Das 5-gängige Labyrinth auf dem Zauberwürfel

Mit dem 3-gängigen Labyrinth auf dem Zauberwürfel fing ich an (siehe Verwandte Artikel unten). Dabei sind aber ziemlich viele Flächen leer geblieben. Daher habe ich mich an ein 5-gängiges Labyrinth gemacht.

Zuerst noch einmal das Schema für den Zauberwürfel mit den Bezeichnungen der einzelnen aufgeklappten Seiten.

Der aufgeklappte, leere Zauberwürfel

Der aufgeklappte, leere Zauberwürfel

Von den 8 möglichen Kombinationen für ein 5-gängiges Labyrinth habe ich die Variante mit der Wegfolge: 0-3-4-5-2-1-6 gewählt.

Der Ariadnefaden auf dem aufgeklappten Zauberwürfel

Der Ariadnefaden auf dem aufgeklappten Zauberwürfel

Der Weg beginnt „vorne“ links unten auf dem Eckstein, führt dann nach oben (Umgang 3), springt um die Ecke nach „links“ und verläuft über „hinten“ bis „rechts“ um den Würfel herum. Von hier geht es nach oben (Umgang 4) und wieder zurück bis nach „vorne“. Dann folgen die Umgänge 5, 2, 1 und schließlich der Sprung in das Zentrum (6).
Die Nummerierung der Umgänge beginnt auf der Unterseite des Würfels, nicht „vorne“. Das Ziel, die Mitte des Labyrinths liegt aber wieder „oben“ in „6“. Und auf der Unterseite bleibt nur ein einziger Stein frei.

Davon gibt es wieder eine Vorlage mit Laschen, die man verwenden kann, um ein Modell zu bauen. Hier die PDF-Datei zum anschauen, herunterladen oder ausdrucken.

Daran habe ich mich selbst versucht und einen mehr oder weniger gelungenen Würfel gebastelt:

Der Ariadnefaden auf dem Zauberwürfel

Der Ariadnefaden auf dem Zauberwürfel

Im oberen, großen Bild schaut man von oben auf die obere, die linke und die vordere Seite. Die drei kleineren Bilder sind jeweils um 90 Grad gedreht.

Hier in gekippter Darstellung:

Der Ariadnefaden auf dem Zauberwürfel

Der Ariadnefaden auf dem Zauberwürfel

Im oberen, großen Bild schaut man von oben auf die vordere Seite, die linke und die untere Seite. Die drei kleineren  Bilder sind wieder um 90 Grad gedreht.

Ich kann nicht beurteilen, wie schwierig das zu lösen wäre. Vor allem, wenn man vorher nicht sagt, was das sein soll und man selbst Anfang und Ende des Fadens finden soll.

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Neue 5-gängige Labyrinthe mit Doppelbarrieren

Bei der Beschäftigung mit der Doppelbarrierentechnik in den letzten Beiträgen bin ich bei Mark Wallingers Labyrinthen in der Londoner U-Bahn auf dieses Exemplar gestoßen:

Das Labyrinth 233/270 in der U-Bahn Station Hyde Park Corner, Foto: © Jack Gordon

Das Labyrinth 233/270 in der U-Bahn Station Hyde Park Corner, Foto: © Jack Gordon

Diese Datei ist lizenziert unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 international“.

Das Besondere daran ist, dass sich im oberen Teil der Zentralachse zwei Doppelbarrieren nebeneinander befinden. Bei der von ihm gewählten Wegführung bewegt man sich bei der Überleitung vom 2. auf den 3. Quadranten zuerst von der Mitte weg.

Das habe ich nun so verändert, dass man bei einem begehbaren Labyrinth eine Bewegung zur Mitte hin „erleben“ würde.

So sieht das dann aus:

Ein neues Sektorenlabyrinth in konzentrischem Stil

Ein neues Sektorenlabyrinth in konzentrischem Stil

Die seitlichen Doppelbarrieren habe ich ebenfalls verschoben und dadurch wird die Wegführung in allen Quadranten ebenfalls unterschiedlich. Es entsteht also ein neuer Typ.

Hier im Knidos Stil:

Ein neues zentriertes Sektorenlabyrinth im Knidos Stil

Ein neues zentriertes Sektorenlabyrinth im Knidos Stil

Warum nicht auch als zweigeteiltes Labyrinth?

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes Labyrinth

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes Labyrinth

Der linke Teil hat die Wegfolge: 3-4-5-2-1 und der rechte Teil: 5-4-1-2-3, also stecken da zwei 5-gängige Labyrinthe drin.

Und hier wieder der Knidos Stil:

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes und zentriertes Labyrinth im Knidos Stil

Ein neues 5-gängiges, zweigeteiltes und zentriertes Labyrinth im Knidos Stil

Das bemerkenswerte an diesem Typ ist auch, dass sowohl der Eintritt ins Labyrinth im 3. Umgang erfolgt, wie auch der Eintritt in die Mitte.

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Wie zeichne ich die acht 5-gängigen Labyrinthe?

Es gibt bekanntlich 8 verschiedene Möglichkeiten für ein 5-gängiges, einachsiges Labyrinth (bei dem die Achse nicht gekreuzt wird).

Diesen Nachweis hat Tony Phillips auf seiner Website erbracht. Er ist Mathematikprofessor an der State University of New York und er geht mathematisch an die Sache heran.

Einige dieser Versionen sind bekannt und wurden auch schon als begehbare Labyrinthe gebaut. Aber einige eben nicht. Andreas Frei hat diese 8 Typen auch schon gezeigt. Bei Tony Phillips finden sich Kurven des russischen Mathematikers Arnol’d, die genau zu diesen Varianten führen.

Hier möchte ich noch einmal alle 8 Varianten vorstellen. Inzwischen habe ich für mich eine Methode entwickelt wie ich am einfachsten ein Labyrinth konstruieren kann: Nach der Wegfolge. Diese Wegfolge ist gleichzeitig auch eine gute Bezeichnung und ein Unterscheidungsmerkmal für einen bestimmten Labyrinthtyp.

Die verschiedenen Labyrinthe sind also nicht aus einem Grundmuster entwickelt, wie wir es alle kennen. Auch nicht aus einem Muster für den Ariadnefaden.

Die Abbildungen der acht verschiedenen Typen, einmal rund und mit größerer Mitte, dann in quadratischer Form. Das enthaltene Muster ist farblich hervorgehoben. Allerdings ist es erst nach der Konstruktion des Labyrinths ermittelt worden. Die Wege und die Begrenzungslinien sind gleich breit. Die Wegfolge soll als Kennzeichnung des Typs dienen.

0-5-2-3-4-1-6

0-5-2-3-4-1-6

0-5-2-3-4-1-6

0-5-2-3-4-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-3-4-5-2-1-6

0-1-2-5-4-3-6

0-1-2-5-4-3-6

0-1-2-5-4-3-6

0-1-2-5-4-3-6

0-3-2-1-4-5-6

0-3-2-1-4-5-6

0-3-2-1-4-5-6

0-3-2-1-4-5-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-3-2-1-6

0-5-4-1-2-3-6

0-5-4-1-2-3-6

0-5-4-1-2-3-6

0-5-4-1-2-3-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-2-3-4-5-6

0-1-4-3-2-5-6

0-1-4-3-2-5-6

0-1-4-3-2-5-6

0-1-4-3-2-5-6

Einige Erklärungen zur Wegfolge: Die Wege im Labyrinth werden zuerst von außen nach innen, zur Mitte hin, nummeriert. Die Reihenfolge in der die Wege vom Eingang bis zur Mitte durchschritten werden, gibt nun die jeweilige Wegfolge wieder. Die Ziffer „0“ steht für außen (oder Anfang) und die letzte Ziffer bezeichnet die Mitte selbst.
Die erste Zahl nach der „0“ muss immer eine ungerade Zahl sein, also 1, 3,  oder 5 (usw.). Sonst funktioniert es nicht.
Die Ziffernfolge muss aus einer Reihe bestehen, in der geraden und ungerade Zahlen sich abwechseln, sonst geht es auch nicht. Der Mathematiker drückt das anders aus, aber für uns sollen diese Angaben genügen.

Wer also gerne einmal ein neues 5-gängiges Labyrinth bauen möchte, kann sich hier Anregungen holen.
Mir persönlich gefällt die zweite Variante mit der Wegfolge 0-3-4-5-2-1-6 am besten. Wer baut es?

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Zum Mäander im Labyrinth

Erwin hat sich in einer Reihe von Beiträgen mit dem Mäander im Labyrinth befasst.

Dabei hat er einen labyrinthgeeigneten Mäander gefunden. Diesen speziellen Mäander gibt es in verschiedenen Ausprägungen. Erwin bezeichnet sie als Typ 4,  6, usf. (Typ plus eine gerade Zahl).

In der Tat ist diese Art von Mäander in den bestehenden Labyrinthen häufig anzutreffen. Aber es kommen in Labyrinthen auch noch andere Figuren vor, die als Mäander bezeichnet werden können. Überhaupt wird eine grosse Vielfalt von Figuren als Mäander bezeichnet, und es ist noch keineswegs klar, was denn nun ein Mäander ist.

Was also ist ein Mäander?

Tony Phillips zitiert auf seiner Website den russischen Mathematiker Arnol’d. Der wollte unabhängig vom Labyrinth untersuchen, was für Mäanderformen es gibt. Arnol’d definiert den Mäander so:

  • Zusammenhängende, gerichtete Kurve,
  • die sich nicht selbst schneidet
  • und an mehreren Stellen eine Gerade kreuzt.

Arnol’d illustriert das am Beispiel einer Kurve, welche fünf mal eine Gerade kreuzt. Er hat 8 verschiedene solche Kurven gefunden. Die Abbildung der 8 Kurven habe ich aus der Website von Tony kopiert, die Kurven nummeriert und unten wiedergegeben.

8 Kurven

8 Kurven

Es ist leicht erkennen, dass diese Kurven sehr eng mit dem Labyrinth verwandt sind. Man muss sie nur eine Vierteldrehung nach rechts (im Uhrzeigersinn) drehen und etwas begradigen. Dann hat man die Muster von 8 einachsigen Labyrinthen mit je 5 Umgängen vor sich.  Schauen wir uns diese Figuren deshalb einmal näher an.

Figur 1

Figur 1

Bei dieser Figur handelt es sich um eine Serpentine (einfache Schlangenlinie), die vom Eingang zum Zentrum führt. Dies ist das Muster des historischen Näpfchenstein-Labyrinths. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 2

Figur 2

Diese Kurve enthält das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5b. Es ist das Duale zu Figur 4. Duale Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um einen Halbkreis gedreht und mit vertauschtem Eingang und Zentrum. Das von Erwin gezeichnete Labyrinth „Knidos Peter“ ist auch von diesem Typ.

Figur 3

Figur 3

Diese Kurve enthält ein Muster vom Typ Knossos (3 Umgänge) mit sowohl innen wie aussen je einem zusätzlichen Umgang. Es ist mir kein Labyrinth mit diesem Muster bekannt. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 4

Figur 4

Dies ist das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5a. Es ist dual zur Figur 2. Auch das „Pilgrim Hospices“ Labyrinth von The Labyrinth Builders ist von diesem Typ.

Figur 5

Figur 5

Bei dieser Figur handelt es sich um das Muster des Labyrinths, das ich für meine Untersuchungen und Darstellungen verwende, sozusagen mein Demonstrationslabyrinth. Es hat folgende dafür wichtige Eigenschaften: Der Weg tritt nicht auf dem ersten Umgang ein. Er biegt nicht vom innersten Umgang in’s Zentrum ab. Das Labyrinth ist nicht selbstdual. Das Duale zu diesem Labyrinth ist in Figur 7 abgebildet.

Figur 6

Figur 6

Dieses Muster entspricht einer Serpentine von innen nach aussen. Der Weg geht zuerst entlang der Achse auf den innersten Umgang. Von dort windet er sich Umgang für Umgang hinaus  bis auf den ersten (äussersten) Umgang und führt schliesslich von dort ins Zentrum. Erwin hat diesen Labyrinth Typ „Chartres 5 Klassisch“ gefunden, indem er beim Labyrinth vom Typ Compiègne die Nebenachsen weggelassen hat. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 7

Figur 7

Dieses ist das Duale zu meinem Demonstrationslabyrinth in Figur 5.

Figur 8

Figur 8

Diese Kurve enthält Erwin’s labyrinthgeeigneten Mäander Typ 6. Dieser kommt als Muster im Kernlabyrinth von Rockcliffe Marsh vor. Rockcliffe Marsh ist in mehrfacher Hinsicht speziell: Es hat einen ungewöhnlichen Grundriss. Die Figur ist nicht geschlossen, sondern entlang der Achse geöffnet und ein Stück weit zu einem Kreissegment entrollt. Zudem besteht sie aus einem Kernlabyrinth, das aussen von einer Spirale umgeben ist.

Fazit

Arnol’d’s Definition vom Mäander hängt eng mit dem Labyrinth zusammen. Seine Kurven entsprechen den Mustern der einachsigen Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Die Anzahl Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden ist dabei gleich der Anzahl Umgänge im Labyrinth. Das wurde am Beispiel für Labyrinthe mit 5 Umgängen im Detail gezeigt.

  • Es gibt also 8 verschiedene Muster für ein Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen, bei dem der Weg die Achse nicht quert.
  • Je grösser die Anzahl Umgänge, umso mehr verschiedene Muster gibt es. Bei 6 Umgängen sind es 14, bei 7 Umgängen bereits 42 verschiedene Möglichkeiten. Die Anzahl der Muster steigt also rasant an.
  • Nach Arnol’d’s Definition sind alle 8 Figuren Mäander. Nach Erwin’s Definition ist nur Figur 8 ein labyrinthgeeigneter Mäander.
  • Wenn man die Definition von Erwin anwendet, erfasst man die häufigsten und wichtigsten Muster. Man verpasst aber auch ein breites Spektrum von tatsächlichen und potentiellen Labyrinthen.
  • Wenn man die Definition von Arnol’d anwendet, ist jedes Muster in einem einachsigen Labyrinth, in dem der Weg nicht die Achse quert, ein Mäander. Diese Definition scheint zu breit und kann weiter differenziert werden.