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Posts Tagged ‘Durchgangslabyrinth’

Hier geht es um die Dechiffrierung der Umgangsfolgen der reihenförmigen 21 Babylonischen Eingeweidelabyrinthe aus dem letzten Artikel zu diesem Thema (siehe verwandte Artikel unten).

Die Frage lautet: Lassen sich daraus einachsige alternierende Labyrinthe mit einem Ziel in der Mitte erzeugen? Also keine Durchgangslabyrinthe, wo der auch eindeutige Weg hindurchführt, sondern in ein Zentrum mündet.
Vielleich könnte man sie als „Hinein-Labyrinthe“ bezeichnen im Gegensatz zu den „Hindurch-Labyrinthen“?

Die kurze Antwort: Ja, es geht. Und es entstehen 21 neue, bisher unbekannte Labyrinthe.

Die Umgangsfolge für ein Durchgangslabyrinthe lässt sich umwandeln in eine für ein Hinein-Labyrinth durch Weglassen der letzten „0“, die für „außen“ steht. Die höchste Zahl steht immer für das Zentrum. Sollte diese nicht an letzter Stelle in der Umgangsfolge stehen, muss man noch eine Zahl hinzufügen.
Dieser „Trick“ ist nur bei zwei Labyrinthen notwendig und führt dann zu Labyrinthen mit geradzahligen Umgängen (bei VAT 984_6 und bei VAN 9447_7).

Die Galerie zeigt alle 21 Labyrinthe im konzentrischen Stil mit einer größeren Mitte.

Sie können ein einzelnes Bild in einer größeren Version anschauen durch Anklicken mit der Maus:

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines ist bisher irgendwo aufgetaucht. Sie haben zwischen 9 und 16 Umgänge, die meisten jedoch 11 Umgänge. Es gibt zwischen 3 und 6 Wendepunkte.

In diesen Konstellationen gibt es rein mathematisch gesehen 134871 Varianten von interessanten Labyrinthen wie der Mathematik-Professor Tony Phillips nachgewiesen hat.

Es sind also noch lange nicht alle Möglichkeiten ausgeschöpft, neue Labyrinthe zu finden oder zu erfinden.

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Weiterführender Link
Die Website von Tony Phillips (in Englisch)

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Genauer gesagt: Die Umgangsfolgen der reihenförmig gebildeten Eingeweidelabyrinthe. Unter den bisher insgesamt bekannten 27 Eingeweidelabyrinthen gibt es 21 reihenförmige Eingeweidelabyrinthe als Durchgangslabyrinthe. Als Unterscheidungsmerkmal kann dabei die Umgangsfolge dienen. Hier möchte ich gerne die Umgangsfolgen aller 21 Exemplare darstellen.

Schauen Sie dazu die einzelnen Bilder in der Galerie durch Anklicken in einer größeren Version an:

Die Methode besteht darin, die in Reihe stehenden senkrechten Schleifen von links nach rechts zu nummerieren. Die bogenförmigen Übergänge erhalten keine Nummer. „0“ steht dabei für außen. Bei den beiden quer verlaufenden Schleifen in E 3384 r_4 und E 3384 r_5 gilt ebenfalls: von links nach rechts. Ein besonderes Exemplar ist E 3384 v_4. Hier sind einige Schleifen „ausgelagert“. Doch auch da lässt sich eine sinnvolle Umgangsfolge finden.

Alle Labyrinthe sind unterschiedlich. Keines gleicht dem anderen. Das allein ist schon bemerkenswert. Sie folgen also keinem einheitlichen Muster.

Ein erster Blick auf die Umgangsfolgen zeigt, dass sie sehr stark an die Umgangsfolgen einachsiger alternierender klassischer Labyrinthe erinnern. Das heißt: Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl. Dann folgen im Wechsel gerade und ungerade Zahlen.

In einem der nächsten Artikel geht es dann an die Dechiffrierung der Umgangsfolgen.

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Oder anders gefragt: Kann ich ein klassisches Labyrinth in ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth umwandeln?

Da gilt es, zunächst die Unterschiede zu erkennen; und dann das Verbindende.

Als Beispiel wähle ich das wohl bekannteste klassische Labyrinth: das 7-gängige kretische Labyrinth.

Das 7-gängige Labyrinth

Das 7-gängige kretisch Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es hat ein Zentrum und einen Eingang. Es gibt nur einen Weg hinein. In der Mitte bin ich am Ziel und am Ende des Weges. Zurück geht es in umgekehrter Richtung.

Bei den Babylonischen Eingeweidelabyrinthen kann man zwei Hauptgruppen unterscheiden. Die einen sind mehr rund und ineinander verschlungen, bei den anderen sind die Schlingen reihenförmig angeordnet.

Als Beispiel wähle ich hier das Labyrinth E3384_r8 auf einer Tontafel von Tell Barri (Syrien) (mehr dazu siehe Verwandte Artikel unten).

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth

Ein Babylonisches Eingeweidelabyrinth mit 10 Umgängen und zwei Zugängen

Beim Eingeweidelabyrinth habe ich zwei Zugänge und kein eigentliches Zentrum. Der Weg führt jedoch durch alle Schlingen hindurch bis zum anderen Zugang. Es ist also ein Durchgangslabyrinth.

Die Umgänge sind hier von links nach rechts nummeriert, während sie bei den klassischen Labyrinthen von außen nach innen nummeriert sind.  „0“ steht jeweils für die Außenwelt, bei den klassischen die letzte Ziffer für das Zentrum.

Bei jedem Labyrinth steht eine Ziffernfolge, die Umgangs- oder Wegfolge. Das ist die Reihenfolge, in der die Umgänge der Reihe nach durchlaufen werden.

Das verbindende Element ist also die Umgangsfolge. Wir müssen daher aus den Umgangsfolgen der klassischen Labyrinthe „reihenförmige“ Durchgangslabyrinthe konstruieren.

Als erstes nehmen wir das 7-gängige Labyrinth, wie oben gezeigt. Wir verwenden die Umgangsfolge und verbinden die in Reihe angeordneten Umgänge dementsprechend. Die zweite „0“ zeigt an, dass wir ein Durchgangslabyrinth haben.
Das sieht dann wie folgt aus:

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth

Das 7-gängige Labyrinth als Eingeweidelabyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das machen wir jetzt noch für einige klassische Labyrinthe.

Das 3-gängige Labyrinth

Das 3-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Das Original ist aus dem Mäander entwickelt und wird auch Knossos Labyrinth genannt. Das rechte ist aus dem „abgemagerten“ Grundmuster entwickelt, stellt aber gleichzeitig das komplementäre zum Knossos Labyrinth dar. Darunter dann die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe.


Ein 5-gängiges Labyrinth:

Das 5-gängige Labyrinth

Das 5-gängige Labyrinth: links das Original, rechts das komplementäre

Es gibt noch weitere 5-gängige Labyrinthe mit einer anderen Wegfolge. Aber im Prinzip ist der Vorgang der gleiche.

Das waren jetzt alles selbstduale Labyrinthe.


Nun nehmen wir ein 9-gängiges Labyrinth. Da gibt es mehr Varianten:

Das 9-gängige Labyrinth

Ein 9-gängiges Labyrinth in vier Ausführungen

Dazu die entsprechenden Eingeweidelabyrinthe:

Die Eingeweidelabyrinthe

Die Eingeweidelabyrinthe


Hier das 11-gängige Labyrinth mit den entsprechenden Eingeweidelabyrinthen:

Das 11-gängige Labyrinth

Das 11-gängige Labyrinth

Das ist wieder selbstdual. Darum gibt es nur ein komplementäres dazu.


Hier das 15-gängige Labyrinth:

Das 15-gängige Labyrinth

Das 15-gängige Labyrinth

Auch dieses ist selbstdual.

Wenn wir nun diese hier neu abgeleiteten Eingeweidelabyrinthe mit den bisher bekannten historischen Babylonischen Eingeweidelabyrinthen vergleichen, können wir keine Übereinstimmung feststellen. Vielleicht taucht ja evtl. noch irgendwo und irgendwann eine Tontafel mit einem identischen Labyrinth auf?

Bisher kennen wir etwa 21 Babylonische Eingeweidelabyrinthe verschiedenster Art, die wir als reihenförmige Labyrinthe ansehen können.

Zum Vergleich empfehle ich den untenstehenden Artikel mit der Übersicht.

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Wir nehmen ein 7-gängiges kretisches Labyrinth und nummerieren die einzelnen Umgänge von außen nach innen. „0“ steht für außen, „8“ bezeichnet das Zentrum. Die beiden Ziffern nehme ich in die Umgangsfolge mit hinein, obwohl sie eigentlich keine Umgänge sind. Als Start- und Zielpunkte erleichtern sie jedoch das Verständnis der Struktur des Labyrinths.

Der Ariadnefaden im 7-gängigen Labyrinth

Der Ariadnefaden im 7-gängigen Labyrinth

Die Umgangsfolge lautet: 0-3-2-1-4-7-6-5-8

Jeder, der schon einmal den Ariadnefaden in den Schnee „getrampelt“ hat, kennt das: Plötzlich ist kein Platz mehr in der Mitte und da geht man einfach heraus. Und schon hat man ein Durchgangslabyrinth geschaffen. Das ist bei nahezu allen Labyrinthen möglich.

So sieht es dann vielleicht aus:

Der Ariadnefaden im Durchgangslabyrinth

Der Ariadnefaden im Durchgangslabyrinth

Will man nun ein kompakteres Labyrinth, muss man die Form verändern. Die inneren Umgänge werden letztlich zu einer Doppelspirale. Statt zweier getrennter Wege, lässt sich dieser auch zusammenführen und wir haben eine Verknüpfung.

Etwa so:

Das 7-gängige Durchgangslabyrinth

Das 7-gängige Durchgangslabyrinth

Betrachten wir die Umgangsfolge, wenn wir den linken Weg nehmen oder die Abzweigung nach links:
0-3-2-1-4-7-6-5-0

Jetzt nehmen wir zuerst den rechten Weg oder die Abzweigung nach rechts, dann ist die Umgangsfolge:
0-5-6-7-4-1-2-3-0

Da die zwei Reihen untereinander geschrieben sind, lassen sie sich ganz einfach addieren (ohne erste und letzte Ziffer):
8-8-8-8-8-8-8

Das bedeutet: Gehe ich nach links, bin ich im originalen Labyrinth, gehe ich nach rechts, durchquere ich das komplementäre.

Das komplementäre Labyrinth zum 7-gängigen Labyrinth

Das komplementäre Labyrinth zum 7-gängigen Labyrinth

Es hat die Umgangsfolge 0-5-6-7-4-1-2-3-8.

Oder anders ausgedrückt: Das Durchgangslabyrinth enthält zwei verschiedene Labyrinthe, das originale und das komplementäre.

Das 7-gängige kretische Labyrinth ist selbstdual. Dadurch erhalte ich nur zwei verschiedene Labyrinthe durch das Drehen oder Spiegeln, wie Andreas das ausführlich in seinen vorangegangenen Artikeln beschrieben hat.

Wie sieht nun das Durchgangslabyrinth bei einem nicht selbstdualen Labyrinth aus?

Dazu wähle ich ein 9-gängiges Labyrinth als Beispiel:

Ein 9-gängiges Labyrinth

Ein 9-gängiges Labyrinth

Hier sind die Begrenzungslinien dargestellt.
Links oben sehen wir das originale Labyrinth, rechts daneben ist das duale dazu.
Links unten sehen wir das komplementäre zum originalen (oben), rechts daneben ist das duale dazu.
Dieses duale ist aber gleichzeitig auch das komplementäre zum dualen oben.

Das erste 9-gängige Durchgangslabyrinth

Das erste 9-gängige Durchgangslabyrinth

Das erste Durchgangslabyrinth zeigt links den Weg wie im originalen Labyrinth. Rechts zeigt sich jedoch überraschenderweise der Weg des komplementären Labyrinthes zum dualen Labyrinth.

Und das zweite?

Das zweite 9-gängige Durchgangslabyrinth

Das zweite 9-gängige Durchgangslabyrinth

Der linke Weg entspricht dem dualen Labyrinth des Originals. Der rechte Weg aber dem komplementären Labyrinth des Originals.

Jetzt schauen wir wieder ein selbstduales Labyrinth an, ein 11-gängiges, das aus dem erweitertem Grundmuster entwickelt wurde.

Ein 11-gängiges Labyrinth im Knidos Stil

Ein 11-gängiges Labyrinth im Knidos Stil

Das linke ist das originale Labyrinth mit der Umgangsfolge:
0-5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-12

Das rechte zeigt das komplementäre dazu mit der Umgangsfolge:
0-7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12

Die Probe durch Addition (ohne erste und letzte Ziffer):
12-12-12-12-12-12-12-12-12-12-12

Nun konstruieren wir wieder das dazugehörige Durchgangslabyrinth:

Das 11-gängige Durchgangslabyrinth

Das 11-gängige Durchgangslabyrinth

Wieder sehen wir das originale und das komplementäre Labyrinth in einer Figur vereint. Die Umgangsfolgen vorwärts und rückwärts gelesen, zeigen auch, daß die beiden Labyrinthe spiegelsymmetrisch sind. Das trifft auch auf die vorangegangenen Durchgangslabyrinthe zu.

Das sind jetzt alles labyrinththeoretische Überlegungen. Aber hat es solch ein Labyrinth schon einmal als historisches Labyrinth gegeben? Das 7- und das 9-gängige sind mir noch nicht begegnet, aber das 11-gängige Durchgangslabyrinth ist mir bei der Beschäftigung mit den Babylons auf den Solovki-Inseln schon begegnet (siehe Verwandte Artikel unten), Dabei habe ich auch überlegt, wie diese Labyrinthe wohl entstanden sind. Sicher nicht aus den vorgenannten theoretischen Überlegungen heraus, sondern eher aus einer „Mutation“ der 11-gängigen Trojaburgen im skandinavischen Raum. Und damit zusammenhängend auch aus einer anderen Sicht auf die Labyrinthe in dieser Kultur.

Ein besonders schönes Exemplar gibt es als 15-gängiges Labyrinth unter einem Leuchtturm auf der schwedischen Insel Rödkallen im Bottnischen Meerbusen.

Eine 15-gängige Trojaburg auf der Insel Rödkallen

Eine 15-gängige Trojaburg auf der Insel Rödkallen, Foto mit freundlicher Genehmigung von Swedish Lapland.com, © Göran Wallin

Es hat eine offene Mitte und wieder die Verzweigung für die Wahl des Weges. Mehr über schwedische Labyrinthe bringt dieser Artikel auf Swedish Lapland.com von Göran Wallin.

Für mich zeigt sich in diesen Labyrinthen eine ganz besondere Qualität, auch wenn damit ein Paradigmenwechsel verbunden ist.

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Die Babylonischen Eingeweidelabyrinthe haben Eingang gefunden in die moderne Medizin. Auf eine ganz ungewöhnliche Art und Weise. Ein labyrinth-artiger Chip dient zur Diagnose von Krebszellen im Blut. Die labyrinthische Anordnung der Bahnen erweist sich als ein wirkungsvolles Werkzeug zur Isolierung von zirkulierenden Krebszellen im Blut. Das heißt, dass die kurvenreiche  und gewundene Linienführung im Labyrinth dabei besonders nützlich ist.

Labyrinth-Chip

Labyrinth-Chip, Foto mit freundlicher Genehmigung der Universität Michigan, © Joseph XU, Michigan Engineering Communications & Marketing

Was ist das nun für ein Labyrinth?
Auf den ersten Blick erinnert es an ein mittelalterliches Labyrinth, wie das berühmte Chartres Labyrinth. Es hat zehn Umgänge in drei Sektoren, in einem sind es acht. Sie werden nicht der Reihe nach durchlaufen, sondern wechselweise. Und dann hat es zwei Zugänge: Einen Eingang und einen Ausgang. Es ist also ein Durchgangslabyrinth wie wir das von den Babylonischen Labyrinthen kennen. Wir haben daher einen eigenen, neuen Typ vor uns. Dargestellt ist der Weg im Labyrinth, der Ariadnefaden. Das erinnert uns an den Mythos vom Minotauros, den es zu bekämpfen gilt wie hier den Krebs.
Dienten die Babylonischen Eingeweidelabyrinthe zur Wahrsagung, dient hier das Labyrinth der Medizin.
Das erinnert mich an „Ancient Myths & Modern Uses„, ein Buch über Labyrinthe von Sig Lonegren.

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Oder andersherum gefragt: Wie mache ich einen Wunderkreis aus einem  Babylonischen Eingeweidelabyrinth?

Das ist möglich, zumindest beim Babylonischen Umma Labyrinth.

Das Wesentliche bei einem Labyrinth ist ja die Wegführung, ausgedrückt durch die Wegfolge, und nicht die äußere Form. Oder das Muster, wie Andreas das nennt.

Das Babylonische Umma Labyrinth

Das Babylonische Umma Labyrinth

Das Umma Labyrinth hat zwei Wendepunkte, um die jeweils zwei Umgänge führen und in der Mitte einen Mäander. Die Zugänge liegen außen. Es gibt nur einen einzigen und eindeutigen Weg.

Der Wunderkreis hat eine Doppelspirale im Zentrum und zwei weitere Wendepunkte mit beliebig vielen Umgängen. Eine Seite hat dabei einen Umgang mehr als die andere. Die Zugänge befinden sich im Mittelteil.

Ein großer Wunderkreis

Ein großer Wunderkreis

Zum Aufzeigen der einzelnen Entwicklungsschritte forme ich zuerst einen „voll entwickelten“ Wunderkreis in die kleinstmögliche Version um.

Die sieht so aus: Ein Mäander in der Mitte und zwei weitere Wendepunkte mit insgesamt drei Umgängen wie im Knossos Labyrinth.

Der kleinste Wunderkreis

Der kleinste Wunderkreis

Um diesen kleinen Wunderkreis mit dem Umma Labyrinth vergleichen zu können, lege ich nun alle Mittelpunkte (gleichzeitig die Endpunkte der Begrenzungslinien oder die Wendepunkte) auf eine Gerade. So als würde ich das Dreieck zusammenklappen, das durch die Wendepunkte gebildet wird.

Der gestauchte Wunderkreis

Der gestauchte Wunderkreis

Die beiden Zugänge sind hier im Mittelteil, im Umma Labyrinth liegen sie außen und nebeneinander. Zudem gibt es links noch einen Umgang mehr. Den füge ich jetzt hier hinzu und lege den Zugang dadurch auch nach rechts außen.

Ein Umgang mehr

Ein Umgang mehr

Jetzt verlege ich den zweiten Zugang nach links. Dadurch liegen die beiden Zugänge jedoch gegenüber und zeigen in verschiedene Richtungen.

Die beiden Zugänge außen

Die beiden Zugänge außen

Nun drehe ich den rechten Zugang ganz nach links außen neben den linken Zugang. Da ich alles geometrisch exakt konstruiere, erhalte ich zwei leeren Bereiche zwischen den äußeren Umgängen.

Die Zugänge nebeneinander

Die Zugänge nebeneinander

Jetzt verlängere ich die beiden Zugangswege um eine Vierteldrehung nach oben und drehe das Ganze ein Stück nach rechts. So erhalte ich das fertige Umma Labyrinth.

Das Babylonische Umma Labyrinth

Das Babylonische Umma Labyrinth

Um den umgekehrten Weg zu gehen, also den Wunderkreis aus dem Umma Labyrinth zu entwickeln, muss ich einige Windungen weglassen, das Ganze drehen und am Schluss den Mittelteil anheben.

Die ergänzten Bereiche

Die ergänzten Bereiche

Die in den vorangegangenen Schritten gemachten Ergänzungen sind farblich hervorgehoben. Der „gestauchte“ Wunderkreis weiter oben ist gut zu erkennen. Im Kern des Eingeweidelabyrinths ist also der Wunderkreis enthalten.

Sicherlich ist der Wunderkreis wie wir ihn kennen, nicht auf diese Art und Weise entstanden. Dafür gibt es keinerlei historische Belege. Jedoch lässt sich dadurch meiner Meinung nach die Verwandtschaft der beiden Labyrinthfiguren beweisen. Sie sind nicht einfach Spiralen und nicht einfach Mäander. Diese Elemente sind enthalten und auf „labyrinthische“ Art miteinander verbunden.

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Im Artikel von Richard Myers Shelton in Jeff Sawards Caerdroia 42 (März 2014) gibt es die Abbildung einer Eingeweidezeichnung auf einem Tontäfelchen, das älter ist als die bisher betrachteten (siehe Verwandte Artikel unten).

Tontafel mit Eingeweidezeichnung

Tontäfelchen aus Umma aus altbabylonischer Zeit, Foto © Louvre

Die Tontafel mit den Eingeweideritzungen stammt aus der sumerischen Stadt Umma, dem heutigen Tell Jokha im Irak aus der Zeit um 1900 bis 1600 v. Chr. und befindet sich nunmehr im Louvre unter der Nr. AO 6033.
Das Foto ist in der digitalen Keilschrifttextsammlung der Universität von Kalifornien, Los Angeles, unter der CDLI-Nr. P386355 zu finden.

Leider ist das Täfelchen beschädigt, die fehlenden Linien lassen sich jedoch einwandfrei rekonstruieren und zeigen dann den folgenden Grundriss:

Die Eingeweidezeichnung auf AO 6033

Die Eingeweidezeichnung auf AO 6033

Die Linienführung erinnert sehr stark an das so genannte Berliner Labyrinth auf der Tontafel VAT 744 aus dem Vorderasiatischem Museum Berlin, das einige hundert Jahre jünger ist.

Die Eingeweidezeichnung auf VAT 744

Die Eingeweidezeichnung auf VAT 744

Die wesentlich andere Linienführung ergibt für die Eingeweidezeichnung AO 6033 im Louvre jedoch ein ganz anderes Labyrinth.
Der aus den Begrenzungslinien ermittelte Weg, der Ariadnefaden, sieht dann so aus:

Der Ariadnefaden in der Eingeweidezeichnung AO 6033

Der Ariadnefaden in der Eingeweidezeichnung AO 6033

Daraus konstruiere ich nun eine geometrisch exakte Figur, bestehend aus Kreisbogenelementen. Deren Mittelpunkte können alle auf einer Linie angeordnet werden.

Der geometrisch "richtige" Ariadnefaden

Der geometrisch „richtige“ Ariadnefaden

Zu diesem Ariadnefaden konstruiere ich dann um die gleichen Mittelpunkte die Begrenzungslinien und erhalte das komplette Labyrinth:

Das komplette Labyrinth

Das komplette Labyrinth

Die Wegführung ist ganz anders als im Berliner Labyrinth. In der Mitte ist eine Art Doppelspirale und daneben liegen zwei Wendepunkte. Auffällig sind die beiden sichelförmigen Leerräume.

Auf jeden Fall haben wir ein bisher unbekanntes Durchgangslabyrinth. Vielleicht sogar das älteste nachgewiesene? Jedenfalls älter als das Täfelchen von Pylos.
Wie sollte man es benennen? In Anlehnung an die Vorschläge von Andreas vielleicht: Das Babylonische Umma Labyrinth.


Wer möchte ein solches Labyrinth als begehbares Labyrinth bauen? Die nachfolgende Zeichnung liefert die dazu notwendigen Angaben. Die Maßangaben sind als Einheiten zu verstehen. Also „1“ kann sein: 1 cm, 10 cm, 60 cm, ein Meter, ein Yard, ein Fuß, zwei Fuß, eine Schrittlänge, ein Stock u.ä.

Konstruktionszeichnung

Konstruktionszeichnung

Man geht am bestenwie folgt vor: Eine Linie festlegen, in 16 Teile einteilen, die Mittelpunkte kennzeichnen, die Kreisbögen mit einer Schnur, Draht, Zirkel, Band o.ä. ziehen. Die Radien sind ein Vielfaches der Einheit, also R2 bedeutet 2 mal die Einheit usw. Am sinnvollsten ist es, zuerst die oberhalb liegenden Bögen zu zeichnen.

Das Labyrinth kann mit Lineal, Bleistift und Zirkel auf Papier gezeichnet werden oder als begehbares Labyrinth im Sand gekratzt, mit Spänen gestreut, mit Steinen gelegt werden o.ä. Die zwei Zugänge kann man ganz nach Wunsch anordnen.

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