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Posts Tagged ‘Umgangsfolge’

Hier geht es um die Dechiffrierung der Umgangsfolgen der reihenförmigen 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe aus dem letzten Artikel zu diesem Thema (siehe verwandte Artikel unten).

Die Frage lautet: Lassen sich daraus einachsige alternierende Labyrinthe mit einem Ziel in der Mitte erzeugen? Also keine Durchgangslabyrinthe, wo der auch eindeutige Weg hindurchführt, sondern in ein Zentrum mündet.
Vielleich könnte man sie als „Hinein-Labyrinthe“ bezeichnen im Gegensatz zu den „Hindurch-Labyrinthen“?

Die kurze Antwort: Ja, es geht. Und es entstehen 21 neue, bisher unbekannte Labyrinthe.

Die Umgangsfolge für ein Durchgangslabyrinthe lässt sich umwandeln in eine für ein Hinein-Labyrinth durch Weglassen der letzten „0“, die für „außen“ steht. Die höchste Zahl steht immer für das Zentrum. Sollte diese nicht an letzter Stelle in der Umgangsfolge stehen, muss man noch eine Zahl hinzufügen.
Dieser „Trick“ ist nur bei zwei Labyrinthen notwendig und führt dann zu Labyrinthen mit geradzahligen Umgängen (bei VAT 984_6 und bei VAN 9447_7).

Die Galerie zeigt alle 21 Labyrinthe im konzentrischen Stil mit einer größeren Mitte.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines ist bisher irgendwo aufgetaucht. Sie haben zwischen 9 und 16 Umgänge, die meisten jedoch 11 Umgänge. Es gibt zwischen 3 und 6 Wendepunkte.

In diesen Konstellationen gibt es rein mathematisch gesehen 134871 Varianten von interessanten Labyrinthen wie der Mathematik-Professor Tony Phillips nachgewiesen hat.

Es sind also noch lange nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, neue Labyrinthe zu finden oder zu erfinden.

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Weiterführender Link
Die Website von Tony Phillips (in Englisch)

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Genauer gesagt: Die Umgangsfolgen der reihenförmig gebildeten Eingeweidelabyrinthe. Unter den bisher insgesamt bekannten 27 Eingeweidelabyrinthen gibt es 21 reihenförmige Eingeweidelabyrinthe als Durchgangslabyrinthe. Als Unterscheidungsmerkmal kann dabei die Umgangsfolge dienen. Hier möchte ich gerne die Umgangsfolgen aller 21 Exemplare darstellen.

Schauen Sie dazu die einzelnen Bilder in der Galerie durch Anklicken in einer größeren Version an:

Die Methode besteht darin, die in Reihe stehenden senkrechten Schleifen von links nach rechts zu nummerieren. Die bogenförmigen Übergänge erhalten keine Nummer. „0“ steht dabei für außen. Bei den beiden quer verlaufenden Schleifen in E 3384 r_4 und E 3384 r_5 gilt ebenfalls: von links nach rechts. Ein besonderes Exemplar ist E 3384 v_4. Hier sind einige Schleifen „ausgelagert“. Doch auch da lässt sich eine sinnvolle Umgangsfolge finden.

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines gleicht dem anderen. Das allein ist schon bemerkenswert. Sie folgen also keinem einheitlichen Muster.

Ein erster Blick auf die Umgangsfolgen zeigt, dass sie sehr stark an die Umgangsfolgen einachsiger alternierender klassischer Labyrinthe erinnern. Das heißt: Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl. Dann folgen im Wechsel gerade und ungerade Zahlen.

In einem der nächsten Artikel geht es dann an die Dechiffrierung der Umgangsfolgen.

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Oder anders gefragt: Kann ich ein klassisches Labyrinth in ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth umwandeln?

Da gilt es, zunächst die Unterschiede zu erkennen; und dann das Verbindende.

Als Beispiel wähle ich das wohl bekannteste klassische Labyrinth: das 7-gängige kretische Labyrinth.

Das 7-gängige Labyrinth

Das 7-gängige kretisch Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es hat ein Zentrum und einen Eingang. Es gibt nur einen Weg hinein. In der Mitte bin ich am Ziel und am Ende des Weges. Zurück geht es in umgekehrter Richtung.

Bei den Babylonischen Eingeweidelabyrinthen kann man zwei Hauptgruppen unterscheiden. Die einen sind mehr rund und ineinander verschlungen, bei den anderen sind die Schlingen reihenförmig angeordnet.

Als Beispiel wähle ich hier das Labyrinth E3384_r8 auf einer Tontafel von Tell Barri (Syrien) (mehr dazu siehe Verwandte Artikel unten).

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth mit 10 Umgängen und zwei Zugängen

Beim Eingeweidelabyrinth habe ich zwei Zugänge und kein eigentliches Zentrum. Der Weg führt jedoch durch alle Schlingen hindurch bis zum anderen Zugang. Es ist also ein Durchgangslabyrinth.

Die Umgänge sind hier von links nach rechts nummeriert, während sie bei den klassischen Labyrinthen von außen nach innen nummeriert sind.  „0“ steht jeweils für die Außenwelt, bei den klassischen die letzte Ziffer für das Zentrum.

Bei jedem Labyrinth steht eine Ziffernfolge, die Umgangs- oder Wegfolge. Das ist die Reihenfolge, in der die Umgänge der Reihe nach durchlaufen werden.

Das verbindende Element ist also die Umgangsfolge. Wir müssen daher aus den Umgangsfolgen der klassischen Labyrinthe „reihenförmige“ Durchgangslabyrinthe konstruieren.

Als erstes nehmen wir das 7-gängige Labyrinth, wie oben gezeigt. Wir verwenden die Umgangsfolge und verbinden die in Reihe angeordneten Umgänge dementsprechend. Die zweite „0“ zeigt an, dass wir ein Durchgangslabyrinth haben.
Das sieht dann wie folgt aus:

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das machen wir jetzt noch für einige klassische Labyrinthe.

Das 3-gängige Labyrinth

Das 3-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das Original ist aus dem Mäander entwickelt und wird auch Knossos Labyrinth genannt. Das rechte ist aus dem „abgemagerten“ Grundmuster entwickelt, stellt aber gleichzeitig das komplementäre zum Knossos Labyrinth dar. Darunter dann die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe.


Ein 5-gängiges Labyrinth:

Das 5-gängige Labyrinth

Das 5-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es gibt noch weitere 5-gängige Labyrinthe mit einer anderen Wegfolge. Aber im Prinzip ist der Vorgang der gleiche.

Das waren jetzt alles selbstduale Labyrinthe.


Nun nehmen wir ein 9-gängiges Labyrinth. Da gibt es mehr Varianten:

Das 9-gängige Labyrinth

Ein 9-gängiges Labyrinth in vier Ausführungen

Dazu die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe:

Die Eingeweidelabyrinthe

Die Eingeweidelabyrinthe


Hier das 11-gängige Labyrinth mit den entsprechenden Eingeweidelabyrinthen:

Das 11-gängige Labyrinth

Das 11-gängige Labyrinth

Das ist wieder selbstdual. Darum gibt es nur ein komplementäres dazu.


Hier das 15-gängige Labyrinth:

Das 15-gängige Labyrinth

Das 15-gängige Labyrinth

Auch dieses ist selbstdual.

Wenn wir nun diese hier neu abgeleiteten Eingeweidelabyrinthe mit den bisher bekannten historischen Babylonischen Eingeweidelabyrinthen vergleichen, können wir keine Übereinstimmung feststellen. Vielleicht taucht ja evtl. noch irgendwo und irgendwann eine Tontafel mit einem identischen Labyrinth auf?

Bisher kennen wir etwa 21 Babylonische Eingeweidelabyrinthe verschiedenster Art, die wir als reihenförmige Labyrinthe ansehen können.

Zum Vergleich empfehle ich den untenstehenden Artikel mit der Übersicht.

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Jeweils vier Labyrinthe stehen in einer komplementären oder dualen Beziehung zueinander. Das drückt sich auch in den Umgangsfolgen aus. Erwin hat es in seinem Kommentar zu meinem vorletzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) schon bemerkt: Die Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe unter einander geschrieben addieren sich an jeder Position zu Eins mehr als die Anzahl der Umgänge. In der Abbildung 1 zeige ich, was das heisst.

Abbildung 1. Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe

Zuerst schreiben wir zu jedem Muster die entsprechende Umgangsfolge. Die Muster in der gleichen Spalte sind komplementär. Nun nehmen wir die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 2 und 4 und schreiben darunter die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 7 und 5. Dann addieren wir die unter einander stehenden Zahlen. Die Summe ist an jeder Stelle 6. Also 1 höher als die Anzahl 5 der Umgänge.

Nun gibt es noch einen Zusammenhang zwischen den Umgangsfolgen. Dieser wird in Abbildung 2 veranschaulicht.

Abbildung 2. Umgangsfolgen dual-komplementärer Labyrinthe

Die Umgangsfolgen der dual-komplementären Labyrinthe sind spiegelsymmetrisch. Hier werden also die beiden über Kreuz zueinander in Beziehung stehenden Labyrinthe betrachtet. Labyrinth 5 ist das Komplementäre zum Dualen (4), resp das Duale zum Komplementären (7), also das dual-komplementäre von Labyrinth 2. Diese Beziehung ist mit einer schwarzen Linie mit quadratischen Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind schwarz geschrieben. Schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 2 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 5 und umgekehrt (schwarze Umgangsfolgen).
Labyrinth 7 ist das Komplementäre zum Dualen (2), resp das Duale zum Komplementären (5), also das dual-komplementäre von Labyrinth 4. Dies wird mit einer grauen Linie mit runden Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind grau geschrieben. Auch hier gilt: schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 4 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 7 und vice versa.

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Die Schreibweise mit den Koordinaten ist einheitlich, verständlich und funktioniert für ein- und mehrachsige alternierende und nicht-alternierende Labyrinthe. Aber man benötigt für ein Labyrinth mit 3 Umgängen mindestens 6 Segmente (für ein- und zweiachsige Labyrinthe: Anzahl Umgänge mal zwei, für die übrigen: Anzahl Umgänge mal Anzahl Achsen).

Dementsprechend werden die Segmentfolgen bei grösseren Labyrinthen rasch lang. Das Labyrinth vom Typ Chartres z.B. hat, wie die anderen Labyrinth Typen mit 4 Achsen und 11 Umgängen, 44 Segmente.

 

Die Segmentfolge des Labyrinths vom Typ Chartres gebe ich hier zur Illustration wieder.

 

 

 

Immerhin ist diese Segmentfolge eine gut verständliche Anweisung, wie das Labyrinth zu zeichnen ist. Sie liest sich etwa so: Gehe zuerst auf den fünften Umgang, schreite das erste Segment (5.1) ab, gehe dann auf den 6. Umgang und bleibe im ersten Segment (6.1). Gehe dann auf den 11. Umgang ins erste Segment (11.1) fahre auf dem gleichen Umgang ins 2. Segment fort (11.2), gehe auf den 10. Umgang im 2. Segment (10.2) usw. Das heisst auch, es wird aus den jeweils auf einander folgenden Koordinaten klar, ob zu wenden ist (wie von Koordinate 5.1 auf 6.1) oder ob die Achse zu queren ist (wie von 11.1 auf 11.2). Aber es ist schon eine lange unübersichtliche Reihe von Zahlen.

Nun gibt es noch verschiedene Möglichkeiten, für mehrachsige Labyrinthe weniger lange Notationen zu schreiben. Gedanklich muss man die Labyrinthe immer zuerst in Segmente unterteilen. Aber man kann in der Notation je nach Verlauf des Weges mehrere Segmente zusammenfassen. Ich gebe hierzu für das Labyrinth von Chartres als Beispiel eine Notation von Hébert° wieder.

 

 

Dies ist eine Notation ähnlich derjenigen im Beitrag „Umgänge und Segmente“ (siehe verwandte Beiträge), wo die Segmente nach Umgängen nummeriert waren. Dort wurde, wenn der Weg auf dem gleichen Umgang mehrere Segmente nacheinander durchläuft, die Nummer für den Umgang entsprechend oft wiederholt. Das ergibt dann für das Labyrinth von Chartres 44 Zahlen. In der Notation von Hébert wird die Anzahl der Zahlen auf 31 reduziert. Dafür muss nun aber vor jeder Zahl ein Vorzeichen stehen. Ein „-“ bedeutet, dass die Zahl nur einmal geschrieben wird, weil nur ein Segment durchlaufen wird. Ein „+“ hingegen bedeutet, dass die Zahl zweimal zu schreiben wäre, weil zwei Segmente hintereinander durchlaufen werden. Man muss sich also unterschiedliche Vorzeichen merken. Mit nur zwei verschiedenen Vorzeichen ist es dabei nicht getan. Zusätzliche Vorzeichen wären nötig, um anzugeben, dass drei oder vier oder mehr Segmente am Stück durchlaufen werden oder dass die Achse gequert und dabei auf einen anderen Umgang gewechselt wird. Diese Notation ist zwar kürzer, aber schwieriger anzuwenden. Ausserdem unterliegt sie der schon früher gezeigten Schwäche, dass man zwar sieht, auf welchem Umgang, nicht aber in welchem Segment man sich gerade befindet.

Es gibt noch andere Notationen. Auf die gehe hier nicht weiter ein. Es dürfte klar geworden sein, dass die Segmentfolgen bei mehrachsigen Labyrinthen rasch lange und unübersichtlich werden. Bei den meisten dieser Labyrinth Typen ist die Segmentfolge deshalb für eine Namensgebung schlecht geeignet. Man stelle sich nur einmal vor, das Labyrinth, das ich im Januar gezeigt habe (s. verwandte Beiträge), mit der Segmentfolge zu benennen. Dieses Labyrinth hat 12 Achsen und 23 Umgänge und somit 276 Segmente.

 

 

Ich verzichte darauf, diese Segmentfolge aufzuschreiben. Sie würde etwa 14 – 15 Zeilen füllen.

Fazit

Zum Schluss komme ich nochmals auf die Ausgangsfrage zurück, ob die Umgangsfolge zur Namensgebung für die verschiedenen Labyrinth Typen verwendet werden kann. Dagegen hatte ich zwei Bedenken:

  • Erstens ist die Umgangsfolge bei einachsigen Labyrinthen nicht eindeutig. Dieses Problem kann man leicht lösen durch Anfügen eines Vorzeichens „-“ nur bei den Nummern der Umgänge, wo der Weg die Achse quert. Somit kann für nicht zu grosse einachsige Labyrinth Typen die Umgangsfolge gut zur Namensgebung verwendet werden.
  • Zweitens nimmt die Folge bei mehrachsigen Labyrinthen rasch an Länge zu. Es hat sich herausgestellt, dass hier die Segmentfolge zu beachten ist. Diese wird schnell entweder zu lang oder zu kompliziert oder beides. Deshalb erachte ich sie nicht für geeignet zur Benennung von mehrachsigen Labyrinthen.

° Hébert J. A Mathematical Notation for Medieval Labyrinths. Caerdroia 2004; 34: 37-43.

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Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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Am Schluss des letzten Beitrags (siehe verwandte Beiträge) sind wir bei folgendem Problem stehen geblieben. Nummeriert man die Segmente fortlaufend durch, erhält man eine eindeutige Segmentfolge. Aber man weiss nicht unmittelbar, auf welchem Umgang man sich befindet. Nummeriert man die Segmente nach den Umgängen, sieht man aus der Segmentfolge, auf welchem Umgang man sich befindet. Dafür geht aber die Eindeutigkeit verloren.

Nun kann man auch die Nummerierung kombinieren. Also zuerst eine Zahl für den Umgang, dann ein Trennzeichen und dahinter eine Zahl für das Segment schreiben. Am Beispiel des Labyrinths von Valturius sieht das so aus (Abb. 1).

nummerierung-us

Abbildung 1. Nummerierung nach Umgang und Segment

Das Labyrinth hat vier Umgänge und drei Achsen, also auch drei Segmente pro Umgang. Vor dem Punkt steht die Zahl für den Umgang, nach dem Punkt die für das Segment. Diese Nummerierung liefert eine Art Koordinaten für die einzelnen Segmente.

Schreiben wir nun die Segmentfolgen für das alternierende und das nicht-alternierende Labyrinth aus dem letzten Beitrag mit dieser Nummerierung.

sf_valturius

Abbildung 2. Segmentfolgen der alternierenden und nicht-alternierenden Variante

Beide Varianten haben eine eigene, eindeutige Segmentfolge. In der Segmentfolge ist für jedes Element ersichtlich, auf welchem Umgang und auf welchem Segment man sich gerade befindet. Eine solche Segmentfolge lässt sich gut memorieren und einfach erzeugen. Der Nachteil dieser Nummerierung ist, dass für jedes Element zwei Zahlen mit einem Trennzeichen benötigt werden. Und natürlich müssen die Elemente klar getrennt dargestellt werden. Die Zahlenfolge benötigt dadurch mehr Zeichen und wird länger.

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