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Posts Tagged ‘Ariadnefaden’

Ein interessantes Labyrinth wird im Buch von Kern° wiedergegeben (Abb. 196, S. 166). Eine Zeichnung des arabischen Geographen Al Qazwini in seiner 1276 vollendeten Kosmographie soll den Grundriss des Sitzes des Herrschers von Byzanz darstellen, bevor sich die grosse Stadt Konstantinopel entwickelte.

Das nicht alternierende Labyrinth hat 10 Umgänge und eine eigenständige Wegführung. Diese will ich anhand des Ariadnefadens und des Musters zeigen. Im Beitrag „Vom Ariadnefaden zum Muster – Methode 2“ habe ich beschrieben, wie das Muster hergeleitet wird (siehe verwandte Beiträge unten). Für die Herleitung des Musters gehe ich immer von einem Labyrinth aus, das im Uhrzeigersinn dreht und mit dem Eingang von unten liegt. Das Labyrinth von Al Qazwini dreht im Uhrzeigersinn, liegt aber mit dem Eingang von oben. Ich drehe deshalb in den folgenden Abbildungen das Labyrinth um einen Halbkreis, so dass der Eingang unten zu liegen kommt. So kann man nun am Ariadnefaden den Weg verfolgen und parallel dazu, wie sich der Verlauf im Muster niederschlägt.

Der Wegverlauf kann in vier Phasen eingeteilt werden.

Phase 1

Der Weg geht zuerst auf den 3. Umgang. Der Beginn ist mit einem Pfeil, der nach innen zeigt, markiert. Im Muster sind axiale Wegstücke senkrecht, Umgänge waagrecht dargestellt. Der Weg von aussen nach innen wird von oben nach unten repräsentiert.

Phase 2

In einer zweiten Etappe windet sich der Weg nun serpentinenförmig nach innen bis auf den 10. (innersten) Umgang. Bis hierhin ist der Verlauf alternierend.

Phase 3

Nun kommt das Stück, wo der Weg vom innersten auf den äussersten Umgang führt und dabei die Achse quert. Für die Herleitung des Musters wird das Labyrinth entlang der Achse gespalten und auf beiden Seiten nach oben geklappt. Weil hier auf der Achse die Wegstrecke verläuft, muss der Weg gespalten werden (s. verwandte Beiträge „Das Muster bei nicht alternierenden Labyrinthen“). Das wird mit den gestrichelten Linien angedeutet. Diese zeigen ein und dasselbe Wegstück. Im Muster verläuft dieses wie alle axialen Wegstücke vertikal, aber nun auf beiden Seiten der Rechteckform gleichzeitig und zwar von unten nach oben.

Phase 4

Zum Schluss verläuft der Weg auf dem äussersten Umgang in der gleichen Richtung weiter wie vorher auf dem innersten Umgang (gegen den Uhrzeigersinn), geht dann auf den 2. Umgang und von dort ins Zentrum (mit einem Punkt markiert).

Verwandte Beiträge: 

°Kern, Hermann. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen; 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel, 2. Aufl. 1983.

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Im letzten Beitrag habe ich das elfgängige Cakra Vyuh Labyrinth vorgestellt. Obwohl das Seed Pattern ein zentrales Kreuz hat und auch leicht von Hand gezeichnet werden kann, ist es kein Labyrinth im Klassischen Stil. In Abb. 1 zeige ich das Seed Pattern in verschiedenen Varianten.

CaVy_SP_var

Abbildung 1. Varianten des Seed Patterns

Bild a zeigt das originale Seed Pattern, Bild b das Seed Pattern im Klassischen Stil, Bild c im Konzentrischen Stil und Bild d im Man-in-the-Maze Stil.

Daraus sieht man nun deutlich, dass das originale Seed Pattern vom Klassischen Stil abweicht. Zwar hat es ein zentrales Kreuz, wie etwa auch das Kretische Labyrinth. Aber beim Cakra Vyuh gehen von diesem Kreuz weitere Verzweigungen ab.

Das ist im Klassischen Stil anders. Der Klassische Stil besteht aus Senkrechten, Waagrechten, Winkeln und Punkten. Es ist dafür nicht ein zentrales Kreuz erforderlich. Diese Seite zeigt gut, was gemeint ist (jeweils die linke Figur). Wenn das Seed Pattern Winkel hat, liegen sie zwischen den Kreuz Armen. Sie zweigen nicht von ihnen ab.

Die vier Figuren in Abb. 1 sehen zum Teil recht verschieden aus. Wie komme ich also zur Behauptung, dass es vier Varianten des gleichen Seed Patterns sind? Erinnern wir uns daran, dass diese Figuren Seed Pattern für die Begrenzungsmauern zeigen. Nun zeichnen wir in diese Figuren die Seed Pattern für den Ariadnefaden ein (Abb.2).

CaVy_SPab

Abbildung 2. Mit eingezeichnetem Seed Pattern für den Ariadnefaden

Das sieht zunächst mal noch komplizierter aus. Aber wenn wir uns auf die roten Figuren konzentrieren, sehen wir schnell was sie gemeinsam haben.

CaVy_SPa

Abbildung 3. Seed Pattern für den Ariadnefaden

Das Seed Pattern stellt einen Ausschnitt des gesamten Labyrinths dar. Genau genommen ist es der Ausschnitt entlang der Achse. An der Achse liegen die Wendestellen des Weges. Dies wird aus dem Seed Pattern für den Ariadnefaden besser ersichtlich als aus dem Seed Pattern für die Begrenzungsmauern.

Bei allen vier Seed Pattern wechseln sich Wendestellen mit einfachen und solche mit zwei verschachtelten Bögen ab. Das ist die Art und Abfolge der Wendestellen und die Grundinformation über das Seed Pattern. In den vier gezeigten Seed Patterns variiert die Anordnung der Wendestellen von kreisrund (Bild a und Bild d) bis länglich, hoch, schmal (Bild b und Bild c). Die Form der Bögen ist dem Verlauf der Begrenzungsmauern angepasst. Aber es ist immer eine einfache Wendestelle in Abwechslung mit einer zweifach verschachtelten Wendestelle.

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Zusammenfassung

Wie das Labyrinth selbst und die Keimstruktur so kann auch die Rechteckform auf zwei Arten dargestellt werden: mit den Begrenzungsmauern oder mit dem Ariadnefaden. Zudem gibt es zwei Methoden zur Gewinnung und damit zwei Versionen der Rechteckform. In Abb. 1 wird das am Beispiel meines Demonstrationslabyrinths zusammengefasst.

L:KS:RF Darst

Abbildung 1. Übersicht

Die Abbildung enthält auf der ersten Linie das Labyrinth (Figuren 1) , auf der zweiten Linie die Keimstruktur (Figuren 2), auf der dritten Linie die Rechteckform gewonnen nach Methode 1 (Figuren 3) und auf der untersten Linie die Rechteckform gewonnen nach Methode 2 (Figuren 4). Diese sind jeweils dargestellt mit den Begrenzungsmauern (linke Figuren a) und mit dem Ariadnefaden (rechte Figuren b).

  • Wenn man von „Labyrinth“ spricht, meint man gewöhnlich das Labyrinth in der Darstellung mit den Begrenzungsmauern. Das ist die Figur 1a. Aber auch die Darstellung mit dem Ariadnefaden ist weit verbreitet und allgemein bekannt (Fig. 1 b). Man nennt diese auch einfach den „Ariadnefaden“
  • Was ich „Keimstruktur“ nenne, heisst bei Erwin „Grundmuster“. Figur 2 a zeigt die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern, Figur 2 b die Keimstruktur für den Ariadnefaden. Darüber haben Erwin und ich in letzter Zeit in diesem Blog soviel geschrieben, dass ich nicht weiter darauf eingehen will.
  • Wenn man vom Labyrinth (Figur 1 a) oder vom Ariadnefaden (Figur 1 b) ausgeht und die Methode 1 anwendet, erhält man als Ergebnis die Rechteckformen der Zeile 3. Es gibt also sowohl eine Rechteckform für die Begrenzungsmauern (fig. 3a) als auch für den Ariadnefaden (fig. 3b).
  • Wendet man die Methode 2 an, erhält man die Rechteckformen der Zeile 4. Das sind dieselben wie in Zeile 3, aber um einen Halbkreis gedreht.

Für „Rechteckform“ findet man in der Literatur auch Bezeichnungen wie „Liniendiagramm“ oder „Kompressionsdiagramm“ oder andere. Dabei sieht man am häufigsten Rechteckformen für die Begrenzungsmauern nach Methode 1, so wie Fig. 3a.

RF BM M1

Abbildung 2. Figur 3a

Ich verwende hingegen ausschliesslich die Rechteckform für den Ariadnefaden. Dies ist die einfachere graphische Darstellung. Zudem verwende ich die mit der Methode 2 gewonnene Version, da sie im Ergebnis von links oben nach rechts unten zu lesen ist, was unseren Lesegewohnheiten mehr entspricht. Diese Figur (als Bsp.: Fig. 4 b), die nach Methode 2 gewonnene Rechteckform des Ariadnefadens, nenne ich das Muster.

RF AF M2

Abbildung 3. Figur 4b

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Methode 2

Im letzten Beitrag habe ich die erste Methode gezeigt, wie man den Ariadnefaden in die Rechteckform bringt. Man hält dazu eine der Hälften der Achse fest und macht mit der anderen eine volle Umdrehung entlang den Umgängen. Im Ergebnis liegt dann das Muster mit dem Eingang rechts unten und dem Zugang zum Zentrum links oben vor. Hier zeige ich eine zweite Methode.

Lage KS

Abbildung 1. Ariadnefaden und Lage der Keimstruktur

Wir gehen von der gleichen Ausgangslage wie bei Methode 1 aus. Das Labyrinth liegt in der Darstellung mit dem Ariadnefaden, mit dem Eingang unten und im Uhrzeigersinn drehend vor (Abb 1).

Muster Meth2

Abbildung 2. Rotieren beider Hälften um einen Halbkreis nach oben

Bei Methode 2 wird nun aber jede Hälfte der Achse um je eine halbe Umdrehung entlang den Umgängen verschoben (Abb. 2).

Die beiden Hälften treffen dann oben im Scheitel aufeinander. Man sieht vielleicht noch deutlicher, wie sich dazwischen die Umgänge von ganzen Kreisbögen auf kurze Strecken verkürzen.

Muster Erg2

Abbildung 3. Ergebnis: Muster mit Eingang links oben und Zentrum rechts unten

Im Ergebnis zeigt sich nach der Begradigung das gleiche Muster wie bei Methode 1. Aber es liegt nun mit dem Eingang links oben und dem Zugang zum Zentrum rechts unten.

In beiden Methoden gingen wir vom gleichen Labyrinth in der gleichen Ausgangslage aus. Beide Methoden führen auch zum gleichen Muster. Aber bei Methode 1 liegt das Muster mit dem Eingang rechts unten und dem Zentrum links oben. Bei Methode 2 liegt es um 180 Grad gedreht mit dem Eingang links oben und dem Zentrum rechts unten. Diese Lage entspricht mehr unseren Lesegewohnheiten. Aus diesem Grund bevorzuge ich die Methode 2.

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Methode 1

Im letzten Beitrag habe ich gezeigt, wie man die Keimstruktur in das Muster umformen kann. Das kommt auf das Gleiche hinaus, wie wenn man den Ariadnefaden in die Rechteckform bringt.

Lage KS

Abbildung 1. Ariadnefaden und Lage der Keimstruktur

Abb. 1 zeigt den Ariadnefaden meines Demonstrationslabyrinths mit der Keimstruktur hervorgehoben. Ausserdem ist hier noch die Lage des Eingangs (Pfeil) und des Zentrums (Punkt) angegeben.

AF-M

Abbildung 2. Rotieren der rechten Hälfte der Achse…

In Abb. 2 halten wir nun die linke Hälfte der Achse fest und drehen die rechte Hälfte entlang den Umgängen um eine Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn. Dadurch werden die Umgänge immer weiter verkürzt. Kurz bevor die rechte Hälfte auf der anderen Seite wieder auf die linke Hälfte der Keimstruktur trifft, sind die Umgänge zu kleinen Strecken geschrumpft. Aber man sieht: Es sind tatsächlich die Umgänge, die die Enden der den beiden Hälften der Keimstruktur miteinander verbinden.

Mäander_Meth1

Abbildung 3. … bis sie von der anderen Seite auf die linke Hälfte trifft

Wenn dann die beiden Hälften ganz aufeinander treffen, verschwinden die Reste der Umgänge. An ihrer Stelle erscheint die Gerade des Mäanders. Diese setzt sich zusammen aus den beiden äusseren Senkrechten der originalen Umrissfigur der Keimstruktur.

Es ist also absolut berechtigt, wenn wir den Mäander an der Stelle der vertikalen Geraden begradigen. Zwischen den Enden der Keimstruktur liegen wirklich die Umgänge.

In Abb. 3 haben wir aus dem Ariadnefaden den Mäander erzeugt, indem wir die eine Hälfte der Achse festgehalten und die andere um eine volle Umdrehung gedreht haben. Diese Art der Erzeugung nenne ich Methode 1. Ich habe die linke Hälfte festgehalten und die rechte Hälfte rotiert.

Muster Meth1b

Abbildung 4. Rotieren der linken Hälfte der Achse um einen vollen Überschlag

Abb. 4 zeigt: Man kann auch die rechte Hälfte festhalten und die linke rotieren. Das macht im Ergebnis keinen Unterschied.

Muster Erg1

Abbildung 5. Ergebnis: Muster mit Eingang rechts unten und Zentrum links oben

Das Ergebnis dieser Methode 1 ist in beiden Fällen derselbe Mäander, der auf die bekannte Weise zum Muster begradigt wird.

Wichtig: Man beachte, dass nach dieser Umformung im Muster der Eingang unten rechts und das Zentrum oben links liegen. Dieses Ergebnis ist gegen die spontane Intuition und widerspricht unseren Lesegewohnheiten. Es ist eine Folge der angewendeten Methode 1.

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Im letzten Beitrag (verwandte Beiträge unten) habe ich gezeigt, dass man auch für mehrachsige Labyrinthe eine Keimstruktur zeichnen kann. Bei der Keimstruktur für den Ariadnefaden kann man die Achsen in der Form einer Blüte (oder eines Propellers) verbinden. Für jede Achse wird ein Blatt benötigt.

Abbildung 1. Umrisslinien

Abbildung 1. Umrisslinien

Diese Umrissfiguren können alle elegant in einer zusammenhängenden Linie gezeichnet werden.

Abbildung 2. Zeichnung der Umrisslinie

Abbildung 2. Zeichnung der Umrisslinie

Abb. 2 illustriert das an einem dreiachsigen Labyrinth. Auf die gleiche Weise können auch andere mehrachsige Blüten erzeugt werden.

Jedes Blatt enthält die Teil-Keimstruktur einer Achse. Das will ich am Beispiel eines meiner fünfachsigen Labyrinthe zeigen. Ich nehme dazu meinen Entwurf KS 2-3, der als temporäres Labyrinth auf dem Magdeburger Domplatz realisiert worden ist. Dieses Labyrinth ist z.Z. im Header zu sehen. Ansonsten gibt es ein Bild davon hier.

Abbildung 3. KS 2-3

Abbildung 3. KS 2-3

Abb. 3 zeigt das Labyrinth in einer Zeichnung von Erwin mit den Begrenzungsmauern und dem Ariadnefaden (rot) eingezeichnet.

Abbildung 4. Keimstruktur für den Ariadnefaden

Abbildung 4. Keimstruktur für den Ariadnefaden

Abb. 4 enthält die Keimstruktur für den Ariadnefaden für sich und zum Ariadnefaden komplettiert. Um diese Keimstruktur zu vervollständigen, müssen für jeden Umgang 10 Enden mit jeweils fünf Teilstrecken verbunden werden. Man sieht: je mehr Achsen ein Labyrinth hat, umso mehr nähert sich die Keimstruktur dem vollständigen Labyrinth an. Die Teilstrecken werden im Verhältnis zu den Teil-Keimstrukturen immer kürzer.

Die Keimstruktur wurde zuerst und am häufigsten für die Begrenzungsmauern des Kretischen Labyrinth Typs publiziert. Auch für etliche andere einachsige Labyrinthe sind Keimstrukturen publiziert worden. Sie ist also kein besonderes Merkmal des Kretischen Labyrinths. Ja sie ist nicht einmal ein besonderes Alleinstellungsmerkmal der einachsigen Labyrinthe.

Die Verwendung von Keimstrukturen bei mehrachsigen Labyrinthen hat aber kaum eine praktische Bedeutung. Der ursprüngliche Sinn und Zweck der Keimstruktur ist, dass man sich mit einem einfachen einprägsamen Liniensystem das Wesentliche merken und damit das Labyrinth aus dem Stand erzeugen kann. Das trifft für die Keimstrukturen des Kretischen Labyrinths und seiner Verwandten in der vertikalen Linie am besten zu.

Abbildung 5. Keimstrukturen des Kreischen Labyrinths und seiner  vertikalen Verwandten

Abbildung 5. Keimstrukturen des Kreischen Labyrinths und seiner vertikalen Verwandten

Abb. 5 enthält die Keimstrukturen für die Begrenzungsmauern in der ersten Spalte und für den Ariadnefaden in der zweiten Spalte. Die dazu gehörenden Labyrinth Typen sind:

  • Zeile 1: Löwenstein 3
  • Zeile 2: Das Kretische
  • Zeile 3: Hesselager
  • Zeile 4: Tibble

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Wir haben bisher das Prinzip Umweg beim kretischen und beim Chartres Labyrinth betrachtet. Da darf das römische Labyrinth als ein eigener Typ in der Geschichte des Labyrinths nicht fehlen.
Wir wählen eine Art Prototyp mit 21 m Seitenlänge und einem Achsabstand von 1 m.

Der Weg im römischen Labyrinth

Von A bis Z: Der lange und der kurze Weg im römischen Labyrinth

Der direkte Weg von „A“ bis „Z“ quer über alle Begrenzungslinien hinweg in das Zentrum beträgt 10.55 m.
Der ganze, lange Weg vom Eingang bis in das Zentrum beläuft sich auf 433.50 m, wenn ich allen Wendungen durch alle vier Sektoren hindurch folge. Das ergibt ein Verhältnis zwischen langer und kurzer Strecke von 433.50 : 10.55 = 41.1. Das ist ein viel höherer „Umwegfaktor“ als der von 24.4 für das kretische Labyrinth. Er entspricht aber ungefähr dem im Chartres Labyrinth von 40.78.

Wenn ich den Faden am Anfang und am Ende packe und auseinanderziehe, erhalte ich eine gerade Linie, die von „A“ bis „Z“ reicht und die dem Weg in die Mitte entspricht, also 433.50 m lang ist.
Wenn ich Anfang und Ende zusammenfüge, erhalte ich einen Kreis. Der Umfang entspricht der geraden Linie von 433.50 m. Der Durchmesser wäre dann 137.99 m.
Ich kann auch ein Quadrat mit dem gleichen Umfang daraus machen. Das hätte dann vier Seitenlängen von je 108.38 m.

Die nachfolgende Zeichnung zeigt die verschiedenen Figuren in den richtigen Größenverhältnissen untereinander, auch wenn sie unmaßstäblich ist.

Der entrollte Ariadnefaden

Der entrollte Ariadnefaden

Wundern Sie sich nicht, dass das Original Labyrinth so winzig aussieht. Das wird verursacht durch den „Umwegfaktor“ von 41.1.
Der entrollte Ariadnefaden ist also im Verhältnis zum ursprünglichen Labyrinth viel länger. Die Proportionen in der Zeichnung stimmen jedoch.

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