Selbstduale Labyrinthe

Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das dazu duale Labyrinth. Wenn wir nun z.B. das Kretische Labyrinth umstülpen, erhalten wir wieder ein Kretisches Labyrinth, obgleich mit dem Eingang oben.

O-D Kretisch

Abbildung 1. Umstülpung des Kretischen Labyrinths

 

Abb. 1 zeigt den Vorgang und das Ergebnis dieser Umstülpung.

Um das originale und duale Labyrinth zu vergleichen, isolieren wir in bekannter Manier (siehe unten: verwandte Beiträge) das duale Labyrinth und nehmen das darauf liegende Muster mit. Das duale Labyrinth mit dem Muster drehen wir anschliessend, so dass der Eingang unten liegt und setzen es neben das originale Labyrinth.

SD Kret

Abbildung 2. Das originale und duale Labyrinth sind gleich: selbstdual

 

Wie Abb. 2 zeigt, sind das originale und duale Labyrinth gleich. Die beiden zueinander dualen Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um 180° gedreht. Das ist hier ebenfalls der Fall. Die rechte Figur zeigt also wirklich das um 180° gedrehte Muster. Aber dieses Muster ist nach erfolgter Drehung deckungsgleich. Das ist bei „normalen“ dualen Labyrinthen nicht der Fall.

Schauen wir uns nun noch die Umgangsfolgen an. Da das Kretische 7 Umgänge hat, müssen wir hierzu 7 Farben verwenden.

UF 7 Farben

Abbildung 3. Die Farben der Umgänge

 

Abb. 3 zeigt die Folge der Farben. Zusätzlich zu den ersten fünf Farben aus dem letzten Beitrag verwenden wir für den Umgang, der als 6. Umgang vom Weg belegt wird, die Farbe Bordeaux und für den letzten vom Weg belegten Umgang die Farbe orange.

UF Muster Kret

Abbildung 4. Umgangsfolgen im Muster

 

Abb. 4 zeigt die Umgangsfolgen direkt am Muster. Das linke Bild gibt bekanntlich die Umgangsfolge ins originale und aus dem dualen Labyrinth heraus an. Das rechte Bild zeigt die Umgangsfolge ins duale hinein und aus dem originalen Labyrinth heraus. Die beiden Umgangsfolgen sind identisch.

Labyrinthe, bei denen das originale und duale gleich sind, heissen selbstdual. Sie sind etwas Besonderes und haben eine höhere innere Ordnung, als „normale“ duale Labyrinthe.

Muster d sd

Abbildung 5. Muster eines dualen (links) und selbstdualen (rechts) Labyrinths

 

Das sieht man auch, wenn man die Muster von dualen und selbstdualen Labyrinthen vergleicht (Abb. 5). Bei dualen Labyrinthen (linke Figur) verlaufen die erste (graue)  und zweite (schwarze) Hälfte des Weges verschieden, während sie bei selbstdualen Labyrinthen (rechte Figur) übereinstimmend verlaufen.

Einige der herausragendsten Labyrinthe sind selbstdual, z.B. Otfrid, Chartres, Reims, Auxerre, Saffron Walden und einige andere.

Verwandte Beiträge:

Die Umgangsfolgen dualer Labyrinthe

Das originale und duale Labyrinth haben das gleiche Muster, aber um 180° gedreht (siehe unten: verwandte Beiträge). Das Muster zeigt den Wegverlauf. Auf seinem Verlauf belegt der Weg die Umgänge in einer bestimmten Reihenfolge. Diese Umgangsfolge gibt an, welcher Umgang vom Weg als erster belegt wird, welcher Umgang als zweiter, dritter, usw. folgt bis zum letzten Umgang.

Wie aber sind die Umgänge zu bezeichnen? Normalerweise nummeriert man sie von aussen nach innen durch. Diese Nummerierung entspricht der Richtung ins Labyrinth hinein. Nun kann man aber jeden Weg in zwei Richtungen gehen. Also ins Labyrinth hinein und aus dem Labyrinth heraus.

U Nr

Abbildung 1. Nummerierung der Umgänge

Wenn wir ins Labyrinth hineingehen (Abb. 1, linke Figur), treffen wir als erstes auf den äussersten und zuletzt auf den innersten Umgang. Auf dem Weg aus dem Labyrinth heraus (Abb. 1, rechte Figur) treffen wir aber zuerst auf den innersten Umgang. Die Richtung des Weges bestimmt also, wie wir die Umgänge zu nummerieren haben.

UF Farben

Abbildung 2. Färbung der Umgänge

Die Umgangsfolge bestimmen wir nun wie folgt (Abb. 2): Wir färben die Umgänge in der Folge, in der sie vom Weg belegt werden mit gelb, grün, blau, magenta und rot. Es erhält also der Umgang, der als erster vom Weg belegt wird, die Farbe gelb, der nächste grün, usw., und der letzte rot. In der Reihenfolge dieser Farben lesen wir danach die Nummern der Umgänge ab.

UF OL

Abbildung 3. Umgangsfolgen originales Labyrinth

Abb. 3 zeigt für das originale Labyrinth links die Umgangsfolge in das Labyrinth hinein, rechts die Umgangsfolge aus dem Labyrinth heraus. Ins Labyrinth hinein belegt der Weg zuerst den Umgang 3, dann Umgang 4, Umgang 5, Umgang 2 und schliesslich Umgang 1. Die Umgangsfolge ins Labyrinth hinein ist: 3-4-5-2-1. Die Umgangsfolge aus dem originalen Labyrinth heraus lautet jedoch: 5-4-1-2-3.

UF DL

Abbildung 4. Umgangsfolgen duales Labyrinth

Abb. 4 zeigt das Gleiche für das duale Labyrinth. Die Umgangsfolge ins duale Labyrinth hinein lautet 5-4-1-2-3. Die Umgangsfolge aus dem dualen Labyrinth heraus ist 3-4-5-2-1. Man sieht: die Umgangsfolge ins originale Labyrinth hinein ist gleich wie die aus dem dualen Labyrinth heraus: 3-4-5-2-1. Ebenso ist die Umgangsfolge in das duale Labyrinth hinein gleich wie die aus dem originalen Labyrinth heraus: 5-4-1-2-3.

UF M

Abbildung 5. Umgangsfolgen im Muster

Das wird klar, wenn man das Muster betrachtet (Abb. 5). Man kann es entweder von links oben nach rechts unten oder in der Gegenrichtung durchlaufen. Die Richtung von links oben nach rechts unten entspricht dem Weg in das originale Labyrinth hinein. Die Richtung von rechts unten nach links oben entspricht dem Weg ins duale Labyrinth hinein. Wie man in das originale Labyrinth hineinkommt, so gelangt man aus dem dualen Labyrinth heraus und umgekehrt.

Verwandter Beitrag:

Das Muster und die dualen Labyrinthe

Betrachten wir die Dualität noch einmal vom Muster aus. Die beiden zueinander dualen Labyrinthe haben das gleiche Muster.

M 2L

Abbildung 1. Das Muster und die beiden dualen Labyrinthe

Das Muster ist kein Labyrinth. Es hat keine geschlossene Form und ist indifferent gegenüber aussen und innen. Es kann nach zwei Richtungen in ein Labyrinth überführt werden. Wir haben im letzten Beitrag (siehe verwandte Beiträge unten: Das duale Labyrinth) den Ariadnefaden des originalen Labyrinths von unten entrollt und nach Methode 2 (s.u.: Vom Ariadnefaden zum Muster – Methode 2) das Muster gewonnen. Dann haben wir das Muster nach der anderen Seite, nach oben, eingerollt und so den Ariadnefaden des dualen Labyrinths gewonnen. Dieser lag mit dem Eingang oben. Um das originale mit dem dualen Labyrinth zu vergleichen, haben wir deshalb das Duale nach unten gedreht.

Wenn man ein Labyrinth dreht, dreht man auch sein Muster. Dies ersieht man übrigens schon aus meinem vorletzten Beitrag (s.u.: Wozu ist das Muster gut?). Dort hatten wir in der Darstellung von Niels Mejlhede Jensen (in Abb. 5) den Ariadnefaden des Labyrinths vom Typ Chartres mit dem Eingang von rechts vorliegen. Das ist eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn gegenüber der von uns praktizierten Ausrichtung nach unten. Konsequenterweise lag dann auch das Muster um eine Vierteldrehung gedreht auf seiner linken Aussenseite.

In unserem Fall hier liegt das duale Labyrinth um einen Halbkreis gedreht auf dem Kopf. Hier will ich zeigen, wie beim Drehen des Labyrinths auch das Muster gedreht wird.

DL isolieren

Abbildung 2. Das duale Labyrinth isoliert

In Abb. 2 isolieren wir zunächst das duale Labyrinth und nehmen das darauf liegende Muster gleich mit.

Muster o-d

Abbildung 3. Das Muster des originalen und dualen Labyrinths

Dann drehen wir in Abb. 3 das isolierte Labyrinth mit dem darauf liegenden Muster nach unten und setzen es neben das originale Labyrinth. Beide Labyrinthe liegen nun mit Eingang von unten und dem Muster oben in der Figur. Das Muster des dualen Labyrinths ist das gleiche wie beim originalen Labyrinth, aber um 180° gedreht.

OL-DLnu

Abbildung 4. Vom originalen zum dualen Labyrinth

Daraus ergibt sich eine wichtige Konsequenz. Man kann nämlich auch wie in Abb. 4 gezeigt vorgehen, um vom originalen zum dualen Labyrinth zu kommen: Zuerst erzeugt man aus dem originalen Labyrinth das Muster. Dann dreht man das Muster um 180°. Nun kann man es wieder nach unten einrollen und so das duale Labyrinth erzeugen.

Verwandte Beiträge:

Das duale Labyrinth

Labyrinthe haben bekanntlich folgende Eigenschaften:

  • eine geschlossene Form
  • einen Eingang und ein Zentrum
  • einen Weg, der vom Eingang zum Zentrum und als einziger Ausweg herausführt und
  • kreuzungsfrei, ohne Wahlmöglichkeiten und ohne Sackgassen ist

Labyrinthe haben aber noch eine andere, weniger bekannte Eigenschaft

  • sie sind umstülpbar.

Wenn man ein Labyrinth umstülpt, erhält man das duale Labyrinth. Ich nenne das Labyrinth vor der Umstülpung das „originale“, das nach der Umstülpung das „duale“ Labyrinth. Original ist damit nur in Bezug auf die Umformung zum dualen Labyrinth gemeint. Jedes Labyrinth kann Ausgangsform und in dem Sinne „original“ sein.

OL M OL

Abbildung 1

Wir haben schon gezeigt, wie man vom Ariadnefaden zum Muster gelangt (Abb 1. linke Figur). Wenn man das Muster nach unten zurückrollt (Abb. 1, rechte Figur), macht man diesen Vorgang rückgängig und erhält wieder den Ariadnefaden.

M_US

Abbildung 2

Die Erzeugung des Musters aus dem originalen Labyrinth ist aber auch die erste Hälfte im Prozess der Umstülpung (Abb. 2). Fahren wir also damit fort.

 

DL

Abbildung 3

Dazu rollen wir das Muster nun wieder ein, aber diesmal nach der anderen Seite, also nach oben. So entsteht wieder ein Labyrinth. Dieses ist das Duale und liegt mit dem Eingang oben (Abb. 3).

 

OL-DL

Abbildung 4

Um die beiden Labyrinthe zu vergleichen, drehen wir das duale Labyrinth und setzen es neben das ursprüngliche Labyrinth (Abb. 4). Man sieht: die beiden Labyrinthe sind verschieden, aber haben doch eine Ähnlichkeit. Das duale Labyrinth hat dasselbe Muster. Dieses Muster wird aber in der Gegenrichtung durchlaufen. So, wie man aus dem originalen Labyrinth heraus kommt, so gelangt man in das duale Labyrinth hinein und umgekehrt.

Verwandte Beiträge: