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Im letzten Beitrag habe ich das komplementäre Labyrinth vorgestellt. Dies habe ich am Beispiel des Grundtyps getan. Dieser ist selbstdual. Das komplementäre unterscheidet sich vom dualen Labyrinth. Das sieht man besser bei nicht selbstdualen Labyrinthen. Hier will ich das zeigen und wähle dazu ein alternierendes Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen. Wie auf diesem Blog auch schon gezeigt, gibt es 8 solche Labyrinthe (Siehe Beitrag Zum Mäander im Labyrinth, unten). Davon sind 4 selbstdual (Labyrinthe 1, 3, 6 und 8) und 4 nicht selbstdual (Labyrinthe 2, 4, 5, und 7).

Ich wähle also eines der nicht selbstdualen Labyrinthe, Nr. 2, und nehme davon das Muster. Mit diesem Muster kann man nun zwei Aktionen durchführen:

  • Drehen

  • Spiegeln

Abbildung 1 zeigt, was herauskommt, wenn man diese Aktionen mit Muster 2 durchführt.

Abbildung 1. Drehen und Spiegeln des Musters

Drehen führt zum dualen Muster von Labyrinth 4.
Spiegeln führt zum komplementären Muster 7.

Somit haben wir nun schon drei Labyrinthe. Nun kann man noch weiter gehen. Wenn man das duale weiter dreht, kommt man wieder zum Ausgangslabyrinth zurück. Aber man kann das duale spiegeln. Das ergibt dann das komplementäre zum dualen. Analog kann man das komplementäre drehen und erhält dann das duale zum komplementären.

Spiegelung des dualen (Muster 4) führt zum dazu komplementären Muster des Labyrinths 5
Drehen des komplementären (Muster 7) führt zum dazu dualen Muster, d.i. ebenfalls Muster 5.

Abbildung 2. Verhältnisse

Abbildung 2 zeigt die entsprechenden Labyrinthe in der Grundform (d.h. dargestellt mit den Begrenzungsmauern) im konzentrischen Stil. Alle 4 nicht selbsdualen alternierenden Labyrinthe mit 1 Achse und 5 Umgängen stehen also in einem Verhältnis der Dualität oder Komplementarität zueinander.

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Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Das duale Labyrinth hat das gleiche Muster wie das originale Labyrinth, aber das Muster ist um einen Halbkreis gedreht und der Eingang und das Zentrum sind vertauscht. Darüber ist auf diesem Blog schon viel geschrieben worden (s. verwandte Beiträge, unten).

Nun gibt es noch eine andere Möglichkeit wie zwei Labyrinthe mit einem gleichen Muster in Beziehung stehen können. Bei dieser Art der Beziehung wird das Muster nicht rotiert, sondern vertikal gespiegelt. Auch werden – anders als bei der Beziehung der Dualität – der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht. Ich nenne diese Beziehung zwischen zwei Labyrinthen vorerst Komplementarität, um sie von der Beziehung der Dualität zu unterscheiden.

Hier zeige ich am Beispiel des bekanntesten Labyrinths, was gemeint ist.

Es handelt sich um das „Kretische“, „Klassische“, „Urlabyrinth“ oder wie auch immer genannte alternierende einachsige Labyrinth mit 7 Umgängen und der Umgangsfolge 3 2 1 4 7 6 5, das ich fortan den „Grundtyp“ nennen werde.

Abbildung 1. Das originale Labyrinth

Abbildung 1 zeigt diesen Typ im konzentrischen Stil.

Die Bilder (1-6) der folgenden Galerie (Abbildung 2) zeigen, wie man vom Muster des Grundtyps zum Muster des komplementären Typs gelangt.

Bild 1 zeigt das Muster des Grundtyps in der herkömmlichen Form. Im Bild 2 wird das Muster leicht anders gezeichnet. Damit werden die Verbindung von der Aussenwelt (markiert mit Pfeil nach unten) ins Labyrinth hinein und der Zugang zum Zentrum (markiert mit einem Punkt) etwas herausgehoben. Dies um zu zeigen, dass bei der Spiegelung des Musters der Eingang und das Zentrum nicht vertauscht werden. Sie bleiben jeweils mit ihren Anschlussumgängen im Muster verbunden. In Bild 3 bis 5 wird nun die vertikale Spiegelung gezeigt, aufgeteilt in drei Zwischenschritte. Vertikales Spiegeln bedeutet Spiegeln entlang der Horizontalen. Oder auch Kippen der Figur um eine horizontale Achse – hier angedeutet mit der gestrichelten Linie. Man kann sich vorstellen, ein Drahtmodell des Musters (ohne Eingang, Zentrum und die grauen axialen Verbindungsstücke) werde um diese Achse rotiert, bis die Oberkante unten und dementsprechend die Unterkante oben liegt. Im originalen Labyrinth geht der Weg vom Eingang axial auf den dritten Umgang (Bild 3). Mit diesem Umgang bleibt der Eingang in den weiteren Schritten der Spiegelung verbunden (grau dargestellt in Bild 4, 5 und 6). Nach vollendeter Spiegelung ist dieser Umgang nun der fünfte Umgang geworden. Der Weg führt also nun zuerst auf den fünften Umgang (Bild 6) des komplementären Labyrinths. Ein Gleiches passiert auf der gegenüberliegenden Seite des Musters. Der Weg erreicht im Muster des originalen Labyrinths das Zentrum vom fünften Umgang aus. Dieser Umgang bleibt mit dem Zentrum verbunden. Nach der Spiegelung ist es der dritte Umgang.

Abbildung 3: Das komplementäre Labyrinth

Im Muster des komplementären Labyrinths finden wir einen Labyrinth Typ, der hier auf diesem Blog auch schon beschrieben worden ist (siehe verwandte Beiträge). Es ist eines der sechs sehr interessanten (alternierenden) Labyrinthe mit 1 Achse und 7 Umgängen. Und zwar dasjenige mit dem S-förmigen Wegverlauf.

Was also ist der Unterschied zwischen dem dualen und dem komplementären Labyrinth?

Erinnern wir uns daran: der Grundtyp ist selbstdual. Das Duale zum Grundtyp ist also wieder ein Grundtyp.

Das Komplementäre zum Grundtyp ist ein anderer Typ mit S-förmigem Wegverlauf.

Übrigens: In diesem Fall ist das Duale zum Komplementären wiederum das gleiche Komplementäre, da auch das zum Grundtyp Komplementäre selbstdual ist (sonst wäre es kein sehr interessantes Labyrinth).

Das eröffnet nun sehr interessante Perspektiven.

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Ein interessantes Labyrinth wird im Buch von Kern° wiedergegeben (Abb. 196, S. 166). Eine Zeichnung des arabischen Geographen Al Qazwini in seiner 1276 vollendeten Kosmographie soll den Grundriss des Sitzes des Herrschers von Byzanz darstellen, bevor sich die grosse Stadt Konstantinopel entwickelte.

Das nicht alternierende Labyrinth hat 10 Umgänge und eine eigenständige Wegführung. Diese will ich anhand des Ariadnefadens und des Musters zeigen. Im Beitrag „Vom Ariadnefaden zum Muster – Methode 2“ habe ich beschrieben, wie das Muster hergeleitet wird (siehe verwandte Beiträge unten). Für die Herleitung des Musters gehe ich immer von einem Labyrinth aus, das im Uhrzeigersinn dreht und mit dem Eingang von unten liegt. Das Labyrinth von Al Qazwini dreht im Uhrzeigersinn, liegt aber mit dem Eingang von oben. Ich drehe deshalb in den folgenden Abbildungen das Labyrinth um einen Halbkreis, so dass der Eingang unten zu liegen kommt. So kann man nun am Ariadnefaden den Weg verfolgen und parallel dazu, wie sich der Verlauf im Muster niederschlägt.

Der Wegverlauf kann in vier Phasen eingeteilt werden.

Phase 1

Der Weg geht zuerst auf den 3. Umgang. Der Beginn ist mit einem Pfeil, der nach innen zeigt, markiert. Im Muster sind axiale Wegstücke senkrecht, Umgänge waagrecht dargestellt. Der Weg von aussen nach innen wird von oben nach unten repräsentiert.

Phase 2

In einer zweiten Etappe windet sich der Weg nun serpentinenförmig nach innen bis auf den 10. (innersten) Umgang. Bis hierhin ist der Verlauf alternierend.

Phase 3

Nun kommt das Stück, wo der Weg vom innersten auf den äussersten Umgang führt und dabei die Achse quert. Für die Herleitung des Musters wird das Labyrinth entlang der Achse gespalten und auf beiden Seiten nach oben geklappt. Weil hier auf der Achse die Wegstrecke verläuft, muss der Weg gespalten werden (s. verwandte Beiträge „Das Muster bei nicht alternierenden Labyrinthen“). Das wird mit den gestrichelten Linien angedeutet. Diese zeigen ein und dasselbe Wegstück. Im Muster verläuft dieses wie alle axialen Wegstücke vertikal, aber nun auf beiden Seiten der Rechteckform gleichzeitig und zwar von unten nach oben.

Phase 4

Zum Schluss verläuft der Weg auf dem äussersten Umgang in der gleichen Richtung weiter wie vorher auf dem innersten Umgang (gegen den Uhrzeigersinn), geht dann auf den 2. Umgang und von dort ins Zentrum (mit einem Punkt markiert).

Verwandte Beiträge: 

°Kern, Hermann. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen; 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel, 2. Aufl. 1983.

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Ein sehr schönes Labyrinth Exemplar (Abb. 1) mit der Bezeichnung Cakra-vyuh findet sich bei Kern° (Abb. 626, S. 433).

Andere 5

Abbildung 1: Cakra-Vyuh Labyrinth aus einem indischen Ritualbuch

Die Abbildung stammt aus einem zeitgenössischen indischen Ritualbuch. Darin wird ein auch heute noch praktizierter Brauch unbekannten Alters beschrieben, bei dem die Labyrinth Vorstellung zur magischen Erleichterung der Geburt eingesetzt wird. Für Kern ist es ein modifizierter Kretischer Typ. Ich ordne es einem eigenen Typen zu und nenne diesen Typ nach der Bezeichnung von Kern Cakra-Vyuh (siehe Verwandte Beiträge: Typ oder Stil / 14).

Das Seed Pattern ist klar erkennbar. Man kann sich gut vorstellen, dass das Labyrinth vom Seed Pattern aus konstruiert ist. Trotzdem zögere ich, es dem Klassischen Stil zuzuordnen. Dazu weicht die kalligrafisch anmutende Ausführung zu stark vom Klassischen Stil ab. Die Begrenzungsmauern liegen mit dem grössten Teil ihres Umfangs, zu etwa 3/4, auf einer konzentrischen Kreisschar. Es hat somit auch Elemente des konzentrischen Stils. Ja, mit seinen knickfrei aneinandergefügten Bogenstücken, wo die Begrenzungsmauern von der Kreisschar abweichen und ins Seed Pattern münden, erinnert es sogar ein wenig an den Knidos Stil.

Ich habe dieses Labyrinth deshalb bei keinem bekannten Stil, sondern bei anderen Labyrinthen eingeordnet (Typ oder Stil / 9). Aber ich hatte diesen Labyrinth Typ auch schon im Man-in-the-Maze Stil gezeichnet (Wie zeichne ich ein Man-in-the-Maze Labyrinth / 5).

SPCV

Abbildung 2: Aufbau des Seed Pattern

Abb. 2 zeigt, wie das Seed Pattern aufgebaut ist. Man beginnt mit einem zentralen Kreuz. Dann fügt man an die Kreuz Arme Halbbögen an (2. Figur). Als nächstes fügt man in die verbleibenden Zwischenräume vier weitere Halbbögen ein. Das Seed Pattern enthält nun 8 Halbbögen (3. Figur). Zum Schluss wird in jeden Halbbogen ein Punkt gesetzt. Wir haben nun ein Seed Pattern mit 24 Enden, die alle auf einem Kreis liegen.

Am Muster zeigt sich deutlich, dass das Labyrinth eine eigene Wegführung hat. Deshalb ist es für mich ein eigenständiger Typ.

Typ Cakra Vyuh

Abbildung 3: Muster

Ferner ist es ein selbstduales, aber, nach Tony Phillips, uninteressantes Labyrinth (Un- / interessante Labyrinthe). Denn es besteht aus einem sehr interessanten 9-gängigen Labyrinth, mit aussen und innen je einem zusätzlichen, trivialen Umgang.

Verwandte Beiträge:

°Kern, Hermann. Labyrinthe – Erscheinungsformen und Deutungen; 5000 Jahre Gegenwart eines Urbilds. München: Prestel, 2. Aufl. 1983.

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Typ oder Stil / 6

Was ist ein Typ

Das Interessanteste an einem Labyrinth ist die Art und Weise, wie der Weg durchs Labyrinth verläuft. Deshalb verwende ich für die Typologie ausschliesslich die Wegführung. Das ist der Ansatz, der bereits bei Kern aufscheint, aber nicht zu einer vollständigen Typologie entwickelt ist.

Man kann die Wegführung auf verschiedene Weise darstellen, so mit Hilfe der Umgangsfolge oder mit dem Muster. Ich finde das Muster ist einfacher. Deshalb gilt für mich: Labyrinthe mit gleichem Muster sind vom gleichen Typ. Labyrinthe mit unterschiedlichen Mustern gehören verschiedenen Typen an.

RF Kretisches Labyrinth

 

 

 

 

 

Alle Labyrinthe mit diesem Muster sind vom Kretischen Typ

 

RF Reims

 

 

 

 

 

 

Alle Labyrinthe mit diesem Muster sind vom Typ Reims

 

RF Chartres

 

 

 

 

 

 

Alle Labyrinthe mit diesem Muster sind vom Typ Chartres

usw.

Wie man das Muster gewinnt, habe ich hier schon ausführlich beschrieben (siehe verwandte Beiträge, unten).

Erwin gibt gerne die Umgangsfolge als Typenbezeichnung an. Das hat den grossen Vorteil, dass der Labyrinth Typ gleich einen (wenn auch etwas abstrakten) Namen hat. Also z.B.: Typ 3 2 1 4 7 6 5. Es gibt jedoch zwei Gründe, warum ich nicht die Umgangsfolge verwende:

  • Nur bei alternierenden einachsigen Labyrinthen gibt es für jede Umgangsfolge einen einzigen Labyrinth Typ. Zieht man auch nicht-alternierende Labyrinthe in Betracht, bei denen der Weg die Achse kreuzt, kann es pro Umgangsfolge mehr als einen Labyrinth Typ geben.
  • Bei mehrachsigen Labyrinthen ist die Umgangsfolge oft viel länger und komplizierter und deshalb weniger überschaubar.

Deshalb verwende ich das Muster für die Typisierung von Labyrinthen. Dieser Ansatz hat Vor- und Nachteile:

Vorteile
Labyrinth Typen sind klar definierbar. Man kann jedes einzelne Labyrinth Exemplar eindeutig einem Typen zuordnen. Die Typologie ist in der Form einer Vorschrift gegeben. Man muss diese Vorschrift kennen und anwenden. Es ist also nicht nötig, im Voraus alle in Frage kommenden Typen bereitzustellen. Es reicht ein Verzeichnis aller bereits realisierten Typen. Entdeckt oder publiziert jemand einen neuen Typen, wird dieser einfach hinzugefügt.

Nachteile
Es sind unzählige Typen denkbar. Jedoch ist kaum damit zu rechnen, dass in der Praxis zehntausende oder nur tausende von Labyrinth Typen Bestand haben werden. Eher dürften es einige Hundert sein. Es gibt etwa um die 100 verschiedene historische Labyrinth Typen. Eine vollständige Übersicht über die zeitgenössischen Labyrinthe fehlt. Auch dürften etliche Entwürfe oder Skizzen der Vergessenheit anheim fallen. Theoretisch gibt es aber eine unüberschaubare Anzahl möglicher Labyrinth Typen. Das geht schon aus der Arbeit von Tony Phillips hervor, die sich nur auf alternierende einachsige Labyrinthe beschränkt.

Es ist daher notwendig, die Typen auf höherer Ebene weiter zusammenzufassen, z.B. zu Untergruppen, Gruppen und Familien oder anderem. Das gilt aber auch für andere Typologien. Wir haben das in den Typologien von TLS und BL schon gesehen.

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Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Wenn wir nun z.B. das Kretische Labyrinth umstülpen, erhalten wir wieder ein Kretisches Labyrinth, obgleich mit dem Eingang oben.

O-D Kretisch

Abbildung 1. Umstülpung des Kretischen Labyrinths

 

Abb. 1 zeigt den Vorgang und das Ergebnis dieser Umstülpung.

Um das originale und duale Labyrinth zu vergleichen, isolieren wir in bekannter Manier (siehe unten: verwandte Beiträge) das duale Labyrinth und nehmen das darauf liegende Muster mit. Das duale Labyrinth mit dem Muster drehen wir anschliessend, so dass der Eingang unten liegt und setzen es neben das originale Labyrinth.

SD Kret

Abbildung 2. Das originale und duale Labyrinth sind gleich: selbstdual

 

Wie Abb. 2 zeigt, sind das originale und duale Labyrinth gleich. Die beiden zueinander dualen Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um 180° gedreht. Das ist hier ebenfalls der Fall. Die rechte Figur zeigt also wirklich das um 180° gedrehte Muster. Aber dieses Muster ist nach erfolgter Drehung deckungsgleich. Das ist bei „normalen“ dualen Labyrinthen nicht der Fall.

Schauen wir uns nun noch die Umgangsfolgen an. Da das Kretische 7 Umgänge hat, müssen wir hierzu 7 Farben verwenden.

UF 7 Farben

Abbildung 3. Die Farben der Umgänge

 

Abb. 3 zeigt die Folge der Farben. Zusätzlich zu den ersten fünf Farben aus dem letzten Beitrag verwenden wir für den Umgang, der als 6. Umgang vom Weg belegt wird, die Farbe Bordeaux und für den letzten vom Weg belegten Umgang die Farbe orange.

UF Muster Kret

Abbildung 4. Umgangsfolgen im Muster

 

Abb. 4 zeigt die Umgangsfolgen direkt am Muster. Das linke Bild gibt bekanntlich die Umgangsfolge ins originale und aus dem dualen Labyrinth heraus an. Das rechte Bild zeigt die Umgangsfolge ins duale hinein und aus dem originalen Labyrinth heraus. Die beiden Umgangsfolgen sind identisch.

Labyrinthe, bei denen das originale und duale gleich sind, heissen selbstdual. Sie sind etwas Besonderes und haben eine höhere innere Ordnung, als „normale“ duale Labyrinthe.

Muster d sd

Abbildung 5. Muster eines dualen (links) und selbstdualen (rechts) Labyrinths

 

Das sieht man auch, wenn man die Muster von dualen und selbstdualen Labyrinthen vergleicht (Abb. 5). Bei dualen Labyrinthen (linke Figur) verlaufen die erste (graue)  und zweite (schwarze) Hälfte des Weges verschieden, während sie bei selbstdualen Labyrinthen (rechte Figur) übereinstimmend verlaufen.

Einige der herausragendsten Labyrinthe sind selbstdual, z.B. Otfrid, Chartres, Reims, Auxerre, Saffron Walden und einige andere.

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Betrachten wir die Dualität noch einmal vom Muster aus. Die beiden zueinander dualen Labyrinthe haben das gleiche Muster.

M 2L

Abbildung 1. Das Muster und die beiden dualen Labyrinthe

Das Muster ist kein Labyrinth. Es hat keine geschlossene Form und ist indifferent gegenüber aussen und innen. Es kann nach zwei Richtungen in ein Labyrinth überführt werden. Wir haben im letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten: Das duale Labyrinth) den Ariadnefaden des originalen Labyrinths von unten entrollt und nach Methode 2 (s.u.: Vom Ariadnefaden zum Muster – Methode 2) das Muster gewonnen. Dann haben wir das Muster nach der anderen Seite, nach oben, eingerollt und so den Ariadnefaden des dualen Labyrinths gewonnen. Dieser lag mit dem Eingang oben. Um das originale mit dem dualen Labyrinth zu vergleichen, haben wir deshalb das Duale nach unten gedreht.

Wenn man ein Labyrinth dreht, dreht man auch sein Muster. Dies ersieht man übrigens schon aus meinem vorletzten Beitrag (s.u.: Wozu ist das Muster gut?). Dort hatten wir in der Darstellung von Niels Mejlhede Jensen (in Abb. 5) den Ariadnefaden des Labyrinths vom Typ Chartres mit dem Eingang von rechts vorliegen. Das ist eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn gegenüber der von uns praktizierten Ausrichtung nach unten. Konsequenterweise lag dann auch das Muster um eine Vierteldrehung gedreht auf seiner linken Aussenseite.

In unserem Fall hier liegt das duale Labyrinth um einen Halbkreis gedreht auf dem Kopf. Hier will ich zeigen, wie beim Drehen des Labyrinths auch das Muster gedreht wird.

DL isolieren

Abbildung 2. Das duale Labyrinth isoliert

In Abb. 2 isolieren wir zunächst das duale Labyrinth und nehmen das darauf liegende Muster gleich mit.

Muster o-d

Abbildung 3. Das Muster des originalen und dualen Labyrinths

Dann drehen wir in Abb. 3 das isolierte Labyrinth mit dem darauf liegenden Muster nach unten und setzen es neben das originale Labyrinth. Beide Labyrinthe liegen nun mit Eingang von unten und dem Muster oben in der Figur. Das Muster des dualen Labyrinths ist das gleiche wie beim originalen Labyrinth, aber um 180° gedreht.

OL-DLnu

Abbildung 4. Vom originalen zum dualen Labyrinth

Daraus ergibt sich eine wichtige Konsequenz. Man kann nämlich auch wie in Abb. 4 gezeigt vorgehen, um vom originalen zum dualen Labyrinth zu kommen: Zuerst erzeugt man aus dem originalen Labyrinth das Muster. Dann dreht man das Muster um 180°. Nun kann man es wieder nach unten einrollen und so das duale Labyrinth erzeugen.

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