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Posts Tagged ‘5-gängiges Labyrinth’

Bei der Beschäftigung mit der Doppelbarrierentechnik in den letzten Beiträgen bin ich bei Mark Wallingers Labyrinthen in der Londoner U-Bahn auf dieses Exemplar gestoßen:

Das Labyrinth 233/270 in der U-Bahn Station Hyde Park Corner, Foto: © Jack Gordon

Das Labyrinth 233/270 in der U-Bahn Station Hyde Park Corner, Foto: © Jack Gordon

Diese Datei ist lizenziert unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 international“.

Das Besondere daran ist, dass sich im oberen Teil der Zentralachse zwei Doppelbarrieren nebeneinander befinden. Bei der von ihm gewählten Wegführung bewegt man sich bei der Überleitung vom 2. auf den 3. Quadranten zuerst von der Mitte weg.

Das habe ich nun so verändert, dass man bei einem begehbaren Labyrinth eine Bewegung zur Mitte hin „erleben“ würde.

So sieht das dann aus:

Ein neues Sektorenlabyrinth in konzentrischem Stil

Ein neues Sektorenlabyrinth in konzentrischem Stil

Die seitlichen Doppelbarrieren habe ich ebenfalls verschoben und dadurch wird die Wegführung in allen Quadranten ebenfalls unterschiedlich. Es entsteht also ein neuer Typ.

Hier im Knidos Stil:

Ein neues zentriertes Sektorenlabyrinth im Knidos Stil

Ein neues zentriertes Sektorenlabyrinth im Knidos Stil

Warum nicht auch als zweigeteiltes Labyrinth?

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes Labyrinth

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes Labyrinth

Der linke Teil hat die Wegfolge: 3-4-5-2-1 und der rechte Teil: 5-4-1-2-3, also stecken da zwei 5-gängige Labyrinthe drin.

Und hier wieder der Knidos Stil:

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes und zentriertes Labyrinth im Knidos Stil

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes und zentriertes Labyrinth im Knidos Stil

Das bemerkenswerte an diesem Typ ist auch, dass sowohl der Eintritt ins Labyrinth im 3. Umgang erfolgt, wie auch der Eintritt in die Mitte.

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Es gibt bekanntlich 8 verschiedene Möglichkeiten für ein 5-gängiges, einachsiges Labyrinth (bei dem die Achse nicht gekreuzt wird).

Diesen Nachweis hat Tony Phillips auf seiner Website erbracht. Er ist Mathematikprofessor an der State University of New York und er geht mathematisch an die Sache heran.

Einige dieser Versionen sind bekannt und wurden auch schon als begehbare Labyrinthe gebaut. Aber einige eben nicht. Andreas Frei hat diese 8 Typen auch schon gezeigt. Bei Tony Phillips finden sich Kurven des russischen Mathematikers Arnol’d, die genau zu diesen Varianten führen.

Hier möchte ich noch einmal alle 8 Varianten vorstellen. Inzwischen habe ich für mich eine Methode entwickelt wie ich am einfachsten ein Labyrinth konstruieren kann: Nach der Wegfolge. Diese Wegfolge ist gleichzeitig auch eine gute Bezeichnung und ein Unterscheidungsmerkmal für einen bestimmten Labyrinthtyp.

Die verschiedenen Labyrinthe sind also nicht aus einem Grundmuster entwickelt, wie wir es alle kennen. Auch nicht aus einem Muster für den Ariadnefaden.

Die Abbildungen der acht verschiedenen Typen, einmal rund und mit größerer Mitte, dann in quadratischer Form. Das enthaltene Muster ist farblich hervorgehoben. Allerdings ist es erst nach der Konstruktion des Labyrinths ermittelt worden. Die Wege und die Begrenzungslinien sind gleich breit. Die Wegfolge soll als Kennzeichnung des Typs dienen.

0-5-2-3-4-1-6

0-5-2-3-4-1-6

0-5-2-3-4-1-6

0-5-2-3-4-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-1-2-5-4-3-6

0-1-2-5-4-3-6

0-1-2-5-4-3-6

0-1-2-5-4-3-6

0-3-2-1-4-5-6

0-3-2-1-4-5-6

0-3-2-1-4-5-6

0-3-2-1-4-5-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-1-2-3-6

0-5-4-1-2-3-6

0-5-4-1-2-3-6

0-5-4-1-2-3-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-4-3-2-5-6

0-1-4-3-2-5-6

0-1-4-3-2-5-6

0-1-4-3-2-5-6

Einige Erklärungen zur Wegfolge: Die Wege im Labyrinth werden zuerst von außen nach innen, zur Mitte hin, nummeriert. Die Reihenfolge in der die Wege vom Eingang bis zur Mitte durchschritten werden, gibt nun die jeweilige Wegfolge wieder. Die Ziffer „0“ steht für außen (oder Anfang) und die letzte Ziffer bezeichnet die Mitte selbst.
Die erste Zahl nach der „0“ muss immer eine ungerade Zahl sein, also 1, 3,  oder 5 (usw.). Sonst funktioniert es nicht.
Die Ziffernfolge muss aus einer Reihe bestehen, in der geraden und ungerade Zahlen sich abwechseln, sonst geht es auch nicht. Der Mathematiker drückt das anders aus, aber für uns sollen diese Angaben genügen.

Wer also gerne einmal ein neues 5-gängiges Labyrinth bauen möchte, kann sich hier Anregungen holen.
Mir persönlich gefällt die zweite Variante mit der Wegfolge 0-3-4-5-2-1-6 am besten. Wer baut es?

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Erwin hat sich in einer Reihe von Beiträgen mit dem Mäander im Labyrinth befasst.

Dabei hat er einen labyrinthgeeigneten Mäander gefunden. Diesen speziellen Mäander gibt es in verschiedenen Ausprägungen. Erwin bezeichnet sie als Typ 4,  6, usf. (Typ plus eine gerade Zahl).

In der Tat ist diese Art von Mäander in den bestehenden Labyrinthen häufig anzutreffen. Aber es kommen in Labyrinthen auch noch andere Figuren vor, die als Mäander bezeichnet werden können. Überhaupt wird eine grosse Vielfalt von Figuren als Mäander bezeichnet, und es ist noch keineswegs klar, was denn nun ein Mäander ist.

Was also ist ein Mäander?

Tony Phillips zitiert auf seiner Website den russischen Mathematiker Arnol’d. Der wollte unabhängig vom Labyrinth untersuchen, was für Mäanderformen es gibt. Arnol’d definiert den Mäander so:

  • Zusammenhängende, gerichtete Kurve,
  • die sich nicht selbst schneidet
  • und an mehreren Stellen eine Gerade kreuzt.

Arnol’d illustriert das am Beispiel einer Kurve, welche fünf mal eine Gerade kreuzt. Er hat 8 verschiedene solche Kurven gefunden. Die Abbildung der 8 Kurven habe ich aus der Website von Tony kopiert, die Kurven nummeriert und unten wiedergegeben.

8 Kurven

8 Kurven

Es ist leicht erkennen, dass diese Kurven sehr eng mit dem Labyrinth verwandt sind. Man muss sie nur eine Vierteldrehung nach rechts (im Uhrzeigersinn) drehen und etwas begradigen. Dann hat man die Muster von 8 einachsigen Labyrinthen mit je 5 Umgängen vor sich.  Schauen wir uns diese Figuren deshalb einmal näher an.

Figur 1

Figur 1

Bei dieser Figur handelt es sich um eine Serpentine (einfache Schlangenlinie), die vom Eingang zum Zentrum führt. Dies ist das Muster des historischen Näpfchenstein-Labyrinths. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 2

Figur 2

Diese Kurve enthält das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5b. Es ist das Duale zu Figur 4. Duale Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um einen Halbkreis gedreht und mit vertauschtem Eingang und Zentrum. Das von Erwin gezeichnete Labyrinth „Knidos Peter“ ist auch von diesem Typ.

Figur 3

Figur 3

Diese Kurve enthält ein Muster vom Typ Knossos (3 Umgänge) mit sowohl innen wie aussen je einem zusätzlichen Umgang. Es ist mir kein Labyrinth mit diesem Muster bekannt. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 4

Figur 4

Dies ist das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5a. Es ist dual zur Figur 2. Auch das „Pilgrim Hospices“ Labyrinth von The Labyrinth Builders ist von diesem Typ.

Figur 5

Figur 5

Bei dieser Figur handelt es sich um das Muster des Labyrinths, das ich für meine Untersuchungen und Darstellungen verwende, sozusagen mein Demonstrationslabyrinth. Es hat folgende dafür wichtige Eigenschaften: Der Weg tritt nicht auf dem ersten Umgang ein. Er biegt nicht vom innersten Umgang in’s Zentrum ab. Das Labyrinth ist nicht selbstdual. Das Duale zu diesem Labyrinth ist in Figur 7 abgebildet.

Figur 6

Figur 6

Dieses Muster entspricht einer Serpentine von innen nach aussen. Der Weg geht zuerst entlang der Achse auf den innersten Umgang. Von dort windet er sich Umgang für Umgang hinaus  bis auf den ersten (äussersten) Umgang und führt schliesslich von dort ins Zentrum. Erwin hat diesen Labyrinth Typ „Chartres 5 Klassisch“ gefunden, indem er beim Labyrinth vom Typ Compiègne die Nebenachsen weggelassen hat. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 7

Figur 7

Dieses ist das Duale zu meinem Demonstrationslabyrinth in Figur 5.

Figur 8

Figur 8

Diese Kurve enthält Erwin’s labyrinthgeeigneten Mäander Typ 6. Dieser kommt als Muster im Kernlabyrinth von Rockcliffe Marsh vor. Rockcliffe Marsh ist in mehrfacher Hinsicht speziell: Es hat einen ungewöhnlichen Grundriss. Die Figur ist nicht geschlossen, sondern entlang der Achse geöffnet und ein Stück weit zu einem Kreissegment entrollt. Zudem besteht sie aus einem Kernlabyrinth, das aussen von einer Spirale umgeben ist.

Fazit

Arnol’d’s Definition vom Mäander hängt eng mit dem Labyrinth zusammen. Seine Kurven entsprechen den Mustern der einachsigen Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Die Anzahl Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden ist dabei gleich der Anzahl Umgänge im Labyrinth. Das wurde am Beispiel für Labyrinthe mit 5 Umgängen im Detail gezeigt.

  • Es gibt also 8 verschiedene Muster für ein Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen, bei dem der Weg die Achse nicht quert.
  • Je grösser die Anzahl Umgänge, umso mehr verschiedene Muster gibt es. Bei 6 Umgängen sind es 14, bei 7 Umgängen bereits 42 verschiedene Möglichkeiten. Die Anzahl der Muster steigt also rasant an.
  • Nach Arnol’d’s Definition sind alle 8 Figuren Mäander. Nach Erwin’s Definition ist nur Figur 8 ein labyrinthgeeigneter Mäander.
  • Wenn man die Definition von Erwin anwendet, erfasst man die häufigsten und wichtigsten Muster. Man verpasst aber auch ein breites Spektrum von tatsächlichen und potentiellen Labyrinthen.
  • Wenn man die Definition von Arnol’d anwendet, ist jedes Muster in einem einachsigen Labyrinth, in dem der Weg nicht die Achse quert, ein Mäander. Diese Definition scheint zu breit und kann weiter differenziert werden.

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Die Sache mit der fehlerhaft gezeichneten Silbermünze im vorigen Artikel hat mir keine Ruhe gelassen und ich habe sie noch einmal genauer angeschaut:

Quadratisches Labyrinth mit fünf Umgängen und zahlreichen Zeichenfehlern 350-300 v. Chr.

Quadratisches Labyrinth mit fünf Umgängen und zahlreichen Zeichenfehlern 350-300 v. Chr. / Quelle: Hermann Kern, Labyrinthe, 1982, Abb. 54 (gedreht)

Auffällig ist, dass die vier gewohnten Wendepunkte für das 7-gängige kretische Labyrinth zu sehen sind. Auch das zentrale Kreuz des Grundmusters ist zu erkennen, aber in vertiefter Form. Doch welche Linien sind die Begrenzungslinien und welche der Weg, der Ariadnefaden?
Ein bisschen getrickst wurde auch mit den Linienbreiten, denn die unteren beiden Wendepunkte liegen nicht auf gleicher Höhe.

Jedoch ist die Konstruktion nicht total sinnlos, sie zeigt sogar etwas sehr Interessantes. Hier eine grafische Darstellung:

Quadratische Labyrinthstruktur

Quadratische Labyrinthstruktur

Die Begrenzungslinien sind die schwarzen Linien. Der Weg ist der ausgesparte Bereich dazwischen.
Die vier Wendepunkte, der Anfangs- und der Endpunkt sind miteinander verbunden, ohne dass sie sich kreuzen wie das normalerweise der Fall sein müsste. Hier haben wir daher drei zusammenhängende Linien statt zwei. Hingegen kreuzt sich der Ariadnefaden, das darf eigentlich nicht sein. Auch gibt es keine richtige Mitte, dafür Verzweigungen. Jedoch ist es trotzdem möglich durch die Labyrinthstruktur zu gehen und dabei alle Wege abzuschreiten.

Probieren Sie es selbst:
In A anfangen, nach rechts gehen und ab dem Kreuzungspunkt X nach links abbiegen, auch beim Herausgehen. Dann landet man wieder am Anfangspunkt A und hat alle Wege durchquert.
Oder man geht in A erst nach oben und ab X immer nach rechts. Dann kommt man ebenso wieder nach Abschreiten aller Wege in A an.

Es ist also ein „Durchgangslabyrinth“ mit Verzweigungsmöglichkeit. Für ein Labyrinth im strengen Sinn ist das nicht zulässig, aber im baltischen Rad oder im Wunderkreis von Kaufbeuren kommt das später vor. Oder natürlich in den Irrgärten viele Jahrhunderte später.

Entweder hat ein Witzbold oder ein Auszubildender, der nicht so richtig im Zeichenunterricht aufgepasst hat, diese Münze geprägt?
Oder es ist hier schon etwas zu finden, was erst in der Labyrinthentwicklung Jahrhunderte später auftaucht?

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Einen dafür geeigneten Mäander habe ich in der Antikensammlung des Martin von Wagner Museums der Universität Würzburg in der Residenz auf diesem Äolischen Teller (H 5348) aus der Zeit um 575 v. Chr. gefunden:

Äolischer Teller um 575 v. Chr.

Äolischer Teller um 575 v. Chr.

In schematischer Form sieht er so aus:

Mäander mit der Umgangsfolge 0-5-2-3-4-1-6

Mäander mit der Umgangsfolge 0-5-2-3-4-1-6

Wir lesen von links nach rechts: 0 ist außen, 6 ergibt die Mitte und 1 bis 5 sind die Umgänge. Wir lesen die Umgangsfolge (Linienfolge, Wegfolge) ab: 0-5-2-3-4-1-6. Das ist die Reihenfolge, in der die Wege beschritten werden.
Anmerkungen zur Wegfolge:
Gerade und ungerade Ziffern wechseln sich ab.
Die erste Ziffer nach der 0 ist immer eine ungerade Zahl.

Diese Ziffernfolge setzen wir direkt um und konstruieren ein kreisrundes Labyrinth mit einer größeren Mitte:

Der Ariadnefaden mit der Wegfolge 0-5-2-3-4-1-6

Der Ariadnefaden mit der Wegfolge 0-5-2-3-4-1-6

Das Labyrinth hat 5 Umgänge. Der erste Schritt führt mich direkt ganz nah zur Mitte, in den 5. Umgang, dann pendle ich nach außen auf den 2. Umgang, nähere mich wieder der Mitte im 3. und 4. Umgang um dann ganz nach außen zum 1. Umgang zu schwenken und von dort schließlich in die Mitte.

Es sind alle Formprinzipen, die Hermann Kern (Labyrinthe, 1982, S. 14) für ein Labyrinth fordert, erfüllt.

Gibt es ein historisches Labyrinth mit dieser Linienführung?
So viel ich recherchieren konnte, scheint das nicht der Fall zu sein. (Einsprüche   willkommen).

Bei den in einem der vorherigen Artikel erwähnten Silbermünzen von Knossos aus der Zeit um 500 v. Chr. bis 100 v. Chr. gibt es eine Münze mit der Abbildung eines 5-gängigen Labyrinths, das aber leider fehlerhaft ist.

Quadratisches Labyrinth mit fünf Umgängen und zahlreichen Zeichenfehlern 350-300 v. Chr.

Quadratisches Labyrinth mit fünf Umgängen und zahlreichen Zeichenfehlern 350-300 v.Chr. Quelle: Hermann Kern, Labyrinthe, 1982, Abb. 54 (gedreht)

In der folgenden Zeichnung ist ein quadratisches klassisches 5-gängiges Labyrinth mit der Wegfolge 0-5-2-3-4-1-6 und kleiner Mitte zu sehen. Die Begrenzungslinien sind schwarz, der Weg ist der leere Raum dazwischen.

Quadratisches Labyrinth mit fünf Umgängen

Quadratisches Labyrinth mit fünf Umgängen

Wer will, kann selbst vergleichen und herausfinden was die alten Griechen bei ihrer Münze falsch gemacht haben.
Fairerweise muss ich anmerken, dass es noch 7 weitere Varianten für ein 5-gängiges Labyrinth gibt.

Die Mitte kann aber auch etwas größer werden. In der Zeichnung unten ist zusätzlich das in den Begrenzungslinien enthaltene Grundmuster farblich kenntlich gemacht.

Quadratisches 5-gängiges Labyrinth mit größerer Mitte

Quadratisches 5-gängiges Labyrinth mit größerer Mitte

Das Grundmuster lässt sich sehr vereinfachen auf 2 Punkte und 5 kurze Linien.

Das 5-gängige klassische Labyrinth mit kleiner Mitte

Das 5-gängige klassische Labyrinth mit kleiner Mitte

Zur Konstruktion des Labyrinths fängt man bei der mittleren Linie oben an und verbindet in einem Bogen die rechts daneben liegende Linie. Dann der Reihe nach von links nach rechts parallel zum vorigen Bogen alle Linienenden und Punkte verbinden.

Wer lieber den „gewohnten“ Anblick will, auch das geht:

Das 5-gängige klassische Labyrinth

Das 5-gängige klassische Labyrinth

Das Grundmuster wirkt vertrauter. Wenn man es kopiert und um 180 Grad dreht und richtig ansetzt, erhält man das Grundmuster für das 11-gängige klassische Labyrinth. Oder anders gesagt: Zwei aufeinanderfolgende Mäander dieses Typs ergeben ein 11-gängiges klassisches Labyrinth.

Eine weitere Variante dieses Mäander-Labyrinths ergibt sich, wenn ich eine größere Mitte will, aber nicht die kreisrunde Form wie oben dargestellt:

Das 5-gängige Mäanderlabyrinth

Das 5-gängige Mäanderlabyrinth

Die zwei Wendepunkte rechts und links und der Mittelpunkt der Mitte bilden ein Dreieck. Damit lässt sich die Verwandtschaft mit dem baltischen Rad und dem indischen Labyrinth erkennen. Bei denen geht es allerdings nicht direkt von ganz außen in die Mitte, sondern es schließen sich einige Umrundungen der Mitte an. Zudem hat das baltische Rad einen zweiten kurzen Ein-/Ausgang, was es ja als Labyrinth im ganz strengen Sinn disqualifiziert.

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Das Chartres Labyrinth hat viele Qualitäten. Es ermöglicht etliche Variationen, unter anderem auch durch Reduzierung der Anzahl der Umgänge. Aus dem 11-gängigen Original lässt sich ein 5-gängiges Labyrinth ableiten. Durch Weglassen der ersten 6 Umgänge (wenn ich von außen nach innen zähle). Dazu diese Zeichnung:

Das ganze Labyrinth mit den inneren 5 Umgängen

Das ganze Labyrinth mit den inneren 5 Umgängen

Übrigens kann ich auch die inneren 6 Umgänge weglassen und nur die äußeren 5 Umgänge nehmen. Das funktioniert ebenso. Hier die Zeichnung:

Das ganze Labyrinth mit den äußeren 5 Umgängen

Das ganze Labyrinth mit den äußeren 5 Umgängen

Hier das 5-gängige Chartres Labyrinth im Ganzen:

Das 5-gängige Chartres Labyrinth

Das 5-gängige Chartres Labyrinth

Schauen wir uns die Wegfolge etwas genauer an: Als erstes kommt man ganz nahe zur Mitte, nämlich zum Umgang 5. Dann geht es der Reihe nach wieder nach außen: 4 – 3 – 2 – 1, wenn auch in mehreren Sektoren. So ähnlich wie bei manchem römischen Labyrinth, wo sich das in jedem Sektor abspielt. Am Schluss komme ich dann unmittelbar von ganz außen ins Zentrum. Das ist eine verkürzte Wiedergabe der Wegfolge des 11-gängigen Originals, enthält aber deren ganze Dramaturgie.

Konkrete Beispiele für diesen Typ gibt es bisher nur wenige, wie zum Beispiel dieses hier in den Niederlanden in Nieuwegein, das ich heuer besuchen konnte.

Kann ich nun aus diesem Chartres Labyrinth mit seinen Barrieren in den waagrechten und senkrechten Achsen durch Weglassen derselben ein klassisches Labyrinth mit nicht unterbrochenen Umgängen und den vier typischen Wendepunkten herstellen? Es ist möglich. Hier das Ergebnis:
Das runde 5-gängige klassische Labyrinth

Das runde 5-gängige klassische Labyrinth

Die Wegfolge ist identisch mit der im vorhergehenden Chartres Labyrinth: 5 – 4 – 3 – 2 – 1 – Zentrum. Wir haben ein rundes klassisches Labyrinth mit einer großen Mitte und einer zentralen und gemeinsamen Achse für das letzte Wegstück und das Zentrum vor uns. Aber die vier Wendepunkte liegen nicht im Qaudarat wie wir es vom klassischen Labyrinth mit kleiner Mitte kennen. Zur Umwandlung ermitteln wir das Grundmuster und zeichnen ein Labyrinth mit kleiner Mitte. Hier das Ergebnis:

Das 5-gängige klassische Labyrinth mit Grundmuster

Das 5-gängige klassische Labyrinth mit Grundmuster

Wir sehen die gewohnten vier Punkte mit dem zentralen Kreuz. Nur gibt es hier in der Mitte eine Linie mehr. Die senkrechte Achse ist gleichsam aufgesplittet in zwei Linien. Dadurch erreichen wir die gleiche Wegfolge wie beim Chartres Labyrinth.

Für das 5-gängige klassische Labyrinth sind noch andere Wegfolgen möglich, wie zum Beispiel in Peters Steingartenlabyrinth.

Lässt sich nun aus dem 5-gängigen klassischen Labyrinth mit kleiner Mitte auch eines mit größerer Mitte erzeugen, das sich dann Knidos Labyrinth nennen kann? Es geht. Hier die Zeichnung:

Das 5-gängige Knidos Labyrinth

Das 5-gängige Knidos Labyrinth

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Inzwischen gehört es zur Tradition, dass Besucherinnnen und Besucher von Peters Steingarten einen Stein mitbringen. Da haben sich inzwischen schon Steine aus aller Welt angesammelt.

Auch für das Labyrinth gibt es immer wieder schöne oder wertvolle Stücke. So auch geschehen am 8. Juli 2008, als sich zwei Wienerinnen zum Besuch des Labyrinths ankündigten. Peter wählt dann immer eine besondere Stelle im Labyrinth aus und kann sich auch noch Jahre später an jeden einzelnen Stein und seine Herkunft erinnern.

Und die Besucherinnen und Besucher hoffentlich auch?

Ilses Stein

Ilses Stein

Evelines Stein

Evelines Stein

Vielen Dank

Vielen Dank

Wohin jetzt?

Wohin jetzt?

Dort liegen sie!

Dort liegen sie!

Auf Wiedersehen

Auf Wiedersehen

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