Weitere Labyrinthe mit Dreifachbarrieren

Es gibt bekanntlich vier Möglichkeiten, wie der Weg in einem Sektorenlabyrinth mit Dreifachbarrieren entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (siehe: verwandte Beiträge, unten). Je zwei für Labyrinthe mit gerader und mit ungerader Anzahl Achsen. Auch haben wir die Sektormuster für den ersten und letzten Sektor 4 Quadranten zugeordnet. Die Sektormuster von Quadranten A und C können im ersten, jene von Quadranten B und D im letzten Sektor platziert werden. Das ergibt vier Kombinationen, welche die vier Möglichkeiten für den Verlauf repräsentieren. Diese können wir somit wie folgt benennen:

  • AB gerade Anzahl Achsen
  • CD gerade Anzahl Achsen
  • CB ungerade Anzahl Achsen
  • AD ungerade Anzahl Achsen

Im letzten Beitrag habe ich zwei Labyrinthe für die Möglichkeit AB gezeigt. Hier will ich für jede der drei anderen Möglichkeiten auch noch ein Beispiel bringen. Dazu bin ich genau gleich vorgegangen, wie im letzten Beitrag.

Abbildung 1 zeigt ein vierachsiges Labyrinth mit Verlauf CD. Die Hauptachse dieses Labyrinths ist nicht ausgewogen gestaltet. Sie ist durch Kombination zweier beliebiger Sektormuster aus Quadranten C und D entstanden. 

Abbildung 1. Labyrinth mit Verlauf CD, 4 Achsen

Das gleiche gilt für das dreiachsige Labyrinth mit Verlauf CB (Abb. 2)

Abbildung 2. Labyrinth mit Verlauf CB, 3 Achsen

Das fünfachsige Labyrinth mit Verlauf AD ist hingegen höher geordnet. Die Hauptachse wurde absichtsvoll gestaltet. Dazu wurden aus den Sektoren A und D gezielt zwei Sektormuster kombiniert, die ein selbstduales Labyrinth ergeben (Abb. 3).

Abbildung 3. Labyrinth mit Verlauf AD, 5 Achsen

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Dreifachbarrieren – Kombination von Sektormustern

Im letzten Beitrag habe ich die Sektormuster identifiziert, die im ersten oder letzten Sektor stehen können (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Diese werden hier nochmals in Abbildung 1 gezeigt. 

Abbildung 1. Sektormuster

Im vorletzten Beitrag wurden die vier Möglichkeiten gezeigt, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (verwandte Beiträge 2). Damit haben wir alle Grundlagen, um jedes siebengängige Sektorenlabyrinth mit ausschliesslich Dreifachbarrieren an den Nebenachsen zu erzeugen. Ich zeige deshalb nochmals alle vier Möglichkeiten und gebe zusätzlich an, wie sie mit den Sektormustern aus Quadranten A – D für den ersten oder letzten Sektor kombiniert werden können. 

Abbildung 2 zeigt, dass die erste Möglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen mit einem der Sektormuster aus Quadrant A beginnen und mit einem der Sektormuster aus Quadrant B enden kann. 

Abbildung 2. Beginn mit Muster aus Quadrant A, Ende mit Muster aus Quadrant B

Die zweite Möglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen kann mit einem der Sektormuster aus Quadrant C beginnen und mit einem aus Quadrant D enden (Abb. 3).

Abbildung 3. Beginn mit Muster aus Quadrant C, Ende mit Muster aus Quadrant D

Die erste Möglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen kann mit einem der Sektormuster aus Quadrant C beginnen und mit einem aus Quadrant B enden (Abb. 4).

Abbildung 4. Beginn mit Muster aus Quadrant C, Ende mit Muster aus Quadrant B

Die zweite Möglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen, schliesslich, kann mit einem der Sektormuster aus Quadrant A beginnen und mit einem aus Quadrant D enden (Abb. 5).

Abbildung 5. Beginn mit Muster aus Quadrant A, Ende mit Muster aus Quadrant D

Für jede der vier Verlaufsmöglichkeiten gibt es somit vier Muster für den ersten und vier für den letzten Sektor. Daraus lassen sich immer 16 verschiedene Muster kombinieren. Für jede gerade und ungerade Anzahl gibt es zwei Verlaufsmöglichkeiten. Insgesamt gibt es also für jede Anzahl von Achsen 32 verschiedene Sektorenlabyrinthe mit ausschliesslich Dreifachbarrieren.

Nun will ich nicht alle dieser Labyrinthe ableiten. Hier will ich aber an zwei Beispielen für die erste Verlaufsmöglichkeit zeigen, wie das gemacht wird. Abbildung 6 illustriert, wie ein Labyrinth mit 2 Achsen erzeugt wird. Wir nehmen dazu je ein Sektormuster aus Quadrant A für den ersten und Quadrant B für den letzten Sektor und ersetzen damit die Platzhalter für das zweiachsige Labyrinth aus der ersten Zeile der Abbildung 2. Ich wähle hierzu das Muster links oben aus Quadrant A und das rechts oben aus Quadrant B. Es könnten aber auch beliebige zwei andere Muster gewählt werden. 

Abbildung 6. Kombination für ein Labyrinth mit 2 Achsen, erstem Sektor aus Quadrant A und letztem Sektor aus Quadrant B

Diese beiden Sektormuster müssen nun noch mit den Verbindungen nach aussen, untereinander und zum Zentrum versehen werden, um das vollständige Muster für das Sektorenlabyrinth mit 2 Achsen und Dreifachbarriere zu erzeugen. Dies und das resultierende Labyrinth werden in Abbildung 7 gezeigt. Dies ist eines von 16 möglichen Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarriere und 2 Achsen für die erste Verlaufsmöglichkeit von Labyrinthen mit gerader Achsenzahl.

Abbildung 7. Das Labyrinth mit 2 Achsen

Analog gehen wir für die Erzeugung eines Labyrinths mit 6 Achsen vor. Ich wähle hier zwei andere Sektormuster für den ersten und letzten Sektor aus (Abb. 8).

Abbildung 8. Kombination für ein Labyrinth mit 6 Achsen, erstem Sektor aus Quadrant A und letztem Sektor aus Quadrant B

Das Resultat dieser Kombination ist als Muster und Labyrinth in Abbildung 9 wiedergegeben. Dies ist wiederum eines von 16 möglichen Sektorenlabyrinthen mit Dreifachbarriere und 6 Achsen für die erste Verlaufsmöglichkeit von Labyrinthen mit gerader Achsenzahl. 

Abbildung 9. Das Labyrinth mit 6 Achsen

Ob für 2, 4, 6, 8 usf. Achsen, immer gibt es 16 verschiedene Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren für diese Verlaufsmöglichkeit. Diese Anzahl hängt nur von den je vier Sektormustern in Quadrant A und B ab. 

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  1. Dreifachbarrieren – Muster für den ersten und letzten Sektor
  2. Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren

Dreifachbarrieren – Muster für den ersten und letzten Sektor

Im letzten Beitrag habe ich die vier Möglichkeiten gezeigt, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann (siehe: Verwandte Beiträge 1, unten). Zur Fertigstellung der Hauptachse müssen nun noch die Sektormuster für den ersten und letzten Sektor ergänzt werden. Die lagen als Platzhalter erst zur Hälfte vor. Wir brauchen dafür die Sektormuster, die auf einer Seite eine Hälfte einer Dreifachbarriere aufweisen.

Aus früheren Beiträgen ist bekannt, dass es 42 verschiedene Muster für alternierende einachsige siebengängige Labyrinthe gibt. Diese Muster können wir in der gleichen Weise nutzen, wie wir das bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren getan haben. Wir müssen sie also als Sektormuster ohne die Verbindungen nach aussen und zum Zentrum zeichnen. Tony Phillips hat die Muster der interessanten einschliesslich der sehr interessanten Labyrinthe auf seiner Website zusammengestellt. Die sind in diesem Blog auch schon gezeigt worden (verwandte Beiträge 4).

Abbildung 1 enthält nur 14 Muster von interessanten Labyrinthen. Interessant sind Labyrinthe, die keine trivialen Umgänge haben. Triviale Umgänge sind hier entweder aussen oder innen serpentinenförmig angehängte Umgänge. Das bedeutet, dass der Weg bei interessanten Labyrinthen weder auf dem ersten Umgang ins Labyrinth eintritt, noch vom letzten Umgang aus das Zentrum erreicht. Labyrinthe, bei denen dies der Fall ist, sind uninteressant.

In der Abbildung sind aber Informationen über 22 verschiedene Muster enthalten. Unterhalb der Muster ist jeweils die Umgangsfolge angegeben. Bei interessanten Labyrinthen ist zusätzlich in Klammern die Umgangsfolge des Dualen angegeben (a). Es gibt 8 Muster von interessanten Labyrinthen. Bei interessanten Labyrinthen ist das Duale immer auch interessant. Zusammen mit den dazugehörigen Dualen ergibt das 16 Muster von interessanten Labyrinthen.

Bei den sehr interessanten steht dahinter die Abkürzung s.d für selbstdual (b). Es hat 6 sehr interessante Labyrinthe.

Unter den sehr interessanten Labyrinthen sind zwei besonders hervorgehoben (c). Der Grundtyp und das dazu Komplementäre, welche gerade vor Kurzem hier wieder von Erwin im Knidos Stil präsentiert wurden (verwandte Beiträge 2, 3). Es sind die beiden einzigen komplementären Muster in dieser Abbildung. Wir haben nun also Informationen zu den 16 interessanten und 6 sehr interessanten Labyrinthen. Von denen sind zwei komplementär. Bleiben die Muster von 16 interessanten und 4 sehr interessanten Labyrinthen. Das sind 20 Muster von denen keines zu einem anderen komplementär ist. Suchen wir zu diesen die Komplementären auf, erhalten wir 40 Muster. Zusammen mit den beiden komplementären sehr interessanten Labyrinthen ergibt das 42 Muster. Wir können somit auf der Basis von Abb. 1 alle 42 Muster rekonstruieren. (Das ist übrigens auch ohne die Informationen in a), b) und c) rein grafisch möglich, aber mit diesen Informationen kann es schon vorab berechnet werden).

Bleibt zu erwähnen, dass Tony Phillips die Muster von oben rechts nach links unten zeichnet (d).

Abbildung 1. Muster der interessanten Labyrinthe mit 7 Umgängen bei Tony Phillips

Wir benötigen auf jeden Fall auch die Muster der uninteressanten Labyrinthe. Denn sie werden ja nicht für einachsige Labyrinthe, sondern als Sektormuster verwendet. Die Verbindungen von Sektoren geschehen immer auf dem äussersten oder innersten Umgang. Ein Sektor, der auf dem äussersten Umgang an den vorangehenden angehängt oder auf dem innersten Umgang mit dem nachfolgenden verbunden wird hat ein Sektormuster, welches im Falle eines einachsigen Labyrinths mit Verbindungen nach aussen oder zum Zentrum ein uninteressantes Labyrinth ergibt. 

Ich gebe im Folgenden die Muster in meiner Darstellung wieder (Abb. 2). Ich zeichne sie nicht wie Tony Phillips von rechts oben nach links unten (grau), sondern von links oben nach rechts unten (rot).

Abbildung 2. Darstellung des Musters

In Abb. 3 sind alle 42 Sektormuster für siebengängige Sektorenlabyrinthe abgebildet. Ich habe sie nicht näher bezeichnet, nur mit roten Dreiecken die Muster markiert, die für Sektorenlabyrinthe mit ausschliesslich Dreifachbarrieren verwendet werden können. Von diesen haben 12 Muster auf einer Seite und die bereits bekannten aus dem letzten Beitrag auf beiden Seiten eine Hälfte einer Dreifachbarriere.

Abbildung 3. Die 42 Muster

In Abb. 4 werden diese Muster in vier Gruppen geordnet je nach dem, in welchem Sektor sie stehen können und über welchen Umgang sie mit anderen Sektoren verbunden werden. Die beiden Muster mit Dreifachbarrieren an beiden Seiten können in jedem Sektor stehen. Darüberhinaus sind im Quadranten A die Muster eingeordnet, die im ersten Sektor stehen und auf dem äussersten Umgang mit dem nächsten Sektor verbunden werden. Im Quadrant B sind die Muster, die nur im letzten Sektor stehen können und auf dem äussersten Umgang mit dem vorangehenden Sektor verbunden sind. In Quadrant C sind die Muster eingeordnet, die nur im ersten Sektor stehen und über den innersten Umgang verbunden sind. Schliesslich enthält Quadrant D die Muster, die nur im letzten Sekor stehen können und über den innersten Umgang verbunden sind. 

Abbildung 4. Die Muster nach Sektoren

Damit haben wir alle Grundlagen, um jedes siebengängige Sektorenlabyrinth mit ausschliesslich Dreifachbarrieren an den Nebenachsen zu erzeugen. 

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Sektorenlabyrinthe mit Dreifachbarrieren

Bei siebengängigen Labyrinthen mit Dreifachbarrieren haben wir eine analoge Situation wie bei den Sektorenlabyrinthen mit Doppelbarrieren (Verwandte Beiträge, unten). Ausser für den ersten und letzten Sektor können in den dazwischen liegenden Sektoren nur gerade zwei verschiedene Sektormuster verwendet werden. 

Labyrinthe mit Dreifachbarrieren müssen mindestens sieben Umgänge haben. Dann sind es auf jeden Fall Sektorenlabyrinthe. Eine Dreifachbarriere belegt sechs Umgänge nebeneinander. Somit bleibt noch ein Umgang für den Übergang vom einen in den nächsten Sektor. Das kann nur der innerste oder der äusserste Umgang sein. 

Abbildung 1. Muster für die inneren Sektoren

Im ersten Sektor können nur Sektormuster verwendet werden, die an der rechten Seite drei verschachtelte Wenden haben. 

Abbildung 2. Muster für den ersten Sektor

Für den letzten Sektor können nur Sektormuster verwendet werden, die an der linken Seite drei verschachtelte Wenden haben. 

Abbildung 3. Muster für den letzten Sektor

Die gegenüberliegenden Seiten dieser Sektormuster bilden die Hauptachse. An diesen Seiten können die Sektormuster andere Wendestellen aufweisen. Wie der Weg ins Labyrinth eintritt und wie er das Zentrum erreicht, ist vorläufig noch offen.

Was allerdings zwischen dem ersten und dem letzten Sektor abläuft, kann hier schon bestimmt werden. Unabhängig von der Anzahl Achsen gibt es für den Wegverlauf in den inneren Sektoren immer vier Möglichkeiten. Zwei Möglichkeiten für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen und zwei für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen. 

Eine Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit gerader Anzahl Achsen wird in Abb. 4 gezeigt. Bei Labyrinthen mit 2, 4, 6 usf. Achsen kann der Weg vom ersten Sektor auf dem äussersten Umgang in den zweiten Sektor hinüberführen. Dies kann dann gleich der letzte Sektor sein (oberste Zeile). Auch bei 4 (2. Zeile), 6 (unterste Zeile) oder jeder anderen geraden Anzahl Achsen wechselt der Weg auf dem äussersten Umgang in den letzten Sektor. 

Abbildung 4. Erste Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen

Die andere Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen wird in Abb. 5 gezeigt. Sie ist komplementär zum Verlauf in Abb 4. Der Weg tritt auf dem innersten Umgang vom ersten in den zweiten Sektor über und wechselt auch auf dem innersten Umgang vom vorletzten in den letzten Sektor. 

Abbildung 5. Zweite Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen

Die erste Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl (3, 5, 7 usf.) Achsen ist in Abb. 6 wiedergegeben. Hier wechselt der Weg vom ersten in den zweiten Sektor auf dem äussersten Umgang. Den letzten Sektor erreicht der Weg bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen nicht auf dem gleichen (äussersten) Umgang wie bei Labyrinthen mit gerader Anzahl Achsen, sondern auf dem entgegengesetzten (innersten ) Umgang. Was für Labyrinthe mit 3, 5 und 7 Achsen gezeigt, gilt für alle Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen. 

Abbildung 6. Erste Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen

Die zweite Verlaufsmöglichkeit für Labyrinthe mit ungerader Anzahl Achsen wird in Abb. 7 gezeigt. Sie ist komplementär zum ersten Verlauf in Abb. 6. 

Abbildung 7. Zweite Verlaufsmöglichkeit bei Labyrinthen mit ungerader Anzahl Achsen

Das sind die vier einzigen Möglichkeiten, wie der Weg entlang aller Nebenachsen verlaufen kann, je zwei für Labyrinthe mit gerader und ungerader Anzahl Achsen. Fehlt nur noch die Gestaltung der Hauptachse. Dazu müssen die halben Sektormuster für den ersten und letzten Sektor noch komplettiert werden. Die Sektormuster, die für den ersten und letzten Sektor in Frage kommen, sollen im nächsten Beitrag identifiziert werden. 

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