Symmetrien bei Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarrieren

Abgesehen vom ersten und letzten Sektor gibt es nur vier Verläufe für Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Diese vier „inneren“ Verläufe haben besondere Eigenschaften. Die Verläufe AB und CD der Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen sind spiegelsymmetrisch (Abb. 1).

Abbildung 1. Spiegelsymmetrische Verläufe AB und CD

Das bedeutet, dass man durch Kombination von gegenläufigen Sektormustern für den ersten und letzten Sektor selbstgegenläufige Labyrinthe erzeugen kann.

Es gibt 4 Paare von gegenläufigen Sektormustern aus den Quadranten A und B, wie in Abb. 2 gezeigt.

Abbildung 2. Gegenläufige Sektormuster Quadranten A und B

Und ebenso gibt es 4 Paare von gegenläufigen Sektormustern aus Quadranten C und D (Abb. 3).

Abbildung 3. Gegenläufige Sektormuster Quadranten C und D

Jede dieser Kombinationen ergibt ein selbstgegenläufiges Labyrinth. Von den 16 möglichen Kombinationen für jeden Verlauf sind also 4 selbstgegenläufig. Das gilt unabhängig von der Anzahl Achsen, trifft also für Labyrinthe mit 2, 4, 6, 8, usf. Achsen zu.

Die Verläufe CB und AD der Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen sind rotationssymmetrisch (Abb. 4).

Abbildung 4. Rotationssymmetrische Verläufe AD und CB

Das bedeutet, dass man durch Kombination von dualen Sektormustern für den ersten und letzten Sektor selbstduale Labyrinthe erzeugen kann.

Die vier Paare von dualen Mustern aus Quadranten C und B zeigt Abb. 5

Abbildung 5. Duale Sektormuster Quadranten C und B

Und in Abb 6 sind die vier Paare von dualen Mustern der Quadranten A und D wiedergegeben.

Abbildung 6. Duale Sektormuster Quadranten A und D

Jede dieser Kombinationen ergibt ein selbstduales Labyrinth. Von den 16 möglichen Kombinationen für jeden Verlauf sind also 4 selbstdual. Das gilt unabhängig von der Anzahl Achsen, trifft also für Labyrinthe mit 3, 5, 7, 9, usf. Achsen zu.

Zum Schluss zeige ich in Abb. 7 noch ein selbstduales Labyrinth mit drei Achsen und dem Verlauf CB.

Abbildung 7. Selbstduales Labyrinth mit Verlauf CB und drei Achsen

Die gleiche Eigenschaft besitzen auch die Sektorenlabyrinthe mit echten Doppelbarrieren. Nur gibt es dort weniger Kombinationen überhaupt, nämlich für jeden Verlauf 4. Deshalb sind auch weniger selbstgegenläufige oder selbstduale Labyrinthe möglich, nämlich für jeden Verlauf 2.

Wie zeichne ich ein klassisches 7-gängiges Labyrinth im Knidos Stil?

Es folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Zeichenanleitung zur Konstruktion eines geometrisch-mathematisch korrekten Labyrinthes.

Die Vorgaben sind folgende: Der DurchmesserDie Maßeinheit für den Achsabstand der Linien beträgt 1 m. Der Durchmesser der Mitte soll das Vierfache dieses Abstandes betragen, also 4 m. Der Eintritt ins Labyrinth und in das Zentrum werden auf die zentrale Mittelachse gelegt.

Angaben zum Knidos Stil sind in diesem Artikel zu finden.

Figur 1: Als erstes wird der Mittelpunkt M1 des Labyrinthes festgelegt. Von hier ausgehend erfolgt die Ausrichtung der Hauptachse (senkrechte Linie) zum Eingang des Labyrinthes unten. Dann wird in 1.50 m Abstand dazu eine Parallele als Hilfslinie gezeichnet und in M1 ein Hilfskreis mit einem Radius von 3 m gezeichnet. Mittels Bogenschlag wird anschließend der Punkt Mittelpunkt M2 im Schnittpunkt dieser Hilfslinien rechts unterhalb konstruiert.

Figur 2: Der Punkt M3 wird konstruiert, indem zwei Radien mit Radius 4 m um M1 und M2 links der Hauptachse zum Schnitt gebracht werden.

Figur 3: Zuerst werden die Geraden M1-M2 und M1-M3 verlängert, dann um M1 als Mittelpunkt sieben Kreisbögen gezeichnet mit den Radien 2.5 m bis 8.5 m. Das ist der Ariadnefaden, die Wegachse, für das Labyrinth.

Figur 4: Um M2 und M3 werden Kreisbögen mit den Radien 0.5 m und 1.5 m bis zu den Bogenenden der entsprechenden vorher konstruierten Kreisbögen gezogen. Der rechte Kreisbogen mit dem Radius 1.5 m geht nur bis zum Schnittpunkt mit der waagrechten Konstruktionslinie und führt dann als Gerade ins Zentrum M1.

Figur 5: Eine Parallele wird im Abstand von 1.5 m links der zentralen Achse als Hilfslinie gezeichnet. Um M3 als Mittelpunkt wird ein Hilfskreis mit dem Radius 4 m gezeichnet und mit der senkrechten Hilfslinie geschnitten. So entsteht der Mittelpunkt M4.

Figur 6: Die drei offenen Bogenstücke links der verlängerten Linie M1 – M3 werden mit den Radien 2.5 m, 3.5 m und 4.5 m bis zur Linie M3 – M4 verbunden.

Figur 7: Um M4 als Mittelpunkt werden zwei Bogenstücke mit den Radien 0.5 m und 1.5 m gezogen, der Radius 1.5 m nur bis zur waagrechten Konstruktionslinie zu M4. Von hier schließt sich eine Gerade zum Eingang des Labyrinths ganz unten an.

Figur 8: Um die Mittelpunkte M2 un M4 werden zwei Hilfskreise mit Radius 4 m gezeichnet und rechts der Zentralachse im Schnittpunkt derselben der neue Mittelpunkt M5 konstruiert.

Figur 9: Im neuen Sektor werden die rechts liegenden freien Bogenendstücke mit den Radien 2.5 m bis 5.5 m bis zur Linie M2 – M5, bzw. deren Verlängerung, verbunden.

Figur 10: Um M5 als Mittelpunkt werden noch zwei Halbkreise mit den Radien 0.5 m und 1.5 m konstruiert. Damit ist der komplette Ariadnefaden für das Labyrinth gezeichnet.

Figur 11: Parallel zu allen bisherigen Bogenstücken werden nun im Abstand von jeweils 0.5 m die Begrenzungslinien des Labyrinthes konstruiert. Beginnend mit R 1 m bis zu R 9 m für den äußersten Ring. Damit sind alle Linien für das Labyrinth komplett und können für verschiedene Darstellungen des Labyrinthes in unterschiedlichen Varianten verwendet werden.

Zum Beispiel hier mit gleichen Breiten für die Begrenzungslinien. Der Ariadnefaden ist der freie Raum zwischen diesen Linien:

Das 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil mit zentraler Achse

Das 7-gängige klassische Labyrinth im Knidos Stil mit zentraler Achse

Hier noch einmal die vorangegangenen Zeichenschritte in einer einzigen Konstruktionszeichnung zusammengefasst, die beliebig skaliert werden kann.

Die Konstruktionszeichnung

Die Konstruktionszeichnung

Und hier als PDF-Datei zum anschauen, drucken oder downloaden.

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Wie erzeuge ich das Sieben mal Sieben Labyrinth

Zum neuen Jahr habe ich das Sieben mal Sieben Labyrinth vorgestellt (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Erwin hat sofort kommentiert und die Ähnlichkeit mit dem Typ Gossembrot 51 r bemerkt. Das trifft zu. Ich wollte aus diesem Typ ein selbst-duales Labyrinth entwickeln. Dabei sollte das Typische des Wegverlaufs erhalten bleiben. Typisch am Labyrinth von Gossembrot sind nicht nur die Doppelbarrieren, sondern auch die Art der Wegführung durch alle Segmente durch. Es ist kein Sektorenlabyrinth, sondern in etwa das Gegenteil davon.

In Abbildung 1 zeige ich das Muster des Labyrinth Typs Gossembrot 51r. Dieses bildet den Ausgangspunkt (a) und ist grau dargestellt. Das Typische des Wegverlaufs habe ich früher beschrieben (Verwandte Beiträge 2). Es spielt sich in den Segmenten III – V ab. Auch eine Besonderheit ist der Mäander in Segment II. Dieser Mäander liegt auf den Umgängen 2 – 6. Es hat also noch je einen Umgang aussen und innen am Mäander.
Zuerst isoliere ich das Segment mit dem Mäander (b). Der Mäander selbst ist selbst-dual. Und da aussen und innen je ein weiterer Umgang hinzukommen, ist die ganze Figur (b) ebenfalls selbst-dual. An diese Figur schliessen sich rechts die Segmente III – V an. Die enthalten die typische Wegführung von Gossembrot. Dass Segment II selbst-dual ist, hat auch zur Folge, dass man an seine eine Seite die Figur anschliessen kann, welche dual zur Figur an seiner anderen Seite ist. In einem zweiten Schritt nehme ich also die Figur aus Segmenten III – V und stelle sie an die rechte Seite von Segment II. Figur (c) zeigt nun nichts anderes als Segment II nicht verbunden mit Segmenten III – V des Musters von Gossembrot 51 r.

Abbildung 1. Vorbereitung

Diese Figur (c) bildet die Basis für die Erzeugung des Sieben mal Sieben Labyrinths, bzw. von dessen Muster. Der Prozess wird in Abb. 2 veranschaulicht. Hier beginnen wir in der dritten Reihe bei den grau dargestellten Figuren (c). In einem dritten Schritt wird nun die Figur aus Segmenten III – V dupliziert (d). Dieses Duplikat wird dann, viertens, um 180 Grad gedreht. So entsteht die dazu duale Figur (e). Wir verschieben sie nach unten und sehen: sie kann auf der linken Seite an die Figur mit dem Mäander aus Segment II angeschlossen werden (f). Nun brauchen wir nur noch die Elemente miteinander verbinden und erhalten in Figur (g) das Muster des Sieben mal Sieben Labyrinths.
Dieses ganze Muster ist selbst-dual. Aus den fünf Segmenten des Labyrinth Typs Gossembrot 51 r sind nun sieben Segmente geworden. Das Duale zu Gossembrots Segmenten III – V belegt neu Segmente I – III, im zentralen Segment IV folgt der Mäander mit den zusätzlichen Umgängen innen und aussen, und Gossembrots ursprüngliche Segmente III – V werden hier zu Segmenten V – VII.­

Abbildung 2. Erzeugung des Musters

Abbildung 3 zeigt das Labyrinth in der Grundform ohne den Siebenstern im Zentrum und ohne das Siebeneck an der Peripherie. Diese sind Zutaten und dem Stil zuzuordnen, nicht dem Labyrinth Typ.

Abbildung 3. Das Labyrinth in der Grundform

Ein sehr ausgewogenes Labyrinth. Die Hauptachse ist gleich wie beim Grundtyp. Gegenüber der Hauptachse, im mittleren Segment IV­, liegt der Mäander. In den drei Segmenten vor und nach dem Mäander findet sich der typische Wegverlauf. Der Weg verläuft in hüllenden und umhüllten Kurven durch alle Segmente, passiert dabei den Mäander und kommt in der Rückwärtsbewegung durch die drei Segmente VII-V in Segment IV, welches er als Mäander durchläuft, setzt die Rückwärtsbewegung durch Segmente III – I fort und führt erneut in der Vorwärtsbewegung durch alle Segmente bis ins Zentrum.

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  1. Labyrinth zum Neuen Jahr 2020
  2. Sigmund Gossembrot / 2

Wie mache ich ein (neues) 11-gängiges Labyrinth? Teil 3

In den vorangegangenen Artikeln zu diesem Thema habe ich die von Tony Phillips ins Spiel gebrachte Methode der Stempelfalzberechnung schon erläutert.

Nun soll es hier weitergehen. Es lassen sich nämlich weitere Varianten von Labyrinthen erzeugen durch einfaches Drehen des verwendeten Polygons.

Ich nehme noch einmal das Netz mit dem Polygon aus dem letzten Beitrag zu diesem Thema (Teil 2).

Das Netz mit dem Polygon

Das Netz mit dem Polygon

Mit diesem Diagramm lassen sich vier verschiedene Labyrinthe erzeugen. Zwei direkt (Zeile 2 und 3), die beiden anderen durch eine einfache Rechnung.

Andere Konstellationen lassen sich gewinnen durch 12-maliges Drehen des Netzes jeweils um 30 Grad. Oder anders gesagt, es ist so so ähnlich wie beim Umstellen der Uhr bei der Sommer- oder Winterzeit.
Da hier aber nur interessante Labyrinthe interessieren, lasse ich alle Stellungen weg, wo die Linien auf den ersten und/oder den letzten Umgang zeigen würden. Von der 12 aus dürfen also nicht die 1 oder 11 erreicht werden. Es sind nur die „Uhrzeiten“ interessant, die weiter weg zeigen, also spitzer verlaufen.
Das wären bei unserem Netz die 1, 5 und 6. Ich drehe also nur auf diese Zeitangaben. Oder anders ausgedrückt, ich bringe die 1, 5 und 6 in Übereinstimmung mit der 12. Ich drehe daher um 30, 150 und 180 Grad. Zu drehen ist das Netz mit dem Polygon, die Zahlen bleiben stehen.

Hier der erste Dreh:

Drehung um 30 Grad

Drehung um 30 Grad

Ich erhalte vier völlig andere Wegfolgen als im obigen Original.

Der zweite Dreh:

Drehung um 150 Grad

Drehung um 150 Grad

Ich erhalte wieder vier neue Varianten.

Der letzte Dreh:

Drehung um 180 Grad

Drehung um 180 Grad

Hier erhalte ich nur eine andere Reihenfolge der Wegfolgen als im ursprünglichen Polygon; also keine neuen Varianten, nur eine andere Anordnung. Das kommt daher, dass die Drehung um 180 Grad einer symmetrischen Spiegelung entspricht.

Es gelingt also nicht in jedem Fall, neue Varianten zu finden. Mit diesem Netz habe ich insgesamt 12 verschiedene Nummernfolgen für 12 neue Labyrinthe generiert.

Die Wegfolgen lassen sich dann direkt in eine Labyrinthzeichnung umsetzen.

Hier soll nur eine (wieder im konzentrischen Stil) gezeigt werden (die 2. Wegfolge aus dem ersten Polygon oben):

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

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