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Posts Tagged ‘dual-komplementär’

Unter den einachsigen Labyrinthen haben wir keine Paare von zueinander komplementären uninteressanten Labyrinthen gefunden (siehe verwandte Beiträge, unten). Bei mehrachsigen Labyrinthen gibt es aber solche Paare. Jedenfalls, wenn wir Labyrinthe als uninteressant bezeichnen, bei denen der Weg auf dem äussersten Umgang ins Labyrinth eintritt oder vom innersten Umgang aus das Zentrum erreicht. Das wird am folgenden Beispiel gezeigt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Komplementäre uninteressante Labyrinthe

Das Labyrinth a hat 2 Achsen und 3 Umgänge. Der Weg tritt auf dem äussersten Umgang ein. Deshalb ist es ein uninteressantes Labyrinth. Der Weg erreicht das Zentrum vom äussersten Umgang aus.

Das Komplementäre davon, Labyrinth b, ist ebenfalls ein uninteressantes Labyrinth. Hier tritt der Weg auf dem innersten Umgang ins Labyrinth ein und erreicht das Zentrum vom innersten Umgang aus.

Das ist soweit nichts Besonderes. Aber hier kommt eine andere Besonderheit zum Vorschein. Wir sehen das, wenn wir auch noch die beiden Dualen dieser Labyrinthe betrachten. Dies wird in Abb. 2 auf die schon bekannte Art gezeigt.

Abbildung 2. Das duale und komplementäre Labyrinth sind gleich

Das zum Originalen (a) Duale (b) ist gleich dem Komplementären (c). Das zum Komplementären (c) Duale (d) ist gleich dem Originalen (a). Die beiden zu einander komplementär-dualen Labyrinthe sind gleich.

Dies gilt nun nicht für alle Paare von komplementären uninteressanten Labyrinthen. Aber es gibt noch andere Labyrinthe, bei denen das auch zutrifft. In Abb. 3 zeige ich zwei weitere solche Labyrinth Exemplare und ihre Muster (nur Originale). Auch bei diesen sind die komplementären gleich den dualen Labyrinthen.

Abbildung 3. Weitere Labyrinthe mit dieser Eigenschaft

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Jeweils vier Labyrinthe stehen in einer komplementären oder dualen Beziehung zueinander. Das drückt sich auch in den Umgangsfolgen aus. Erwin hat es in seinem Kommentar zu meinem vorletzten Beitrag (siehe: verwandte Beiträge, unten) schon bemerkt: Die Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe unter einander geschrieben addieren sich an jeder Position zu Eins mehr als die Anzahl der Umgänge. In der Abbildung 1 zeige ich, was das heisst.

Abbildung 1. Umgangsfolgen komplementärer Labyrinthe

Zuerst schreiben wir zu jedem Muster die entsprechende Umgangsfolge. Die Muster in der gleichen Spalte sind komplementär. Nun nehmen wir die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 2 und 4 und schreiben darunter die Umgangsfolgen der dualen Labyrinthe 7 und 5. Dann addieren wir die unter einander stehenden Zahlen. Die Summe ist an jeder Stelle 6. Also 1 höher als die Anzahl 5 der Umgänge.

Nun gibt es noch einen Zusammenhang zwischen den Umgangsfolgen. Dieser wird in Abbildung 2 veranschaulicht.

Abbildung 2. Umgangsfolgen dual-komplementärer Labyrinthe

Die Umgangsfolgen der dual-komplementären Labyrinthe sind spiegelsymmetrisch. Hier werden also die beiden über Kreuz zueinander in Beziehung stehenden Labyrinthe betrachtet. Labyrinth 5 ist das Komplementäre zum Dualen (4), resp das Duale zum Komplementären (7), also das dual-komplementäre von Labyrinth 2. Diese Beziehung ist mit einer schwarzen Linie mit quadratischen Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind schwarz geschrieben. Schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 2 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 5 und umgekehrt (schwarze Umgangsfolgen).
Labyrinth 7 ist das Komplementäre zum Dualen (2), resp das Duale zum Komplementären (5), also das dual-komplementäre von Labyrinth 4. Dies wird mit einer grauen Linie mit runden Linienenden angedeutet. Auch die Umgangsfolgen dieser Labyrinthe sind grau geschrieben. Auch hier gilt: schreibt man die Umgangsfolge von Labyrinth 4 rückwärts, ergibt sich die Umgangsfolge von Labyrinth 7 und vice versa.

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