Feeds:
Beiträge
Kommentare

Posts Tagged ‘selbstdual’

In den vorangegangenen Artikeln zu diesem Thema habe ich die von Tony Phillips ins Spiel gebrachte Methode der Stempelfalzberechnung schon erläutert.

Nun soll es hier weitergehen. Es lassen sich nämlich weitere Varianten von Labyrinthen erzeugen durch einfaches Drehen des verwendeten Polygons.

Ich nehme noch einmal das Netz mit dem Polygon aus dem letzten Beitrag zu diesem Thema (Teil 2).

Das Netz mit dem Polygon

Das Netz mit dem Polygon

Mit diesem Diagramm lassen sich vier verschiedene Labyrinthe erzeugen. Zwei direkt (Zeile 2 und 3), die beiden anderen durch eine einfache Rechnung.

Andere Konstellationen lassen sich gewinnen durch 12-maliges Drehen des Netzes jeweils um 30 Grad. Oder anders gesagt, es ist so so ähnlich wie beim Umstellen der Uhr bei der Sommer- oder Winterzeit.
Da hier aber nur interessante Labyrinthe interessieren, lasse ich alle Stellungen weg, wo die Linien auf den ersten und/oder den letzten Umgang zeigen würden. Von der 12 aus dürfen also nicht die 1 oder 11 erreicht werden. Es sind nur die „Uhrzeiten“ interessant, die weiter weg zeigen, also spitzer verlaufen.
Das wären bei unserem Netz die 1, 5 und 6. Ich drehe also nur auf diese Zeitangaben. Oder anders ausgedrückt, ich bringe die 1, 5 und 6 in Übereinstimmung mit der 12. Ich drehe daher um 30, 150 und 180 Grad. Zu drehen ist das Netz mit dem Polygon, die Zahlen bleiben stehen.

Hier der erste Dreh:

Drehung um 30 Grad

Drehung um 30 Grad

Ich erhalte vier völlig andere Wegfolgen als im obigen Original.

Der zweite Dreh:

Drehung um 150 Grad

Drehung um 150 Grad

Ich erhalte wieder vier neue Varianten.

Der letzte Dreh:

Drehung um 180 Grad

Drehung um 180 Grad

Hier erhalte ich nur eine andere Reihenfolge der Wegfolgen als im ursprünglichen Polygon; also keine neuen Varianten, nur eine andere Anordnung. Das kommt daher, dass die Drehung um 180 Grad einer symmetrischen Spiegelung entspricht.

Es gelingt also nicht in jedem Fall, neue Varianten zu finden. Mit diesem Netz habe ich insgesamt 12 verschiedene Nummernfolgen für 12 neue Labyrinthe generiert.

Die Wegfolgen lassen sich dann direkt in eine Labyrinthzeichnung umsetzen.

Hier soll nur eine (wieder im konzentrischen Stil) gezeigt werden (die 2. Wegfolge aus dem ersten Polygon oben):

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

Verwandte Artikel

Advertisements

Read Full Post »

Wieder geht es um einachsige, alternierende Labyrinthe, wie der New Yorker Mathematik-Professor Tony Phillips sie definiert hat. Er kommt in seinen Berechnungen auf eine Anzahl von 1014 theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen (12-level mazes).

Er beschreibt auch eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Varianten, die John E. Koehler 1968 entwickelt hat zur Lösung eines verwandten Problems der Stempelfalzberechnung von Briefmarken.

Die nachfolgenden Abbildungen sollen diese Methode erläutern. Dazu verwende ich als erstes die schon bekannte Wegfolge für das 11-gängige Labyrinth, das sich aus dem Grundmuster erzeugen lässt, nämlich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12.
Die Wegfolge muss bekanntlich mit einer ungeraden Zahl beginnen und dann eine Reihe sein, in der sich die ungeraden mit den geraden Zahlen abwechseln. „12“ bezeichnet hierbei das Zentrum und die „Außenwelt“.

Ich zeichne einen Kreis und teile ihn in 12 Abschnitte ein, wie bei einer Uhr. Nun muss ich alle Punkte mit Linien verbinden, wobei sich aber gleichfarbige Linien nicht kreuzen dürfen.

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Ich fange mit Blau in 12 an und gehe zu 5, 2, 3, 4 (Fig. 1). Dann von 4 nach 1, wobei ich die Farbe wechsle (Fig. 2). Ich mache weiter mit 6, 11, 8, 9, 10 (Fig. 3). Ich wechsle wieder die Farbe und verbinde 10 mit 7 und 12 (Fig. 4).

Man kann es aber auch anders machen. Zum Beispiel. alle Linien zuerst in einer Farbe zeichnen und dann die kreuzenden in der anderen. Aber auch hier gilt: Gleichfarbige Linien dürfen sich nicht kreuzen. Wohl aber mehr als einmal, solange sie unterschiedlich sind (siehe 4 – 7).

Das Netz

Das Netz

Da wir aber neue Labyrinthe suchen, gehen wir nun den umgekehrten Weg: Wir zeichnen ein Netz  von 12 Linien, das alle 12 Punkte nach den vorgenannten Vorgaben verbindet und leiten daraus die Wegfolge ab.

Hierzu ein Beispiel:

Das Netz mit dem Polygon

Die erste Wegfolge schreibe ich in Zeile 2 (hier in blau), indem ich in 12 beginne und die niedrigere Ziffer ablese, hier 5. Das ist der Beginn des Weges. Dann verfolge ich das Polygon bis ich wieder bei 12 lande und erhalte: 5-2-3-4-1-6-11-10-9-8-7-12. Das ist das Original.
Nun gehe ich den Weg rückwärts und schreibe die Ziffernfolge in Zeile 3. Also von 12 zu 7 usw. Das ergibt: 7-8-9-10-11-6-1-4-3-2-5-12. Das ist das komplementäre zum Original.

Die Zeilen 1 und 4 erhalte ich durch Rechnen. Ich ergänze jeweils die entsprechenden Zahlen jeder Reihe zu „12“. In Zeile 4 erhalte ich das duale zum Original. In Zeile 1 erhalte ich das komplementäre zum dualen.

Die Probe mache ich, indem ich die so gewonnenen Zahlenkolonnen mit den anderen im „Rückwärtsgang“ vergleiche. Das betrifft die Zeilen 1 und 4, sowie 2 und 3.
Das erinnert an das Vorgehen, wie es früher schon einmal beschrieben wurde, als es um die dualen und komplementären Labyrinthe ging (siehe Verwandte Artikel unten).

Es geht aber auch anders. Ich drehe das Ziffernblatt um, schreibe die Ziffern für die 12 Punkte links herum, gegen den Uhrzeigersinn.
So sieht es dann aus:

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Die linke Seite zeigt das Ziffernblatt wie vorher. Ich beginne bei 5, zähle bis 12 und erhalte das Original. Dann beginne ich bei 7 und zähle wieder bis 12 und erhalte das komplementäre zum Original.
Nun das rechte Ziffernblatt. Ich beginne auch bei 5 und zähle bis 12 und erhalte so das duale zum Original. Dann wieder von 7 bis 12  und ich erhalte das komplementäre zum dualen.

Was sollen nun die blau geschriebenen Wegfolgen bedeuten? Sie weisen darauf hin, dass der Eintritt in das Labyrinth auf die gleiche Achse gelegt werden kann, wie der Eintritt in das Zentrum. Das sind hier die Umgänge 5 und 7. Dadurch lässt sich beim Konstruieren eine kleine ausgesparte Stelle im Labyrinth anlegen, das man als Herz oder (wie früher einmal genannt) Fontanelle ansehen könnte. Vor allem im konzentrischen Stil lässt sich das gut umsetzen.

Aus diesen beiden neu erzeugten (blauen) Wegfolgen konstruiere ich nun zwei neue 11-gängige Labyrinthe im konzentrischen Stil:

Sie haben ein anderes Bewegungsmuster als die bisher schon bekannten Labyrinthe. Zudem sehen wir 6 Wendepunkte für die Umgänge.

Das hier ist das duale zum vorhergehenden Labyrinth. Auch hier gibt es wieder ein anderes „Feeling“.

Wer macht den Anfang und baut einmal ein solches Labyrinth?

Die beiden anderen Wegfolgen ergeben auch neue Labyrinthe, die ich mir aber hier schenke. Die gehören zu den übrigen 1000 Varianten, die für 11-gängige Labyrinthe theoretisch möglich sind.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das vor Jahren schon einmal ausprobiert. Und in den letzten beiden Beiträgen zu diesem Thema bei den Typen Auxerre und Reims. Siehe dazu die Verwandten Artikel unten.

Heute soll noch einmal der Chartres Typ behandelt werden. Hier das Original in wesentlicher Form, im konzentrischem Stil.

Das Chartres Labyrinth

Das Chartres Labyrinth

Das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Zacken und das sechsblättrige Element in der Mitte gehören zum Stil Chartres und sind hier weggelassen.

Nun ohne die Barrieren in den Nebenachsen.

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Anders als bei den Typen Auxerre und Reims können alle Umgänge in das nun entstehende Labyrinth einbezogen werden. Die Wegfolge ist: 5-4-3-2-1-6-11-10-9-8-7-12. Wir haben acht Wendepunkte mit gestapelten Umgängen. Es ist selbstdual. Das heißt, von innen nach außen geht es im gleichen Rhythmus wie hinein.

Das ergibt aber nun nicht einfach ein 11-gängiges Labyrinth wie wir es aus dem erweiterten Grundmuster erzeugen können.
Denn das sieht so aus:

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Das 11-gängige Labyrinth aus dem Grundmuster

Die Wegfolge hier ist: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12. Wir haben vier Wendepunkte mit verschachtelten Umgängen. Es liegt also ein anderes Prinzip der Konstruktion zugrunde als beim Chartres Labyrinth. Doch ist es selbstdual.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu.

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals.
So sieht es dann aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Das komplementäre Chartres Labyrinth

Der Eintritt ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte geschieht vom 5. Umgang aus. Die Barrieren rechts und links sind anders angeordnet, die oberen bleiben. Es ist selbstdual.

Ohne Barrieren sieht es so aus:

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Chartres Labyrinth ohne die Barrieren

Die Umwandlung funktioniert wieder, wie beim Original auch. Die Wegfolge lautet: 7-8-9-10-11-6-1-2-3-4-5-12. Auch dieses Labyrinth ist selbstdual.

Dem stellen wir wieder das komplementäre Labyrinth gegenüber, das aus dem Grundmuster erzeugt wurde.

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Das 11-gängige komplementäre Labyrinth zum Grundmuster-Typ

Die Wegfolge hierzu lautet: 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12.
Anders als das Original ist dieser Typ historisch noch nicht aufgetaucht.

Wir haben also aus dem Chartres Labyrinth zwei völlig neue 11-gängige Labyrinthe erzeugt, die anders aussehen als die bisher bekannten 11-gängigen Labyrinthe, die aus dem Grundmuster entwickelt werden können.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das schon ausprobiert (siehe Verwandte Artikel unten). Aber geht das auch bei jedem anderen Mittelalterlichen Labyrinth?

In Teil 1 hatte ich das für den Typ Auxerre gemacht. Jetzt nehme ich den Typ Reims, das wie Chartres und Auxerre selbstdual ist. Und wieder die komplementäre Version. Als Darstellungsform wähle ich den konzentrischen Stil.

Das Reims Labyrinth

Das Reims Labyrinth

 

Hier das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Querbalken in der oberen Hauptachse sind identisch mit denen im Typ Chartres, die Querbalken in den seitlichen Nebenachsen sind unterschiedlich von Chartres, wie auch die Anordnung der Wendepunkte an der Hauptachse unterhalb der Mitte.

Das Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Das Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Die Barrieren sind weggelassen. Beim Zeichnen des Ariadnefadens musste ich feststellen, dass vier Umgänge nicht einbezogen werden können. Das sind die beiden äußeren und die beiden inneren Umgänge (1, 2, 10, 11). Daher habe ich die Umgänge neu nummeriert und es bleiben nunmehr 7 Umgänge statt der ursprünglichen 11. Das bedeutet aber auch, dass bei der Umwandlung in ein konzentrisches klassisches Labyrinth durch diese Methode kein 11-gängiges Labyrinth erzeugt wird, sondern ein 7-gängiges.

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das ist ein bisher kaum bekanntes und genaugenommen auch uninteressantes Labyrinth. Denn ich betrete das Labyrinth auf dem ersten Umgang und in die Mitte komme ich vom letzten Umgang aus. Die Wegfolge ist ebenfalls sehr einfach: 1-2-3-4-5-6-7-8. Es geht einfach serpentinenförmig in die Mitte.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu:

Das komplementäre Reims Labyrinth

Das komplementäre Reims Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals. Die oberen Barrieren bleiben, rechts und links verlaufen sie anders und in der Hauptachse verschieben sich die Wendepunkte. Der Eintritt ins Labyrinth wechselt zur Mitte hin (Umgang 9) und der Eintritt ins Zentrum erfolgt von weiter außen (Umgang 3).

Das komplementäre Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Wie beim Original werden vier Umgänge nicht erfasst (1, 2, 10, 11). Daher ergibt sich wiederum ein 7-gängiges Labyrinth. Ich habe die Umgänge neu nummeriert und das Labyrinth neu gezeichnet.

So sieht es dann aus:

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Der Eingang ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte vom 1. aus. Die Wegfolge lautet: 7-6-5-4-3-2-1-8. Dieses Labyrinth gehört nicht zu den historisch bekannten Labyrinthen. Es ist aber in diesem Blog schon aufgetaucht (siehe Verwandte Artikel unten).

Das Überraschende bei dieser Umwandlung ist, dass auch hier keine 11-gängigen klassischen Labyrinthe generiert werden konnten. Vielmehr zwei 7-gängige Labyrinthe.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das schon ausprobiert (siehe Verwandte Artikel unten). Aber geht das auch bei jedem anderen Mittelalterlichen Labyrinth?

Als Beispiel habe ich den Typ Auxerre ausgesucht, den Andreas hier vor kurzem gezeigt hat. Dieses Labyrinth ist wie Chartres und Reims selbstdual, daher von besonderer Qualität. Und sie haben alle eine komplementäre Version.

Das Auxerre Labyrinth

Das Auxerre Labyrinth

Hier das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Querbalken in den Nebenachsen sind identisch mit denen im Typ Chartres, nur an der Hauptachse in der Mitte unten gibt es eine andere Anordnung der Wendepunkte (die Umgänge 4, 5, 7, 8).

Das originale Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Das originale Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Die Barrieren sind weggelassen. Beim Zeichnen des Ariadnefadens musste ich feststellen, dass vier Umgänge nicht einbezogen werden können. Daher habe ich die Umgänge neu nummeriert und es bleiben nunmehr 7 Umgänge statt der ursprünglichen 11. Das bedeutet aber auch, dass bei der Umwandlung in ein konzentrisches klassisches Labyrinth durch diese Methode kein 11-gängiges Labyrinth erzeugt wird, sondern ein 7-gängiges.

Das 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Das 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Schaut man es genauer an, erkennt man die wohlbekannte Wegfolge: 3-2-1-4-7-6-5-8. Wir haben also ein kretisches Labyrinth vor uns, hier im konzentrischen Stil.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu:

Das komplementäre Auxerre Labyrinth

Das komplementäre Auxerre Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals. Die oberen Barrieren bleiben, rechts und links verlaufen sie anders und in der Hauptachse verschieben sich die Wendepunkte. Der Eintritt ins Labyrinth wechselt zur Mitte hin (Umgang 9) und der Eintritt ins Zentrum erfolgt von weiter außen (Umgang 3).

Das komplementäre Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Wie beim Original werden vier Umgänge nicht erfasst (4, 5, 7, 8). Daher ergibt sich wiederum ein 7-gängiges Labyrinth. Ich habe die Umgänge neu nummeriert und das Labyrinth neu gezeichnet.

So sieht es dann aus:

Das komplementäre 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Das komplementäre 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Der Eingang ins Labyrinth erfolgt auf dem 5. Umgang, der Eintritt in die Mitte vom 3. aus. Die Wegfolge ist: 5-6-7-4-1-2-3-8. Dieses Labyrinth gehört nicht zu den historisch bekannten Labyrinthen. Es ist aber in diesem Blog schon mehrfach aufgetaucht (siehe Verwandte Artikel unten). Denn es gehört zu den interessanten Labyrinthen unter den mathematisch möglichen 7-gängigen Labyrinthen.

Das Überraschende bei dieser Umwandlung ist, dass kein 11-gängiges klassisches Labyrinth generiert werden konnte. Dafür aber das 7-gängige kretische Labyrinth. Daher können wir sagen, dass auch im Herzen des mittelalterlichen Auxerre Labyrinths ein kretisches (Minoisches) steckt so wie im Chartres Labyrinth. kretisches Labyrinth.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Neben dem allgemein bekannten Labyrinth von Chartres und dem weniger populären Labyrinth von Reims ist noch ein drittes, wenig bekanntes, sehr interessantes (interessantes und selbstduales) mittelalterliches Labyrinth mit 4 Achsen und 11 Umgängen überliefert. Dieses stammt aus einer Handschrift, die in der städtischen Bibliothek von Auxerre aufbewahrt wird. Deshalb habe ich es mit Typ Auxerre benannt.

Zum Schluss möchte ich diese drei und die dazu komplementären Labyrinthe zeigen.

In den drei folgenden Abbildungen gehe ich jeweils vom originalen Labyrinth (Figur oben links) aus.

Daraus gewinne ich durch Entrollen des Ariadnefadens das Muster (Figur oben rechts).

Dann spiegle ich das Muster vertikal, ohne die Verbindungen zur Aussenwelt und zum Zentrum zu unterbrechen. Das ergibt das Muster des komplementären Labyrinths (Figur unten rechts).

Dieses rolle ich dann wieder ein und erhalte das komplementäre Labyrinth (Figur unten links).

Abb. 1 zeigt den Vorgang am Beispiel des Labyrinths von Auxerre. Dieses Labyrinth ist in Kern [1] nicht verzeichnet. Die Abbildung des originalen Labyrinths stammt von Saward [2] nach der Quelle von Wright [3].

Abbildung 1. Labyrinth von Auxerre und Komplementäres

Abb. 2 zeigt das Labyrinth von Reims und sein Komplementäres. Die Abbildung des originalen Labyrinths stammt von Kern.

Abbildung 2. Labyrinth von Reims und Komplementäres

Schliesslich werden in Abb. 3 das Labyrinth von Chartres und sein Komplementäres wiedergegeben. Die Abbildung des originalen Labyrinths stammt von Kern.

Abbildung 3. Labyrinth von Chartres und Komplementäres

Mit diesen Betrachtungen wollte ich darauf hinweisen, dass es drei historische Labyrinthe mit vergleichbarem Vollkommenheitsgrad gibt wie Chartres. Zusammen mit den dazu komplementären haben wir nun sechs sehr interessante Labyrinthe mit 4 Achsen, 11 Umgängen und ähnlichem Vollkommenheitsgrad vorliegen.

[1] Kern, H. Labyrinthe. 2. Auflage Prestel, München 1983.
[2] Saward J. Labyrinths and Mazes. Gaia, London 2003.
[3] Wright C. The Maze and the Warrior. Harvard University Press, Cambridge (Massachusetts) 2001.

Verwandte Beiträge:

Read Full Post »

Wir nehmen ein 7-gängiges kretisches Labyrinth und nummerieren die einzelnen Umgänge von außen nach innen. „0“ steht für außen, „8“ bezeichnet das Zentrum. Die beiden Ziffern nehme ich in die Umgangsfolge mit hinein, obwohl sie eigentlich keine Umgänge sind. Als Start- und Zielpunkte erleichtern sie jedoch das Verständnis der Struktur des Labyrinths.

Der Ariadnefaden im 7-gängigen Labyrinth

Der Ariadnefaden im 7-gängigen Labyrinth

Die Umgangsfolge lautet: 0-3-2-1-4-7-6-5-8

Jeder, der schon einmal den Ariadnefaden in den Schnee „getrampelt“ hat, kennt das: Plötzlich ist kein Platz mehr in der Mitte und da geht man einfach heraus. Und schon hat man ein Durchgangslabyrinth geschaffen. Das ist bei nahezu allen Labyrinthen möglich.

So sieht es dann vielleicht aus:

Der Ariadnefaden im Durchgangslabyrinth

Der Ariadnefaden im Durchgangslabyrinth

Will man nun ein kompakteres Labyrinth, muss man die Form verändern. Die inneren Umgänge werden letztlich zu einer Doppelspirale. Statt zweier getrennter Wege, lässt sich dieser auch zusammenführen und wir haben eine Verknüpfung.

Etwa so:

Das 7-gängige Durchgangslabyrinth

Das 7-gängige Durchgangslabyrinth

Betrachten wir die Umgangsfolge, wenn wir den linken Weg nehmen oder die Abzweigung nach links:
0-3-2-1-4-7-6-5-0

Jetzt nehmen wir zuerst den rechten Weg oder die Abzweigung nach rechts, dann ist die Umgangsfolge:
0-5-6-7-4-1-2-3-0

Da die zwei Reihen untereinander geschrieben sind, lassen sie sich ganz einfach addieren (ohne erste und letzte Ziffer):
8-8-8-8-8-8-8

Das bedeutet: Gehe ich nach links, bin ich im originalen Labyrinth, gehe ich nach rechts, durchquere ich das komplementäre.

Das komplementäre Labyrinth zum 7-gängigen Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth zum 7-gängigen Labyrinth

Es hat die Umgangsfolge 0-5-6-7-4-1-2-3-8.

Oder anders ausgedrückt: Das Durchgangslabyrinth enthält zwei verschiedene Labyrinthe, das originale und das komplementäre.

Das 7-gängige kretische Labyrinth ist selbstdual. Dadurch erhalte ich nur zwei verschiedene Labyrinthe durch das Drehen oder Spiegeln, wie Andreas das ausführlich in seinen vorangegangenen Artikeln beschrieben hat.

Wie sieht nun das Durchgangslabyrinth bei einem nicht selbstdualen Labyrinth aus?

Dazu wähle ich ein 9-gängiges Labyrinth als Beispiel:

Ein 9-gängiges Labyrinth

Ein 9-gängiges Labyrinth

Hier sind die Begrenzungslinien dargestellt.
Links oben sehen wir das originale Labyrinth, rechts daneben ist das duale dazu.
Links unten sehen wir das komplementäre zum originalen (oben), rechts daneben ist das duale dazu.
Dieses duale ist aber gleichzeitig auch das komplementäre zum dualen oben.

Das erste 9-gängige Durchgangslabyrinth

Das erste 9-gängige Durchgangslabyrinth

Das erste Durchgangslabyrinth zeigt links den Weg wie im originalen Labyrinth. Rechts zeigt sich jedoch überraschenderweise der Weg des komplementären Labyrinthes zum dualen Labyrinth.

Und das zweite?

Das zweite 9-gängige Durchgangslabyrinth

Das zweite 9-gängige Durchgangslabyrinth

Der linke Weg entspricht dem dualen Labyrinth des Originals. Der rechte Weg aber dem komplementären Labyrinth des Originals.

Jetzt schauen wir wieder ein selbstduales Labyrinth an, ein 11-gängiges, das aus dem erweitertem Grundmuster entwickelt wurde.

Ein 11-gängiges Labyrinth im Knidos Stil

Ein 11-gängiges Labyrinth im Knidos Stil

Das linke ist das originale Labyrinth mit der Umgangsfolge:
0-5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Das rechte zeigt das komplementäre dazu mit der Umgangsfolge:
0-7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12

Die Probe durch Addition (ohne erste und letzte Ziffer):
12-12-12-12-12-12-12-12-12-12-12

Nun konstruieren wir wieder das dazugehörige Durchgangslabyrinth:

Das 11-gängige Durchgangslabyrinth

Das 11-gängige Durchgangslabyrinth

Wieder sehen wir das originale und das komplementäre Labyrinth in einer Figur vereint. Die Umgangsfolgen vorwärts und rückwärts gelesen, zeigen auch, daß die beiden Labyrinthe spiegelsymmetrisch sind. Das trifft auch auf die vorangegangenen Durchgangslabyrinthe zu.

Das sind jetzt alles labyrinththeoretische Überlegungen. Aber hat es solch ein Labyrinth schon einmal als historisches Labyrinth gegeben? Das 7- und das 9-gängige sind mir noch nicht begegnet, aber das 11-gängige Durchgangslabyrinth ist mir bei der Beschäftigung mit den Babylons auf den Solovki-Inseln schon begegnet (siehe Verwandte Artikel unten), Dabei habe ich auch überlegt, wie diese Labyrinthe wohl entstanden sind. Sicher nicht aus den vorgenannten theoretischen Überlegungen heraus, sondern eher aus einer „Mutation“ der 11-gängigen Trojaburgen im skandinavischen Raum. Und damit zusammenhängend auch aus einer anderen Sicht auf die Labyrinthe in dieser Kultur.

Ein besonders schönes Exemplar gibt es als 15-gängiges Labyrinth unter einem Leuchtturm auf der schwedischen Insel Rödkallen im Bottnischen Meerbusen.

Eine 15-gängige Trojaburg auf der Insel Rödkallen

Eine 15-gängige Trojaburg auf der Insel Rödkallen, Foto mit freundlicher Genehmigung von Swedish Lapland.com, © Göran Wallin

Es hat eine offene Mitte und wieder die Verzweigung für die Wahl des Weges. Mehr über schwedische Labyrinthe bringt dieser Artikel auf Swedish Lapland.com von Göran Wallin.

Für mich zeigt sich in diesen Labyrinthen eine ganz besondere Qualität, auch wenn damit ein Paradigmenwechsel verbunden ist.

Verwandte Artikel

Read Full Post »

Older Posts »

%d Bloggern gefällt das: