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Posts Tagged ‘Stempelfalzberechnung’

Wieder geht es um einachsige, alternierende Labyrinthe, wie der New Yorker Mathematik-Professor Tony Phillips sie definiert hat. Er kommt in seinen Berechnungen auf eine Anzahl von 1014 theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen (12-level mazes).

Er beschreibt auch eine vereinfachte Methode zur Berechnung dieser Varianten, die John E. Koehler 1968 entwickelt hat zur Lösung eines verwandten Problems der Stempelfalzberechnung von Briefmarken.

Die nachfolgenden Abbildungen sollen diese Methode erläutern. Dazu verwende ich als erstes die schon bekannte Wegfolge für das 11-gängige Labyrinth, das sich aus dem Grundmuster erzeugen lässt, nämlich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12.
Die Wegfolge muss bekanntlich mit einer ungeraden Zahl beginnen und dann eine Reihe sein, in der sich die ungeraden mit den geraden Zahlen abwechseln. „12“ bezeichnet hierbei das Zentrum und die „Außenwelt“.

Ich zeichne einen Kreis und teile ihn in 12 Abschnitte ein, wie bei einer Uhr. Nun muss ich alle Punkte mit Linien verbinden, wobei sich aber gleichfarbige Linien nicht kreuzen dürfen.

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Ich fange mit Blau in 12 an und gehe zu 5, 2, 3, 4 (Fig. 1). Dann von 4 nach 1, wobei ich die Farbe wechsle (Fig. 2). Ich mache weiter mit 6, 11, 8, 9, 10 (Fig. 3). Ich wechsle wieder die Farbe und verbinde 10 mit 7 und 12 (Fig. 4).

Man kann es aber auch anders machen. Zum Beispiel. alle Linien zuerst in einer Farbe zeichnen und dann die kreuzenden in der anderen. Aber auch hier gilt: Gleichfarbige Linien dürfen sich nicht kreuzen. Wohl aber mehr als einmal, solange sie unterschiedlich sind (siehe 4 – 7).

Das Netz

Das Netz

Da wir aber neue Labyrinthe suchen, gehen wir nun den umgekehrten Weg: Wir zeichnen ein Netz  von 12 Linien, das alle 12 Punkte nach den vorgenannten Vorgaben verbindet und leiten daraus die Wegfolge ab.

Hierzu ein Beispiel:

Das Netz mit dem Polygon

Die erste Wegfolge schreibe ich in Zeile 2 (hier in blau), indem ich in 12 beginne und die niedrigere Ziffer ablese, hier 5. Das ist der Beginn des Weges. Dann verfolge ich das Polygon bis ich wieder bei 12 lande und erhalte: 5-2-3-4-1-6-11-10-9-8-7-12. Das ist das Original.
Nun gehe ich den Weg rückwärts und schreibe die Ziffernfolge in Zeile 3. Also von 12 zu 7 usw. Das ergibt: 7-8-9-10-11-6-1-4-3-2-5-12. Das ist das komplementäre zum Original.

Die Zeilen 1 und 4 erhalte ich durch Rechnen. Ich ergänze jeweils die entsprechenden Zahlen jeder Reihe zu „12“. In Zeile 4 erhalte ich das duale zum Original. In Zeile 1 erhalte ich das komplementäre zum dualen.

Die Probe mache ich, indem ich die so gewonnenen Zahlenkolonnen mit den anderen im „Rückwärtsgang“ vergleiche. Das betrifft die Zeilen 1 und 4, sowie 2 und 3.
Das erinnert an das Vorgehen, wie es früher schon einmal beschrieben wurde, als es um die dualen und komplementären Labyrinthe ging (siehe Verwandte Artikel unten).

Es geht aber auch anders. Ich drehe das Ziffernblatt um, schreibe die Ziffern für die 12 Punkte links herum, gegen den Uhrzeigersinn.
So sieht es dann aus:

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Das Netz mit den beiden Ziffernblättern

Die linke Seite zeigt das Ziffernblatt wie vorher. Ich beginne bei 5, zähle bis 12 und erhalte das Original. Dann beginne ich bei 7 und zähle wieder bis 12 und erhalte das komplementäre zum Original.
Nun das rechte Ziffernblatt. Ich beginne auch bei 5 und zähle bis 12 und erhalte so das duale zum Original. Dann wieder von 7 bis 12  und ich erhalte das komplementäre zum dualen.

Was sollen nun die blau geschriebenen Wegfolgen bedeuten? Sie weisen darauf hin, dass der Eintritt in das Labyrinth auf die gleiche Achse gelegt werden kann, wie der Eintritt in das Zentrum. Das sind hier die Umgänge 5 und 7. Dadurch lässt sich beim Konstruieren eine kleine ausgesparte Stelle im Labyrinth anlegen, das man als Herz oder (wie früher einmal genannt) Fontanelle ansehen könnte. Vor allem im konzentrischen Stil lässt sich das gut umsetzen.

Aus diesen beiden neu erzeugten (blauen) Wegfolgen konstruiere ich nun zwei neue 11-gängige Labyrinthe im konzentrischen Stil:

Sie haben ein anderes Bewegungsmuster als die bisher schon bekannten Labyrinthe. Zudem sehen wir 6 Wendepunkte für die Umgänge.

Das hier ist das duale zum vorhergehenden Labyrinth. Auch hier gibt es wieder ein anderes „Feeling“.

Wer macht den Anfang und baut einmal ein solches Labyrinth?

Die beiden anderen Wegfolgen ergeben auch neue Labyrinthe, die ich mir aber hier schenke. Die gehören zu den übrigen 1000 Varianten, die für 11-gängige Labyrinthe theoretisch möglich sind.

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