Feeds:
Beiträge
Kommentare

Posts Tagged ‘Wegführung’

Im letzten Beitrag habe ich die Segmentfolge bei mehrachsigen Labyrinthen gezeigt. Diese ist eindeutig. Aber sie hat den Nachteil, dass man nicht direkt weiss, auf welchem Umgang man sich befindet.

Nun kann man auch die Aufteilung in Segmente lassen, aber nur die Umgänge nummerieren. Dann sieht man in der Segmentfolge, auf welchem Umgang man sich befindet. In dieser Folge kann dann dieselbe Zahl mehrfach vorkommen. Vielfach funktioniert das, aber es kann zu Problemen führen. Beim Labyrinth, das im letzten Beitrag gezeigt wurde, existiert das Problem nicht. Darum zeige ich es hier mit einem anderen Beispiel. Ich wähle dafür das Labyrinth von Valturius, weil es ein kleines, übersichtliches Beispiel ist (Abb. 1).

valturius

Abbildung 1. Labyrinth von Valturius. Quelle: Kern 1983, Abb. 311, S. 251.

Dieses Labyrinth aus einem Militärhandbuch des Robertus Valturius aus dem 15. Jh. hat drei Achsen und vier Umgänge. (Man beachte, dass die Achsen nicht proportional verteilt sind. Aber das hat hier keinen Einfluss. Ich verwende daher aus Gründen der Einfachheit eine proportionale Aufteilung.)

num_valturius

Abbildung 2. Nummerierung der Segmente: linkes Bild nach Segment, rechtes Bild nach Umgang

Abbildung 2 zeigt im linken Bild die aus dem letzten Beitrag bekannte Aufteilung und Nummerierung nach Segmenten. Im rechten Bild sieht man die gleiche Aufteilung in Segmente aber nur nach Umgängen nummeriert. Weil das Labyrinth vier Umgänge hat, gibt es nun 12 Segmente.

Das Labyrinth von Valturius ist alternierend. Es gibt aber auch ein nicht alternierendes Labyrinth mit derselben Umgangsfolge. Und hiermit kommen wir zu unserem Problem.

sf_valturius

Abbildung 3. Segmentfolgen nach Segmenten nummeriert

Abbildung 3 zeigt das alternierende Labyrinth von Valturius (Bild links) und die nicht alterniernde Variation (Bild rechts). Diese haben zwei verschiedene Wegverläufe. Dies kommt in den beiden verschiedenen Segmentfolgen richtig zum Ausdruck. Beide Segmentfolgen sind gleich für die ersten 9 Segmente: 1 4 7 8 5 2 3 6 9 … Die Folgen der letzten drei Segmente aber sind verschieden. Beim Labyrinth von Valturius geht es weiter mit den Segmenten ………12 11 10. Hingegen ist die Segmentfolge bei der achsquerenden Variante ……… 10 11 12.

Wenn man nun aber die Segmente nach Umgängen nummeriert, geht die Eindeutigkeit verloren.

uf_valturius

Abbildung 4. Segmentfolgen nach Umgängen nummeriert

Abbildung 4 zeigt die gleichen Labyrinthe wie Abb. 3, jedoch mit Segmenten nummeriert nach Umgang. Beide Varianten haben dieselbe Segmentfolge 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 4 4. Nun weiss man zwar immer, auf welchem Umgang man sich in der Segmentfolge befindet. Aber für dieselbe Segmentfolge kann es mehrere (hier zwei) Wegführungen geben. Dieses Problem hatten wir schon bei der Umgangsfolge von einachsigen Labyrinthen.

Verwandte Beiträge:

 

Werbeanzeigen

Read Full Post »

In einem früheren Beitrag „Typ oder Stil / 6“ (siehe verwandte Beiträge, unten) habe ich mich schon zur Umgangsfolge geäussert. Und zwei Gründe angeführt, warum ich sie nicht zur Benennung von Labyrinth Typen benutze.

  • Unter den einachsigen Labyrinthen entspricht nur bei den alternierenden Labyrinthen eine Umgangsfolge genau einem Wegverlauf. Zieht man auch nicht alternierende einachsige Labyrinthe in Betracht, (Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse kreuzt), kann es für die gleiche Umgangsfolge mehrere Wegführungen geben.
  • Bei mehrachsigen Labyrinthen wird die Umgangsfolge schnell lang und unübersichtlich.

Hier will ich auf den ersten Punkt näher eingehen. Und zwar deshalb, weil es eine ganz einfache Lösung gibt. Bei den einachsigen Labyrinthen steht in der Umgangsfolge für jeden Umgang eine Zahl. In der Praxis weisen die grossen dieser Labyrinthe kaum mehr als 15 – 17 Umgänge auf. Die meisten sind deutlich kleiner. Somit könnte man diese Labyrinthe ganz praktisch mit ihrer Umgangsfolge benennen. Aber es besteht das Problem der Mehrdeutigkeit. Erwin hat es in seinem Beitrag „Das klassische 7-gängige Labyrinth mit Achsquerung“ (siehe verwandte Beiträge, unten) aufgegriffen. Ich illustriere es hier und verwende dazu Bilder aus seinem Beitrag.

uf_3214765

Abbildung 1. Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5

In Abbildung 1 sieht man drei Labyrinthe mit der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5. Das erste Bild zeigt den alternierenden Kretischen Typ, das zweite und dritte Bild je ein nicht alternierendes Labyrinth mit der gleichen Umgangsfolge. Beim zweiten Bild quert der Weg die Achse, wenn er vom 1. auf den 4. Umgang wechselt. Beim dritten Bild quert er die Achse vom 4. auf den 7. Umgang. (Es gibt auch noch ein Labyrinth, bei dem der Weg sowohl vom 1. auf den 4. als auch vom 4. auf den 7. Umgang die Achse kreuzt). Wir haben also den einen alternierenden und mehrere nicht-alternierende Labyrinth Typen mit der gleichen Umgangsfolge vorliegen.

Nun gibt es eine einfache Lösung, dies in der Umgangsfolge zu berücksichtigen. Dazu muss man bedenken, dass die einzelnen Zahlen (nicht Ziffern) der Umgangsfolge getrennt sind. Diese Separierung kann man auf verschiedene Weise, mit Leerstelle, Komma, Semikolon u.a.m. machen. Diese Trennzeichen können nun auch benutzt werden, um anzugeben, wie es im nächsten Umgang weiter geht. Wir können also z.B. definieren: wenn der Weg vom einen auf den anderen Umgang die Richtung wechselt, trennen wir mit senkrechtem Strich. Geht der Weg in der gleichen Richtung weiter (und quert somit die Achse), trennen wir mit Bindestrich. Auf diese Weise können wir die Umgangsfolge soweit präzisieren, dass sie auch für nicht alternierende Labyrinthe eindeutig wird. Ich zeige das in Abb. 2 anhand der Bilder aus Abb. 1.

uf_3214765_mit_tz

Abbildung 2. Umgangsfolge mit Trennzeichen


Hier sehen wir zu jedem Labyrinth die entsprechende Umgangsfolge mit Trennzeichen. Die Folge der Zahlen ist überall 3 2 1 4 7 6 5. Aber, während das alternierende Kretische immer senkrechte Striche als Trennzeichen hat (da der Weg nach jedem Umgang die Richtung wechselt), hat die Umgangsfolge von Bild 2 zwischen 1 und 4 einen Bindestrich. Und die Umgangsfolge von Bild 3 hat einen Bindestrich zwischen 4 und 7.

Ja, man kann die Schreibweise noch vereinfachen, indem man die Zahlen mit Leerschlag trennt und nur dort, wo der Weg die Achse kreuzt, einen Bindestrich einfügt. Die Umgangsfolgen würden dann so aussehen:

für das 1. Bild: 3 2 1 4 7 6 5
für das 2. Bild: 3 2 1-4 7 6 5
für das 3. Bild: 3 2 1 4-7 6 5

Es kommt also nur darauf an, in der Umgangsfolge anzugeben, wo die Achse gekreuzt wird. Mit diesen Ergänzungen zur Umgangsfolge ist es nun möglich, jede Wegführung eindeutig zu bezeichnen und somit für jeden alternierenden und nicht alternierenden Labyrinth Typ einen Namen zu vergeben.

Verwandte Beiträge

Read Full Post »

Oder andersherum gefragt: Wie mache ich einen Wunderkreis aus einem  Babylonischen Eingeweidelabyrinth?

Das ist möglich, zumindest beim Babylonischen Umma Labyrinth.

Das Wesentliche bei einem Labyrinth ist ja die Wegführung, ausgedrückt durch die Wegfolge, und nicht die äußere Form. Oder das Muster, wie Andreas das nennt.

Das Babylonische Umma Labyrinth

Das Babylonische Umma Labyrinth

Das Umma Labyrinth hat zwei Wendepunkte, um die jeweils zwei Umgänge führen und in der Mitte einen Mäander. Die Zugänge liegen außen. Es gibt nur einen einzigen und eindeutigen Weg.

Der Wunderkreis hat eine Doppelspirale im Zentrum und zwei weitere Wendepunkte mit beliebig vielen Umgängen. Eine Seite hat dabei einen Umgang mehr als die andere. Die Zugänge befinden sich im Mittelteil.

Ein großer Wunderkreis

Ein großer Wunderkreis

Zum Aufzeigen der einzelnen Entwicklungsschritte forme ich zuerst einen „voll entwickelten“ Wunderkreis in die kleinstmögliche Version um.

Die sieht so aus: Ein Mäander in der Mitte und zwei weitere Wendepunkte mit insgesamt drei Umgängen wie im Knossos Labyrinth.

Der kleinste Wunderkreis

Der kleinste Wunderkreis

Um diesen kleinen Wunderkreis mit dem Umma Labyrinth vergleichen zu können, lege ich nun alle Mittelpunkte (gleichzeitig die Endpunkte der Begrenzungslinien oder die Wendepunkte) auf eine Gerade. So als würde ich das Dreieck zusammenklappen, das durch die Wendepunkte gebildet wird.

Der gestauchte Wunderkreis

Der gestauchte Wunderkreis

Die beiden Zugänge sind hier im Mittelteil, im Umma Labyrinth liegen sie außen und nebeneinander. Zudem gibt es links noch einen Umgang mehr. Den füge ich jetzt hier hinzu und lege den Zugang dadurch auch nach rechts außen.

Ein Umgang mehr

Ein Umgang mehr

Jetzt verlege ich den zweiten Zugang nach links. Dadurch liegen die beiden Zugänge jedoch gegenüber und zeigen in verschiedene Richtungen.

Die beiden Zugänge außen

Die beiden Zugänge außen

Nun drehe ich den rechten Zugang ganz nach links außen neben den linken Zugang. Da ich alles geometrisch exakt konstruiere, erhalte ich zwei leeren Bereiche zwischen den äußeren Umgängen.

Die Zugänge nebeneinander

Die Zugänge nebeneinander

Jetzt verlängere ich die beiden Zugangswege um eine Vierteldrehung nach oben und drehe das Ganze ein Stück nach rechts. So erhalte ich das fertige Umma Labyrinth.

Das Babylonische Umma Labyrinth

Das Babylonische Umma Labyrinth

Um den umgekehrten Weg zu gehen, also den Wunderkreis aus dem Umma Labyrinth zu entwickeln, muss ich einige Windungen weglassen, das Ganze drehen und am Schluss den Mittelteil anheben.

Die ergänzten Bereiche

Die ergänzten Bereiche

Die in den vorangegangenen Schritten gemachten Ergänzungen sind farblich hervorgehoben. Der „gestauchte“ Wunderkreis weiter oben ist gut zu erkennen. Im Kern des Eingeweidelabyrinths ist also der Wunderkreis enthalten.

Sicherlich ist der Wunderkreis wie wir ihn kennen, nicht auf diese Art und Weise entstanden. Dafür gibt es keinerlei historische Belege. Jedoch lässt sich dadurch meiner Meinung nach die Verwandtschaft der beiden Labyrinthfiguren beweisen. Sie sind nicht einfach Spiralen und nicht einfach Mäander. Diese Elemente sind enthalten und auf „labyrinthische“ Art miteinander verbunden.

Verwandter Artikel

Read Full Post »

Das „Kretische“ ist der häufigste Labyrinth-Typ überhaupt, und so finden wir für diesen Typen eine grosse Vielfalt von verschiedenen Varianten. Hier zeige ich einige Exemplare, die aus verschiedenen Gründen interessant sind. Wo nichts anderes angegeben, stammen die Bilder aus dem Buch Labyrinthe von Hermann Kern. Die Details zu den Quellenangaben sind hier.

Abbildung 1. Pylos

Abbildung 1. Pylos

Diese Ritzzeichnung auf einem Tontäfelchen aus dem Palast des Nestor in Pylos wird auf spätestens 1200 v.Chr. datiert und ist das älteste sicher datierte Labyrinth überhaupt. Sie zeigt den Kretischen Typ auf rechteckigem Grundriss.

Abbildung 2. Silbermünze, Knossos

Abbildung 2. Silbermünze, Knossos

Diese Abbildung zeigt das Labyrinth mit konzentrischem Grundriss auf einer Silbermünze aus Knossos, ca. 190 – 100 v.Chr.. Das Zentrum des Labyrinths deckt sich mit dem Mittelpunkt der Umgänge. Die Achse ist leicht exzentrisch, da das Wegstück zum Zentrum auf das Zentrum ausgerichtet ist.

Abbildung 3. Walahfrid

Abbildung 3. Walahfrid

In dieser Zeichnung aus einer Pergamenthandschrift des Walahfrid Strabo (808 – 849) ist das Labyrinth in der vollendeten konzentrischen Form dargestellt. Die achsiale Trennwand, welche die innerste mit der äussersten Begrenzungsmauer verbindet, ist auf das Zentrum ausgerichtet.

Dass sich Variationen des Grundrisses nicht auf Standardformen wie Kreis und Rechteck beschränken, zeigen die nächsten Beispiele.

Abbildung 4. Herzlabyrinth

Abbildung 4. Herzlabyrinth

Dieses Herzlabyrinth von Mario Höhn enthält den Kretischen Typ mit einem zusätzlichen geschlossenen Umgang innen. Die Umgänge verlaufen nicht alle parallel zueinander (wie bei einem 7-spurigen Kreisverkehr). Umgänge 7 und 6 sind auf die rechte Herzkammer beschränkt. Umgang 5 führt in die linke Kammer und ist dort mit dem in sich geschlossenen 8. Umgang verbunden.

Abbildung 5. Doppellabyrinth

Abbildung 5. Doppellabyrinth

Eine andere Methode, um ein Herzlabyrinth zu erzeugen haben Marty Kermeen und Jeff Saward angewendet. Sie verwenden dazu ein Doppellabyrinth (DL). Dieses besteht aus zwei identischen Labyrinthen, die horizontal gespiegelt aneinandergefügt sind. Das eigentliche Labyrinth (L) ist also eines der beiden Teillabyrinthe. Dabei handelt es sich um das Kretische, projiziert auf einen halbherzigen Grundriss.

Abbildung 6. Abhuyumani Tantra

Abbildung 6. Abhuyumani Tantra

Diese tantrische Zeichnung aus Rajasthan, Indien, 19. Jh. zeigt das Labyrinth auf einem Dreiviertelskreis angeordnet – das meiste davon jedoch nur auf einem Halbkreis. Nur die Wendestelle vom 1. auf den 4. Umgang nimmt den ganzen dritten Quadranten ein. Der vierte Quadrant wird von der Figur nicht ausgefüllt.

Abbildung 7. Nîmes

Abbildung 7. Nîmes

Dieses römische Mosaik-Labyrinth aus Nîmes, Frankreich, 1. Jh., hat einen unauffälligen rechteckigen, Umriss. Aber es zeigt, wie kein anderes, dass der Grundriss nicht nur aus der geometrischen Form (Kreis, Rechteck, Herz, usw.) besteht. Ebenso wichtig ist, wie innerhalb der Umrissform die Wegführung organisiert ist. Und die hat es wirklich in sich. Man versuche doch einmal, die Keimstruktur / das Grundmuster / das Seed Pattern dieses Labyrinths zu identifizieren. Die Wegführung enthält mindestens drei Auffälligkeiten.

  • Alle Umgänge machen keine volle (360°), sondern nur 3/4 (270°) Drehung. Es ist also – ähnlich wie das indische – ein 3/4 Labyrinth. Der Grundriss deckt aber alle 4 Quadranten ab.
  • Die inneren Umgänge sind vollständig in den Quadranten 1 und 2 untergebracht. Normalerweise decken alle Umgänge alle Quadranten ab.
  • Nur die äusseren 4 Umgänge bedecken auch die Quadranten 3 und 4.

Durch diese Verschiebungen und Umformungen in der Wegführung wird der Grundriss fast bis zur Unkenntlichkeit variiert. Wie komme ich nun dazu, alle diese verschiedenen Exemplare als Kretischen Typ zu bezeichnen? Was ist allen diesen Exemplaren gemeinsam? Das, was das Kretische ausmacht, wurde auf diesem Blog und andernorts schon wiederholt beschrieben.

  • Einachsiges Labyrinth
  • Alternierend, d.h. der Weg quert die Achse nicht
  • 7 Umgänge
  • Umgangsfolge (d.h. die Reihenfolge in der die vom Anfang bis zum Ende des Wegs durchnummerierten Umgänge vom Weg belegt werden): 3-2-1-4-7-6-5.

Es ist wichtig, festzuhalten, dass hier von einem alternierenden Labyrinth die Rede ist. Es gibt auch nicht alternierende Labyrinthe. Nur bei den alternierenden Labyrinthen gibt es pro Umgangsfolge genau einen Labyrinth-Typen. Umgekehrt gilt dann auch, dass man jeden alternierenden Typen mit seiner Umgangsfolge eindeutig beschreiben kann.

Verwandte Beiträge

Read Full Post »

%d Bloggern gefällt das: