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Posts Tagged ‘nicht alternierend’

Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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Bisher haben wir stets Muster von alternierenden Labyrinthen betrachtet. Die meisten bekannten Labyrinthe sind alternierend. Bei diesen Labyrinthen kreuzt der Weg die Hauptachse nicht. Jedesmal, wenn er auf einen anderen Umgang wechselt, ändert er dann auch die Drehrichtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn). Wenn wir solche Labyrinthe in die Rechteckform überführen, spalten wir die Hauptachse entlang der zentralen axialen Trennwand, an der die Wendestellen des Weges anliegen. Die beiden Hälften der (Haupt-) Achse werden nach oben geklappt. Dabei kommen die Wendestellen des Weges an die linke und rechte Aussenseite der Rechteckform zu liegen. Der Weg wird dabei nicht unterbrochen. Der Eingang ins Labyrinth und der Weg ins Zentrum bilden die äusserste linke und rechte Senkrechte der Rechteckform.

Nun gibt es aber auch Labyrinthe, bei denen der Weg die Hauptachse kreuzt. Auf diesem Blog wurden zwei schon mehrfach gezeigt: das Schneckenhauslabyrinth von Erwin und das Labyrinth vom Typ St.Gallen (siehe verwandte Beiträge). Wenn wir solche Labyrinthe in die Rechteckform bringen wollen, muss der Weg an der Stelle, wo er die (Haupt-) Achse quert, unterbrochen werden. Am besten lässt sich dies mit dem Labyrinth von St.Gallen zeigen.

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abb. 1 zeigt das Labyrinth mit eingezeichnetem Ariadnefaden und den Ariadnefaden isoliert. Auch wenn der Ariadnefaden, bedingt durch die Konstruktion, leicht schief wirkt, erkennt man doch unmittelbar, dass bei diesem Labyrinth der Weg die Achse quert. Dabei verläuft er auf der ganzen Länge der Achse von aussen nach innen. Hingegen hat das Labyrinth keine axiale Trennwand zur Verbindung der innersten mit der äussersten Begrenzungsmauer.

Will man diesen Ariadnefaden in die Rechteckform bringen, muss das axiale Wegstück der Länge nach in 2 Hälften gespalten werden.

Abbildung 2. Überführung in die Rechteckform

Abbildung 2. Überführung in die Rechteckform

In Abb. 2 wird von oben nach unten der Vorgang und das Ergebnis gezeigt. Man sieht, wie das axiale Wegstück auf seiner ganzen Länge gespalten wird (in zwei gestrichelte Linien) und diese auf jeder Seite nach oben geklappt werden.

Abbildung 3. Das Muster

Abbildung 3. Das Muster

Das Muster ist in Abb. 3 nochmals wiedergegeben. Bei nicht alternierenden Labyrinthen kann der Ariadnefaden in der Rechteckform nicht mehr in einem Zug gezeichnet werden. Es sind dazu mehrere (hier zwei) ineinander verwobene Linien nötig. Beginnen wir beim Eingang oben links, endet die erste Linie an der rechten Aussenseite (gestrichelt). Dies ist die rechte Hälfte des achsquerenden Wegstücks, welches deshalb gespalten wurde. Sie verläuft von oben nach unten (roter Pfeil). Die zweite Linie beginnt als gestrichelte Linie links aussen, welche die linke Hälfte des achsquerenden Wegstücks ist. Diese muss in der gleichen Richtung (von oben nach unten, roter Pfeil) gezeichnet werden wie die rechte Hälfte. Beide Hälften des Wegstücks verlaufen natürlich in der gleichen Richtung. Diese beiden Hälften markieren nun die äussersten senkrechten Linien der Rechteckform. Die Wegstücke für den Eingang ins Labyrinth und den Zugang zum Zentrum liegen weiter innen.

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Nicht alternierende Labyrinthe

In allen bisherigen Beiträgen mit Ausnahme des zweiten Teils dieser Serie (siehe: verwandte Beiträge unten) habe ich alternierende Labyrinthe gezeigt. Das sind die Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Es gibt aber auch Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse (bei mehrachsigen Labyrinthen: Hauptachse) quert. Diese werden nicht-alternierend genannt. Ein besonders schönes Beispiel ist das Labyrinth aus einer Handschrift des 10./11. Jh. der Stiftsbibliothek St. Gallen. Erwin hat es in diesem Blog auch schon gezeigt, und ich habe darüber in Caerdroia 38 (2008) geschrieben.

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Aus Teil / 2 dieser Reihe ist bekannt, dass im Prinzip auch nicht alternierende Labyrinthe im MiM-Stil gezeichnet werden können. Denn das Schneckenhauslabyrinth ist ein nicht alternierendes Labyrinth. Bei ihm quert der Weg 2 Mal die Achse. Einmal vom äussersten auf den zweiten Umgang und das andere Mal vom zweit-innersten auf den innersten Umgang.

Abbildung 2. Ariadnefaden

Abbildung 2. Ariadnefaden

Beim Labyrinth von St. Gallen (Abb. 2) kommt der Weg jedoch vom äussersten Umgang, biegt nach rechts ab, verläuft achsial bis zum innersten Umgang und biegt dann nach links ab, ohne die Richtung (im Uhrzeigersinn) zu ändern. Wie sieht nun die Keimstruktur dieses Labyrinths und ihre Variation in den MiM-Stil aus?

Abbildung 3. Keimstrukturen im Vergleich

Abbildung 3. Keimstrukturen im Vergleich

Abb. 3 zeigt die Keimstruktur meines Demonstrationslabyrinths aus Teil / 5 dieser Serie (Figuren a und b) im Vergleich mit der Keimstruktur des Labyrinths von St. Gallen (Figuren c und d). Die Keimstruktur des Demonstrationslabyrinths hat eine zentrale vertikale Linie. Diese markiert die zentrale Begrenzungsmauer, an der die Wenden des Weges anliegen (Fig. a). Das ist bei allen alternierenden Labyrinthen so. Variiert man die Keimstrukturen alternierender Labyrinthe in den MiM-Stil, bleiben die zentrale Linie und der innerste Ring erhalten (Fig. b). Die Hilfsfiguren von alternierenden Labyrinthen haben alle zwei zentrale vertikale Speichen und einen intakten innersten Ring. Beim Labyrinth von St. Gallen ist das anders. Die Keimstruktur hat zwei gleichwertige vertikale Linien. Zwischen diesen Linien verläuft der Weg auf der ganzen Länge der Achse (Fig. c). Das vertikale Zentrum ist hier nicht eine Begrenzungsmauer, sondern das achsiale Wegstück. Bei der Variation in den MiM-Stil finden wir keine zentrale Mauer und der innerste Ring wird durchbrochen. Die Hilfsfigur für das Labyrinth von St.Gallen hat denn auch keine vertikalen Speichen (Fig. d).

Abbildung 4. Labyrinth von St. Gallen im MiM-Stil

Abbildung 4. Labyrinth von St. Gallen im MiM-Stil

Man kann also nicht alternierende Labyrinthe auf die gleiche Weise wie alternierende im MiM-Stil zeichnen. Die Keimstruktur des Labyrinths von St. Gallen hat zwei Elemente mit einfachen und zwei mit zwei verschachtelten Wenden und zusätzlich das achsquerende Wegstück. Sie belegt in der MiM-Hilfsfigur 2 Umgänge. Dies entspricht den Elementen mit zwei verschachtelten Wendestellen. Für das achsquerende Wegstück wird kein zusätzlicher Umgang benötigt, da der innerste Ring durchbrochen ist und den Weg mitten durch die Keimstruktur lässt.

Und hier zum Schluss noch mein Logo im MiM-Stil (Abb. 5).

Abbildung 5. Mein Logo im MiM-Stil

Abbildung 5. Mein Logo im MiM-Stil

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