Symmetrien bei Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarrieren

Abgesehen vom ersten und letzten Sektor gibt es nur vier Verläufe für Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Diese vier „inneren“ Verläufe haben besondere Eigenschaften. Die Verläufe AB und CD der Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen sind spiegelsymmetrisch (Abb. 1).

Abbildung 1. Spiegelsymmetrische Verläufe AB und CD

Das bedeutet, dass man durch Kombination von gegenläufigen Sektormustern für den ersten und letzten Sektor selbstgegenläufige Labyrinthe erzeugen kann.

Es gibt 4 Paare von gegenläufigen Sektormustern aus den Quadranten A und B, wie in Abb. 2 gezeigt.

Abbildung 2. Gegenläufige Sektormuster Quadranten A und B

Und ebenso gibt es 4 Paare von gegenläufigen Sektormustern aus Quadranten C und D (Abb. 3).

Abbildung 3. Gegenläufige Sektormuster Quadranten C und D

Jede dieser Kombinationen ergibt ein selbstgegenläufiges Labyrinth. Von den 16 möglichen Kombinationen für jeden Verlauf sind also 4 selbstgegenläufig. Das gilt unabhängig von der Anzahl Achsen, trifft also für Labyrinthe mit 2, 4, 6, 8, usf. Achsen zu.

Die Verläufe CB und AD der Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen sind rotationssymmetrisch (Abb. 4).

Abbildung 4. Rotationssymmetrische Verläufe AD und CB

Das bedeutet, dass man durch Kombination von dualen Sektormustern für den ersten und letzten Sektor selbstduale Labyrinthe erzeugen kann.

Die vier Paare von dualen Mustern aus Quadranten C und B zeigt Abb. 5

Abbildung 5. Duale Sektormuster Quadranten C und B

Und in Abb 6 sind die vier Paare von dualen Mustern der Quadranten A und D wiedergegeben.

Abbildung 6. Duale Sektormuster Quadranten A und D

Jede dieser Kombinationen ergibt ein selbstduales Labyrinth. Von den 16 möglichen Kombinationen für jeden Verlauf sind also 4 selbstdual. Das gilt unabhängig von der Anzahl Achsen, trifft also für Labyrinthe mit 3, 5, 7, 9, usf. Achsen zu.

Zum Schluss zeige ich in Abb. 7 noch ein selbstduales Labyrinth mit drei Achsen und dem Verlauf CB.

Abbildung 7. Selbstduales Labyrinth mit Verlauf CB und drei Achsen

Die gleiche Eigenschaft besitzen auch die Sektorenlabyrinthe mit echten Doppelbarrieren. Nur gibt es dort weniger Kombinationen überhaupt, nämlich für jeden Verlauf 4. Deshalb sind auch weniger selbstgegenläufige oder selbstduale Labyrinthe möglich, nämlich für jeden Verlauf 2.

Erwins Labyrinthe mit Dreifachbarrieren

Erwin hat in einem früheren Beitrag schon Labyrinthe mit zwei Achsen und Dreifachbarrieren gezeigt (siehe: Verwandte Beiträge, unten). Die will ich nun verwenden und prüfen, ob sie mit meinen Verläufen und Sektormustern erklärt werden können und wie sie zusammengesetzt sind. Sie haben eine gerade Anzahl Achsen, also kommen nur die Verläufe AB oder CD in Frage. Erwins Labyrinthe müssen somit aus Kombinationen der Sektormuster A und B oder C und D bestehen. Mal schauen, ob die sich mit unseren Sektormustern identifizieren lassen. 

Abbildung 1 zeigt das erste Labyrinth von Erwin. Dieses hat einen Verlauf AB und ist aus zwei zu einander (horizontal) spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 1. Erstes Labyrinth – Verlauf AB

Auch das zweite Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf AB und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 2. Zweites Labyrinth – Verlauf AB

Das dritte Labyrinth von Erwin hat einen Verlauf CD und ist wiederum aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt. Zudem ist es das Komplementäre zum zweiten Labyrinth.

Abbildung 3. Drittes Labyrinth – Verlauf CD

Erwins viertes Labyrinth, schliesslich, ist das Komplementäre zum ersten, hat also einen Verlauf CD und ist ebenfalls aus zwei spiegelsymmetrischen Sektormustern zusammengesetzt.

Abbildung 4. Viertes Labyrinth – Verlauf CD

Alle vier Labyrinthe von Erwin sind somit selbstgegenläufig. Das erste und zweite Labyrinth sind zwei von 16 möglichen Kombinationen des Verlaufs AB, das dritte und vierte zwei von 16 aus Verlauf CD.

Verwandte Beiträge

Weitere Labyrinthe mit Dreifachbarrieren

Es gibt bekanntlich vier Möglichkeiten, wie der Weg in einem Sektorenlabyrinth mit Dreifachbarrieren entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (siehe: verwandte Beiträge, unten). Je zwei für Labyrinthe mit gerader und mit ungerader Anzahl Achsen. Auch haben wir die Sektormuster für den ersten und letzten Sektor 4 Quadranten zugeordnet. Die Sektormuster von Quadranten A und C können im ersten, jene von Quadranten B und D im letzten Sektor platziert werden. Das ergibt vier Kombinationen, welche die vier Möglichkeiten für den Verlauf repräsentieren. Diese können wir somit wie folgt benennen:

  • AB gerade Anzahl Achsen
  • CD gerade Anzahl Achsen
  • CB ungerade Anzahl Achsen
  • AD ungerade Anzahl Achsen

Im letzten Beitrag habe ich zwei Labyrinthe für die Möglichkeit AB gezeigt. Hier will ich für jede der drei anderen Möglichkeiten auch noch ein Beispiel bringen. Dazu bin ich genau gleich vorgegangen, wie im letzten Beitrag.

Abbildung 1 zeigt ein vierachsiges Labyrinth mit Verlauf CD. Die Hauptachse dieses Labyrinths ist nicht ausgewogen gestaltet. Sie ist durch Kombination zweier beliebiger Sektormuster aus Quadranten C und D entstanden. 

Abbildung 1. Labyrinth mit Verlauf CD, 4 Achsen

Das gleiche gilt für das dreiachsige Labyrinth mit Verlauf CB (Abb. 2)

Abbildung 2. Labyrinth mit Verlauf CB, 3 Achsen

Das fünfachsige Labyrinth mit Verlauf AD ist hingegen höher geordnet. Die Hauptachse wurde absichtsvoll gestaltet. Dazu wurden aus den Sektoren A und D gezielt zwei Sektormuster kombiniert, die ein selbstduales Labyrinth ergeben (Abb. 3).

Abbildung 3. Labyrinth mit Verlauf AD, 5 Achsen

Verwandte Beiträge:

Dreifachbarrieren – Kombination von Sektormustern

Im letzten Beitrag habe ich die Sektormuster identifiziert, die im ersten oder letzten Sektor stehen können (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Diese werden hier nochmals in Abbildung 1 gezeigt. 

Abbildung 1. Sektormuster

Im vorletzten Beitrag wurden die vier Möglichkeiten gezeigt, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (verwandte Beiträge 2). Damit haben wir alle Grundlagen, um jedes siebengängige Sektorenlabyrinth mit ausschliesslich Dreifachbarrieren an den Nebenachsen zu erzeugen. Ich zeige deshalb nochmals alle vier Möglichkeiten und gebe zusätzlich an, wie sie mit den Sektormustern aus Quadranten A – D für den ersten oder letzten Sektor kombiniert werden können. 

Abbildung 2 zeigt, dass die erste Möglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen mit einem der Sektormuster aus Quadrant A beginnen und mit einem der Sektormuster aus Quadrant B enden kann. 

Abbildung 2. Beginn mit Muster aus Quadrant A, Ende mit Muster aus Quadrant B

Die zweite Möglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen kann mit einem der Sektormuster aus Quadrant C beginnen und mit einem aus Quadrant D enden (Abb. 3).

Abbildung 3. Beginn mit Muster aus Quadrant C, Ende mit Muster aus Quadrant D

Die erste Möglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen kann mit einem der Sektormuster aus Quadrant C beginnen und mit einem aus Quadrant B enden (Abb. 4).

Abbildung 4. Beginn mit Muster aus Quadrant C, Ende mit Muster aus Quadrant B

Die zweite Möglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen, schliesslich, kann mit einem der Sektormuster aus Quadrant A beginnen und mit einem aus Quadrant D enden (Abb. 5).

Abbildung 5. Beginn mit Muster aus Quadrant A, Ende mit Muster aus Quadrant D

Für jede der vier Verlaufsmöglichkeiten gibt es somit vier Muster für den ersten und vier für den letzten Sektor. Daraus lassen sich immer 16 verschiedene Muster kombinieren. Für jede gerade und ungerade Anzahl gibt es zwei Verlaufsmöglichkeiten. Insgesamt gibt es also für jede Anzahl von Achsen 32 verschiedene Sektorenlabyrinthe mit ausschliesslich Dreifachbarrieren.

Nun will ich nicht alle dieser Labyrinthe ableiten. Hier will ich aber an zwei Beispielen für die erste Verlaufsmöglichkeit zeigen, wie das gemacht wird. Abbildung 6 illustriert, wie ein Labyrinth mit 2 Achsen erzeugt wird. Wir nehmen dazu je ein Sektormuster aus Quadrant A für den ersten und Quadrant B für den letzten Sektor und ersetzen damit die Platzhalter für das zweiachsige Labyrinth aus der ersten Zeile der Abbildung 2. Ich wähle hierzu das Muster links oben aus Quadrant A und das rechts oben aus Quadrant B. Es könnten aber auch beliebige zwei andere Muster gewählt werden. 

Abbildung 6. Kombination für ein Labyrinth mit 2 Achsen, erstem Sektor aus Quadrant A und letztem Sektor aus Quadrant B

Diese beiden Sektormuster müssen nun noch mit den Verbindungen nach aussen, untereinander und zum Zentrum versehen werden, um das vollständige Muster für das Sektorenlabyrinth mit 2 Achsen und Dreifachbarriere zu erzeugen. Dies und das resultierende Labyrinth werden in Abbildung 7 gezeigt. Dies ist eines von 16 möglichen Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarriere und 2 Achsen für die erste Verlaufsmöglichkeit von Labyrinthen mit gerader Achsenzahl.

Abbildung 7. Das Labyrinth mit 2 Achsen

Analog gehen wir für die Erzeugung eines Labyrinths mit 6 Achsen vor. Ich wähle hier zwei andere Sektormuster für den ersten und letzten Sektor aus (Abb. 8).

Abbildung 8. Kombination für ein Labyrinth mit 6 Achsen, erstem Sektor aus Quadrant A und letztem Sektor aus Quadrant B

Das Resultat dieser Kombination ist als Muster und Labyrinth in Abbildung 9 wiedergegeben. Dies ist wiederum eines von 16 möglichen Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarriere und 6 Achsen für die erste Verlaufsmöglichkeit von Labyrinthen mit gerader Achsenzahl. 

Abbildung 9. Das Labyrinth mit 6 Achsen

Ob für 2, 4, 6, 8 usf. Achsen, immer gibt es 16 verschiedene Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren für diese Verlaufsmöglichkeit. Diese Anzahl hängt nur von den je vier Sektormustern in Quadrant A und B ab. 

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  2. Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren