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Posts Tagged ‘Zentrum verschieben’

Wer schon länger diesen Blog besucht, kennt die folgende Figur.

Abbildung 1: Schneckenhauslabyrinth

Abbildung 1: Schneckenhauslabyrinth

Erwin nennt sie Schneckenhauslabyrinth. Er hat dieses Labyrinth erzeugt, indem er versuchsweise einmal an einem anderen Ende mit der Komplettierung der Keimstruktur für den Ariadnefaden des Kretischen Labyrinths begonnen hat.

Er hat also das gemacht, was ich Verschiebung des Zentrums nenne. Auf die gleiche Idee ist auch schon jemand anderer gekommen, wie aus dieser Quelle unten auf Seite 14 ersichtlich wird (man muss dazu im Link-Fenster nach unten scrollen). Beide verschieben das Zentrum auf ein benachbartes Ende im gleichen Quadranten, führen aber den Prozess nicht weiter.

Was den Wenigsten bekannt sein dürfte, ist, dass das Schneckenhauslabyrinth die einzige Figur ist, die aus der Keimstruktur des Kretischen noch erzeugt werden kann. Mit den früheren Ausführungen zur Verschiebung des Zentrums (siehe: Verwandte Beiträge unten) haben wir die Grundlagen, um dies zu zeigen.

Abbildung 2: Keimstruktur

Abbildung 2: Keimstruktur

Die Keimstruktur für das Kretische hat 16 Enden (Abb. 2). Es gibt also 16 Möglichkeiten, das Zentrum zu platzieren. Diese reduzieren sich jedoch auf vier, da die Keimstruktur aus vier gleichen Quadranten mit je vier Enden besteht. Nach vier Rotationsschritten ist die Keimstruktur selbstdeckend.

Abbildung 3: Symmetrie

Abbildung 3: Symmetrie

Weiter ist jeder dieser Quadranten in sich symmetrisch (Abb. 3). Das führt dazu, dass die vier Figuren aus zwei Figurenpaaren zusammengesetzt sind. Beide Figurenpaare bestehen aus einer Figur, die jeweils im und gegen den Uhrzeigersinn (UZS) dreht.

Abbildung 4: Die Enden und ihre Figurenpaare

Abbildung 4: Die Enden und ihre Figurenpaare

Das zeigt Abb. 4. Verbindet man das erste Ende mit dem Zentrum, entsteht die erste Figur im UZS. Dieses Ende wurde darum mit 1 → bezeichnet. Das zweite Ende mit dem Zentrum verbunden, erzeugt Figur 2, im UZS (2→ ). Das dritte Ende ergibt wieder Figur 2, aber gegen den UZS (← 2) und das vierte Ende schliesslich erzeugt Figur 1 gegen den UZS (← 1). Figur 1 ist das Kretische, Figur 2 das Schneckenhauslabyrinth. Damit wären wir mit dem ersten Quadranten durch. Danach beginnt mit dem fünften Ende – dem ersten Ende von Quadrant 2 – der ganze Prozess von vorn.

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Nochmals komme ich auf die Verschiebung des Zentrums zurück. Hier zeige ich nun, was herauskommt, wenn man die Keimstruktur des Näpfchenstein Labyrinths rotiert.

Näpfchen mit KS

Abbildung 1: Näpfchenstein Labyrinth und Keimstruktur

Abbildung 1 zeigt das Näpfchenstein Labyrinth und seine Keimstruktur für den Ariadnefaden.

Wenn man diese Keimstruktur rotiert, ergeben sich zwei Figuren. Diese entpuppen sich als nur eine Figur, nämlich das Labyrinth selbst, das entweder im oder gegen den Uhrzeigersinn dreht. Dieses Figurenpaar wird dann fünfmal wiederholt.

Abbildung 2: die beiden Figuren

Abbildung 2: die beiden Figuren

Aus der Keimstruktur ist auch klar ersichtlich, weshalb. Diese besteht nicht nur aus 2 gleichen Hälften, sondern aus sechs gleichen Sechsteln. Jedes dieser Sechstel erzeugt 2 Figuren. Zudem ist jedes dieser Sechstel in sich symmetrisch (Abb. 3). Daher sind die beiden Figuren nur durch ihren Drehsinn (im / gegen den UZS) verschieden.

Abbildung 3: Symmetrie

Abbildung 3: Symmetrie

Besteht die Keimstruktur aus mehreren gleichen Elementen, so sieht sie nach einer gewissen Anzahl Rotationsschritte wieder genau gleich aus wie in der Ausgangsposition. Am Beispiel Näpfchenstein lässt sich das sehr schön zeigen.

Abbildung 4: Rotationsschritte

Abbildung 4: Rotationsschritte

In Abb. 4 halten wir in Bild a die Keimstruktur zunächst in der Ausgangslage fest (grau). Nun legen wir in Bild b eine Kopie (schwarz) darüber. In der Ausgangsposition deckt sich die schwarze genau mit der grauen Keimstruktur, d.h. sie deckt die graue vollständig zu. Deshalb sieht man nur die schwarze. Nun drehen wir in Bild c die schwarze Keimstruktur einen Schritt weiter und verbinden das nächste Ende mit dem Zentrum. Dann wird darunter die graue sichtbar. Drehen wir sie in Bild d noch einen Schritt weiter, verdeckt sie die darunterliegende graue Keimstruktur wieder vollständig.

Bereits nach zwei Rotationsschritten deckt sich die Keimstruktur wieder mit sich selbst. Das erzeugt natürlich auch wieder dieselbe Figur wie in der Ausgangslage.

Die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh muss sechs Schritte gedreht werden, bis sie sich mit sich selbst deckt. Die Keimstruktur für mein Demonstrationslabyrinth deckt sich erst nach einer Volldrehung.

Die Anzahl Rotationsschritte bis sich die Keimstruktur selbst deckt entspricht der Anzahl Figuren. Mit der Keimstruktur meines Demonstrationslabyrinths wurden 12, mit der von Rockcliffe Marsh 6 und mit der von Näpfchenstein 2 Figuren erzeugt. Zu beachten ist, dass dabei die gleiche Figur im und gegen den Uhrzeigersinn als zwei verschiedene gezählt wird. Die Anzahl der verschiedenen Figuren kann sich deshalb noch weiter reduzieren, wenn jedes Element der Keimstruktur in sich symmetrisch ist.

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In einem früheren Beitrag habe ich die Keimstruktur für den Ariadnefaden meines Demonstrationslabyrinths rotiert und 12 verschiedene Figuren erzeugt. Sechs dieser Figuren drehen im und 6 gegen den Uhrzeigersinn (UZS).

Jedes Labyrinth mit 5 Umgängen hat eine Keimstruktur mit 12 Enden. Man kann also die allgemeine Figur aus dem letzten Beitrag benutzen und darin die Keimstruktur für andere Labyrinthe mit 5 Umgängen einsetzen. Das habe ich mit dem Kernlabyrinth von Rockcliffe Marsh (Arnol’d’s Figur 8) gemacht.

Abbildung 1: Rockcliffe Marsh

Abbildung 1: Rockcliffe Marsh

Abbildung 1 zeigt links das Labyrinth von Rockcliffe Marsh mit eingezeichnetem Kernlabyrinth und rechts das Kernlabyrinth in der Skript Form.

Die rechte Hälfte der Keimstruktur von Rockcliffe Marsh ist gleich wie beim Demonstrationslabyrinth, die linke jedoch verschieden. Das wird ersichtlich aus dem Vergleich der beiden Keimstrukturen in Abb. 2.

Abbildung 2: Die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh

Abbildung 2: Die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh

Links ist zur Erinnerung die Keimstruktur für das Demonstrationslabyrinth abgebildet, rechts die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh. Diese besteht aus zwei gleichen Hälften. Das ist typisch für selbstduale Labyrinthe. In meinem Demonstrationslabyrinth ist Figur 7 das Duale zu Figur 1, Figur 8 ist dual zu Figur 2 usw.. Selbstdual nun bedeutet, dass die beiden zu einander dualen Labyrinthe oder Figuren identisch sind. Bei Rockcliffe Marsh ist Figur 7 somit identisch mit Figur 1. Das gilt auch für Figur 8 (identisch mit Figur 2) usw.. Es reicht also, die ersten sechs Enden der Keimstruktur von Rockcliffe Marsh mit dem Zentrum zu verbinden, da die Enden 7 – 12 nur die Figuren 1 – 6 wiederholen. Die Enden 7 – 12 wurden deshalb in der Keimstruktur von Rockcliffe Marsh nicht nummeriert.

Abbildung 3: Die 3 Figurenpaare

Abbildung 3: Die 3 Figurenpaare

Abb. 3 zeigt das Ergebnis. Die Nummern der einzelnen Figuren geben an, welches Ende der Keimstruktur mit dem Zentrum verbunden wurde, um die Figur zu erzeugen.

  • Erstens: die Anzahl Figuren reduziert sich auf sechs. Davon drehen die ersten 3 Figuren im UZS und die letzten 3 gegen den UZS.
  • Zweitens: Genauer betrachtet zeigt sich, dass nur drei verschiedene Figurenpaare entstehen, mit je einer gleichen im und gegen den Uhrzeigersinn drehenden Figur. Die gleichen Figuren sind in der Abbildung 3 nebeneinander gestellt (Fig. 1 und 6, Fig. 2 und 5 sowie Fig. 3 und 4).

Der Grund dafür ist, dass die Keimstruktur von Rockcliffe Marsh nicht nur zwei gleiche Hälften hat. Darüberhinaus ist jede ihrer Hälften auch noch symmetrisch um die gestrichelte Linie angeordnet (Abb. 4).

Abbildung 4: Symmetrie

Abbildung 4: Symmetrie

Selbstdualität reduziert die Auswahl verschiedener Figuren von 12 auf 6. Die Symmetrie der beiden Hälften reduziert sie weiter auf nur noch 3 verschiedene Figuren.

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Im ersten Beitrag dieser Reihe habe ich gesagt, dass es wichtig ist, anzugeben, wo das Zentrum in der Keimstruktur liegt. Meist wird das nicht erwähnt und die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern so ausgerichtet, dass der Eingang von unten erfolgt und das Zentrum oben liegt.

Auch die Keimstruktur für den Ariadnefaden für mein Demonstrationslabyrinth ist so ausgerichtet. Was passiert nun, wenn man das Zentrum an ein anderes Ende verschiebt?

Abbildung 1: Verschiebung des Zentrums

Abbildung 1: Verschiebung des Zentrums

In unserer Keimstruktur gibt es 12 Möglichkeiten, das Zentrum zu platzieren.

Abbildung 2: Die 12 Enden der Keimstruktur

Abbildung 2: Die 12 Enden der Keimstruktur

Man kann die Keimstruktur um jeden der 12 Punkte so vervollständigen, wie im ersten Beitrag gezeigt. Jedes Mal erhält man eine Figur mit Eingang, Zentrum und 5 Umgängen. Dies bleibt immer gleich und kann somit als eine allgemeine Figur gezeichnet werden. Das Einzige was sich ändert, ist die Verbindung der Umgänge untereinander. Und das wird durch die Keimstruktur bewirkt.

Abbildung 3: Die allgemeine Figur mit Eingang, 5 Umgängen und Zentrum

Abbildung 3: Die allgemeine Figur mit Eingang, 5 Umgängen und Zentrum

Die allgemeine Figur enthält anstelle der Achse eine runde Aussparung. Die Anschlüsse für Eingang, Zentrum und Umgänge sind in gleichmässigen Abständen auf den Kreis verteilt. Der Kreis selbst ist nur eine Hilfsfigur. In diesen Kreis kann nun die Keimstruktur für den Ariadnefaden eingesetzt werden.

Abbildung 4: Rotieren der Keimstruktur

Abbildung 4: Rotieren der Keimstruktur

Dies erlaubt es dann, die Keimstruktur zu drehen und so nacheinander jedes ihrer 12 Enden mit dem Zentrum zu verbinden. Die nächste Abbildung zeigt das Vorgehen für die Verbindung der ersten drei Enden der Keimstruktur mit dem Zentrum.

Abbildung 5: Verbindung der Enden 1 - 3 mit dem Zentrum

Abbildung 5: Verbindung der Enden 1 – 3 mit dem Zentrum

Als erstes wird das Ende 1 mit dem Zentrum verbunden. Dieses ist das richtige Zentrum, welches mit dem Punkt markiert ist. Dem entspricht als Ausgangsbasis unser Demonstrationslabyrinth. Platziert man das Zentrum an der Stelle 2, ergibt sich eine andere Figur. Diese besteht aus einem Kernlabyrinth vom Typ Knossos, das aussen von zwei Umgängen umschlossen ist. Dabei ändert der Weg die Richtung nicht und quert die Achse zweimal. Verbindet man das Ende 3 mit dem Zentrum (bzw. platziert das Zentrum an der Stelle 3 in der Keimstruktur), ergibt sich eine Figur, die aus einem Kernlabyrinth vom Typ Tholos besteht. Aussen hat sie zwei zusätzliche Umgänge, innen noch einen. Auf diesen zusätzlichen Umgängen wechselt der Weg nicht die Richtung, sondern quert insgesamt dreimal die Achse.

Alle 12 Figuren können hier eingesehen werden.

Mit der gleichen Keimstruktur können also 12 verschiedene Figuren erzeugt werden. Diese sollen als Figur 1, 2, 3, etc. bis Figur 12 benannt werden. Die Zahl steht für das Ende, welches mit dem Zentrum verbunden worden ist und die Figur erzeugt hat.

Figuren 7 – 12 sind die Duale zu den Figuren 1 – 6. Bei den Dualen sind jeweils Zentrum und Eingang vertauscht.

Figuren 1 (und das Duale 7) und 5 (11) können als echte Labyrinthe bezeichnet werden.

Figuren 2 (8) und 3 (9) sind zusammengesetzt aus einem Kernlabyrinth und zusätzlichen Umgängen, auf denen der Weg nicht die Richtung wechselt. Auf diesen Umgängen bewegt sich der Weg eher spiralförmig. Aber es ist keine Spirale, da der Weg schrittweise von einem auf den nächsten Umgang wechselt. Eine Spirale dagegen windet sich kontinuierlich ein.

Die Figuren 4 (10) und 6 (12) stellen Kombinationen dar, bestehend aus isolierten geschlossenen Formen auf gewissen Umgängen und einem zusätzlichen Wegstück, das daran vorbei vom Eingang zum Zentrum führt.

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