Vom Labyrinth zum Muster

Zusammenfassung

Wie das Labyrinth selbst und die Keimstruktur so kann auch die Rechteckform auf zwei Arten dargestellt werden: mit den Begrenzungsmauern oder mit dem Ariadnefaden. Zudem gibt es zwei Methoden zur Gewinnung und damit zwei Versionen der Rechteckform. In Abb. 1 wird das am Beispiel meines Demonstrationslabyrinths zusammengefasst.

L:KS:RF Darst

Abbildung 1. Übersicht

Die Abbildung enthält auf der ersten Linie das Labyrinth (Figuren 1) , auf der zweiten Linie die Keimstruktur (Figuren 2), auf der dritten Linie die Rechteckform gewonnen nach Methode 1 (Figuren 3) und auf der untersten Linie die Rechteckform gewonnen nach Methode 2 (Figuren 4). Diese sind jeweils dargestellt mit den Begrenzungsmauern (linke Figuren a) und mit dem Ariadnefaden (rechte Figuren b).

  • Wenn man von „Labyrinth“ spricht, meint man gewöhnlich das Labyrinth in der Darstellung mit den Begrenzungsmauern. Das ist die Figur 1a. Aber auch die Darstellung mit dem Ariadnefaden ist weit verbreitet und allgemein bekannt (Fig. 1 b). Man nennt diese auch einfach den „Ariadnefaden“
  • Was ich „Keimstruktur“ nenne, heisst bei Erwin „Grundmuster“. Figur 2 a zeigt die Keimstruktur für die Begrenzungsmauern, Figur 2 b die Keimstruktur für den Ariadnefaden. Darüber haben Erwin und ich in letzter Zeit in diesem Blog soviel geschrieben, dass ich nicht weiter darauf eingehen will.
  • Wenn man vom Labyrinth (Figur 1 a) oder vom Ariadnefaden (Figur 1 b) ausgeht und die Methode 1 anwendet, erhält man als Ergebnis die Rechteckformen der Zeile 3. Es gibt also sowohl eine Rechteckform für die Begrenzungsmauern (fig. 3a) als auch für den Ariadnefaden (fig. 3b).
  • Wendet man die Methode 2 an, erhält man die Rechteckformen der Zeile 4. Das sind dieselben wie in Zeile 3, aber um einen Halbkreis gedreht.

Für „Rechteckform“ findet man in der Literatur auch Bezeichnungen wie „Liniendiagramm“ oder „Kompressionsdiagramm“ oder andere. Dabei sieht man am häufigsten Rechteckformen für die Begrenzungsmauern nach Methode 1, so wie Fig. 3a.

RF BM M1

Abbildung 2. Figur 3a

Ich verwende hingegen ausschliesslich die Rechteckform für den Ariadnefaden. Dies ist die einfachere graphische Darstellung. Zudem verwende ich die mit der Methode 2 gewonnene Version, da sie im Ergebnis von links oben nach rechts unten zu lesen ist, was unseren Lesegewohnheiten mehr entspricht. Diese Figur (als Bsp.: Fig. 4 b), die nach Methode 2 gewonnene Rechteckform des Ariadnefadens, nenne ich das Muster.

RF AF M2

Abbildung 3. Figur 4b

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Vom Ariadnefaden zum Muster

Methode 1

Im letzten Beitrag habe ich gezeigt, wie man die Keimstruktur in das Muster umformen kann. Das kommt auf das Gleiche hinaus, wie wenn man den Ariadnefaden in die Rechteckform bringt.

Lage KS

Abbildung 1. Ariadnefaden und Lage der Keimstruktur

Abb. 1 zeigt den Ariadnefaden meines Demonstrationslabyrinths mit der Keimstruktur hervorgehoben. Ausserdem ist hier noch die Lage des Eingangs (Pfeil) und des Zentrums (Punkt) angegeben.

AF-M

Abbildung 2. Rotieren der rechten Hälfte der Achse…

In Abb. 2 halten wir nun die linke Hälfte der Achse fest und drehen die rechte Hälfte entlang den Umgängen um eine Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn. Dadurch werden die Umgänge immer weiter verkürzt. Kurz bevor die rechte Hälfte auf der anderen Seite wieder auf die linke Hälfte der Keimstruktur trifft, sind die Umgänge zu kleinen Strecken geschrumpft. Aber man sieht: Es sind tatsächlich die Umgänge, die die Enden der den beiden Hälften der Keimstruktur miteinander verbinden.

Mäander_Meth1

Abbildung 3. … bis sie von der anderen Seite auf die linke Hälfte trifft

Wenn dann die beiden Hälften ganz aufeinander treffen, verschwinden die Reste der Umgänge. An ihrer Stelle erscheint die Gerade des Mäanders. Diese setzt sich zusammen aus den beiden äusseren Senkrechten der originalen Umrissfigur der Keimstruktur.

Es ist also absolut berechtigt, wenn wir den Mäander an der Stelle der vertikalen Geraden begradigen. Zwischen den Enden der Keimstruktur liegen wirklich die Umgänge.

In Abb. 3 haben wir aus dem Ariadnefaden den Mäander erzeugt, indem wir die eine Hälfte der Achse festgehalten und die andere um eine volle Umdrehung gedreht haben. Diese Art der Erzeugung nenne ich Methode 1. Ich habe die linke Hälfte festgehalten und die rechte Hälfte rotiert.

Muster Meth1b

Abbildung 4. Rotieren der linken Hälfte der Achse um einen vollen Überschlag

Abb. 4 zeigt: Man kann auch die rechte Hälfte festhalten und die linke rotieren. Das macht im Ergebnis keinen Unterschied.

Muster Erg1

Abbildung 5. Ergebnis: Muster mit Eingang rechts unten und Zentrum links oben

Das Ergebnis dieser Methode 1 ist in beiden Fällen derselbe Mäander, der auf die bekannte Weise zum Muster begradigt wird.

Wichtig: Man beachte, dass nach dieser Umformung im Muster der Eingang unten rechts und das Zentrum oben links liegen. Dieses Ergebnis ist gegen die spontane Intuition und widerspricht unseren Lesegewohnheiten. Es ist eine Folge der angewendeten Methode 1.

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Keimstruktur und Muster

In früheren Beiträgen habe ich gezeigt, dass es von einem Labyrinth / von einer Keimstruktur verschiedene Varianten geben kann.

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Abbildung 1. Varianten der gleichen Keimstruktur

In Abb. 1 zeige ich nochmals einige Varianten der Keimstruktur für den Ariadnefaden meines Demonstrationslabyrinths. Die gleiche Keimstruktur kann z.B. mit rundem, elliptischem, blattförmigem oder auch rechteckigem Umriss gezeichnet werden. Die Umrisslinie ist nur eine Hilfsfigur. Die Keimstruktur selbst wird durch das Liniensystem innerhalb dieser Hilfsfigur gebildet. Je nach der Form der Umrisslinie sind ihre Bögen etwas anders ausgerichtet oder gerundet. Aber sie sind immer gleich angeordnet. Oben links eine unverschachtelte, unten links zwei verschachtelte und rechts drei verschachtelte Wenden. Welche Variante der Keimstruktur am besten geeignet ist, hängt vom Zweck ab.

In diesem Beitrag will ich den Zusammenhang zwischen der Keimstruktur und dem Muster zeigen. Für diesen Zweck eignet sich die rechteckige Variante am besten. Man kann in wenigen Schritten die Keimstruktur in das Muster überführen.

KS Umf1

Abbildung 2. Von der Keimstruktur zum Mäander

Die linke Figur der Abb. 2 zeigt die rechteckige Variante der Keimstruktur. In der rechten Figur ist diese als Ausgangslage grau dargestellt. Die rechte Hälfte der Keimstruktur wird zuerst soweit gegen die linke verschoben (rot dargestellt), bis sie auf die andere Seite der linken Hälfte zu liegen kommt.

KS Umf2

Abbildung 3. Vom Mäander zum Muster

Das Ergebnis dieser Verschiebung ist ein Mäander. Es ist eine der Arnol’d’schen Figuren. Dieser Mäander wird im nächsten Schritt begradigt, wie das hier schon gezeigt wurde. Dazu wird die rechte Hälfte der Keimstruktur noch etwas weiter nach links verschoben. Die einander gegenüberliegenden Enden werden dann mit Linien verbunden.

KS Muster

Abbildung 4. Muster

Das Ergebnis der Begradigung ist in Abb. 4 ersichtlich. Man sieht: der erste und wichtigste Schritt der Begradigung ist der horizontale. Dieser macht sichtbar, wo die Umgänge im Muster liegen. Nun kann man leicht noch die achsialen Strecken begradigen und so das Muster fertigstellen.

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Die Keimstruktur bei mehrachsigen Labyrinthen (Fortsetzung)

Im letzten Beitrag (verwandte Beiträge unten) habe ich gezeigt, dass man auch für mehrachsige Labyrinthe eine Keimstruktur zeichnen kann. Bei der Keimstruktur für den Ariadnefaden kann man die Achsen in der Form einer Blüte (oder eines Propellers) verbinden. Für jede Achse wird ein Blatt benötigt.

Abbildung 1. Umrisslinien

Abbildung 1. Umrisslinien

Diese Umrissfiguren können alle elegant in einer zusammenhängenden Linie gezeichnet werden.

Abbildung 2. Zeichnung der Umrisslinie

Abbildung 2. Zeichnung der Umrisslinie

Abb. 2 illustriert das an einem dreiachsigen Labyrinth. Auf die gleiche Weise können auch andere mehrachsige Blüten erzeugt werden.

Jedes Blatt enthält die Teil-Keimstruktur einer Achse. Das will ich am Beispiel eines meiner fünfachsigen Labyrinthe zeigen. Ich nehme dazu meinen Entwurf KS 2-3, der als temporäres Labyrinth auf dem Magdeburger Domplatz realisiert worden ist. Dieses Labyrinth ist z.Z. im Header zu sehen. Ansonsten gibt es ein Bild davon hier.

Abbildung 3. KS 2-3

Abbildung 3. KS 2-3

Abb. 3 zeigt das Labyrinth in einer Zeichnung von Erwin mit den Begrenzungsmauern und dem Ariadnefaden (rot) eingezeichnet.

Abbildung 4. Keimstruktur für den Ariadnefaden

Abbildung 4. Keimstruktur für den Ariadnefaden

Abb. 4 enthält die Keimstruktur für den Ariadnefaden für sich und zum Ariadnefaden komplettiert. Um diese Keimstruktur zu vervollständigen, müssen für jeden Umgang 10 Enden mit jeweils fünf Teilstrecken verbunden werden. Man sieht: je mehr Achsen ein Labyrinth hat, umso mehr nähert sich die Keimstruktur dem vollständigen Labyrinth an. Die Teilstrecken werden im Verhältnis zu den Teil-Keimstrukturen immer kürzer.

Die Keimstruktur wurde zuerst und am häufigsten für die Begrenzungsmauern des Kretischen Labyrinth Typs publiziert. Auch für etliche andere einachsige Labyrinthe sind Keimstrukturen publiziert worden. Sie ist also kein besonderes Merkmal des Kretischen Labyrinths. Ja sie ist nicht einmal ein besonderes Alleinstellungsmerkmal der einachsigen Labyrinthe.

Die Verwendung von Keimstrukturen bei mehrachsigen Labyrinthen hat aber kaum eine praktische Bedeutung. Der ursprüngliche Sinn und Zweck der Keimstruktur ist, dass man sich mit einem einfachen einprägsamen Liniensystem das Wesentliche merken und damit das Labyrinth aus dem Stand erzeugen kann. Das trifft für die Keimstrukturen des Kretischen Labyrinths und seiner Verwandten in der vertikalen Linie am besten zu.

Abbildung 5. Keimstrukturen des Kreischen Labyrinths und seiner  vertikalen Verwandten

Abbildung 5. Keimstrukturen des Kreischen Labyrinths und seiner vertikalen Verwandten

Abb. 5 enthält die Keimstrukturen für die Begrenzungsmauern in der ersten Spalte und für den Ariadnefaden in der zweiten Spalte. Die dazu gehörenden Labyrinth Typen sind:

  • Zeile 1: Löwenstein 3
  • Zeile 2: Das Kretische
  • Zeile 3: Hesselager
  • Zeile 4: Tibble

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