Dreifachbarrieren – Muster für den ersten und letzten Sektor

Im letzten Beitrag habe ich die vier Möglichkeiten gezeigt, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Zur Fertigstellung der Hauptachse müssen nun noch die Sektormuster für den ersten und letzten Sektor ergänzt werden. Die lagen als Platzhalter erst zur Hälfte vor. Wir brauchen dafür die Sektormuster, die auf einer Seite eine Hälfte einer Dreifachbarriere aufweisen.

Aus früheren Beiträgen ist bekannt, dass es 42 verschiedene Muster für alternierende einachsige siebengängige Labyrinthe gibt. Diese Muster können wir in der gleichen Weise nutzen, wie wir das bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren getan haben. Wir müssen sie also als Sektormuster ohne die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum zeichnen. Tony Phillips hat die Muster der interessanten einschliesslich der sehr interessanten Labyrinthe auf seiner Website zusammengestellt. Die sind in diesem Blog auch schon gezeigt worden (verwandte Beiträge 4).

Abbildung 1 enthält nur 14 Muster von interessanten Labyrinthen. Interessant sind Labyrinthe, die keine trivialen Umgänge haben. Triviale Umgänge sind hier entweder aussen oder innen serpentinenförmig angehängte Umgänge. Das bedeutet, dass der Weg bei interessanten Labyrinthen weder auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt, noch vom letzten Umgang aus das Zentrum erreicht. Labyrinthe, bei denen dies der Fall ist, sind uninteressant.

In der Abbildung sind aber Informationen über 22 verschiedene Muster enthalten. Unterhalb der Muster ist jeweils die Umgangsfolge angegeben. Bei interessanten Labyrinthen ist zusätzlich in Klammern die Umgangsfolge des Dualen angegeben (a). Es gibt 8 Muster von interessanten Labyrinthen. Bei interessanten Labyrinthen ist das Duale immer auch interessant. Zusammen mit den dazugehörigen Dualen ergibt das 16 Muster von interessanten Labyrinthen.

Bei den sehr interessanten steht dahinter die Abkürzung s.d für selbstdual (b). Es hat 6 sehr interessante Labyrinthe.

Unter den sehr interessanten Labyrinthen sind zwei besonders hervorgehoben (c). Der Grundtyp und das dazu Komplementäre, welche gerade vor Kurzem hier wieder von Erwin im Knidos Stil präsentiert wurden (verwandte Beiträge 2, 3). Es sind die beiden einzigen komplementären Muster in dieser Abbildung. Wir haben nun also Informationen zu den 16 interessanten und 6 sehr interessanten Labyrinthen. Von denen sind zwei komplementär. Bleiben die Muster von 16 interessanten und 4 sehr interessanten Labyrinthen. Das sind 20 Muster von denen keines zu einem anderen komplementär ist. Suchen wir zu diesen die Komplementären auf, erhalten wir 40 Muster. Zusammen mit den beiden komplementären sehr interessanten Labyrinthen ergibt das 42 Muster. Wir können somit auf der Basis von Abb. 1 alle 42 Muster rekonstruieren. (Das ist übrigens auch ohne die Informationen in a), b) und c) rein grafisch möglich, aber mit diesen Informationen kann es schon vorab berechnet werden).

Bleibt zu erwähnen, dass Tony Phillips die Muster von oben rechts nach links unten zeichnet (d).

Abbildung 1. Muster der interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen bei Tony Phillips

Wir benötigen auf jeden Fall auch die Muster der uninteressanten Labyrinthe. Denn sie werden ja nicht für einachsige Labyrinthe, sondern als Sektormuster verwendet. Die Verbindungen von Sektoren geschehen immer auf dem äussersten oder innersten Umgang. Ein Sektor, der auf dem äussersten Umgang an den vorangehenden angehängt oder auf dem innersten Umgang mit dem nachfolgenden verbunden wird hat ein Sektormuster, welches im Falle eines einachsigen Labyrinths mit Verbindungen nach aussen oder zum Zentrum ein uninteressantes Labyrinth ergibt. 

Ich gebe im Folgenden die Muster in meiner Darstellung wieder (Abb. 2). Ich zeichne sie nicht wie Tony Phillips von rechts oben nach links unten (grau), sondern von links oben nach rechts unten (rot).

Abbildung 2. Darstellung des Musters

In Abb. 3 sind alle 42 Sektormuster für siebengängige Sektorenlabyrinthe abgebildet. Ich habe sie nicht näher bezeichnet, nur mit roten Dreiecken die Muster markiert, die für Sektorenlabyrinthe mit ausschliesslich Dreifachbarrieren verwendet werden können. Von diesen haben 12 Muster auf einer Seite und die bereits bekannten aus dem letzten Beitrag auf beiden Seiten eine Hälfte einer Dreifachbarriere.

Abbildung 3. Die 42 Muster

In Abb. 4 werden diese Muster in vier Gruppen geordnet je nach dem, in welchem Sektor sie stehen können und über welchen Umgang sie mit anderen Sektoren verbunden werden. Die beiden Muster mit Dreifachbarrieren an beiden Seiten können in jedem Sektor stehen. Darüberhinaus sind im Quadranten A die Muster eingeordnet, die im ersten Sektor stehen und auf dem äussersten Umgang mit dem nächsten Sektor verbunden werden. Im Quadrant B sind die Muster, die nur im letzten Sektor stehen können und auf dem äussersten Umgang mit dem vorangehenden Sektor verbunden sind. In Quadrant C sind die Muster eingeordnet, die nur im ersten Sektor stehen und über den innersten Umgang verbunden sind. Schliesslich enthält Quadrant D die Muster, die nur im letzten Sekor stehen können und über den innersten Umgang verbunden sind. 

Abbildung 4. Die Muster nach Sektoren

Damit haben wir alle Grundlagen, um jedes siebengängige Sektorenlabyrinth mit ausschliesslich Dreifachbarrieren an den Nebenachsen zu erzeugen. 

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Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren

Bei siebengängigen Labyrinthen mit Dreifachbarrieren haben wir eine analoge Situation wie bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren (Verwandte Beiträge, unten). Ausser für den ersten und letzten Sektor können in den dazwischen liegenden Sektoren nur gerade zwei verschiedene Sektormuster verwendet werden. 

Labyrinthe mit Dreifachbarrieren müssen mindestens sieben Umgänge haben. Dann sind es auf jeden Fall Sektorenlabyrinthe. Eine Dreifachbarriere belegt sechs Umgänge nebeneinander. Somit bleibt noch ein Umgang für den Übergang vom einen in den nächsten Sektor. Das kann nur der innerste oder der äusserste Umgang sein. 

Abbildung 1. Muster für die inneren Sektoren

Im ersten Sektor können nur Sektormuster verwendet werden, die an der rechten Seite drei verschachtelte Wenden haben. 

Abbildung 2. Muster für den ersten Sektor

Für den letzten Sektor können nur Sektormuster verwendet werden, die an der linken Seite drei verschachtelte Wenden haben. 

Abbildung 3. Muster für den letzten Sektor

Die gegenüberliegenden Seiten dieser Sektormuster bilden die Hauptachse. An diesen Seiten können die Sektormuster andere Wendestellen aufweisen. Wie der Weg ins Labyrinth eintritt und wie er das Zentrum erreicht, ist vorläufig noch offen.

Was allerdings zwischen dem ersten und dem letzten Sektor abläuft, kann hier schon bestimmt werden. Unabhängig von der Anzahl Achsen gibt es für den Wegverlauf in den inneren Sektoren immer vier Möglichkeiten. Zwei Möglichkeiten für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen und zwei für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen. 

Eine Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen wird in Abb. 4 gezeigt. Bei Labyrinthen mit 2, 4, 6 usf. Achsen kann der Weg vom ersten Sektor auf dem äussersten Umgang in den zweiten Sektor hinüberführen. Dies kann dann gleich der letzte Sektor sein (oberste Zeile). Auch bei 4 (2. Zeile), 6 (unterste Zeile) oder jeder anderen geraden Anzahl Achsen wechselt der Weg auf dem äussersten Umgang in den letzten Sektor. 

Abbildung 4. Erste Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen

Die andere Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen wird in Abb. 5 gezeigt. Sie ist komplementär zum Verlauf in Abb 4. Der Weg tritt auf dem innersten Umgang vom ersten in den zweiten Sektor über und wechselt auch auf dem innersten Umgang vom vorletzten in den letzten Sektor. 

Abbildung 5. Zweite Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen

Die erste Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl (3, 5, 7 usf.) Achsen ist in Abb. 6 wiedergegeben. Hier wechselt der Weg vom ersten in den zweiten Sektor auf dem äussersten Umgang. Den letzten Sektor erreicht der Weg bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen nicht auf dem gleichen (äussersten) Umgang wie bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen, sondern auf dem entgegengesetzten (innersten ) Umgang. Was für Labyrinthe mit 3, 5 und 7 Achsen gezeigt, gilt für alle Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen. 

Abbildung 6. Erste Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen

Die zweite Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen wird in Abb. 7 gezeigt. Sie ist komplementär zum ersten Verlauf in Abb. 6. 

Abbildung 7. Zweite Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen

Das sind die vier einzigen Möglichkeiten, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann, je zwei für Labyrinthe mit gerader und ungerader Anzahl Achsen. Fehlt nur noch die Gestaltung der Hauptachse. Dazu müssen die halben Sektormuster für den ersten und letzten Sektor noch komplettiert werden. Die Sektormuster, die für den ersten und letzten Sektor in Frage kommen, sollen im nächsten Beitrag identifiziert werden. 

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Sektorenlabyrinthe mit Doppelbarrieren – Zusammenfassung

Heute will ich zu einem vorläufigen Abschluss kommen. Ich habe begonnen bei 4-achsigen Labyrinthen mit Doppelbarrieren, wie sie Gossembrot verwendet hat (siehe: Verwandte Beiträge 3). Die habe ich später als echte Doppelbarriere bezeichnet. Auf einen Kommentar von Erwin hin habe ich auch Labyrinthe mit unechten Doppelbarrieren betrachtet. Davon gibt es bereits einen historischen Typ, den Typ Avenches. Echte und unechte Doppelbarrieren können auch gemischt im gleichen Labyrinth vorkommen (Verwandte Beiträge 2).

Labyrinthe mit Doppelbarrieren und fünf Umgängen müssen Sektorenlabyrinthe sein. Doppelbarrieren können nur an Nebenachsen vorkommen. Ein Labyrinth mit einer Doppelbarriere muss also mindestens 2 Achsen haben. Es gibt für 2, 3, 4 und 5 Achsen immer 8 unterschiedliche Labyrinthe mit echten Doppelbarrieren.

Das legt den Schluss nahe, dass die Anzahl verschiedener Labyrinthe mit nur echten Doppelbarrieren unabhängig ist von der Anzahl Achsen. Sie hängt nur ab von den vier Sektormustern, die in dem ersten und den vier, die in dem letzten Sektor stehen können. Zwei der vier Sektormuster für den ersten Sektor werden über den äussersten, zwei über den innersten Umgang mit dem folgenden Sektor verbunden. Ebenfalls werden je zwei der vier Sektormuster für den letzten Sektor über den äussersten resp innersten Umgang mit dem vorangehenden Sektor verbunden. Daraus ergeben sich die 8 verschiedenen Labyrinthe mit zwei Achsen und einer Doppelbarriere (verwandte Beiträge 1).

Die Anzahl Achsen kann nur erhöht werden, indem zwischen die beiden Sektoren neben der Hauptachse zusätzliche Sektoren eingeschoben werden. In den Sektoren zwischen dem ersten und dem letzten Sektor können immer nur die Sektormuster 3 oder 8 stehen. Und diese müssen zudem abwechselnd angeordnet werden. Deshalb steht für die Sektoren zwischen dem ersten und letzten Sektor immer nur eine Anschlussstelle zur Verfügung. Für jede Anzahl Achsen sind zwei komplementäre Anordnungen von Sektormustern für die zentralen Sektoren möglich. Die eine beginnt mit Sektormuster Nr. 3, die andere mit Sektormuster Nr. 8. Für jede dieser Anordnungen können vier verschiedene Muster gebildet werden, wenn man sie mit den beiden passenden Sektormustern für den ersten und letzten Sektor verbindet.

Es gibt also 8 verschiedene Labyrinthe mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren für jede Anzahl von mehr als einer Achsen. Für jedes dieser 8 Labyrinthe lässt sich ein Baumdiagramm erstellen. Wir haben das am Beispiel von Labyrinth D gezeigt (verwandte Beiträge 2). Das Baumdiagramm enthält Muster für Labyrinthe mit nur echten, nur unechten oder mit gemischten Doppelbarrieren. Am Baumdiagramm haben wir gesehen, dass es gleich viele Muster mit ausschliesslich unechten wie mit ausschliesslich echten Doppelbarrieren gibt. Der oberste Ast eines Baumdiagramms enthält die Muster mit nur echten, der unterste die mit nur unechten Doppelbarrieren. Somit gibt es auch immer 8 verschiedene Labyrinthe mit nur unechten Doppelbarrieren. Auch dies gilt unabhängig von der Anzahl Achsen.

Das gilt aber nicht für die Anzahl Labyrinthe mit gemischten Doppelbarrieren. Die vergrössert sich stark mit zunehmender Anzahl Achsen. So gibt es bei 2 achsigen Labyrinthen nur entweder 8 mit echter oder 8 mit unechter, aber keine mit gemischten Doppelbarrieren, da diese nur eine Doppelbarriere aufweisen. Bei 3 achsigen Labyrinthen gibt es wiederum 8 mit nur echten, 8 mit nur unechten und zusätzlich 16 mit gemischten Doppelbarrieren. Bei 4 achsigen haben wir gesehen, dass es 48 Labyrinthe mit gemischten Doppelbarrieren gibt. Und bei 5 achsigen steigt die Anzahl der Labyrinthe mit gemischten Doppelbarrieren auf 112 usw.

Verwandte Beiträge: 

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  2. Die Labyrinthe mit echten und unechten Doppelbarrieren, 4 Achsen und 5 Umgängen
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Die zweiachsigen Labyrinthe mit echter Doppelbarriere und 5 Umgängen

Im letzten Beitrag wurde gezeigt, wie man von fünfachsigen zu dreiachsigen Labyrinthen kommt durch Weglassen von zwei der drei mittleren Sektoren (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Auf die gleiche Weise kann man von den vierachsigen (verwandte Beiträge 3) zu den zweiachsigen Labyrinthen gelangen. Die Muster der Sektoren neben der Hauptachse liegen dann nebeneinander und können direkt verbunden werden. Wieder sind es zwei Gruppen von je vier Mustern, die auf diese Weise erzeugt werden können.

Abbildung 1 zeigt, wie in der ersten Gruppe die beiden Sektormuster für ersten Sektor mit den beiden Sektormustern für den letzten über den äussersten Umgang verbunden werden können.

Abbildung 1. Die Kombinationen über den äusseren Umgang

Abbildung 2 zeigt das gleiche für die jeweils zwei Sektormuster, die über den innersten Umgang miteinander kombiniert werden können.

Abbildung 2. Die Kombinationen über den inneren Umgang

Abbildung 3 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die durch die Kombinationen aus Abb. 1 gebildet wurden.

Abbildung 3. Die vier Muster und Labyrinthe der ersten Gruppe, erzeugt aus Abbildung 1

Abbildung 4 zeigt die vier Muster und Labyrinthe, die durch die Kombinationen aus Abb. 2 gebildet wurden.

Abbildung 4. Die vier Muster und Labyrinthe der zweiten Gruppe erzeugt aus Abbildung 2

Es gibt also auch 8 verschiedene zweiachsige Labyrinthe mit einer echten Doppelbarriere. Benannt sind sie nach der bekannten Regel (verwandte Beiträge 2). Der Name enthält also einen Grossbuchstaben, gefolgt von einem horizontalen Strich.

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