintritt in das Labyrinth auf die gleiche Achse gelegt werden kann, wie der Eintritt in das Zentrum. Das sind hier die Umgänge 5 und 7. Dadurch lässt sich beim Konstruieren eine kleine ausgesparte Stelle im Labyrinth anlegen, das man als Herz oder (wie früher einmal genannt) Fontanelle ansehen könnte. Vor allem im konzentrischen Stil lässt sich das gut umsetzen.

Aus diesen beiden neu erzeugten (blauen) Wegfolgen konstruiere ich nun zwei neue 11-gängige Labyrinthe im konzentrischen Stil:

Sie haben ein anderes Bewegungsmuster als die bisher schon bekannten Labyrinthe. Zudem sehen wir 6 Wendepunkte für die Umgänge.

Das hier ist das duale zum vorhergehenden Labyrinth. Auch hier gibt es wieder ein anderes „Feeling“.

Wer macht den Anfang und baut einmal ein solches Labyrinth?

Die beiden anderen Wegfolgen ergeben auch neue Labyrinthe, die ich mir aber hier schenke. Die gehören zu den übrigen 1000 Varianten, die für 11-gängige Labyrinthe theoretisch möglich sind.

Verwandte Artikel

Wie mache ich ein Klassisches (Minoisches) Labyrinth aus einem Mittelalterlichen Labyrinth? Teil 3

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das vor Jahren schon einmal ausprobiert. Und in den letzten beiden Beiträgen zu diesem Thema bei den Typen Auxerre und Reims. Siehe dazu die Verwandten Artikel unten.

Heute soll noch einmal der Chartres Typ behandelt werden. Hier das Original in wesentlicher Form, im konzentrischem Stil.

Das Chartres Labyrinth

Das Chartres Labyrinth

Das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Zacken und das sechsblättrige Element in der Mitte gehören zum Stil Chartres und sind hier weggelassen.

Nun ohne die Barrieren in den Nebenachsen.

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Anders als bei den Typen Auxerre und Reims können alle Umgänge in das nun entstehende Labyrinth einbezogen werden. Die Wegfolge ist: 5-4-3-2-1-6-11-10-9-8-7-12. Wir haben acht Wendepunkte mit gestapelten Umgängen. Es ist selbstdual. Das heißt, von innen nach außen geht es im gleichen Rhythmus wie hinein.

Das ergibt aber nun nicht einfach ein 11-gängiges Labyrinth wie wir es aus dem erweiterten Grundmuster erzeugen können.
Denn das sieht so aus:

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Die Wegfolge hier ist: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12. Wir haben vier Wendepunkte mit verschachtelten Umgängen. Es liegt also ein anderes Prinzip der Konstruktion zugrunde als beim Chartres Labyrinth. Doch ist es selbstdual.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu.

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals.
So sieht es dann aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Der Eintritt ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte geschieht vom 5. Umgang aus. Die Barrieren rechts und links sind anders angeordnet, die oberen bleiben. Es ist selbstdual.

Ohne Barrieren sieht es so aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Die Umwandlung funktioniert wieder, wie beim Original auch. Die Wegfolge lautet: 7-8-9-10-11-6-1-2-3-4-5-12. Auch dieses Labyrinth ist selbstdual.

Dem stellen wir wieder das komplementäre Labyrinth gegenüber, das aus dem Grundmuster erzeugt wurde.

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Die Wegfolge hierzu lautet: 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12.
Anders als das Original ist dieser Typ historisch noch nicht aufgetaucht.

Wir haben also aus dem Chartres Labyrinth zwei völlig neue 11-gängige Labyrinthe erzeugt, die anders aussehen als die bisher bekannten 11-gängigen Labyrinthe, die aus dem Grundmuster entwickelt werden können.

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