Varianten des Cakra Vyuh Labyrinths

Im letzten Beitrag habe ich vier Varianten des Seed Patterns vom Labyrinth Typ Cakra Vyuh vorgestellt. Da wird man vielleicht wissen wollen, wie die dazu gehörenden vollständigen Labyrinthe aussehen. Die zeige ich hier.

Ich füge also zum bisher einzigen bekannten Exemplar dieses Labyrinth Typs (Original) noch drei weitere Exemplare hinzu. Genau genommen sind nur zwei davon neu: die im Klassischen und Konzentrischen Stil. Das Exemplar im Man-in-the-Maze Stil habe ich ja schon früher auf diesem Blog publiziert. Man beachte ferner: Das originale Labyrinth dreht gegen den Uhrzeigersinn. Die anderen Exemplare habe ich horizontal gespiegelt. Es ist das gleiche Labyrinth. Aber es dreht dann im Uhrzeigersinn. So mache ich das immer, wenn ich eigene Labyrinthdarstellungen zeige. Diese sind dann besser vergleichbar.

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Eine kleine Stilologie

In den beiden letzten Beiträgen habe ich 6 Stile beschrieben. Die kann man natürlich auch zur Ordnung von Labyrinthen verwenden. Das will ich hier beispielhaft zeigen. Ich mache mir nicht die Mühe, alle oder möglichst viele Labyrinthe nach Stilen zu gruppieren, sondern nehme jeweils ein paar Beispiele um zu zeigen, wie eine solche Gruppierung funktionieren würde.

klassisch

 

Labyrinth Exemplare im klassischen Stil

 

konzentrisch

 

Labyrinth Exemplare im konzentrischen Stil

 

MiM

 

Labyrinth Exemplare im MiM Stil

 

chartres

 

Labyrinth Exemplare im Chartres Stil

 

reims

 

Labyrinth Exemplare im Reims oder Bastionen Stil

 

knidos_stil

 

Labyrinth Exemplare im Knidos Stil

 

Labyrinth Exemplare in anderen Stilen

Natürlich kann mit den bisher beschriebenen 6 Stilen längst nicht das ganze Spektrum der Labyrinthe abgedeckt werden. Darum habe ich noch eine Gruppe für andere Stile angefügt und ein paar Beispiele zugeordnet. Unter den vielen Labyrinthen, die keinem der sechs Stile zugeordnet werden können, kann man noch weitere Stile identifizieren. Besonders wenn mehrere Labyrinth Exemplare im gleichen Stil vorliegen. Das trifft für die beiden letzten gezeigten Beispiele (Andere 8, Andere 9) zu.

Wir haben nun die einzelnen Labyrinth Exemplare nach Stilen geordnet. Das Ergebnis ist auch eine Typologie oder wenigstens der Ansatz dazu. Als einziges Kriterium für die Typenbildung haben wir den Stil verwendet. Wir haben also definiert: Typ = Stil.

Weil sich Stil nicht so eindeutig und klar definieren lässt, halte ich dieses Kriterium aber nicht für eine Typologie der Labyrinthe geeignet. Man kann damit nicht ein vollständiges Spektrum sich gegenseitig ausschliessender Gruppen bilden. Zudem zeigt der Stil nicht das Wesentliche des Labyrinths.

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Was ist ein Stil?

Was ein Stil ist, kann nicht so eindeutig und klar festgelegt werden wie der Labyrinth Typ. Man kann Stil umschreiben als eine wegweisende Art der Gestaltung von Labyrinthen. Verschiedene Labyrinth Typen können im gleichen Stil umgesetzt werden. Und umgekehrt kann ein Labyrinth Typ in verschiedenen Stilen umgesetzt werden.

Im folgenden zeige ich einige Stile. Man schaue dabei auf die Figur, nicht auf das, was drin ist. Beim Stil kommt es nicht auf die Anzahl Achsen, Umgänge oder Umgangsfolge an. Das hatten wir schon beim Typ. Man kann sagen: Der Stil ist nicht der Inhalt, sondern die Form. Oder, sinnlicher: was dem Önologen der Wein, ist dem Labyrinthologen der Typ, und entsprechend ist das Gefäss der Stil. Ich zeige darum die Stile absichtlich an einer Figur, die eigentlich noch gar kein Labyrinth ist. Sie hat zwar einen Eingang und einen Zugang zum Zentrum, aber nur einen Umgang. Man kann sie als Vorstufe zu einem Labyrinth betrachten. Damit zeige ich auch, dass Stil wirklich etwas anderes, komplementäres zum Typ ist.

Der klassische Stil ergibt sich, wenn man Labyrinthe von einem Seed Pattern quasi freihändig fertig zeichnet. Daraus resultiert ein eigener Grundriss. Dieser muss im Aussehen nicht exakt festgelegt werden. Er kann variieren zwischen fast rund und rechteckig je nach Zeichner und Labyrinth Typ.

klassisch

Abbildung 1. Der Klassische Stil

Abb. 1 zeigt das Wesentliche dieses Stils. Das Zentrum des Labyrinths ist eng, wie eine Sackgasse ausgebildet. Die Umgänge sind dies- und jenseits der Achse versetzt. Alle einachsigen Labyrinth Typen können in diesem Stil umgesetzt werden, ja man kann auch mehrachsige Labyrinth Typen im klassischen Stil umsetzen.

Am Beispiel im konzentrischen Stil sieht man gut, welche Figur ich zur Präsentation der Stile verwende.

konzentrisch

Abbildung 2. Der Konzentrische Stil

Die wesentlichen Merkmale dieses Stils sind die Übereinstimmung von Mitte der Figur und Zentrum des Labyrinths. Zudem ist das Zentrum des Labyrinths vergrössert. Die axiale Trennwand kann, muss aber nicht auf einem Radius auf das Zentrum hin zulaufen. Ein Punkt in der Mitte kann, muss aber nicht sichtbar sein. Diesen Stil finden wir u.a. in Handschriftenlabyrinthen. Bei manchen sieht man den Zirkeleinschlag.

Der Man-in-the-Maze Stil wurde in diesem Blog schon ausführlich beschrieben. Er ist ein sehr gutes Beispiel dafür, was einen Stil ausmacht: Die originelle grafische Umsetzung – hier auf einem strengen geometrischen Raster.

MiM

Abbildung 3. Der Man-in-the-Maze Stil

Obwohl sie auf einer konzentrischen Kreisschar liegen, sind die MiM Labyrinthe exzentrisch. Das Zentrum des Labyrinths kann bei diesem Stil nicht in der Mitte der Figur liegen. In der Mitte der Figur liegt die Mitte des Seed Pattern.

Auch die herausragende Gestaltung des Labyrinths in der Kathedrale von Chartres illustriert gut, was einen Stil ausmacht.

chartres

Abbildung 4. Der Chartres Stil

Besondere Merkmale dieses Stils sind die Lunetten im Zentrum und die Zacken im Aussenbereich. Es existieren etliche Labyrinth Exemplare, die dem Chartres Stil nachempfunden sind. Sie verwenden entweder die Lunetten oder die Zacken oder beide Stilmerkmale zusammen. Chartres ist auch ein Stil! Wir haben es also mit einem Typ und einem Stil Chartres zu tun. Das wird uns noch beschäftigen.

Ähnliches gilt auch für das Labyrinth von Reims. Man kann auch von einem Reims Stil oder Bastionen Stil sprechen.

reims

Abbildung 5. Der Reims Stil

Auch das Labyrinth, das in der Kathedrale von Reims ausgelegt war, hat eine wegweisende Gestaltung. Dabei meine ich nicht primär die gesetzmässige Verwendung der achteckigen Form. Schon diese selbst ist beachtenswert. Stilbildend sind aber die Bastionen. Bastionen sind, auch in abgewandelten gerundeten Formen in anderen Labyrinth Exemplaren aufgegriffen worden.

Viele andere Labyrinthe haben besondere grafische Merkmale, z.B. Nîmes, Ravenna, Al Qazwini, Cakra-vyuh. Einige davon sind einzelne Exemplare. Was einen Stil ausmacht, kann nicht abschliessend gesagt werden. Welches Element einen Stil prägen kann und ob nur eins oder gleich mehrere herausragende Elemente vorliegen sollen, dürfte umstritten bleiben. Ein zentrales Erfordernis aber scheint mir, dass der Stil in mehreren Labyrinth Exemplaren auffindbar sein muss. Dass er also andere Labyrinthe beeinflusst hat.

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Die Formel

Viele Man-in-the-Maze (MiM) Darstellungen zeigen den Kretischen Labyrinth Typ. Viele andere MiM-Figuren sehen nur ähnlich aus, sind aber keine Labyrinthe. Mit der Keimstruktur und der MiM-Hilfsfigur können wir jeden einachsigen Labyrinth Typ im MiM-Stil zeichnen. Wir müssen dazu die Keimstruktur variieren, ins Zentrum der Hilfsfigur setzen und dann zum Labyrinth vervollständigen. Dafür müssen wir aber noch genau wissen, wieviele Speichen und Ringe die Hilfsfigur für einen bestimmten Labyrinth Typ haben muss. Beides wird von seiner Keimstruktur bestimmt. Man kann es mit Probieren herausfinden. Es kann aber auch mit einer Formel berechnet werden. Abbildung 1 zeigt am Beispiel meines Demonstrationslabyrinths (siehe auch Beitrag / 5 dieser Serie, verwandte Beiträge unten), wie das geht.

MiM_KS_Formel

Abbildung 1: Die Formel

Dabei gilt: S ist die Anzahl Speichen der Hilfsfigur, E ist die Anzahl Enden der Keimstruktur, R ist die Anzahl Ringe der Hilfsfigur, V ist die Anzahl Verschachtelungen des Elements mit den meisten Verschachtelungen aus der Keimstruktur. Abb. 1 zeigt die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern (blau) mit allen Wendestellen (rot) eingezeichnet. (Das rot Eingezeichnete ist übrigens nichts anderes als die Keimstruktur für den Ariadnefaden.) Zur Bestimmung der Anzahl Speichen verwenden wir die ganze Keimstruktur für die Begrenzungsmauern. Man zähle die Enden. Die Anzahl Speichen ist gleich der Anzahl Enden der Keimstruktur: S = E. Etwas komplizierter ist die Anzahl Ringe zu berechnen. Dafür wird die Anzahl Speichen benötigt plus zusätzlich dasjenige Element aus der Keimstruktur für den Ariadnefaden, das die meisten verschachtelten Wendestellen enthält. Das ist in Abb. 1 das Element der rechten Hälfte mit drei verschachtelten Wenden. Die Anzahl Ringe ist gleich der Anzahl Speichen dividiert durch 2 plus der Anzahl Verschachtelungen plus 1, also: R = S/2 + V + 1. Die Hilfsfigur für mein Demonstrationslabyrinth im MiM-Stil benötigt somit 12 Speichen und 12/2 + 3 + 1= 10 Ringe. Testen wir die Formel mit einigen anderen Labyrinthen aus früheren Beiträgen dieser Serie. Die Hilfsfigur für

  • das Kretische benötigt 16 Speichen und 16/2 + 2 + 1 = 11 Ringe (vgl. Beitrag 1, verwandte Beiträge unten)
  • das Labyrinth vom Typ Löwenstein 3 benötigt 8 Speichen und 8/2 + 1 + 1 = 6 Ringe (vgl. Beitrag / 4, verwandte Beiträge unten)
  • das Labyrinth vom Typ Otfrid benötigt 24 Speichen und 24/2 + 2 + 1 =15 Ringe (vgl. Beitrag / 4, verwandte Beiträge unten)

Die Anzahl Speichen hängt nur von der Anzahl Umgänge des Labyrinths ab. Alle Hilfsfiguren von Labyrinthen mit gleicher Umgangszahl haben die gleiche Anzahl Speichen. Die Anzahl der Ringe hängt ebenfalls von der Anzahl Umgänge, aber zusätzlich auch noch von der Tiefe der Verschachtelung der Keimstruktur ab. Die Hilfsfiguren für Labyrinthe mit gleicher Umgangszahl können verschiedene Anzahlen Ringe haben (siehe Beitrag /3, verwandte Beiträge). An dieser Stelle muss noch etwas zur Anzahl Verschachtelungen präzisiert werden. Das am meisten verschachtelte Element der Keimstruktur meines Demonstrationslabyrinths hat drei ineinandergestellte Bögen, also drei Verschachtelungen. Nun gibt es aber auch Keimstrukturen, bei denen mehrere Bögen auf der gleichen Ebene von einem Bogen auf der nächsten Ebene umklammert werden.

MiM_KS_Verschachtelung

Abbildung 2. Verschachtelte Ebenen

Zwei Beispiele dafür sind in Abb. 2 aufgeführt. Die linke Figur hat 4 Elemente, aber nur 3 Verschachtelungen, da die beiden Bögen rechts untereinander auf der gleichen Ebene liegen. Die rechte Figur hat 5 Elemente, aber ebenfalls nur 3 Verschachtelungen. Es kommt auf die Anzahl verschachtelter Ebenen, nicht auf die Anzahl der Bögen an. Das soll an einem Beispiel erläutert werden, das bisher noch nicht im MiM Stil gezeigt wurde. Dazu eignet sich gut das fünfgängige, alternierende Labyrinth, das Arnol’d’s Figur 6 entspricht und auf diesem Blog schon mehrfach gezeigt wurde.

KS_A6

Abbildung 3. Chartres 5 klassisch

Die Keimstruktur dieses Labyrinths hat zwei Elemente mit 2 Verschachtelungen. Jedes Element enthält 3 Bögen, d.h. 2 Bögen auf der ersten Ebene, die in einem Bogen der 2. Ebene verschachtelt sind. Nach der Formel hat die MiM-Hilfsfigur für diesen Labyrinth Typ 12 Speichen, wie alle Labyrinthe mit fünf Umgängen, und 12/2 + 2 + 1 = 9 Ringe. Das ist 1 Ring weniger als die Hilfsfigur für mein Demonstrationslabyrinth mit ebenfalls fünf Umgängen. Mit dieser Formel haben wir nun alles beisammen, um jedes beliebige einachsige Labyrinth in den MiM-Stil umzusetzen. Dies sind die einzelnen dafür nötigen Schritte:

  • Wahl des Labyrinth-Typs
  • Bestimmung der Keimstruktur
  • Berechnung der Anzahl Speichen und Ringe der Hilfsfigur
  • Variation der Keimstruktur in den MiM-Stil
  • Platzierung der Keimstruktur in der Mitte der Hilfsfigur
  • Bestimmung der Lage des Zentrums des Labyrinths
  • Vervollständigung der Keimstruktur um das Zentrum von innen nach aussen zum Labyrinth.

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