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Posts Tagged ‘nicht alternierend’

Nicht zu jedem Labyrinth kann ein komplementäres Gegenstück gebildet werden. Das Komplementäre erhält man durch vertikale Spiegelung des Musters, wobei die Verbindungen zwischen Eingang / Zentrum und ihren Umgängen im Labyrinth nicht unterbrochen werden. Wenn der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf derselben Seite der Achse liegen, geht das nicht.

Abbildung 1. Alternierendes Labyrinth mit gerader Umgangszahl

Abb. 1 zeigt dies am Beispiel des alternierenden, einachsigen Labyrinths mit 6 Umgängen und der Umgangsfolge 3 2 1 6 5 4. Wie aus dem Muster (mittlere Figur) ersichtlich, liegen der Eingang und der Zugang zum Zentrum auf der gleichen Seite der Achse. Der Weg geht zuerst auf den 3. Umgang und erreicht das Zentrum zuletzt vom 4. Umgang aus. Will man dieses Muster spiegeln und die axialen Verbindungen zum Eingang und zum Zentrum aufrecht erhalten, überschneiden sich die beiden Linien an der Stelle mit dem schwarzen Kreis. Eine solche Figur ist nicht mehr kreuzungsfrei und daher kein Labyrinth. Bei alternierenden Labyrinthen mit gerader Umgangszahl gibt es also keine komplementären Labyrinthe.

Nun gibt es auch nicht-alternierende Labyrinthe mit gerader Umgangszahl, bei denen der Eingang ins Labyrinth und der Zugang zum Zentrum auf den gegenüberliegenden Seiten der Achse liegen. Das Labyrinth in Abb. 2 ist ein solches und wurde hier auf diesem Blog schon mehrfach besprochen.

Abbildung 2. Nicht-alternierendes Labyrinth mit gerader Umgangszahl

Dieses nicht-alternierende, einachsige Labyrinth mit 6 Umgängen hat die Umgangsfolge 3 2 1-6 5 4. Das ist die gleiche Umgangsfolge wie beim Labyrinth in Abb 1, mit dem Unterschied, dass der Weg zwischen dem 1. und 6. Umgang die Achse quert. Wir haben hier also ein Labyrinth mit gerader Umgangszahl vor uns, bei dem aber der Eingang ins Labyrinth und der Zugang zum Zentrum an der Achse einander gegenüber liegen. Dennoch kann man kein komplementäres Labyrinth dazu bilden. Spiegelt man das Muster vertikal ohne die Verbindungen zum Eingang und Zentrum zu unterbrechen, ergeben sich nun sogar zwei Überschneidungen (markiert mit schwarzen Kreisen).

Ein komplementäres Labyrinth kann also nur bei alternierenden Labyrinthen mit ungerader Umgangszahl gebildet werden.

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Ein interessantes Labyrinth wird im Buch von Kern° wiedergegeben (Abb. 196, S. 166). Eine Zeichnung des arabischen Geographen Al Qazwini in seiner 1276 vollendeten Kosmographie soll den Grundriss des Sitzes des Herrschers von Byzanz darstellen, bevor sich die grosse Stadt Konstantinopel entwickelte.

Das nicht alternierende Labyrinth hat 10 Umgänge und eine eigenständige Wegführung. Diese will ich anhand des Ariadnefadens und des Musters zeigen. Im Beitrag „Vom Ariadnefaden zum Muster – Methode 2“ habe ich beschrieben, wie das Muster hergeleitet wird (siehe verwandte Beiträge unten). Für die Herleitung des Musters gehe ich immer von einem Labyrinth aus, das im Uhrzeigersinn dreht und mit dem Eingang von unten liegt. Das Labyrinth von Al Qazwini dreht im Uhrzeigersinn, liegt aber mit dem Eingang von oben. Ich drehe deshalb in den folgenden Abbildungen das Labyrinth um einen Halbkreis, so dass der Eingang unten zu liegen kommt. So kann man nun am Ariadnefaden den Weg verfolgen und parallel dazu, wie sich der Verlauf im Muster niederschlägt.

Der Wegverlauf kann in vier Phasen eingeteilt werden.

Phase 1

Der Weg geht zuerst auf den 3. Umgang. Der Beginn ist mit einem Pfeil, der nach innen zeigt, markiert. Im Muster sind axiale Wegstücke senkrecht, Umgänge waagrecht dargestellt. Der Weg von aussen nach innen wird von oben nach unten repräsentiert.

Phase 2

In einer zweiten Etappe windet sich der Weg nun serpentinenförmig nach innen bis auf den 10. (innersten) Umgang. Bis hierhin ist der Verlauf alternierend.

Phase 3

Nun kommt das Stück, wo der Weg vom innersten auf den äussersten Umgang führt und dabei die Achse quert. Für die Herleitung des Musters wird das Labyrinth entlang der Achse gespalten und auf beiden Seiten nach oben geklappt. Weil hier auf der Achse die Wegstrecke verläuft, muss der Weg gespalten werden (s. verwandte Beiträge „Das Muster bei nicht alternierenden Labyrinthen“). Das wird mit den gestrichelten Linien angedeutet. Diese zeigen ein und dasselbe Wegstück. Im Muster verläuft dieses wie alle axialen Wegstücke vertikal, aber nun auf beiden Seiten der Rechteckform gleichzeitig und zwar von unten nach oben.

Phase 4

Zum Schluss verläuft der Weg auf dem äussersten Umgang in der gleichen Richtung weiter wie vorher auf dem innersten Umgang (gegen den Uhrzeigersinn), geht dann auf den 2. Umgang und von dort ins Zentrum (mit einem Punkt markiert).

Verwandte Beiträge: 

°Kern, Hermann. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen; 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel, 2. Aufl. 1983.

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Mit den Koordinaten für Segmente aus dem letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten) haben wir nun eine anschauliche Notation für die Segmentfolge von Labyrinthen. Folgende Ergänzung finde ich noch wichtig: Man kann solche Koordinaten auch für einachsige Labyrinthe nutzen. Ich zeige das mit den Beispielen für die ich schon die Umgangsfolgen gezeigt habe (verwandte Beiträge). Dazu muss man jeden Umgang in zwei Segmente unterteilen.

Unterteilung der Umgänge in zwei Segmente

Nun schreiben wir die Segmentfolgen für die drei Labyrinthe und vergleichen sie gleich mit ihren Umgangsfolgen.

 

 

 

Eine eindeutige Notation für einachsige Labyrinthe kann man auch erreichen, indem man auf dem gleichen Umgang auf beiden Seiten der Achse jeweils eine andere Nummer schreibt. Dazu muss man die Umgänge in jeweils zwei Segmente unterteilen. Somit ist es möglich, für alternierende und nicht-alternierende einachsige Labyrinthe eindeutige Segmentfolgen zu schreiben. Man kann die gleiche Notation für ein- und mehrachsige Labyrinthe anwenden. Allerdings benötigt man für ein einachsiges Labyrinth mit 7 Umgängen dann immer 14 Koordinaten. Das sind deutlich mehr Zeichen als man für die Umgangsfolgen mit Trennzeichen braucht.

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Bisher haben wir stets Muster von alternierenden Labyrinthen betrachtet. Die meisten bekannten Labyrinthe sind alternierend. Bei diesen Labyrinthen kreuzt der Weg die Hauptachse nicht. Jedesmal, wenn er auf einen anderen Umgang wechselt, ändert er dann auch die Drehrichtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn). Wenn wir solche Labyrinthe in die Rechteckform überführen, spalten wir die Hauptachse entlang der zentralen axialen Trennwand, an der die Wendestellen des Weges anliegen. Die beiden Hälften der (Haupt-) Achse werden nach oben geklappt. Dabei kommen die Wendestellen des Weges an die linke und rechte Aussenseite der Rechteckform zu liegen. Der Weg wird dabei nicht unterbrochen. Der Eingang ins Labyrinth und der Weg ins Zentrum bilden die äusserste linke und rechte Senkrechte der Rechteckform.

Nun gibt es aber auch Labyrinthe, bei denen der Weg die Hauptachse kreuzt. Auf diesem Blog wurden zwei schon mehrfach gezeigt: das Schneckenhauslabyrinth von Erwin und das Labyrinth vom Typ St.Gallen (siehe verwandte Beiträge). Wenn wir solche Labyrinthe in die Rechteckform bringen wollen, muss der Weg an der Stelle, wo er die (Haupt-) Achse quert, unterbrochen werden. Am besten lässt sich dies mit dem Labyrinth von St.Gallen zeigen.

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abb. 1 zeigt das Labyrinth mit eingezeichnetem Ariadnefaden und den Ariadnefaden isoliert. Auch wenn der Ariadnefaden, bedingt durch die Konstruktion, leicht schief wirkt, erkennt man doch unmittelbar, dass bei diesem Labyrinth der Weg die Achse quert. Dabei verläuft er auf der ganzen Länge der Achse von aussen nach innen. Hingegen hat das Labyrinth keine axiale Trennwand zur Verbindung der innersten mit der äussersten Begrenzungsmauer.

Will man diesen Ariadnefaden in die Rechteckform bringen, muss das axiale Wegstück der Länge nach in 2 Hälften gespalten werden.

Abbildung 2. Überführung in die Rechteckform

Abbildung 2. Überführung in die Rechteckform

In Abb. 2 wird von oben nach unten der Vorgang und das Ergebnis gezeigt. Man sieht, wie das axiale Wegstück auf seiner ganzen Länge gespalten wird (in zwei gestrichelte Linien) und diese auf jeder Seite nach oben geklappt werden.

Abbildung 3. Das Muster

Abbildung 3. Das Muster

Das Muster ist in Abb. 3 nochmals wiedergegeben. Bei nicht alternierenden Labyrinthen kann der Ariadnefaden in der Rechteckform nicht mehr in einem Zug gezeichnet werden. Es sind dazu mehrere (hier zwei) ineinander verwobene Linien nötig. Beginnen wir beim Eingang oben links, endet die erste Linie an der rechten Aussenseite (gestrichelt). Dies ist die rechte Hälfte des achsquerenden Wegstücks, welches deshalb gespalten wurde. Sie verläuft von oben nach unten (roter Pfeil). Die zweite Linie beginnt als gestrichelte Linie links aussen, welche die linke Hälfte des achsquerenden Wegstücks ist. Diese muss in der gleichen Richtung (von oben nach unten, roter Pfeil) gezeichnet werden wie die rechte Hälfte. Beide Hälften des Wegstücks verlaufen natürlich in der gleichen Richtung. Diese beiden Hälften markieren nun die äussersten senkrechten Linien der Rechteckform. Die Wegstücke für den Eingang ins Labyrinth und den Zugang zum Zentrum liegen weiter innen.

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Nicht alternierende Labyrinthe

In allen bisherigen Beiträgen mit Ausnahme des zweiten Teils dieser Serie (siehe: verwandte Beiträge unten) habe ich alternierende Labyrinthe gezeigt. Das sind die Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Es gibt aber auch Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse (bei mehrachsigen Labyrinthen: Hauptachse) quert. Diese werden nicht-alternierend genannt. Ein besonders schönes Beispiel ist das Labyrinth aus einer Handschrift des 10./11. Jh. der Stiftsbibliothek St. Gallen. Erwin hat es in diesem Blog auch schon gezeigt, und ich habe darüber in Caerdroia 38 (2008) geschrieben.

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Abbildung 1. Labyrinth St. Gallen

Aus Teil / 2 dieser Reihe ist bekannt, dass im Prinzip auch nicht alternierende Labyrinthe im MiM-Stil gezeichnet werden können. Denn das Schneckenhauslabyrinth ist ein nicht alternierendes Labyrinth. Bei ihm quert der Weg 2 Mal die Achse. Einmal vom äussersten auf den zweiten Umgang und das andere Mal vom zweit-innersten auf den innersten Umgang.

Abbildung 2. Ariadnefaden

Abbildung 2. Ariadnefaden

Beim Labyrinth von St. Gallen (Abb. 2) kommt der Weg jedoch vom äussersten Umgang, biegt nach rechts ab, verläuft achsial bis zum innersten Umgang und biegt dann nach links ab, ohne die Richtung (im Uhrzeigersinn) zu ändern. Wie sieht nun die Keimstruktur dieses Labyrinths und ihre Variation in den MiM-Stil aus?

Abbildung 3. Keimstrukturen im Vergleich

Abbildung 3. Keimstrukturen im Vergleich

Abb. 3 zeigt die Keimstruktur meines Demonstrationslabyrinths aus Teil / 5 dieser Serie (Figuren a und b) im Vergleich mit der Keimstruktur des Labyrinths von St. Gallen (Figuren c und d). Die Keimstruktur des Demonstrationslabyrinths hat eine zentrale vertikale Linie. Diese markiert die zentrale Begrenzungsmauer, an der die Wenden des Weges anliegen (Fig. a). Das ist bei allen alternierenden Labyrinthen so. Variiert man die Keimstrukturen alternierender Labyrinthe in den MiM-Stil, bleiben die zentrale Linie und der innerste Ring erhalten (Fig. b). Die Hilfsfiguren von alternierenden Labyrinthen haben alle zwei zentrale vertikale Speichen und einen intakten innersten Ring. Beim Labyrinth von St. Gallen ist das anders. Die Keimstruktur hat zwei gleichwertige vertikale Linien. Zwischen diesen Linien verläuft der Weg auf der ganzen Länge der Achse (Fig. c). Das vertikale Zentrum ist hier nicht eine Begrenzungsmauer, sondern das achsiale Wegstück. Bei der Variation in den MiM-Stil finden wir keine zentrale Mauer und der innerste Ring wird durchbrochen. Die Hilfsfigur für das Labyrinth von St.Gallen hat denn auch keine vertikalen Speichen (Fig. d).

Abbildung 4. Labyrinth von St. Gallen im MiM-Stil

Abbildung 4. Labyrinth von St. Gallen im MiM-Stil

Man kann also nicht alternierende Labyrinthe auf die gleiche Weise wie alternierende im MiM-Stil zeichnen. Die Keimstruktur des Labyrinths von St. Gallen hat zwei Elemente mit einfachen und zwei mit zwei verschachtelten Wenden und zusätzlich das achsquerende Wegstück. Sie belegt in der MiM-Hilfsfigur 2 Umgänge. Dies entspricht den Elementen mit zwei verschachtelten Wendestellen. Für das achsquerende Wegstück wird kein zusätzlicher Umgang benötigt, da der innerste Ring durchbrochen ist und den Weg mitten durch die Keimstruktur lässt.

Und hier zum Schluss noch mein Logo im MiM-Stil (Abb. 5).

Abbildung 5. Mein Logo im MiM-Stil

Abbildung 5. Mein Logo im MiM-Stil

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