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Posts Tagged ‘Umgangsfolge’

In den vorangegangenen Artikeln zu diesem Thema habe ich die von Tony Phillips ins Spiel gebrachte Methode der Stempelfalzberechnung schon erläutert.

Nun soll es hier weitergehen. Es lassen sich nämlich weitere Varianten von Labyrinthen erzeugen durch einfaches Drehen des verwendeten Polygons.

Ich nehme noch einmal das Netz mit dem Polygon aus dem letzten Beitrag zu diesem Thema (Teil 2).

Das Netz mit dem Polygon

Das Netz mit dem Polygon

Mit diesem Diagramm lassen sich vier verschiedene Labyrinthe erzeugen. Zwei direkt (Zeile 2 und 3), die beiden anderen durch eine einfache Rechnung.

Andere Konstellationen lassen sich gewinnen durch 12-maliges Drehen des Netzes jeweils um 30 Grad. Oder anders gesagt, es ist so so ähnlich wie beim Umstellen der Uhr bei der Sommer- oder Winterzeit.
Da hier aber nur interessante Labyrinthe interessieren, lasse ich alle Stellungen weg, wo die Linien auf den ersten und/oder den letzten Umgang zeigen würden. Von der 12 aus dürfen also nicht die 1 oder 11 erreicht werden. Es sind nur die „Uhrzeiten“ interessant, die weiter weg zeigen, also spitzer verlaufen.
Das wären bei unserem Netz die 1, 5 und 6. Ich drehe also nur auf diese Zeitangaben. Oder anders ausgedrückt, ich bringe die 1, 5 und 6 in Übereinstimmung mit der 12. Ich drehe daher um 30, 150 und 180 Grad. Zu drehen ist das Netz mit dem Polygon, die Zahlen bleiben stehen.

Hier der erste Dreh:

Drehung um 30 Grad

Drehung um 30 Grad

Ich erhalte vier völlig andere Wegfolgen als im obigen Original.

Der zweite Dreh:

Drehung um 150 Grad

Drehung um 150 Grad

Ich erhalte wieder vier neue Varianten.

Der letzte Dreh:

Drehung um 180 Grad

Drehung um 180 Grad

Hier erhalte ich nur eine andere Reihenfolge der Wegfolgen als im ursprünglichen Polygon; also keine neuen Varianten, nur eine andere Anordnung. Das kommt daher, dass die Drehung um 180 Grad einer symmetrischen Spiegelung entspricht.

Es gelingt also nicht in jedem Fall, neue Varianten zu finden. Mit diesem Netz habe ich insgesamt 12 verschiedene Nummernfolgen für 12 neue Labyrinthe generiert.

Die Wegfolgen lassen sich dann direkt in eine Labyrinthzeichnung umsetzen.

Hier soll nur eine (wieder im konzentrischen Stil) gezeigt werden (die 2. Wegfolge aus dem ersten Polygon oben):

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

Ein neues 11-gängiges Labyrinth

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Wieder geht es um einachsige, alternierende Labyrinthe, wie der New Yorker Mathematik-Professor Tony Phillips sie definiert hat. Er kommt in seinen Berechnungen auf eine Anzahl von 1014 theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen (12-level mazes).

Er beschreibt auch eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Varianten, die John E. Koehler 1968 entwickelt hat zur Lösung eines verwandten Problems der Stempelfalzberechnung von Briefmarken.

Die nachfolgenden Abbildungen sollen diese Methode erläutern. Dazu verwende ich als erstes die schon bekannte Wegfolge für das 11-gängige Labyrinth, das sich aus dem Grundmuster erzeugen lässt, nämlich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12.
Die Wegfolge muss bekanntlich mit einer ungeraden Zahl beginnen und dann eine Reihe sein, in der sich die ungeraden mit den geraden Zahlen abwechseln. „12“ bezeichnet hierbei das Zentrum und die „Außenwelt“.

Ich zeichne einen Kreis und teile ihn in 12 Abschnitte ein, wie bei einer Uhr. Nun muss ich alle Punkte mit Linien verbinden, wobei sich aber gleichfarbige Linien nicht kreuzen dürfen.

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Ich fange mit Blau in 12 an und gehe zu 5, 2, 3, 4 (Fig. 1). Dann von 4 nach 1, wobei ich die Farbe wechsle (Fig. 2). Ich mache weiter mit 6, 11, 8, 9, 10 (Fig. 3). Ich wechsle wieder die Farbe und verbinde 10 mit 7 und 12 (Fig. 4).

Man kann es aber auch anders machen. Zum Beispiel. alle Linien zuerst in einer Farbe zeichnen und dann die kreuzenden in der anderen. Aber auch hier gilt: Gleichfarbige Linien dürfen sich nicht kreuzen. Wohl aber mehr als einmal, solange sie unterschiedlich sind (siehe 4 – 7).

Das Netz

Das Netz

Da wir aber neue Labyrinthe suchen, gehen wir nun den umgekehrten Weg: Wir zeichnen ein Netz  von 12 Linien, das alle 12 Punkte nach den vorgenannten Vorgaben verbindet und leiten daraus die Wegfolge ab.

Hierzu ein Beispiel:

Das Netz mit dem Polygon

Die erste Wegfolge schreibe ich in Zeile 2 (hier in blau), indem ich in 12 beginne und die niedrigere Ziffer ablese, hier 5. Das ist der Beginn des Weges. Dann verfolge ich das Polygon bis ich wieder bei 12 lande und erhalte: 5-2-3-4-1-6-11-10-9-8-7-12. Das ist das Original.
Nun gehe ich den Weg rückwärts und schreibe die Ziffernfolge in Zeile 3. Also von 12 zu 7 usw. Das ergibt: 7-8-9-10-11-6-1-4-3-2-5-12. Das ist das komplementäre zum Original.

Die Zeilen 1 und 4 erhalte ich durch Rechnen. Ich ergänze jeweils die entsprechenden Zahlen jeder Reihe zu „12“. In Zeile 4 erhalte ich das duale zum Original. In Zeile 1 erhalte ich das komplementäre zum dualen.

Die Probe mache ich, indem ich die so gewonnenen Zahlenkolonnen mit den anderen im „Rückwärtsgang“ vergleiche. Das betrifft die Zeilen 1 und 4, sowie 2 und 3.
Das erinnert an das Vorgehen, wie es früher schon einmal beschrieben wurde, als es um die dualen und komplementären Labyrinthe ging (siehe Verwandte Artikel unten).

Es geht aber auch anders. Ich drehe das Ziffernblatt um, schreibe die Ziffern für die 12 Punkte links herum, gegen den Uhrzeigersinn.
So sieht es dann aus:

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Die linke Seite zeigt das Ziffernblatt wie vorher. Ich beginne bei 5, zähle bis 12 und erhalte das Original. Dann beginne ich bei 7 und zähle wieder bis 12 und erhalte das komplementäre zum Original.
Nun das rechte Ziffernblatt. Ich beginne auch bei 5 und zähle bis 12 und erhalte so das duale zum Original. Dann wieder von 7 bis 12  und ich erhalte das komplementäre zum dualen.

Was sollen nun die blau geschriebenen Wegfolgen bedeuten? Sie weisen darauf hin, dass der Eintritt in das Labyrinth auf die gleiche Achse gelegt werden kann, wie der Eintritt in das Zentrum. Das sind hier die Umgänge 5 und 7. Dadurch lässt sich beim Konstruieren eine kleine ausgesparte Stelle im Labyrinth anlegen, das man als Herz oder (wie früher einmal genannt) Fontanelle ansehen könnte. Vor allem im konzentrischen Stil lässt sich das gut umsetzen.

Aus diesen beiden neu erzeugten (blauen) Wegfolgen konstruiere ich nun zwei neue 11-gängige Labyrinthe im konzentrischen Stil:

Sie haben ein anderes Bewegungsmuster als die bisher schon bekannten Labyrinthe. Zudem sehen wir 6 Wendepunkte für die Umgänge.

Das hier ist das duale zum vorhergehenden Labyrinth. Auch hier gibt es wieder ein anderes „Feeling“.

Wer macht den Anfang und baut einmal ein solches Labyrinth?

Die beiden anderen Wegfolgen ergeben auch neue Labyrinthe, die ich mir aber hier schenke. Die gehören zu den übrigen 1000 Varianten, die für 11-gängige Labyrinthe theoretisch möglich sind.

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In meinen letzten Beiträgen hatte ich die Methode der Umwandlung vom Mittelalterlichen Labyrinth durch Weglassen der Barrieren aufgezeigt.

Die erste Möglichkeit um Labyrinthe zu generieren ist natürlich die Verwendung des Grundmusters. So sind die meisten skandinavischen Trojaburgen mit 7, 11 oder 15 Umgängen erzeugt worden.

Vor einigen Jahren hatte ich mit der Mäandertechnik beschäftigt. Dabei sind schon viele neue, bisher unbekannte Labyrinthe entstanden.

Ein weitere Möglichkeit hat Andreas in seinen Beiträgen zu den dualen und komplementären Labyrinthen aufgezeigt. Da werden durch Rotieren und Spiegeln neue Versionen von schon bekannten Typen erzeugt.

Diese Technik will ich nun verwenden, um einige neue Varianten vorzustellen.

Dabei beziehe ich mich auf einachsige, alternierende Labyrinthe. Diese Bezeichnung verwendet Tony Phillips in seinen Ausführungen als Mathematiker zum Labyrinth. Er nennt auch die Anzahl der theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen: 1014 Stück.

Die theoretisch möglichen interessanten Varianten der 3-, bis 7-gängigen Labyrinthe sind in diesem Blog schon alle einmal aufgetaucht.

Ich konstruiere die hier gezeigten Beispiele im konzentrischen Stil. Aufgrund der Wegfolge (= Umgangsfolge) lässt sich das relativ einfach bewerkstelligen. Man benötigt kein Muster dazu. Die Wegfolge ist auch das Unterscheidungsmerkmal der verschiedenen Varianten.

Ich beginne mit dem gut bekannten 11-gängigen klassischen Labyrinth, das aus dem Grundmuster erzeugt werden kann:

Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Um das duale Exemplar davon zu erzeugen, nummeriere ich die einzelnen Umgänge von innen nach außen, gehe dann von innen nach außen und schreibe dazu die Wegfolge auf. Es ergibt sich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-(12).
Diese ist in diesem Fall identisch mit dem Original, es entsteht also kein neues Labyrinth. Daher ist dieses Labyrinth selbstdual. Das wiederum zeugt von einer besonderen Qualität dieses Typs.

Jetzt erzeuge ich das komplementäre Exemplar. Dazu ergänze ich die einzelnen Ziffern der Wegfolge zur Ziffer des Zentrums „12“.
5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7
7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5
Die einzelnen Werte der Reihe oben und unten addiert, ergibt jeweils 12.

Oder, ich lese die Wegfolge rückwärts. Das bringt die gleiche neue Wegfolge. Doch so direkt geht das nur bei selbstdualen Labyrinthen.

Zu dieser Wegfolge 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12 zeichne ich nun ein Labyrinth.
So sieht es aus:

Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster

Dieses neue Labyrinth ist bisher kaum bekannt.


Jetzt nehme ich ein anderes schon einmal im Blog gezeigtes Labyrinth, das mit Mäandertechnik erzeugt wurde, jedoch ein nicht-selbstduales.

Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik

Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik

Zuerst ermittle ich die Wegfolge für das duale Labyrinth, indem ich von innen nach außen gehe. Und erhalte: 7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9-(12).

Danach konstruiere ich nach dieser Wegfolge das duale Labyrinth.
So sieht es dann aus:

Das duale 11-gängige Labyrinth

Das duale 11-gängige Labyrinth

Jetzt kann ich jeweils zu beiden vorgenannten Labyrinthen die komplementären Exemplare generieren.

Obere Reihe das Original. Untere Reihe das komplementäre.
3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7
Die untere Reihe erzeugt durch Ergänzen der oberen zu „12“.

Das komplementäre Labyrinth sieht wie folgt aus:

Das komplementäre Labyrinth zum Original

Das komplementäre Labyrinth zum Original

Nun die Wegfolge des dualen in der oberen Reihe. Das dazu komplementäre in der unteren.
7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3
Wieder ermittelt durch Ergänzung zu „12“.

Das sieht so aus:

Das komplementäre Labyrinth zum dualen

Das komplementäre Labyrinth zum dualen

Ich habe also drei neue Labyrinthe zu einem schon bekannten hinzugewonnen. Bei einem sebstdualen Labyrinth erhalte ich dagegen nur ein neues dazu.

Nun kann ich das Spielchen noch weitertreiben. Auch für die neu erzeugten komplementären Labyrinthe könnte ich wieder duale Labyrinthe erzeugen, indem ich von innen nach außen nummeriere.

Das duale des komplementären zum Original ergibt das komplementäre des dualen. Und das duale des komplementären zum dualen ergibt das komplementäre des Originals.

Die nebeneinander geschriebenen Wegfolgen verdeutlichen das. Oben stehen das Original (links) und das duale (rechts).
Unten stehen die komplementären, links das komplementäre zum Original. Und rechts das komplementäre zum dualen.

3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5  *  7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7  *  5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3

Die oberen und die unteren einzelnen Ziffern addiert, ergibt jeweils „12“.

Auch kann man erkennen, dass die über Kreuz gelesenen Wegfolgen zueinander rückwärts verlaufen.

Diese Eigenschaften kann ich auch nutzen, wenn ich neue Labyrinthe  erzeugen will. Indem ich die Wegfolgen des Originals und des dualen rückwärts interpretiere, erzeuge ich zum Original das komplementäre des dualen, und zum dualen das komplementäre des Originals. Und umgekehrt.

Wenn ich eine einzige Wegfolge habe, kann ich so die übrigen drei rein rechnerisch ermitteln.

Klingt verwirrend, ist es auch, denn wir reden von Labyrinthen.

Zum besseren Verstehen am besten selbst ausprobieren oder den Artikel (Die Umgangsfolgen … siehe unten) von Andreas zu diesem Thema aufmerksam studieren.

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Durch Drehen oder Spiegeln kommt man zu dualen und komplementären Labyrinthen bereits bestehender Labyrinthe. Oder anders ausgedrückt: Dadurch lassen sich weitere, neue Labyrinthe bilden.
So kann ich drei neue Labyrinthe erzeugen, denn vom neuen dualen Labyrinth kann ich wieder ein neues komplementäres erzeugen und vom neuen komplementären wieder ein neues duales, die aber identisch sind. (Genaueres darüber in den Verwandten Artikeln unten).

Unter diesen Aspekten habe ich die schon vorgestellten 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe im Knidos Stil genauer angeschaut und stelle hier die für mich interessantesten Varianten vor. Denn nicht alle der möglichen dualen oder komplementären Exemplare scheinen bemerkenswert.

Viele, vor allem komplementäre, würden mit dem ersten Umgang beginnen und dem letzten zum Zentrum führen, was nicht so wünschenswert ist.

Auch durch Weglassen überflüssiger (trivialer) Umgänge lassen sich neue Exemplare generieren. Das trifft auf die beiden letzten Labyrinthe zu. Wenn Sie das erste mit dem letzten Exemplar vergleichen, sehen Sie zwei bemerkenswerte Labyrinthe: Das erste hat 12 Umgänge, das letzte 8 Umgänge; sie haben trotzdem einen ähnlichen Bewegungsverlauf.

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Genauer gesagt, geht es hier um die aus einigen vorherigen Beiträgen (dazu die Verwandten Artikel unten) schon bekannten 21 reihenförmig angeordneten Eingeweidelabyrinthe.

Das Aussehen wird bestimmt durch die Weg- oder Umgangsfolge. Danach lassen sich die (hier 21) verschiedenen und neuen Labyrinth-Typen konstruieren. Dazu verwende ich die schon einmal vorgestellte Methode, ein Labyrinth zu zeichnen (siehe unten).

Der Weg und die Begrenzung sind gleich breit. Die Mitte ist größer. Das letzte Wegstück führt senkrecht in das Zentrum. Alle Elemente schließen knickfrei und geometrisch korrekt aneinander an. Es gibt nur Geraden und Bögen. Alles auf möglichst kleinem Raum. Das zusammen macht den Knidos Stil aus.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Ich finde, dass durch diesen Stil der Bewegungsverlauf eines jeden Labyrinths besonders gut erkennbar wird. Damit lassen sie sich vielleicht auch leichter mit den schon bekannten Labyrinthen vergleichen.

Bemerkenswert für mich ist, dass nur ein Exemplar (E 3384 v_6) mit dem ersten Umgang beginnt. Und dass viele zuerst und direkt die Mitte umkreisen und schließlich vom ersten Umgang aus direkt die Mitte erreicht wird. Auffällig sind auch die vielen senkrechten, geraden und parallelen Wegstücke im Mittelteil.

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Hier geht es um die Dechiffrierung der Umgangsfolgen der reihenförmigen 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe aus dem letzten Artikel zu diesem Thema (siehe verwandte Artikel unten).

Die Frage lautet: Lassen sich daraus einachsige alternierende Labyrinthe mit einem Ziel in der Mitte erzeugen? Also keine Durchgangslabyrinthe, wo der auch eindeutige Weg hindurchführt, sondern in ein Zentrum mündet.
Vielleich könnte man sie als „Hinein-Labyrinthe“ bezeichnen im Gegensatz zu den „Hindurch-Labyrinthen“?

Die kurze Antwort: Ja, es geht. Und es entstehen 21 neue, bisher unbekannte Labyrinthe.

Die Umgangsfolge für ein Durchgangslabyrinthe lässt sich umwandeln in eine für ein Hinein-Labyrinth durch Weglassen der letzten „0“, die für „außen“ steht. Die höchste Zahl steht immer für das Zentrum. Sollte diese nicht an letzter Stelle in der Umgangsfolge stehen, muss man noch eine Zahl hinzufügen.
Dieser „Trick“ ist nur bei zwei Labyrinthen notwendig und führt dann zu Labyrinthen mit geradzahligen Umgängen (bei VAT 984_6 und bei VAN 9447_7).

Die Galerie zeigt alle 21 Labyrinthe im konzentrischen Stil mit einer größeren Mitte.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines ist bisher irgendwo aufgetaucht. Sie haben zwischen 9 und 16 Umgänge, die meisten jedoch 11 Umgänge. Es gibt zwischen 3 und 6 Wendepunkte.

In diesen Konstellationen gibt es rein mathematisch gesehen 134871 Varianten von interessanten Labyrinthen wie der Mathematik-Professor Tony Phillips nachgewiesen hat.

Es sind also noch lange nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, neue Labyrinthe zu finden oder zu erfinden.

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Weiterführender Link
Die Website von Tony Phillips (in Englisch)

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Genauer gesagt: Die Umgangsfolgen der reihenförmig gebildeten Eingeweidelabyrinthe. Unter den bisher insgesamt bekannten 27 Eingeweidelabyrinthen gibt es 21 reihenförmige Eingeweidelabyrinthe als Durchgangslabyrinthe. Als Unterscheidungsmerkmal kann dabei die Umgangsfolge dienen. Hier möchte ich gerne die Umgangsfolgen aller 21 Exemplare darstellen.

Schauen Sie dazu die einzelnen Bilder in der Galerie durch Anklicken in einer größeren Version an:

Die Methode besteht darin, die in Reihe stehenden senkrechten Schleifen von links nach rechts zu nummerieren. Die bogenförmigen Übergänge erhalten keine Nummer. „0“ steht dabei für außen. Bei den beiden quer verlaufenden Schleifen in E 3384 r_4 und E 3384 r_5 gilt ebenfalls: von links nach rechts. Ein besonderes Exemplar ist E 3384 v_4. Hier sind einige Schleifen „ausgelagert“. Doch auch da lässt sich eine sinnvolle Umgangsfolge finden.

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines gleicht dem anderen. Das allein ist schon bemerkenswert. Sie folgen also keinem einheitlichen Muster.

Ein erster Blick auf die Umgangsfolgen zeigt, dass sie sehr stark an die Umgangsfolgen einachsiger alternierender klassischer Labyrinthe erinnern. Das heißt: Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl. Dann folgen im Wechsel gerade und ungerade Zahlen.

In einem der nächsten Artikel geht es dann an die Dechiffrierung der Umgangsfolgen.

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