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Posts Tagged ‘uninteressantes Labyrinth’

Unter den einachsigen Labyrinthen haben wir keine Paare von zueinander komplementären uninteressanten Labyrinthen gefunden (siehe verwandte Beiträge, unten). Bei mehrachsigen Labyrinthen gibt es aber solche Paare. Jedenfalls, wenn wir Labyrinthe als uninteressant bezeichnen, bei denen der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintritt oder vom innersten Umgang aus das Zentrum erreicht. Das wird am folgenden Beispiel gezeigt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Komplementäre uninteressante Labyrinthe

Das Labyrinth a hat 2 Achsen und 3 Umgänge. Der Weg tritt auf dem äussersten Umgang ein. Deshalb ist es ein uninteressantes Labyrinth. Der Weg erreicht das Zentrum vom äussersten Umgang aus.

Das Komplementäre davon, Labyrinth b, ist ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth. Hier tritt der Weg auf dem innersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus.

Das ist soweit nichts Besonderes. Aber hier kommt eine andere Besonderheit zum Vorschein. Wir sehen das, wenn wir auch noch die beiden Dualen dieser Labyrinthe betrachten. Dies wird in Abb. 2 auf die schon bekannte Art gezeigt.

Abbildung 2. Das duale und komplementäre Labyrinth sind gleich

Das zum Originalen (a) Duale (b) ist gleich dem Komplementären (c). Das zum Komplementären (c) Duale (d) ist gleich dem Originalen (a). Die beiden zu einander komplementär-dualen Labyrinthe sind gleich.

Dies gilt nun nicht für alle Paare von komplementären uninteressanten Labyrinthen. Aber es gibt noch andere Labyrinthe, bei denen das auch zutrifft. In Abb. 3 zeige ich zwei weitere solche Labyrinth Exemplare und ihre Muster (nur Originale). Auch bei diesen sind die komplementären gleich den dualen Labyrinthen.

Abbildung 3. Weitere Labyrinthe mit dieser Eigenschaft

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Im letzten Beitrag habe ich auf die interessanten Labyrinthe von Tony Phillips verwiesen. Was aber sind interessante Labyrinthe? Tony zeigt mit Hilfe der Kombinatorik, dass es eine unüberschaubare Anzahl einachsiger Labyrinthe gibt. Und er unterteilt sie in uninteressante, interessante und sehr interessante Labyrinthe.

  • Uninteressant sind demnach Labyrinthe, die dadurch erzeugt werden können, dass einfach zusätzliche triviale Umgänge aussen oder innen an kleinere Labyrinthe angehängt werden.
  • Interessant sind Labyrinthe, bei denen das nicht der Fall ist. Das bedeutet auch, dass der Weg nicht auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt oder vom letzten Umgang das Zentrum erreicht.
  • Sehr interessant sind die selbstdualen unter den interessanten Labyrinthen.

Schauen wir uns einmal an, was das konkret bedeutet. Mit den Arnol’d’schen Figuren kennen wir ja bereits alle Labyrinthe mit 5 Umgängen. Diese wollen wir nach den oben genannten Kriterien in uninteressante, interessante und sehr interessante unterteilen.

Abbildung 1 zeigt die uninteressanten Labyrinthe. Diese entsprechen den Arnol’d’schen Figuren 1 – 4.

Abbildung 1: Uninteressante Labyrinthe

Abbildung 1: Uninteressante Labyrinthe

Figur 1 (Labyrinth Näpfchenstein) besteht aus einer blossen Aneinanderreihung von Umgängen. Figuren 2 bis 4 bestehen aus einem kleineren Labyrinth vom Typ Knossos (schwarz) und zusätzlichen Umgängen (grau). Figur 2 (Löwenstein 5b) hat aussen, Figur 4 (Löwenstein 5a) innen zwei zusätzliche Umgänge. Figur 3 hat aussen und innen je 1 zusätzlichen Umgang. Auch unter den uninteressanten Labyrinthen gibt es selbstduale, nämlich hier Figuren 1 und 3.

Abbildung 2 zeigt die interessanten und sehr interessanten Labyrinthe. Diese entsprechen den Arnol’d’schen Figuren 5 – 8.

Abbildung 2: Interessante Labyrinthe

Abbildung 2: Interessante Labyrinthe

Figur 5 und das dazu Duale in Figur 7 sind interessante Labyrinthe. Figur 6 und 8 sind darüberhinaus je selbstdual und somit sehr interessante Labyrinthe.

Die Unterteilung von Tony ist sehr einleuchtend. Sie ermöglicht eine qualitative Rangierung der Labyrinthe.

Labyrinthe, deren Muster eine Serpentine von aussen nach innen beschreibt, sind demnach uninteressant. Das betrifft einige historische Labyrinth Typen: Tholos, Löwenstein 3, Näpfchenstein, Casale Monferrato. Ebenfalls uninterssant sind Labyrinthe, bei denen der Weg auf dem ersten Umgang eintritt oder vom letzten Umgang ins Zentrum gelangt. Auch davon gibt es einige historische Exemplare: Temple Cowley, Löwenstein 5a und 5b, von Xanten, Zikkaron und Cakra-vyuh.

Uninteressante Labyrinthe bestehen aus einem kleineren interessanten Labyrinth und zusätzlichen Umgängen. Welches aber ist dieses interessante Labyrinth in Figur 1 (Abbildung 1)? In Abbildung 3 sind drei Möglichkeiten a -c aufgezeigt.

Abbildung 3: Das kleinste Labyrinth?

Abbildung 3: Das kleinste Labyrinth?

Figur 1 besteht aus fünf aneinandergereihten Umgängen. Als erste Möglichkeit für das einfachste Labyrinth kommt also der innerste Umgang (schwarz) in Figur a in Betracht. Verglichen mit der Definition von Kern (siehe dazu: Kern H. Labyrinthe. München: Prestel 1983, Seite 13), ist diese Figur jedoch kein Labyrinth, da der Weg die Richtung nicht mehrmals wechselt. Als zweite Möglichkeit kommt Figur b mit zwei aufeinanderfolgenden Umgängen in Frage. Hier wechselt der Weg zwar nicht mehrmals, aber wenigstens einmal die Richtung. Das könnte man als Labyrinth durchgehen lassen. Die dritte Möglichkeit, Figur c, besteht aus drei aneinandergehängten Umgängen mit zweimaligem Richtungswechsel. Dies entspricht voll Kerns Definition.

Ich beantworte die Frage nach dem einfachsten Labyrinth so, dass ich die Variante b mit zwei Umgängen und einem Richtungswechsel als Labyrinth bezeichne. Ein historisches Labyrinth dieser Art existiert im Tholos von Epidauros. Die Variante c gibt es auch als Labyrinth vom Typ Löwenstein 3.

Das kleinste interessante Labyrinth ist aber das Labyrinth vom Typ Knossos. Dieses hat drei Umgänge. Sein Muster ist in meiner Ausdrucksweise ein einfacher Mäander, in Erwin’s Terminologie ein Typ 4 labyrinthgeeigneter Mäander. Und da dieses Labyrinth selbstdual ist, ist es gleichzeitig auch das kleinste sehr interessante Labyrinth.

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