Ein zweites selbstduales Muster basierend auf dem Typ Gossembrot 51 r

Im letzten Beitrag habe ich gezeigt, wie das Muster des Sieben mal Sieben Labyrinth erzeugt wurde (siehe: Verwandte Beiträge unten). Den gleichen Vorgang kann man natürlich auch mit dem Teil auf der linken Seite des Mäanders durchführen. Das ergibt dann ein selbstduales Labyrinth mit drei Achsen.

In Abbildung 1 zeige ich die Vorbereitung. Das Muster des Labyrinth Typs Gossembrot 51r bildet den Ausgangspunkt (a) und ist grau dargestellt. Wieder isoliere ich zuerst das Segment mit dem Mäander (b). In einem zweiten Schritt nehme ich nun aber die Figur aus Segment I und stelle sie an die linke Seite von Segment II (c).

Abbildung 1. Vorbereitung

In Abb. 2 wird verkürzt die Erzeugung des Musters gezeigt. Hier beginnen wir in der mittleren Reihe bei den grau dargestellten Figuren (c). In einem dritten Schritt wird die Figur aus Segment I dupliziert (d). Dieses Duplikat wird dann, viertens, um 180 Grad gedreht. So entsteht die dazu duale Figur (e). Sie wird auf der rechten Seite an die Figur mit dem Mäander angeschlossen, und die drei Teile werden wieder miteinander verbunden (f).

Abbildung 2. Erzeugung des Musters

Abbildung 3 zeigt das Labyrinth in der Grundform.

Abbildung 3. Das Labyrinth in der Grundform

Wieder ein sehr ausgewogenes Labyrinth. Die Hauptachse ist gleich wie beim Grundtyp. Segment II gegenüber der Hauptachse enthält den Mäander.

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Selbstduale Labyrinthe

Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Wenn wir nun z.B. das Kretische Labyrinth umstülpen, erhalten wir wieder ein Kretisches Labyrinth, obgleich mit dem Eingang oben.

O-D Kretisch

Abbildung 1. Umstülpung des Kretischen Labyrinths

 

Abb. 1 zeigt den Vorgang und das Ergebnis dieser Umstülpung.

Um das originale und duale Labyrinth zu vergleichen, isolieren wir in bekannter Manier (siehe unten: verwandte Beiträge) das duale Labyrinth und nehmen das darauf liegende Muster mit. Das duale Labyrinth mit dem Muster drehen wir anschliessend, so dass der Eingang unten liegt und setzen es neben das originale Labyrinth.

SD Kret

Abbildung 2. Das originale und duale Labyrinth sind gleich: selbstdual

 

Wie Abb. 2 zeigt, sind das originale und duale Labyrinth gleich. Die beiden zueinander dualen Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um 180° gedreht. Das ist hier ebenfalls der Fall. Die rechte Figur zeigt also wirklich das um 180° gedrehte Muster. Aber dieses Muster ist nach erfolgter Drehung deckungsgleich. Das ist bei „normalen“ dualen Labyrinthen nicht der Fall.

Schauen wir uns nun noch die Umgangsfolgen an. Da das Kretische 7 Umgänge hat, müssen wir hierzu 7 Farben verwenden.

UF 7 Farben

Abbildung 3. Die Farben der Umgänge

 

Abb. 3 zeigt die Folge der Farben. Zusätzlich zu den ersten fünf Farben aus dem letzten Beitrag verwenden wir für den Umgang, der als 6. Umgang vom Weg belegt wird, die Farbe Bordeaux und für den letzten vom Weg belegten Umgang die Farbe orange.

UF Muster Kret

Abbildung 4. Umgangsfolgen im Muster

 

Abb. 4 zeigt die Umgangsfolgen direkt am Muster. Das linke Bild gibt bekanntlich die Umgangsfolge ins originale und aus dem dualen Labyrinth heraus an. Das rechte Bild zeigt die Umgangsfolge ins duale hinein und aus dem originalen Labyrinth heraus. Die beiden Umgangsfolgen sind identisch.

Labyrinthe, bei denen das originale und duale gleich sind, heissen selbstdual. Sie sind etwas Besonderes und haben eine höhere innere Ordnung, als „normale“ duale Labyrinthe.

Muster d sd

Abbildung 5. Muster eines dualen (links) und selbstdualen (rechts) Labyrinths

 

Das sieht man auch, wenn man die Muster von dualen und selbstdualen Labyrinthen vergleicht (Abb. 5). Bei dualen Labyrinthen (linke Figur) verlaufen die erste (graue)  und zweite (schwarze) Hälfte des Weges verschieden, während sie bei selbstdualen Labyrinthen (rechte Figur) übereinstimmend verlaufen.

Einige der herausragendsten Labyrinthe sind selbstdual, z.B. Otfrid, Chartres, Reims, Auxerre, Saffron Walden und einige andere.

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Vom Kretischen Labyrinth zum Römischen Labyrinth

Die älteste bekannte Labyrinthfigur ist das kretische Labyrinth (auch das klassische Labyrinth genannt).  Es ist wohl um 1200 v.Chr. entstanden. Die erste Weiterentwicklung fällt in die Zeit des Römischen Reiches von etwa 165 v.Chr. bis 400 n.Chr. Die generelle Bezeichnung ist römisches Labyrinth, wobei es wieder unterschiedliche Typen gibt. Allen gemeinsam ist, dass verschiedene (meist vier) Sektoren der Reihe nach durchlaufen werden.

Das kretische Labyrinth in quadratischer Form

Das kretische Labyrinth in quadratischer Form

In seinem Buch „Das große Buch der Labyrinthe und Irrgärten“ (2003 im AT-Verlag) hat Jeff Saward beschrieben, wie die Entwicklung des römischen Labyrinths aus dem kretischen Labyrinth möglich ist. Ich versuche hier also nur, die Vorgehensweise in verständlichen Schritten nachzuvollziehen.

Wir beginnen mit dem kretischen Labyrinth in quadratischer Form.
In der Zeichnungen sind die Begrenzungslinien schwarz dargestellt. Das darin enthaltene Grundmuster ist blau hervorgehoben. Die Wege sind orange angelegt, in gleicher Breite wie die Begrenzungslinien.

Durch eine Drehung wird die ganze Figur auf ein Viertel reduziert. Dabei werden die senkrechten Teile des halben Grundmusters in die Waagrechte gebracht.

Das "geviertelte" kretische Labyrinth

Das „geviertelte“ kretische Labyrinth

Um aus dem geviertelten Labyrinth ein vollständiges römisches Labyrinth zu erzeugen, müssen in jedem Sektor noch zwei Umgänge eingefügt werden: Einer um die Mitte herum und einer ganz außen. In den äußeren bewegt man sich jeweils in den nächsten Sektor, der letzte Gang führt schließlich in die Mitte.
Wenn man die Wegführung ganz genau anschaut, kann man erkennen, dass man in jedem Sektor gleichsam den Rückweg im kretischen Labyrinth absolviert. Oder anders ausgedrückt: In einem römischen Labyrinth durchwandert man vier Mal den Weg aus einem kretischen Labyrinth heraus.

Das römische Labyrinth

Das römische Labyrinth

Die Wegfolge lässt sich anhand der Ziffern nachvollziehen. Dabei erkennt man gut, dass das kretische Labyrinth im römischen Labyrinth enthalten ist.

Noch besser erkennt man die Verwandtschaft mit dem kretischen Labyrinth in der Diagrammdarstellung.

Das Diagramm für das römische Labyrinth

Das Diagramm für das römische Labyrinth

Das römische Labyrinth ist selbstdual wie auch das kretische. Das sieht man gut in der nachfolgenden Grafik. Egal wie das Diagramm gedreht oder gespiegelt ist, es ergibt sich immer die gleiche Wegfolge. Auch spielt es keine Rolle ob man in Richtung Mitte geht oder umgekehrt, oder ob man sich den Eingang unten oder oben vorstellt.

Das Diagramm für das kretische Labyrinth in vier Varianten

Das Diagramm für das kretische Labyrinth in vier Varianten

Es gibt verschiedene historische römische Labyrinth dieser Art. Das älteste stammt aus dem 2. Jh. n.Chr. und ist auf einem Mosaik in Pont Chevron (Frankreich) zu sehen. Darum nennt Andreas Frei es Typ Chevron (siehe Link unten).

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Wie mache ich sechs neue (bisher unbekannte) kreisrunde 7-gängige Labyrinthe im Sand?

Zu jedem Labyrinth gibt es ein zweites oder duales. Und in besonderen Fällen sieht das duale aus wie das originale. Das ist dann ein selbstduales Labyrinth.

Um diese Zusammenhänge geht es hier.

Andreas Frei hat das auf seiner Website in den Grundlagen getan. Ich empfehle ausdrücklich, dort einmal vorbeizuschauen und sich damit zu befassen. Er verwendet manchmal andere Begriffe oder Bezeichnungen als ich, oder stellt es anders dar. Im Ergebnis liegen wir jedoch beieinander.

Hier soll es wieder mehr um die praktische Seite gehen. Es ist daher eine Fortsetzung des Artikels vom 1. September 2013 über die kreisrunden 7-gängigen Labyrinthe. Mit den dualen Labyrinthen hier werden wir zu den dortigen sieben noch einmal sechs neue dazubekommen. Insgesamt haben wir dann 13 neue Labyrinthe.

Wie das geht, soll Schritt für Schritt gezeigt werden. Vielleicht etwas umständlich, aber ich hoffe doch, verständlich.

Wir nummerieren alle Labyrinthe jeweils von außen nach innen in Schwarz. „0“ steht dabei für ganz außen und „8“ für das Zentrum. Die Wegfolge, das ist die Reihenfolge in der die Umgänge beim Gang zum Zentrum durchschritten werden, notieren wir unten links in Schwarz.
Dann nummerieren wir alle Umgänge noch einmal von innen nach außen in Grün. „0“ ist nun das Zentrum und „8“ wird ganz außen. Wir notieren die Umgänge in der Reihenfolge, in der wir sie beim Hinausgehen aus dem Labyrinth durchschreiten. Diese Wegfolge steht rechts unten in Grün.

Typ 032147658
Typ 034765218
Typ 034567218
Typ 036547218
Typ 054367218
Typ 056723418
Typ 056743218
Typ 056741238

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wie schon erwähnt, gibt es zu jedem (originalen) Labyrinth ein zweites (duales). Und das erscheint, wenn wir innen und außen vertauschen, es gleichsam umstülpen. Die Wegfolge, die sich dabei ergibt, ist in der Regel eine andere als die beim originalen Labyrinth.

Wenn sie gleich ist, sprechen wir von einem selbstdualen Labyrinth. Es liegt dann eine innere Symmetrie vor. Oder anders ausgedrückt: Der Rhythmus und der Bewegungsablauf ist beim Hinein- und Herausgehen der gleiche.
In unseren Beispielen trifft das zu für das erste (das wohlbekannte kretische) Labyrinth, und das letzte, ein neues Labyrinth.


Die übrigen sechs haben eine andere Wegfolge und sind daher als neue, unterschiedliche Labyrinthe anzusehen.
Hier die sechs neuen Typen (Anklicken zum Vergrößern, Drucken oder Speichern):

Typ 076321458
Typ 076123458
Typ 076143258
Typ 076125438
Typ 074561238
Typ 076541238

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bei diesen Beispielen fällt auf, dass immer zuerst die Mitte umkreist wird. Dann bewegt man sich im Labyrinth, um schließlich vom 3. oder 5. Umgang aus das Zentrum zu erreichen.

Bei den im letzten Artikel vorgestellten Typen war der Eintritt in das Zentrum immer vom äußersten, dem ersten Umgang her. Hier wird daraus das Umrunden der Mitte gleich nach dem Eintritt ins Labyrinth.

Die Bewegungsabläufe sind also ganz anders.
Es wäre interessant, diese einmal zu erproben oder gar in ein permamentes Labyrinth umzusetzen. Weltweit gibt es noch keine Labyrinthe dieser Art.
Die Form muss ja nicht unbedingt kreisrund sein. Wichtig ist nur, sich an die Wegfolge zu halten.
Im übrigen lassen sie sich genauso einfach im Sand anlegen wie die im letzten Artikel vorgestellten Typen.

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