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Posts Tagged ‘Arnol’d’

Bekanntlich gibt es 8 alternierende Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Davon sind vier nicht selbstdual. Diese vier stehen alle über die Dualität und Komplementarität miteinander in Beziehung (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Die anderen vier sind selbstduale Labyrinthe.

Ich hatte das Verhältnis zwischen komplementären und selbstdualen Labyrinthen schon angesprochen (siehe „Das komplementäre Labyrinth“, verwandte Beiträge, unten). Hier will ich noch näher darauf eingehen. Ich verwende dazu die gleiche Darstellung wie im letzten Beitrag (siehe „Das komplementäre versus das duale Labyrinth“). Die Labyrinthe bezeichne ich wieder nach der Nummerierung der Arnol’d’schen Mäander, die ihnen zugrunde liegen (siehe „Zum Mäander im Labyrinth).

Abbildung 1. Labyrinthe 1 und 6

Das erste der 8 Arnol’d’schen Labyrinthe, Nr. 1, ist selbstdual (Abb. 1). In der Darstellung steht das duale neben, das komplementäre unter dem originalen Labyrinth. Das zu Nr. 1 Duale ist wiederum Nr. 1 (das ist die Bedeutung von selbstdual). Das zu Nr. 1 Komplementäre ist Nr. 6. Und natürlich ist das zum Komplementären Duale wieder Nr. 6. Somit haben wir im Falle selbstdualer Labyrinthe nur zwei verschiedene Labyrinthe abgedeckt, gegenüber vier bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Zwei Labyrinthe fehlen also noch. Wir brauchen eine weitere Abbildung, um Labyrinth Nr. 3 und Nr. 8 abzudecken (Abb. 2).

Abbildung 2. Labyrinthe 3 und 8

Und in der Tat, diese beiden sind komplementär zu einander. Bei den selbstdualen Labyrinthen stehen also nur zwei verschiedene Labyrinthe in Beziehung zu einander.

Hier stellt sich nun die Frage: Gibt es auch selbstkomplementäre Labyrinthe? Bisher haben wir noch kein solches Labyrinth gefunden. Erinnern wir uns daran, was selbstdual bedeutet. Die Muster des originalen und selbstdualen Labyrinths sind deckungsgleich. Ich zeige in Abb. 3, was das heisst. Die beiden Muster nebeneinander stehen in der Beziehung der Dualität. Legen wir sie übereinander, sehen wir, was gemeint ist.

Abbildung 3. Selbstduale Muster sind deckungsgleich

Selbstkomplementär würde bedeuten, dass das originale und komplementäre Muster deckungsgleich wären.

Abbildung 4. Komplementäre Muster sind nicht deckungsgleich

Abb. 4 zeigt, dass die Muster wohl eine gewisse Ähnlichkeit haben, jedoch nicht deckungsgleich sind. Meines Erachtens gibt es keine selbstkomplementären Labyrinthe. Denn durch die vertikale Spiegelung wird bei bleibenden Verbindungen mit dem Eingang, resp. Zentrum  die Umgangsfolge verändert. Die müsste aber gleich bleiben.

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In früheren Beiträgen habe ich gezeigt, dass es von einem Labyrinth / von einer Keimstruktur verschiedene Varianten geben kann.

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Abbildung 1. Varianten der gleichen Keimstruktur

In Abb. 1 zeige ich nochmals einige Varianten der Keimstruktur für den Ariadnefaden meines Demonstrationslabyrinths. Die gleiche Keimstruktur kann z.B. mit rundem, elliptischem, blattförmigem oder auch rechteckigem Umriss gezeichnet werden. Die Umrisslinie ist nur eine Hilfsfigur. Die Keimstruktur selbst wird durch das Liniensystem innerhalb dieser Hilfsfigur gebildet. Je nach der Form der Umrisslinie sind ihre Bögen etwas anders ausgerichtet oder gerundet. Aber sie sind immer gleich angeordnet. Oben links eine unverschachtelte, unten links zwei verschachtelte und rechts drei verschachtelte Wenden. Welche Variante der Keimstruktur am besten geeignet ist, hängt vom Zweck ab.

In diesem Beitrag will ich den Zusammenhang zwischen der Keimstruktur und dem Muster zeigen. Für diesen Zweck eignet sich die rechteckige Variante am besten. Man kann in wenigen Schritten die Keimstruktur in das Muster überführen.

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Abbildung 2. Von der Keimstruktur zum Mäander

Die linke Figur der Abb. 2 zeigt die rechteckige Variante der Keimstruktur. In der rechten Figur ist diese als Ausgangslage grau dargestellt. Die rechte Hälfte der Keimstruktur wird zuerst soweit gegen die linke verschoben (rot dargestellt), bis sie auf die andere Seite der linken Hälfte zu liegen kommt.

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Abbildung 3. Vom Mäander zum Muster

Das Ergebnis dieser Verschiebung ist ein Mäander. Es ist eine der Arnol’d’schen Figuren. Dieser Mäander wird im nächsten Schritt begradigt, wie das hier schon gezeigt wurde. Dazu wird die rechte Hälfte der Keimstruktur noch etwas weiter nach links verschoben. Die einander gegenüberliegenden Enden werden dann mit Linien verbunden.

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Abbildung 4. Muster

Das Ergebnis der Begradigung ist in Abb. 4 ersichtlich. Man sieht: der erste und wichtigste Schritt der Begradigung ist der horizontale. Dieser macht sichtbar, wo die Umgänge im Muster liegen. Nun kann man leicht noch die achsialen Strecken begradigen und so das Muster fertigstellen.

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Im letzten Beitrag habe ich auf die interessanten Labyrinthe von Tony Phillips verwiesen. Was aber sind interessante Labyrinthe? Tony zeigt mit Hilfe der Kombinatorik, dass es eine unüberschaubare Anzahl einachsiger Labyrinthe gibt. Und er unterteilt sie in uninteressante, interessante und sehr interessante Labyrinthe.

  • Uninteressant sind demnach Labyrinthe, die dadurch erzeugt werden können, dass einfach zusätzliche triviale Umgänge aussen oder innen an kleinere Labyrinthe angehängt werden.
  • Interessant sind Labyrinthe, bei denen das nicht der Fall ist. Das bedeutet auch, dass der Weg nicht auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt oder vom letzten Umgang das Zentrum erreicht.
  • Sehr interessant sind die selbstdualen unter den interessanten Labyrinthen.

Schauen wir uns einmal an, was das konkret bedeutet. Mit den Arnol’d’schen Figuren kennen wir ja bereits alle Labyrinthe mit 5 Umgängen. Diese wollen wir nach den oben genannten Kriterien in uninteressante, interessante und sehr interessante unterteilen.

Abbildung 1 zeigt die uninteressanten Labyrinthe. Diese entsprechen den Arnol’d’schen Figuren 1 – 4.

Abbildung 1: Uninteressante Labyrinthe

Abbildung 1: Uninteressante Labyrinthe

Figur 1 (Labyrinth Näpfchenstein) besteht aus einer blossen Aneinanderreihung von Umgängen. Figuren 2 bis 4 bestehen aus einem kleineren Labyrinth vom Typ Knossos (schwarz) und zusätzlichen Umgängen (grau). Figur 2 (Löwenstein 5b) hat aussen, Figur 4 (Löwenstein 5a) innen zwei zusätzliche Umgänge. Figur 3 hat aussen und innen je 1 zusätzlichen Umgang. Auch unter den uninteressanten Labyrinthen gibt es selbstduale, nämlich hier Figuren 1 und 3.

Abbildung 2 zeigt die interessanten und sehr interessanten Labyrinthe. Diese entsprechen den Arnol’d’schen Figuren 5 – 8.

Abbildung 2: Interessante Labyrinthe

Abbildung 2: Interessante Labyrinthe

Figur 5 und das dazu Duale in Figur 7 sind interessante Labyrinthe. Figur 6 und 8 sind darüberhinaus je selbstdual und somit sehr interessante Labyrinthe.

Die Unterteilung von Tony ist sehr einleuchtend. Sie ermöglicht eine qualitative Rangierung der Labyrinthe.

Labyrinthe, deren Muster eine Serpentine von aussen nach innen beschreibt, sind demnach uninteressant. Das betrifft einige historische Labyrinth Typen: Tholos, Löwenstein 3, Näpfchenstein, Casale Monferrato. Ebenfalls uninterssant sind Labyrinthe, bei denen der Weg auf dem ersten Umgang eintritt oder vom letzten Umgang ins Zentrum gelangt. Auch davon gibt es einige historische Exemplare: Temple Cowley, Löwenstein 5a und 5b, von Xanten, Zikkaron und Cakra-vyuh.

Uninteressante Labyrinthe bestehen aus einem kleineren interessanten Labyrinth und zusätzlichen Umgängen. Welches aber ist dieses interessante Labyrinth in Figur 1 (Abbildung 1)? In Abbildung 3 sind drei Möglichkeiten a -c aufgezeigt.

Abbildung 3: Das kleinste Labyrinth?

Abbildung 3: Das kleinste Labyrinth?

Figur 1 besteht aus fünf aneinandergereihten Umgängen. Als erste Möglichkeit für das einfachste Labyrinth kommt also der innerste Umgang (schwarz) in Figur a in Betracht. Verglichen mit der Definition von Kern (siehe dazu: Kern H. Labyrinthe. München: Prestel 1983, Seite 13), ist diese Figur jedoch kein Labyrinth, da der Weg die Richtung nicht mehrmals wechselt. Als zweite Möglichkeit kommt Figur b mit zwei aufeinanderfolgenden Umgängen in Frage. Hier wechselt der Weg zwar nicht mehrmals, aber wenigstens einmal die Richtung. Das könnte man als Labyrinth durchgehen lassen. Die dritte Möglichkeit, Figur c, besteht aus drei aneinandergehängten Umgängen mit zweimaligem Richtungswechsel. Dies entspricht voll Kerns Definition.

Ich beantworte die Frage nach dem einfachsten Labyrinth so, dass ich die Variante b mit zwei Umgängen und einem Richtungswechsel als Labyrinth bezeichne. Ein historisches Labyrinth dieser Art existiert im Tholos von Epidauros. Die Variante c gibt es auch als Labyrinth vom Typ Löwenstein 3.

Das kleinste interessante Labyrinth ist aber das Labyrinth vom Typ Knossos. Dieses hat drei Umgänge. Sein Muster ist in meiner Ausdrucksweise ein einfacher Mäander, in Erwin’s Terminologie ein Typ 4 labyrinthgeeigneter Mäander. Und da dieses Labyrinth selbstdual ist, ist es gleichzeitig auch das kleinste sehr interessante Labyrinth.

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Im letzten Beitrag habe ich auf die enge Verwandtschaft zwischen den Figuren von Arnol’d und den Mustern von Labyrinthen hingewiesen. Diese Figuren sind ähnlich, aber nicht gleich. Man muss die Arnol’d’schen Figuren noch begradigen, um zu den Mustern der Labyrinthe zu gelangen. Was aber bedeutet „begradigen“? Das soll am Beispiel einer der Arnol’d’schen Figuren gezeigt werden. Dafür habe ich bewusst die Figur 8 ausgewählt.

Abbildung 1: Doppelspirale

Abbildung 1: Doppelspirale

Abbildung 1 zeigt im ersten Bild die Figur von Arnol’d in der ursprünglichen Ausrichtung und im zweiten Bild um eine Vierteldrehung gedreht. Das dritte Bild entspricht dem zweiten, die Bögen sind auf dem Computer etwas runder nachgezeichnet. Man sieht: die Kurve kommt von oben und windet sich gegen den Uhrzeigersinn in enger werdenden Radien einwärts. Dabei schneidet sie zweimal die Gerade. An dem Punkt, wo die Kurve die Gerade zum dritten Mal schneidet, ändert sie die Richtung. Von dort an windet sie sich im Uhrzeigersinn in weiter werdenden Radien nach aussen. Wir haben es somit mit einer Doppelspirale zu tun, welche die Gerade in fünf Punkten schneidet.

Was passiert nun beim Begradigen?

Das wird aus der nächsten Abbildung ersichtlich.

Abbildung 2: Doppelspiralartiger Mäander

Abbildung 2: Doppelspiralartiger Mäander

Die Doppelspirale wird entlang der Geraden getrennt und die beiden Hälften werden seitlich verschoben. Dann werden die Punktepaare, die durch die Trennung entstehen, mit Geraden (in der Abbildung gestrichelt) verbunden. Es werden also fünf Linien eingefügt. Diese Linien entsprechen den Umgängen im Labyrinth. Durch das Aufteilen der Doppelspirale an der Geraden und das Einfügen von Verbindungslinien entsteht das Muster des Labyrinths. Hierin besteht der Zusammenhang der fünf Punkte in Arnol’d’s Figur mit den fünf Umgängen des Labyrinths.

Man sieht an diesem Beispiel sehr schön den Unterschied zwischen einer Doppelspirale und einem doppelspiralartigen Mäander. Erinnern wir uns daran, dass die Figur 8 von Arnol’d Erwin’s labyrinthgeeignetem Mäander entspricht. Bei diesem Mäander, bei allen seinen Typen (Typ 4, 6, 8, usw.), handelt es sich also um einen doppelspiralartigen Mäander, aber nicht um eine Doppelspirale. Durch Aufteilen der Arnol’d’schen Figur und Einfügen von Verbindungslinien wird die kontinuierliche Bewegung der Doppelspirale in einen schrittweisen Wechsel von einem Umgang auf einen anderen umgewandelt. Das macht den Unterschied aus zwischen einer Doppelspirale und einem doppelspiralartigen Mäander.

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Erwin hat sich in einer Reihe von Beiträgen mit dem Mäander im Labyrinth befasst.

Dabei hat er einen labyrinthgeeigneten Mäander gefunden. Diesen speziellen Mäander gibt es in verschiedenen Ausprägungen. Erwin bezeichnet sie als Typ 4,  6, usf. (Typ plus eine gerade Zahl).

In der Tat ist diese Art von Mäander in den bestehenden Labyrinthen häufig anzutreffen. Aber es kommen in Labyrinthen auch noch andere Figuren vor, die als Mäander bezeichnet werden können. Überhaupt wird eine grosse Vielfalt von Figuren als Mäander bezeichnet, und es ist noch keineswegs klar, was denn nun ein Mäander ist.

Was also ist ein Mäander?

Tony Phillips zitiert auf seiner Website den russischen Mathematiker Arnol’d. Der wollte unabhängig vom Labyrinth untersuchen, was für Mäanderformen es gibt. Arnol’d definiert den Mäander so:

  • Zusammenhängende, gerichtete Kurve,
  • die sich nicht selbst schneidet
  • und an mehreren Stellen eine Gerade kreuzt.

Arnol’d illustriert das am Beispiel einer Kurve, welche fünf mal eine Gerade kreuzt. Er hat 8 verschiedene solche Kurven gefunden. Die Abbildung der 8 Kurven habe ich aus der Website von Tony kopiert, die Kurven nummeriert und unten wiedergegeben.

8 Kurven

8 Kurven

Es ist leicht erkennen, dass diese Kurven sehr eng mit dem Labyrinth verwandt sind. Man muss sie nur eine Vierteldrehung nach rechts (im Uhrzeigersinn) drehen und etwas begradigen. Dann hat man die Muster von 8 einachsigen Labyrinthen mit je 5 Umgängen vor sich.  Schauen wir uns diese Figuren deshalb einmal näher an.

Figur 1

Figur 1

Bei dieser Figur handelt es sich um eine Serpentine (einfache Schlangenlinie), die vom Eingang zum Zentrum führt. Dies ist das Muster des historischen Näpfchenstein-Labyrinths. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 2

Figur 2

Diese Kurve enthält das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5b. Es ist das Duale zu Figur 4. Duale Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um einen Halbkreis gedreht und mit vertauschtem Eingang und Zentrum. Das von Erwin gezeichnete Labyrinth „Knidos Peter“ ist auch von diesem Typ.

Figur 3

Figur 3

Diese Kurve enthält ein Muster vom Typ Knossos (3 Umgänge) mit sowohl innen wie aussen je einem zusätzlichen Umgang. Es ist mir kein Labyrinth mit diesem Muster bekannt. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 4

Figur 4

Dies ist das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5a. Es ist dual zur Figur 2. Auch das „Pilgrim Hospices“ Labyrinth von The Labyrinth Builders ist von diesem Typ.

Figur 5

Figur 5

Bei dieser Figur handelt es sich um das Muster des Labyrinths, das ich für meine Untersuchungen und Darstellungen verwende, sozusagen mein Demonstrationslabyrinth. Es hat folgende dafür wichtige Eigenschaften: Der Weg tritt nicht auf dem ersten Umgang ein. Er biegt nicht vom innersten Umgang in’s Zentrum ab. Das Labyrinth ist nicht selbstdual. Das Duale zu diesem Labyrinth ist in Figur 7 abgebildet.

Figur 6

Figur 6

Dieses Muster entspricht einer Serpentine von innen nach aussen. Der Weg geht zuerst entlang der Achse auf den innersten Umgang. Von dort windet er sich Umgang für Umgang hinaus  bis auf den ersten (äussersten) Umgang und führt schliesslich von dort ins Zentrum. Erwin hat diesen Labyrinth Typ „Chartres 5 Klassisch“ gefunden, indem er beim Labyrinth vom Typ Compiègne die Nebenachsen weggelassen hat. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 7

Figur 7

Dieses ist das Duale zu meinem Demonstrationslabyrinth in Figur 5.

Figur 8

Figur 8

Diese Kurve enthält Erwin’s labyrinthgeeigneten Mäander Typ 6. Dieser kommt als Muster im Kernlabyrinth von Rockcliffe Marsh vor. Rockcliffe Marsh ist in mehrfacher Hinsicht speziell: Es hat einen ungewöhnlichen Grundriss. Die Figur ist nicht geschlossen, sondern entlang der Achse geöffnet und ein Stück weit zu einem Kreissegment entrollt. Zudem besteht sie aus einem Kernlabyrinth, das aussen von einer Spirale umgeben ist.

Fazit

Arnol’d’s Definition vom Mäander hängt eng mit dem Labyrinth zusammen. Seine Kurven entsprechen den Mustern der einachsigen Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Die Anzahl Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden ist dabei gleich der Anzahl Umgänge im Labyrinth. Das wurde am Beispiel für Labyrinthe mit 5 Umgängen im Detail gezeigt.

  • Es gibt also 8 verschiedene Muster für ein Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen, bei dem der Weg die Achse nicht quert.
  • Je grösser die Anzahl Umgänge, umso mehr verschiedene Muster gibt es. Bei 6 Umgängen sind es 14, bei 7 Umgängen bereits 42 verschiedene Möglichkeiten. Die Anzahl der Muster steigt also rasant an.
  • Nach Arnol’d’s Definition sind alle 8 Figuren Mäander. Nach Erwin’s Definition ist nur Figur 8 ein labyrinthgeeigneter Mäander.
  • Wenn man die Definition von Erwin anwendet, erfasst man die häufigsten und wichtigsten Muster. Man verpasst aber auch ein breites Spektrum von tatsächlichen und potentiellen Labyrinthen.
  • Wenn man die Definition von Arnol’d anwendet, ist jedes Muster in einem einachsigen Labyrinth, in dem der Weg nicht die Achse quert, ein Mäander. Diese Definition scheint zu breit und kann weiter differenziert werden.

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