Überlegungen zum Wunderkreis, 2

Wie wir gesehen haben (in Teil 1), lassen sich also die unterschiedlichsten Varianten des Wunderkreises erzeugen. Je nachdem welcher Teil mehr oder weniger betont wird, sehen sie dann aus.
Bei der Anlage eines neuen Labyrinthes hängt das natürlich auch von der Größe des zur Verfügung stehenden Platzes ab und dem Zweck, dem das Labyrinth dienen soll.

Typ 5 a-c
Typ 5 a-c

Die Umgangsfolge, wenn wir zuerst nach links gehen: 0-3-2-1-4-a1-b2-c1-c2-b1-a2-5-0. Nach rechts ergibt sich: 0-5-a2-b1-c2-c1-b2-a1-4-1-2-3-0.
Bei den Ziffern haben wir die Reihenfolge mit ungeraden und geraden Zahlen, wie wir es von einem klassischen Labyrinth kennen.
Bei den Buchstaben, die ja die Elemente der Doppelspirale bezeichnen, lässt sich auch eine gewisse Systematik erkennen: Die Buchstaben kommen abwechselnd nacheinander. Folgen sich zwei gleiche, haben wir das Zentrum der Spirale und den grundsätzlichen Richtungswechsel erreicht. Die Zusätze „1“ bezeichnen den unteren Teil und der Zusatz „2“ den oberen Teil eines Umgangs.
Schauen wir die Umgangsfolgen genauer an, erkennen wir, dass die zweite (nach rechts) gegenläufig zur ersten ist.
Wir können also sagen, dass hier zwei verschiedene, jedoch verwandte Labyrinthe einer Gruppe in einem vereint sind. Je nachdem welchen Weg wir zuerst wählen.

Wieviel Umgänge hat eigentlich dieser Wunderkreis?
Das ist etwas schwierig zu zählen. Dazu teilen wir die Figur in drei Teile, das linke untere Viertel, die obere Hälfte und das rechte untere Viertel. Beginnen wir links unten: Da gibt es die 3 „labyrinthischen“ Umgänge und 3 der Doppelspirale. Oben habe wir 4 „labyrinthische“ Umgänge und die 3 der Doppelspirale. Rechts unten: 5 „labyrinthische“ Umgänge und die 3 der Doppelspirale. Wir haben also, je nach Blickwinkel, 6, 7 oder 8 Umgänge.
Als Typbezeichnung dient die Höchstzahl der „labyrinthischen Umgänge plus der Buchstabenfolge für die Umgänge der Doppelspirale. Beides addiert, ergibt die Anzahl der gesamten Umgänge. Im vorliegenden Beispiel „5 a-c“ also 8 insgesamt.
Im Dateinamen für die Zeichnungen habe ich versucht, das ebenfalls auszudrücken, zusätzlich versehen mit der Angabe des Eintritts und des Austritts des Labyrinths.

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Überlegungen zum Wunderkreis, 1

Der Wunderkreis war schon oft Gegenstand in diesem Blog. Heute möchte ich einige grundsätzliche Anmerkungen dazu bringen.

Bekanntlich besteht der Wunderkreis aus labyrinthischen Windungen und einer Doppelspirale im Zentrum. Somit gibt es keine zu erreichende Mitte wie sonst im Labyrinth und zudem noch einen extra Ausgang, der aber auch zusammen mit dem Eingang in einer Verzweigung geformt sein kann.

Das macht es schwieriger das alles in einem Muster darzustellen. Auch die sonst übliche Umgangsfolge mit den abwechselnd ungeraden und geraden Ziffern funktioniert da nicht mehr richtig

Daher schlage ich vor, die spiralförmigen Umgänge mit Buchstaben zu bezeichnen. Dadurch ergibt sich auch die Möglichkeit den jeweils unterschiedlichen Typ besser zu beschreiben.

Hier der nach meiner Ansicht kleinste Wunderkreis:

Wunderkreis Typ 3 a
Wunderkreis Typ 3 a

Ein dreigängiges (normales) Labyrinth mit einer Doppelspirale. Die Umgangsfolge, nach links beginnend. wäre dann: 0-1-2-a1-a2-3-0. Wandere ich zuerst nach rechts, ergibt sich: 0-3-a2-a1-2-1-0.

Generelle Anmerkung zu „0“. Damit ist immer der Bereich außerhalb des Labyrinths gemeint. Auch wenn „0“ nicht auf den Zeichnungen erscheint.

Nun kann ich entweder die äußeren Umgänge vergrößern oder nur die Doppelspirale oder beides.

Typ 3 a-b
Typ 3 a-b

Das ist ein Umgang mehr für die Doppelspirale. Die Wegfolge nach links: 0-1-2-a1-b2-b1-a2-3-0. Nach rechts: 0-3-a2-b1-b2-a1-2-1-0.

Und jetzt:

Typ 5 a
Typ 5 a

Die Doppelspirale wie im ersten Beispiel, die äußeren Umgänge um zwei erhöht. Das erzeugt eine Wegfolge mit (nach links): 0-3-2-1-4-a1-a2-5-0. Oder nach rechts: 0-5-a2-a1-4-1-2-3-0.

Nun weiter:

Typ 5 a-b
Typ 5 a-b

Zusätzlich zum vorigen Beispiel ist auch die Doppelspirale vergrößert. Das ergibt: 0-3-2-1-4-a1-b2-b1-a2-5-0. Und: 0-5-a2-b1-b2-a1-4-1-2-3-0.

In den Umgangsfolgen erkenne ich die Gesetzmäßigkeiten wie sie auch in den schon bekannten klassischen entsprechenden Labyrinthen vorkommen. Und wenn ich die Doppelspirale weglasse, lande ich auch bei diesen Labyrinthen.

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Wie sortiere ich eine Labyrinth-Gruppe?

Wo gehört ein Labyrinth hin? Und welche Verwandten hat es? Wie sortiere ich eigentlich die verwandten Labyrinthe einer Gruppe? Was gibt es da für Beziehungen? Oder: Wie finde ich die Verwandten in einer Gruppe?

Wenn ich da etwas mehr wissen will, nehme ich erst einmal ein beliebiges Labyrinth und erzeuge die weiteren Verwandten einer Gruppe durch Rückwärtszählen und Ergänzen der Ziffern der Umgangsfolgen. Dabei spielt es keine Rolle, ob ich zufällig das Basislabyrinth „erwische“ oder ein x-beliebiges Mitglied der Gruppe.

Als Beispiel nehme ich das in meinem letzten Beitrag als zweiten Vorschlag gewählte 11-gängige Labyrinth. Hier ist es in einer zentrierten Version im Knidos Stil zu sehen:

11-gängiges klassisches 7_9 Labyrinth
11-gängiges klassisches 7_9 Labyrinth

Die Umgangsfolge lautet: 0-7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9-12. Der Eintritt ins Labyrinth liegt auf dem 7. Umgang, der Eintritt in das Zentrum erfolgt vom 9. Umgang aus. Daher rührt auch die Bezeichnung 7_9 Labyrinth.

Durch Rückwärtszählen (und vertauschen von 0 und 12) erzeuge ich das dazu gegenläufige Labyrinth: 0-9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7-12.

11-gängiges klassisches 9_7 Labyrinth
11-gängiges klassisches 9_7 Labyrinth

Der Eintritt ins Labyrinth liegt auf dem 9. Umgang, der ins Zentrum auf dem 7. Umgang.

Jetzt ergänze ich diese Umgangsfolge 9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7 auf die Ziffer 12, also das Zentrum.und erhalte als Wegfolge: 0-3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5-12. Das ergibt dann das dazugehörige komplementäre Exemplar.

11-gängiges klassisches 3_5 Labyrinth
11-gängiges klassisches 3_5 Labyrinth

Jetzt fehlt noch ein Labyrinth, denn bei den nicht selbst-dualen Typen gibt es vier verschiedene Versionen.
Dazu zähle ich am einfachsten wieder rückwärts (ich bilde also die dazugehörige gegenläufige Version) und erhalte von der Umgangsfolge 0-3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5-12 die Umgangsfolge: 0-5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3-12.
Wahlweise hätte ich aber durch Ergänzen der Ziffern der Wegfolge des obigen ersten Beispiels auf 12 das dazu komplementäre Exemplar produzieren können..

11-gängiges klassisches 5_3 Labyrinth
11-gängiges klassisches 5_3 Labyrinth

Der Eintritt in das Labyrinth geschieht auf dem 5. Umgang, der in das Zentrum vom 3. aus.


Jetzt habe ich lauter gegenläufige und komplementäre Exemplare produziert. Aber welches ist das Basislabyrinth und welches das duale? Und die „echten“ gegenläufigen und komplementären?

Das Sortieren erfolgt anhand der Umgangsfolgen. Das Basislabyrinth ist dasjenige, das mit der niedrigsten Ziffer beginnt: 0-3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5-12, kurz gesagt: das 3_5 Labyrinth, also unser drittes Beispiel oben.

Das nächste ist das gegenläufige, das 5_3 Labyrinth, das vierte Beispiel oben.

Danach folgt das duale, das 7_9 Labyrinth, das ist das erste Beispiel oben.

Das vierte ist das komplementäre Labyrinth, das 9_7 Labyrinth, das zweite Beispiel oben.

Die Reihenfolge ist also: B, G, D, K. Das ist unabhängig davon, wie das Labyrinth gebildet wurde, ob durch Rückwärtszählen oder durch Ergänzen der Umgangsfolgen.

Zum Abschluss dazu ein kurzer Ausschnitt aus der Arbeit von Yadina Clark, die gerade dabei ist, Grundlegendes über die Labyrinth Typologie zu erarbeiten:

Gruppen

Verwandte Labyrinthe DURCH BASIS-DUAL-GEGENLÄUFIG-KOMPLEMENTÄR BEZIEHUNGEN

Jedes beliebige Labyrinth in einer Gruppe kann als Ausgangspunkt für die Betrachtung dieser Beziehungen gewählt werden, aber die Standardanordnung der Gruppe beginnt mit der numerisch niedrigsten Ziffer der Umgangsfolge in der Basisposition.

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Verwandte Labyrinthe berechnen

Basierend auf der dritten Anordnung der Labyrinthe aus dem letzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) können das gegenläufige und komplementäre direkt und das duale Labyrinth indirekt ganz einfach berechnet werden. Dazu wird die Umgangsfolge des Basislabyrinths verwendet.

Das will ich hier am Beispiel des in Abb. 1 abgebildeten Labyrinths durchführen.

Abbildung 1. Labyrinth aus dem 18. oder 19. Jh. geschnitzt auf einem Holzpfeiler in der alten Moschee in Tal, Nordpakistan.
Abbildung 1. Labyrinth aus dem 18. oder 19. Jh. geschnitzt auf einem Holzpfeiler in der alten Moschee in Tal, Nordpakistan. Quelle: Saward, S. 60°

Das Labyrinth liegt mit dem Eingang oben und dreht gegen den Uhrzeigersinn. Ich zeichne es zuerst um, so dass der Eingang unten liegt und es im Uhrzeigersinn dreht. So liegt es in der Form vor, die ich immer bei Vergleichen von Labyrinthen verwende. Dieses einachsige Labyrinth mit 9 Umgängen wird nun unser Basislabyrinth. Seine Umgangsfolge ist 5 4 3 2 1 6 9 8 7.

Abbildung 2. Labyrinth von Tal, Umzeichnung: Basislabyrinth
Abbildung 2. Labyrinth von Tal, Umzeichnung: Basislabyrinth

Als erstes schreiben wir die Umgangsfolge rückwärts

Basis: 5 4 3 2 1 6 9 8 7 <—> 7 8 9 6 1 2 3 4 5: Gegenläufiges.

Das bringt uns zum gegenläufigen Labyrinth (Abb. 3).

Abbildung 3. Das Gegenläufige zum Labyrinth von Tal
Abbildung 3. Das Gegenläufige zum Labyrinth von Tal

Nun ergänzen wir, zweitens, die Umgangsfolge des Basislabyrinths zur Anzahl der Umgänge plus eins, also zu 10. 

So erhalten wir die Umgangsfolge 5 6 7 8 9 4 1 2 3 des komplementären Labyrinths, das in Abb. 4 gezeigt wird. 

Abbildung 4. Das Komplementäre zum Labyrinth von Tal
Abbildung 4. Das Komplementäre zum Labyrinth von Tal

Und schreiben wir nun die Umgangsfolge des Komplementären rückwärts, erhalten wir mittelbar diejenige des dualen Labyrinths: 

Komplement: 5 6 7 8 9 4 1 2 3 <—> 3 2 1 4 9 8 7 6 5: Duales. 

Das duale Labyrinth wird in Abb. 5 dargestellt. 

Abbildung 5. Das Duale zum Labyrinth von Tal
Abbildung 5. Das Duale zum Labyrinth von Tal

Dieses Ergebnis können wir nun noch prüfen, indem wir die Umgangsfolgen des Gegenläufigen und des Dualen addieren. Sie müssen sich an jeder Stelle zu 10 ergänzen, denn das Duale ist komplementär zum Gegenläufigen.

Addition

Die Prüfung bestätigt das Resultat. Das Duale kann auch indirekt aus dem Gegenläufigen berechnet werden, indem man die Umgangsfolge des Gegenläufigen zu 10 ergänzt. Einfacher ist es aber, die Umgangsfolge des Komplementären rückwärts zu schreiben. 

Wir müssen somit die Umgangsfolge des Basislabyrinths kennen. Dann schreiben wir sie rückwärts und erhalten das Gegenläufige. Wir ergänzen sie zu eins mehr als die Anzahl der Umgänge und erhalten das Komplementäre. Und zum Schluss schreiben wir die Umgangsfolge des Komplementären rückwärts und erhalten das Duale.

° Saward Jeff. Labyrinths & Mazes. The Definitive Guide to Ancient & Modern Traditions. Gaia Books: 2003.

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