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Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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Am Schluss des letzten Beitrags (siehe verwandte Beiträge) sind wir bei folgendem Problem stehen geblieben. Nummeriert man die Segmente fortlaufend durch, erhält man eine eindeutige Segmentfolge. Aber man weiss nicht unmittelbar, auf welchem Umgang man sich befindet. Nummeriert man die Segmente nach den Umgängen, sieht man aus der Segmentfolge, auf welchem Umgang man sich befindet. Dafür geht aber die Eindeutigkeit verloren.

Nun kann man auch die Nummerierung kombinieren. Also zuerst eine Zahl für den Umgang, dann ein Trennzeichen und dahinter eine Zahl für das Segment schreiben. Am Beispiel des Labyrinths von Valturius sieht das so aus (Abb. 1).

nummerierung-us

Abbildung 1. Nummerierung nach Umgang und Segment

Das Labyrinth hat vier Umgänge und drei Achsen, also auch drei Segmente pro Umgang. Vor dem Punkt steht die Zahl für den Umgang, nach dem Punkt die für das Segment. Diese Nummerierung liefert eine Art Koordinaten für die einzelnen Segmente.

Schreiben wir nun die Segmentfolgen für das alternierende und das nicht-alternierende Labyrinth aus dem letzten Beitrag mit dieser Nummerierung.

sf_valturius

Abbildung 2. Segmentfolgen der alternierenden und nicht-alternierenden Variante

Beide Varianten haben eine eigene, eindeutige Segmentfolge. In der Segmentfolge ist für jedes Element ersichtlich, auf welchem Umgang und auf welchem Segment man sich gerade befindet. Eine solche Segmentfolge lässt sich gut memorieren und einfach erzeugen. Der Nachteil dieser Nummerierung ist, dass für jedes Element zwei Zahlen mit einem Trennzeichen benötigt werden. Und natürlich müssen die Elemente klar getrennt dargestellt werden. Die Zahlenfolge benötigt dadurch mehr Zeichen und wird länger.

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Im letzten Beitrag habe ich die Segmentfolge bei mehrachsigen Labyrinthen gezeigt. Diese ist eindeutig. Aber sie hat den Nachteil, dass man nicht direkt weiss, auf welchem Umgang man sich befindet.

Nun kann man auch die Aufteilung in Segmente lassen, aber nur die Umgänge nummerieren. Dann sieht man in der Segmentfolge, auf welchem Umgang man sich befindet. In dieser Folge kann dann dieselbe Zahl mehrfach vorkommen. Vielfach funktioniert das, aber es kann zu Problemen führen. Beim Labyrinth, das im letzten Beitrag gezeigt wurde, existiert das Problem nicht. Darum zeige ich es hier mit einem anderen Beispiel. Ich wähle dafür das Labyrinth von Valturius, weil es ein kleines, übersichtliches Beispiel ist (Abb. 1).

valturius

Abbildung 1. Labyrinth von Valturius. Quelle: Kern 1983, Abb. 311, S. 251.

Dieses Labyrinth aus einem Militärhandbuch des Robertus Valturius aus dem 15. Jh. hat drei Achsen und vier Umgänge. (Man beachte, dass die Achsen nicht proportional verteilt sind. Aber das hat hier keinen Einfluss. Ich verwende daher aus Gründen der Einfachheit eine proportionale Aufteilung.)

num_valturius

Abbildung 2. Nummerierung der Segmente: linkes Bild nach Segment, rechtes Bild nach Umgang

Abbildung 2 zeigt im linken Bild die aus dem letzten Beitrag bekannte Aufteilung und Nummerierung nach Segmenten. Im rechten Bild sieht man die gleiche Aufteilung in Segmente aber nur nach Umgängen nummeriert. Weil das Labyrinth vier Umgänge hat, gibt es nun 12 Segmente.

Das Labyrinth von Valturius ist alternierend. Es gibt aber auch ein nicht alternierendes Labyrinth mit derselben Umgangsfolge. Und hiermit kommen wir zu unserem Problem.

sf_valturius

Abbildung 3. Segmentfolgen nach Segmenten nummeriert

Abbildung 3 zeigt das alternierende Labyrinth von Valturius (Bild links) und die nicht alterniernde Variation (Bild rechts). Diese haben zwei verschiedene Wegverläufe. Dies kommt in den beiden verschiedenen Segmentfolgen richtig zum Ausdruck. Beide Segmentfolgen sind gleich für die ersten 9 Segmente: 1 4 7 8 5 2 3 6 9 … Die Folgen der letzten drei Segmente aber sind verschieden. Beim Labyrinth von Valturius geht es weiter mit den Segmenten ………12 11 10. Hingegen ist die Segmentfolge bei der achsquerenden Variante ……… 10 11 12.

Wenn man nun aber die Segmente nach Umgängen nummeriert, geht die Eindeutigkeit verloren.

uf_valturius

Abbildung 4. Segmentfolgen nach Umgängen nummeriert

Abbildung 4 zeigt die gleichen Labyrinthe wie Abb. 3, jedoch mit Segmenten nummeriert nach Umgang. Beide Varianten haben dieselbe Segmentfolge 1 2 3 3 2 1 1 2 3 4 4 4. Nun weiss man zwar immer, auf welchem Umgang man sich in der Segmentfolge befindet. Aber für dieselbe Segmentfolge kann es mehrere (hier zwei) Wegführungen geben. Dieses Problem hatten wir schon bei der Umgangsfolge von einachsigen Labyrinthen.

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