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Posts Tagged ‘Umgangsfolge’

Die Schreibweise mit den Koordinaten ist einheitlich, verständlich und funktioniert für ein- und mehrachsige alternierende und nicht-alternierende Labyrinthe. Aber man benötigt für ein Labyrinth mit 3 Umgängen mindestens 6 Segmente (für ein- und zweiachsige Labyrinthe: Anzahl Umgänge mal zwei, für die übrigen: Anzahl Umgänge mal Anzahl Achsen).

Dementsprechend werden die Segmentfolgen bei grösseren Labyrinthen rasch lang. Das Labyrinth vom Typ Chartres z.B. hat, wie die anderen Labyrinth Typen mit 4 Achsen und 11 Umgängen, 44 Segmente.

 

Die Segmentfolge des Labyrinths vom Typ Chartres gebe ich hier zur Illustration wieder.

 

 

 

Immerhin ist diese Segmentfolge eine gut verständliche Anweisung, wie das Labyrinth zu zeichnen ist. Sie liest sich etwa so: Gehe zuerst auf den fünften Umgang, schreite das erste Segment (5.1) ab, gehe dann auf den 6. Umgang und bleibe im ersten Segment (6.1). Gehe dann auf den 11. Umgang ins erste Segment (11.1) fahre auf dem gleichen Umgang ins 2. Segment fort (11.2), gehe auf den 10. Umgang im 2. Segment (10.2) usw. Das heisst auch, es wird aus den jeweils auf einander folgenden Koordinaten klar, ob zu wenden ist (wie von Koordinate 5.1 auf 6.1) oder ob die Achse zu queren ist (wie von 11.1 auf 11.2). Aber es ist schon eine lange unübersichtliche Reihe von Zahlen.

Nun gibt es noch verschiedene Möglichkeiten, für mehrachsige Labyrinthe weniger lange Notationen zu schreiben. Gedanklich muss man die Labyrinthe immer zuerst in Segmente unterteilen. Aber man kann in der Notation je nach Verlauf des Weges mehrere Segmente zusammenfassen. Ich gebe hierzu für das Labyrinth von Chartres als Beispiel eine Notation von Hébert° wieder.

 

 

Dies ist eine Notation ähnlich derjenigen im Beitrag „Umgänge und Segmente“ (siehe verwandte Beiträge), wo die Segmente nach Umgängen nummeriert waren. Dort wurde, wenn der Weg auf dem gleichen Umgang mehrere Segmente nacheinander durchläuft, die Nummer für den Umgang entsprechend oft wiederholt. Das ergibt dann für das Labyrinth von Chartres 44 Zahlen. In der Notation von Hébert wird die Anzahl der Zahlen auf 31 reduziert. Dafür muss nun aber vor jeder Zahl ein Vorzeichen stehen. Ein „-“ bedeutet, dass die Zahl nur einmal geschrieben wird, weil nur ein Segment durchlaufen wird. Ein „+“ hingegen bedeutet, dass die Zahl zweimal zu schreiben wäre, weil zwei Segmente hintereinander durchlaufen werden. Man muss sich also unterschiedliche Vorzeichen merken. Mit nur zwei verschiedenen Vorzeichen ist es dabei nicht getan. Zusätzliche Vorzeichen wären nötig, um anzugeben, dass drei oder vier oder mehr Segmente am Stück durchlaufen werden oder dass die Achse gequert und dabei auf einen anderen Umgang gewechselt wird. Diese Notation ist zwar kürzer, aber schwieriger anzuwenden. Ausserdem unterliegt sie der schon früher gezeigten Schwäche, dass man zwar sieht, auf welchem Umgang, nicht aber in welchem Segment man sich gerade befindet.

Es gibt noch andere Notationen. Auf die gehe hier nicht weiter ein. Es dürfte klar geworden sein, dass die Segmentfolgen bei mehrachsigen Labyrinthen rasch lange und unübersichtlich werden. Bei den meisten dieser Labyrinth Typen ist die Segmentfolge deshalb für eine Namensgebung schlecht geeignet. Man stelle sich nur einmal vor, das Labyrinth, das ich im Januar gezeigt habe (s. verwandte Beiträge), mit der Segmentfolge zu benennen. Dieses Labyrinth hat 12 Achsen und 23 Umgänge und somit 276 Segmente.

 

 

Ich verzichte darauf, diese Segmentfolge aufzuschreiben. Sie würde etwa 14 – 15 Zeilen füllen.

Fazit

Zum Schluss komme ich nochmals auf die Ausgangsfrage zurück, ob die Umgangsfolge zur Namensgebung für die verschiedenen Labyrinth Typen verwendet werden kann. Dagegen hatte ich zwei Bedenken:

  • Erstens ist die Umgangsfolge bei einachsigen Labyrinthen nicht eindeutig. Dieses Problem kann man leicht lösen durch Anfügen eines Vorzeichens „-“ nur bei den Nummern der Umgänge, wo der Weg die Achse quert. Somit kann für nicht zu grosse einachsige Labyrinth Typen die Umgangsfolge gut zur Namensgebung verwendet werden.
  • Zweitens nimmt die Folge bei mehrachsigen Labyrinthen rasch an Länge zu. Es hat sich herausgestellt, dass hier die Segmentfolge zu beachten ist. Diese wird schnell entweder zu lang oder zu kompliziert oder beides. Deshalb erachte ich sie nicht für geeignet zur Benennung von mehrachsigen Labyrinthen.

° Hébert J. A Mathematical Notation for Medieval Labyrinths. Caerdroia 2004; 34: 37-43.

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Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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Am Schluss des letzten Beitrags (siehe verwandte Beiträge) sind wir bei folgendem Problem stehen geblieben. Nummeriert man die Segmente fortlaufend durch, erhält man eine eindeutige Segmentfolge. Aber man weiss nicht unmittelbar, auf welchem Umgang man sich befindet. Nummeriert man die Segmente nach den Umgängen, sieht man aus der Segmentfolge, auf welchem Umgang man sich befindet. Dafür geht aber die Eindeutigkeit verloren.

Nun kann man auch die Nummerierung kombinieren. Also zuerst eine Zahl für den Umgang, dann ein Trennzeichen und dahinter eine Zahl für das Segment schreiben. Am Beispiel des Labyrinths von Valturius sieht das so aus (Abb. 1).

nummerierung-us

Abbildung 1. Nummerierung nach Umgang und Segment

Das Labyrinth hat vier Umgänge und drei Achsen, also auch drei Segmente pro Umgang. Vor dem Punkt steht die Zahl für den Umgang, nach dem Punkt die für das Segment. Diese Nummerierung liefert eine Art Koordinaten für die einzelnen Segmente.

Schreiben wir nun die Segmentfolgen für das alternierende und das nicht-alternierende Labyrinth aus dem letzten Beitrag mit dieser Nummerierung.

sf_valturius

Abbildung 2. Segmentfolgen der alternierenden und nicht-alternierenden Variante

Beide Varianten haben eine eigene, eindeutige Segmentfolge. In der Segmentfolge ist für jedes Element ersichtlich, auf welchem Umgang und auf welchem Segment man sich gerade befindet. Eine solche Segmentfolge lässt sich gut memorieren und einfach erzeugen. Der Nachteil dieser Nummerierung ist, dass für jedes Element zwei Zahlen mit einem Trennzeichen benötigt werden. Und natürlich müssen die Elemente klar getrennt dargestellt werden. Die Zahlenfolge benötigt dadurch mehr Zeichen und wird länger.

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Im letzten Beitrag habe ich die Segmentfolge bei mehrachsigen Labyrinthen gezeigt. Diese ist eindeutig. Aber sie hat den Nachteil, dass man nicht direkt weiss, auf welchem Umgang man sich befindet.

Nun kann man auch die Aufteilung in Segmente lassen, aber nur die Umgänge nummerieren. Dann sieht man in der Segmentfolge, auf welchem Umgang man sich befindet. In dieser Folge kann dann dieselbe Zahl mehrfach vorkommen. Vielfach funktioniert das, aber es kann zu Problemen führen. Beim Labyrinth, das im letzten Beitrag gezeigt wurde, existiert das Problem nicht. Darum zeige ich es hier mit einem anderen Beispiel. Ich wähle dafür das Labyrinth von Valturius, weil es ein kleines, übersichtliches Beispiel ist (Abb. 1).

valturius

Abbildung 1. Labyrinth von Valturius. Quelle: Kern 1983, Abb. 311, S. 251.

Dieses Labyrinth aus einem Militärhandbuch des Robertus Valturius aus dem 15. Jh. hat drei Achsen und vier Umgänge. (Man beachte, dass die Achsen nicht proportional verteilt sind. Aber das hat hier keinen Einfluss. Ich verwende daher aus Gründen der Einfachheit eine proportionale Aufteilung.)

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Abbildung 2. Nummerierung der Segmente: linkes Bild nach Segment, rechtes Bild nach Umgang

Abbildung 2 zeigt im linken Bild die aus dem letzten Beitrag bekannte Aufteilung und Nummerierung nach Segmenten. Im rechten Bild sieht man die gleiche Aufteilung in Segmente aber nur nach Umgängen nummeriert. Weil das Labyrinth vier Umgänge hat, gibt es nun 12 Segmente.

Das Labyrinth von Valturius ist alternierend. Es gibt aber auch ein nicht alternierendes Labyrinth mit derselben Umgangsfolge. Und hiermit kommen wir zu unserem Problem.

sf_valturius

Abbildung 3. Segmentfolgen nach Segmenten nummeriert

Abbildung 3 zeigt das alternierende Labyrinth von Valturius (Bild links) und die nicht alterniernde Variation (Bild rechts). Diese haben zwei verschiedene Wegverläufe. Dies kommt in den beiden verschiedenen Segmentfolgen richtig zum Ausdruck. Beide Segmentfolgen sind gleich für die ersten 9 Segmente: 1 4 7 8 5 2 3 6 9 … Die Folgen der letzten drei Segmente aber sind verschieden. Beim Labyrinth von Valturius geht es weiter mit den Segmenten ………12 11 10. Hingegen ist die Segmentfolge bei der achsquerenden Variante ……… 10 11 12.

Wenn man nun aber die Segmente nach Umgängen nummeriert, geht die Eindeutigkeit verloren.

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Abbildung 4. Segmentfolgen nach Umgängen nummeriert

Abbildung 4 zeigt die gleichen Labyrinthe wie Abb. 3, jedoch mit Segmenten nummeriert nach Umgang. Beide Varianten haben dieselbe Segmentfolge 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 4 4. Nun weiss man zwar immer, auf welchem Umgang man sich in der Segmentfolge befindet. Aber für dieselbe Segmentfolge kann es mehrere (hier zwei) Wegführungen geben. Dieses Problem hatten wir schon bei der Umgangsfolge von einachsigen Labyrinthen.

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An diesem besonderen und geschichtsträchtigen Ort gibt es nunmehr auch ein Labyrinth.

In der Kirche Mariä Schutz entstand bei der dreijährigen Renovierung und dem Umbau der gesamten Vogelsburg ein neues Labyrinth.
Die Anregung dazu kam von Pfarrer Bernhard Stühler, dem Krankenhausseelsorger des Juliusspitals. Architekt Stephan Tittl vom Büro SequenzSieben Würzburg hatte die Kirchengestaltung übertragen bekommen und lieferte den Entwurf. Bei der Einweihung und Übergabe des Projektes stellte sich heraus, dass Sr. Hedwig Mayer, Priorin der Augustinusschwestern auf der Vogelsburg, sich schon immer ein Labyrinth gewünscht hatte.

Das neue Labyrinth

Das neue Labyrinth

Es handelt sich um die Neuschöpfung eines Sektorenlabyrinths mit fünf Umgängen. In der Mitte befindet sich ein schalenförmiger Teilkreis zur Umlenkung der Gehrichtung. Die teilenden Balken bilden ein Kreuz und sind symmetrisch angeordnet.
Der Durchmesser beträgt 6 m, die Mitte 2 m. Die Wege sind 34 cm breit und werden durch ein 6 cm breites Messingband im Terrazzoboden begrenzt. Der Weg in die Mitte beläuft sich auf etwa 64 m.

Die Kirche wird über eine Außentreppe von Süden her betreten. Gleich linker Hand vom Eingang befindet sich das Labyrinth, das nach Westen und Osten ausgerichtet ist. In der Mitte angekommen, blickt man nach Osten in Richtung des Altars und verlässt es auch wieder in diese Richtung.

Der Oberpflegeamtsdirektor Walter Herbert der Juliusspitalstiftung sagte anläßlich der Einweihung des Altars im Mai 2016 zur Gestaltung des Kirchenraumes :

Mit der gewählten Kirchengestaltung und mit dem Labyrinth im Boden möchten wir jedem Besucher der Vogelsburg die Möglichkeit anbieten, im Kirchenraum den Weg zur eigenen Mitte, die Besinnung auf das Wesentliche und die Möglichkeit zur Hinwendung zu Gott zu finden.

Die Segmente der 5 Umgänge

Die Segmente der 5 Umgänge

Nach dem Vorschlag von Andreas im letzten Artikel hier die Nummerierung der 20 Segmente für die 5 Umgänge im vierarmigen Labyrinth. Daraus lässt sich die Segmentfolge (Abschnittsfolge) für den Wegverlauf ableiten. Manchmal bilden mehrere Segmente einen zusammenhängenden Wegabschnitt, der über mehrere Quadranten führt. Diese Abschnitte lassen sich mit einer Klammer kennzeichnen. So sieht dann die Segmentfolge aus: 9-5-(1-2-3-4)-8-12-(16-15)-11-(7-6)-10-(14-13)-(17-18-19-20)-21. Ich schreibe die Folge etwas anders als Andreas und füge am Ende noch die Mitte hinzu. Als Besonderheit haben wir bei diesem Labyrinth zwei Abschnitte, die die volle Länge eines Umgangs umfassen.

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Bei den einachsigen Labyrinthen steht für jeden Umgang eine Zahl. Somit lassen sich auch recht grosse Labyrinthe gut mit der Umgangsfolge beschreiben. Bei mehrachsigen Labyrinthen kann der Weg mehrmals auf dem gleichen Umgang verlaufen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies in der Umgangsfolge zu berücksichtigen. Man muss die Umgänge entsprechend der Anzahl Achsen in Segmente unterteilen. Hier zeige ich eine Methode, bei der die einzelnen Segmente durchnummeriert werden.

Ich zeige das am Beispiel eines Labyrinths, das auf diesem Blog schon öfters vorgestellt wurde. Es hat 3 Achsen und 3 Umgänge.

3_gaengig_3_achsig_rund

Zunächst wird nun jeder Umgang in drei Segmente unterteilt. Ein Segment entspricht einem Wegstück zwischen zwei Achsen. Dann muss man die Segmente durchnummerieren. Man kann das in verschiedener Weise tun. Ich nummeriere von aussen nach innen und einen Umgang nach dem anderen.

segmente

Nun können wir den Wegverlauf durch die einzelnen Segmente verfolgen. Daraus ergibt sich die die Folge der Segmente, die vom Weg abgeschritten werden. Bei mehrachsigen Labyrinthen wird die Umgangsfolge zu einer Folge der Segmente.

Das Labyrinth hat also die Segmentfolge 7 4 1 2 5 8 9 6 3. Die Länge dieser Zahlenfolge ergibt sich aus der Anzahl Umgänge mal Achsen. Man benötigt somit 9 Zahlen für ein Labyrinth mit 3 Umgängen und 3 Achsen. Bei einem einachsigen braucht es nur 3 Zahlen.
Jedoch benötigt man keine weitere Information ausser den Zahlen. Aus der Abfolge der Segmente geht selbst hervor, wann der Weg eine Wendestelle beschreibt oder eine Achse kreuzt. Bei einachsigen Labyrinthen muss dies zusätzlich noch mit Trennzeichen spezifiziert werden.

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In einem früheren Beitrag „Typ oder Stil / 6“ (siehe verwandte Beiträge, unten) habe ich mich schon zur Umgangsfolge geäussert. Und zwei Gründe angeführt, warum ich sie nicht zur Benennung von Labyrinth Typen benutze.

  • Unter den einachsigen Labyrinthen entspricht nur bei den alternierenden Labyrinthen eine Umgangsfolge genau einem Wegverlauf. Zieht man auch nicht alternierende einachsige Labyrinthe in Betracht, (Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse kreuzt), kann es für die gleiche Umgangsfolge mehrere Wegführungen geben.
  • Bei mehrachsigen Labyrinthen wird die Umgangsfolge schnell lang und unübersichtlich.

Hier will ich auf den ersten Punkt näher eingehen. Und zwar deshalb, weil es eine ganz einfache Lösung gibt. Bei den einachsigen Labyrinthen steht in der Umgangsfolge für jeden Umgang eine Zahl. In der Praxis weisen die grossen dieser Labyrinthe kaum mehr als 15 – 17 Umgänge auf. Die meisten sind deutlich kleiner. Somit könnte man diese Labyrinthe ganz praktisch mit ihrer Umgangsfolge benennen. Aber es besteht das Problem der Mehrdeutigkeit. Erwin hat es in seinem Beitrag „Das klassische 7-gängige Labyrinth mit Achsquerung“ (siehe verwandte Beiträge, unten) aufgegriffen. Ich illustriere es hier und verwende dazu Bilder aus seinem Beitrag.

uf_3214765

Abbildung 1. Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5

In Abbildung 1 sieht man drei Labyrinthe mit der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5. Das erste Bild zeigt den alternierenden Kretischen Typ, das zweite und dritte Bild je ein nicht alternierendes Labyrinth mit der gleichen Umgangsfolge. Beim zweiten Bild quert der Weg die Achse, wenn er vom 1. auf den 4. Umgang wechselt. Beim dritten Bild quert er die Achse vom 4. auf den 7. Umgang. (Es gibt auch noch ein Labyrinth, bei dem der Weg sowohl vom 1. auf den 4. als auch vom 4. auf den 7. Umgang die Achse kreuzt). Wir haben also den einen alternierenden und mehrere nicht-alternierende Labyrinth Typen mit der gleichen Umgangsfolge vorliegen.

Nun gibt es eine einfache Lösung, dies in der Umgangsfolge zu berücksichtigen. Dazu muss man bedenken, dass die einzelnen Zahlen (nicht Ziffern) der Umgangsfolge getrennt sind. Diese Separierung kann man auf verschiedene Weise, mit Leerstelle, Komma, Semikolon u.a.m. machen. Diese Trennzeichen können nun auch benutzt werden, um anzugeben, wie es im nächsten Umgang weiter geht. Wir können also z.B. definieren: wenn der Weg vom einen auf den anderen Umgang die Richtung wechselt, trennen wir mit senkrechtem Strich. Geht der Weg in der gleichen Richtung weiter (und quert somit die Achse), trennen wir mit Bindestrich. Auf diese Weise können wir die Umgangsfolge soweit präzisieren, dass sie auch für nicht alternierende Labyrinthe eindeutig wird. Ich zeige das in Abb. 2 anhand der Bilder aus Abb. 1.

uf_3214765_mit_tz

Abbildung 2. Umgangsfolge mit Trennzeichen


Hier sehen wir zu jedem Labyrinth die entsprechende Umgangsfolge mit Trennzeichen. Die Folge der Zahlen ist überall 3 2 1 4 7 6 5. Aber, während das alternierende Kretische immer senkrechte Striche als Trennzeichen hat (da der Weg nach jedem Umgang die Richtung wechselt), hat die Umgangsfolge von Bild 2 zwischen 1 und 4 einen Bindestrich. Und die Umgangsfolge von Bild 3 hat einen Bindestrich zwischen 4 und 7.

Ja, man kann die Schreibweise noch vereinfachen, indem man die Zahlen mit Leerschlag trennt und nur dort, wo der Weg die Achse kreuzt, einen Bindestrich einfügt. Die Umgangsfolgen würden dann so aussehen:

für das 1. Bild: 3 2 1 4 7 6 5
für das 2. Bild: 3 2 1-4 7 6 5
für das 3. Bild: 3 2 1 4-7 6 5

Es kommt also nur darauf an, in der Umgangsfolge anzugeben, wo die Achse gekreuzt wird. Mit diesen Ergänzungen zur Umgangsfolge ist es nun möglich, jede Wegführung eindeutig zu bezeichnen und somit für jeden alternierenden und nicht alternierenden Labyrinth Typ einen Namen zu vergeben.

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