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Posts Tagged ‘Wegfolge’

Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das schon ausprobiert (siehe Verwandte Artikel unten). Aber geht das auch bei jedem anderen Mittelalterlichen Labyrinth?

In Teil 1 hatte ich das für den Typ Auxerre gemacht. Jetzt nehme ich den Typ Reims, das wie Chartres und Auxerre selbstdual ist. Und wieder die komplementäre Version. Als Darstellungsform wähle ich den konzentrischen Stil.

Das Reims Labyrinth

Das Reims Labyrinth

 

Hier das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Querbalken in der oberen Hauptachse sind identisch mit denen im Typ Chartres, die Querbalken in den seitlichen Nebenachsen sind unterschiedlich von Chartres, wie auch die Anordnung der Wendepunkte an der Hauptachse unterhalb der Mitte.

Das Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Das Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Die Barrieren sind weggelassen. Beim Zeichnen des Ariadnefadens musste ich feststellen, dass vier Umgänge nicht einbezogen werden können. Das sind die beiden äußeren und die beiden inneren Umgänge (1, 2, 10, 11). Daher habe ich die Umgänge neu nummeriert und es bleiben nunmehr 7 Umgänge statt der ursprünglichen 11. Das bedeutet aber auch, dass bei der Umwandlung in ein konzentrisches klassisches Labyrinth durch diese Methode kein 11-gängiges Labyrinth erzeugt wird, sondern ein 7-gängiges.

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das ist ein bisher kaum bekanntes und genaugenommen auch uninteressantes Labyrinth. Denn ich betrete das Labyrinth auf dem ersten Umgang und in die Mitte komme ich vom letzten Umgang aus. Die Wegfolge ist ebenfalls sehr einfach: 1-2-3-4-5-6-7-8. Es geht einfach serpentinenförmig in die Mitte.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu:

Das komplementäre Reims Labyrinth

Das komplementäre Reims Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals. Die oberen Barrieren bleiben, rechts und links verlaufen sie anders und in der Hauptachse verschieben sich die Wendepunkte. Der Eintritt ins Labyrinth wechselt zur Mitte hin (Umgang 9) und der Eintritt ins Zentrum erfolgt von weiter außen (Umgang 3).

Das komplementäre Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Reims Labyrinth ohne die Barrieren

Wie beim Original werden vier Umgänge nicht erfasst (1, 2, 10, 11). Daher ergibt sich wiederum ein 7-gängiges Labyrinth. Ich habe die Umgänge neu nummeriert und das Labyrinth neu gezeichnet.

So sieht es dann aus:

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Das kreisrunde 7-gängige Labyrinth

Der Eingang ins Labyrinth erfolgt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in die Mitte vom 1. aus. Die Wegfolge lautet: 7-6-5-4-3-2-1-8. 12Dieses Labyrinth gehört nicht zu den historisch bekannten Labyrinthen. Es ist aber in diesem Blog schon aufgetaucht (siehe Verwandte Artikel unten).

Das Überraschende bei dieser Umwandlung ist, dass auch hier keine 11-gängigen klassischen Labyrinthe generiert werden konnten. Vielmehr zwei 7-gängige Labyrinthe.

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Ganz einfach: Durch Weglassen der Barrieren in den Nebenachsen. Beim Chartres Labyrinth habe ich das schon ausprobiert (siehe Verwandte Artikel unten). Aber geht das auch bei jedem anderen Mittelalterlichen Labyrinth?

Als Beispiel habe ich den Typ Auxerre ausgesucht, den Andreas hier vor kurzem gezeigt hat. Dieses Labyrinth ist wie Chartres und Reims selbstdual, daher von besonderer Qualität. Und sie haben alle eine komplementäre Version.

Das Auxerre Labyrinth

Das Auxerre Labyrinth

Hier das Original mit allen Linien und dem Weg im Labyrinth, dem Ariadnefaden. Die Querbalken in den Nebenachsen sind identisch mit denen im Typ Chartres, nur an der Hauptachse in der Mitte unten gibt es eine andere Anordnung der Wendepunkte (die Umgänge 4, 5, 7, 8).

Das originale Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Das originale Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Die Barrieren sind weggelassen. Beim Zeichnen des Ariadnefadens musste ich feststellen, dass vier Umgänge nicht einbezogen werden können. Daher habe ich die Umgänge neu nummeriert und es bleiben nunmehr 7 Umgänge statt der ursprünglichen 11. Das bedeutet aber auch, dass bei der Umwandlung in ein konzentrisches klassisches Labyrinth durch diese Methode kein 11-gängiges Labyrinth erzeugt wird, sondern ein 7-gängiges.

Das 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Das 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Schaut man es genauer an, erkennt man die wohlbekannte Wegfolge: 3-2-1-4-7-6-5-8. Wir haben also ein kretisches Labyrinth vor uns, hier im konzentrischen Stil.


Nun wenden wir uns dem komplementären Labyrinth zu:

Das komplementäre Auxerre Labyrinth

Das komplementäre Auxerre Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth wird erzeugt durch Spiegelung des Originals. Die oberen Barrieren bleiben, rechts und links verlaufen sie anders und in der Hauptachse verschieben sich die Wendepunkte. Der Eintritt ins Labyrinth wechselt zur Mitte hin (Umgang 9) und der Eintritt ins Zentrum erfolgt von weiter außen (Umgang 3).

Das komplementäre Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Das komplementäre Auxerre Labyrinth ohne die Barrieren

Wie beim Original werden vier Umgänge nicht erfasst (4, 5, 7, 8). Daher ergibt sich wiederum ein 7-gängiges Labyrinth. Ich habe die Umgänge neu nummeriert und das Labyrinth neu gezeichnet.

So sieht es dann aus:

Das komplementäre 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Das komplementäre 7-gängige kreisrunde kretische Labyrinth

Der Eingang ins Labyrinth erfolgt auf dem 5. Umgang, der Eintritt in die Mitte vom 3. aus. Die Wegfolge ist: 5-6-7-4-1-2-3-8. Dieses Labyrinth gehört nicht zu den historisch bekannten Labyrinthen. Es ist aber in diesem Blog schon mehrfach aufgetaucht (siehe Verwandte Artikel unten). Denn es gehört zu den interessanten Labyrinthen unter den mathematisch möglichen 7-gängigen Labyrinthen.

Das Überraschende bei dieser Umwandlung ist, dass kein 11-gängiges klassisches Labyrinth generiert werden konnte. Dafür aber das 7-gängige kretische Labyrinth. Daher können wir sagen, dass auch im Herzen des mittelalterlichen Auxerre Labyrinths ein kretisches (Minoisches) steckt so wie im Chartres Labyrinth. kretisches Labyrinth.

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Durch Drehen oder Spiegeln kommt man zu dualen und komplementären Labyrinthen bereits bestehender Labyrinthe. Oder anders ausgedrückt: Dadurch lassen sich weitere, neue Labyrinthe bilden.
So kann ich drei neue Labyrinthe erzeugen, denn vom neuen dualen Labyrinth kann ich wieder ein neues komplementäres erzeugen und vom neuen komplementären wieder ein neues duales, die aber identisch sind. (Genaueres darüber in den Verwandten Artikeln unten).

Unter diesen Aspekten habe ich die schon vorgestellten 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe im Knidos Stil genauer angeschaut und stelle hier die für mich interessantesten Varianten vor. Denn nicht alle der möglichen dualen oder komplementären Exemplare scheinen bemerkenswert.

Viele, vor allem komplementäre, würden mit dem ersten Umgang beginnen und dem letzten zum Zentrum führen, was nicht so wünschenswert ist.

Auch durch Weglassen überflüssiger (trivialer) Umgänge lassen sich neue Exemplare generieren. Das trifft auf die beiden letzten Labyrinthe zu. Wenn Sie das erste mit dem letzten Exemplar vergleichen, sehen Sie zwei bemerkenswerte Labyrinthe: Das erste hat 12 Umgänge, das letzte 8 Umgänge; sie haben trotzdem einen ähnlichen Bewegungsverlauf.

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Genauer gesagt, geht es hier um die aus einigen vorherigen Beiträgen (dazu die Verwandten Artikel unten) schon bekannten 21 reihenförmig angeordneten Eingeweidelabyrinthe.

Das Aussehen wird bestimmt durch die Weg- oder Umgangsfolge. Danach lassen sich die (hier 21) verschiedenen und neuen Labyrinth-Typen konstruieren. Dazu verwende ich die schon einmal vorgestellte Methode, ein Labyrinth zu zeichnen (siehe unten).

Der Weg und die Begrenzung sind gleich breit. Die Mitte ist größer. Das letzte Wegstück führt senkrecht in das Zentrum. Alle Elemente schließen knickfrei und geometrisch korrekt aneinander an. Es gibt nur Geraden und Bögen. Alles auf möglichst kleinem Raum. Das zusammen macht den Knidos Stil aus.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Ich finde, dass durch diesen Stil der Bewegungsverlauf eines jeden Labyrinths besonders gut erkennbar wird. Damit lassen sie sich vielleicht auch leichter mit den schon bekannten Labyrinthen vergleichen.

Bemerkenswert für mich ist, dass nur ein Exemplar (E 3384 v_6) mit dem ersten Umgang beginnt. Und dass viele zuerst und direkt die Mitte umkreisen und schließlich vom ersten Umgang aus direkt die Mitte erreicht wird. Auffällig sind auch die vielen senkrechten, geraden und parallelen Wegstücke im Mittelteil.

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Hier geht es um die Dechiffrierung der Umgangsfolgen der reihenförmigen 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe aus dem letzten Artikel zu diesem Thema (siehe verwandte Artikel unten).

Die Frage lautet: Lassen sich daraus einachsige alternierende Labyrinthe mit einem Ziel in der Mitte erzeugen? Also keine Durchgangslabyrinthe, wo der auch eindeutige Weg hindurchführt, sondern in ein Zentrum mündet.
Vielleich könnte man sie als „Hinein-Labyrinthe“ bezeichnen im Gegensatz zu den „Hindurch-Labyrinthen“?

Die kurze Antwort: Ja, es geht. Und es entstehen 21 neue, bisher unbekannte Labyrinthe.

Die Umgangsfolge für ein Durchgangslabyrinthe lässt sich umwandeln in eine für ein Hinein-Labyrinth durch Weglassen der letzten „0“, die für „außen“ steht. Die höchste Zahl steht immer für das Zentrum. Sollte diese nicht an letzter Stelle in der Umgangsfolge stehen, muss man noch eine Zahl hinzufügen.
Dieser „Trick“ ist nur bei zwei Labyrinthen notwendig und führt dann zu Labyrinthen mit geradzahligen Umgängen (bei VAT 984_6 und bei VAN 9447_7).

Die Galerie zeigt alle 21 Labyrinthe im konzentrischen Stil mit einer größeren Mitte.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines ist bisher irgendwo aufgetaucht. Sie haben zwischen 9 und 16 Umgänge, die meisten jedoch 11 Umgänge. Es gibt zwischen 3 und 6 Wendepunkte.

In diesen Konstellationen gibt es rein mathematisch gesehen 134871 Varianten von interessanten Labyrinthen wie der Mathematik-Professor Tony Phillips nachgewiesen hat.

Es sind also noch lange nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, neue Labyrinthe zu finden oder zu erfinden.

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Weiterführender Link
Die Website von Tony Phillips (in Englisch)

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Genauer gesagt: Die Umgangsfolgen der reihenförmig gebildeten Eingeweidelabyrinthe. Unter den bisher insgesamt bekannten 27 Eingeweidelabyrinthen gibt es 21 reihenförmige Eingeweidelabyrinthe als Durchgangslabyrinthe. Als Unterscheidungsmerkmal kann dabei die Umgangsfolge dienen. Hier möchte ich gerne die Umgangsfolgen aller 21 Exemplare darstellen.

Schauen Sie dazu die einzelnen Bilder in der Galerie durch Anklicken in einer größeren Version an:

Die Methode besteht darin, die in Reihe stehenden senkrechten Schleifen von links nach rechts zu nummerieren. Die bogenförmigen Übergänge erhalten keine Nummer. „0“ steht dabei für außen. Bei den beiden quer verlaufenden Schleifen in E 3384 r_4 und E 3384 r_5 gilt ebenfalls: von links nach rechts. Ein besonderes Exemplar ist E 3384 v_4. Hier sind einige Schleifen „ausgelagert“. Doch auch da lässt sich eine sinnvolle Umgangsfolge finden.

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines gleicht dem anderen. Das allein ist schon bemerkenswert. Sie folgen also keinem einheitlichen Muster.

Ein erster Blick auf die Umgangsfolgen zeigt, dass sie sehr stark an die Umgangsfolgen einachsiger alternierender klassischer Labyrinthe erinnern. Das heißt: Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl. Dann folgen im Wechsel gerade und ungerade Zahlen.

In einem der nächsten Artikel geht es dann an die Dechiffrierung der Umgangsfolgen.

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Oder anders gefragt: Kann ich ein klassisches Labyrinth in ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth umwandeln?

Da gilt es, zunächst die Unterschiede zu erkennen; und dann das Verbindende.

Als Beispiel wähle ich das wohl bekannteste klassische Labyrinth: das 7-gängige kretische Labyrinth.

Das 7-gängige Labyrinth

Das 7-gängige kretisch Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es hat ein Zentrum und einen Eingang. Es gibt nur einen Weg hinein. In der Mitte bin ich am Ziel und am Ende des Weges. Zurück geht es in umgekehrter Richtung.

Bei den Babylonischen Eingeweidelabyrinthen kann man zwei Hauptgruppen unterscheiden. Die einen sind mehr rund und ineinander verschlungen, bei den anderen sind die Schlingen reihenförmig angeordnet.

Als Beispiel wähle ich hier das Labyrinth E3384_r8 auf einer Tontafel von Tell Barri (Syrien) (mehr dazu siehe Verwandte Artikel unten).

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth mit 10 Umgängen und zwei Zugängen

Beim Eingeweidelabyrinth habe ich zwei Zugänge und kein eigentliches Zentrum. Der Weg führt jedoch durch alle Schlingen hindurch bis zum anderen Zugang. Es ist also ein Durchgangslabyrinth.

Die Umgänge sind hier von links nach rechts nummeriert, während sie bei den klassischen Labyrinthen von außen nach innen nummeriert sind.  „0“ steht jeweils für die Außenwelt, bei den klassischen die letzte Ziffer für das Zentrum.

Bei jedem Labyrinth steht eine Ziffernfolge, die Umgangs- oder Wegfolge. Das ist die Reihenfolge, in der die Umgänge der Reihe nach durchlaufen werden.

Das verbindende Element ist also die Umgangsfolge. Wir müssen daher aus den Umgangsfolgen der klassischen Labyrinthe „reihenförmige“ Durchgangslabyrinthe konstruieren.

Als erstes nehmen wir das 7-gängige Labyrinth, wie oben gezeigt. Wir verwenden die Umgangsfolge und verbinden die in Reihe angeordneten Umgänge dementsprechend. Die zweite „0“ zeigt an, dass wir ein Durchgangslabyrinth haben.
Das sieht dann wie folgt aus:

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das machen wir jetzt noch für einige klassische Labyrinthe.

Das 3-gängige Labyrinth

Das 3-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das Original ist aus dem Mäander entwickelt und wird auch Knossos Labyrinth genannt. Das rechte ist aus dem „abgemagerten“ Grundmuster entwickelt, stellt aber gleichzeitig das komplementäre zum Knossos Labyrinth dar. Darunter dann die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe.


Ein 5-gängiges Labyrinth:

Das 5-gängige Labyrinth

Das 5-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es gibt noch weitere 5-gängige Labyrinthe mit einer anderen Wegfolge. Aber im Prinzip ist der Vorgang der gleiche.

Das waren jetzt alles selbstduale Labyrinthe.


Nun nehmen wir ein 9-gängiges Labyrinth. Da gibt es mehr Varianten:

Das 9-gängige Labyrinth

Ein 9-gängiges Labyrinth in vier Ausführungen

Dazu die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe:

Die Eingeweidelabyrinthe

Die Eingeweidelabyrinthe


Hier das 11-gängige Labyrinth mit den entsprechenden Eingeweidelabyrinthen:

Das 11-gängige Labyrinth

Das 11-gängige Labyrinth

Das ist wieder selbstdual. Darum gibt es nur ein komplementäres dazu.


Hier das 15-gängige Labyrinth:

Das 15-gängige Labyrinth

Das 15-gängige Labyrinth

Auch dieses ist selbstdual.

Wenn wir nun diese hier neu abgeleiteten Eingeweidelabyrinthe mit den bisher bekannten historischen Babylonischen Eingeweidelabyrinthen vergleichen, können wir keine Übereinstimmung feststellen. Vielleicht taucht ja evtl. noch irgendwo und irgendwann eine Tontafel mit einem identischen Labyrinth auf?

Bisher kennen wir etwa 21 Babylonische Eingeweidelabyrinthe verschiedenster Art, die wir als reihenförmige Labyrinthe ansehen können.

Zum Vergleich empfehle ich den untenstehenden Artikel mit der Übersicht.

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