Listening to the Labyrinths

Finde unsere Typologie bestätigt

In Kapitel 3 seines Buches will Herman Wind (siehe unten: Literatur 1) eine neue Kategorisierung von Labyrinthen vorstellen. Zu diesem Zweck hat er Labyrinth Abbildungen vor allem aus Kern (Literatur 2) und einzelne aus anderen Quellen verwendet. Aus den Bildern der Labyrinthe hat Wind die Umgangsfolgen herausgezogen. In der Zuordnungs-Tabelle 3.2.1 A-F auf Seiten 73-78 seines Buches finden sich Einträge von 235 Labyrinthen. Jede Zeile enthält ein Labyrinth mit Abbildungsverweis, Ort, Entstehungsdatum und Umgangsfolge. Labyrinthe mit gleicher Umgangsfolge sind nacheinander angeordnet. Damit hat Wind gleiche Labyrinthe in gleiche Gruppen, unterschiedliche Labyrinthe in verschiedene Gruppen eingeteilt und so eine Typologie geschaffen. Er nennt jedoch seine Gruppen nicht Typen, sondern Familien. Die Familien sind nicht mit Namen unterschieden und auch nicht immer deutlich voneinander abgegrenzt. Man selbst muss also in der Tabelle noch Klammern um die Zeilen mit gleichen Zahlenfolgen zeichnen, um die Familien zu identifizieren.

Im Buch werden fünf Beispiele für den Gebrauch der Zuordnungs-Tabelle angeführt. Schauen wir uns das erste Beispiel (S. 81) an. Es zeigt Labyrinth Exemplare, die der gleichen Familie wie das Labyrinth von Ravenna zugeordnet werden.

Abbildung 1. Der gleichen Familie wie Ravenna zugeordnete Labyrinthe

Die Exemplare A „Filarete“, C „Ravenna“, und F l(inks) „Watts 7 Umgänge“ haben die gleiche Umgangsfolge. Exemplar B „Hill“ wird ebenfalls der Familie „Ravenna“ zugeordnet, obwohl es völlig verschieden ist. Man sieht auf den ersten Blick, dass es nicht in diese Familie gehören kann. Es handelt sich um ein fehlerhaft gezeichnetes Labyrinth vom Typ Saffron Walden. Hier muss eine Verwechslung der Labyrinth Zuordnung in der Zuordnungs-Tabelle vorliegen. Interessant, dass weder Autor noch Herausgeber diese bemerkt haben. Denn beim viel ähnlicheren Exemplar F r(echts) „Watts 11 Umgänge“ haben sie den Unterschied bemerkt und nur die Ähnlichkeit mit der Familie Ravenna festgestellt. Genau das ersieht man direkt aus dem Vergleich der beiden Bilder F l und F r.

So wie Wind die Umgangsfolge verwendet, ergeben sich zwei Probleme:

Erstens: Diese Umgangsfolge ist nur für einachsige alternierende Labyrinthe eindeutig. Schliesst man auch nicht alternierende Labyrinthe ein, können Exemplare mit unterschiedlicher Wegführung dieselbe Umgangsfolge haben (Abb 2).

Abbildung 2. Labyrinthe mit der Umgangsfolge 7 4 5 6 1 2 3 0

So ordnet Wind die beiden nicht alternierenden Labyrinthe (a) St. Gallen und (b) syrische Grammatik der gleichen Familie zu. Das ist richtig. Sollte er aber ein alternierendes Labyrinth der Form (c) finden, müsste er es ebenfalls in diese Familie einreihen, obwohl es einen klar anderen Wegverlauf hat. Denn es hat, wie Exemplare (a) und (b), die Umgangsfolge 7 4 5 6 1 2 3 0. (Weitere Beispiele für mehrdeutige Umgangsfolgen siehe verwandte Beiträge 1, 2).

Zweitens: Wind’s Umgangsfolgen der mehrachsigen Labyrinthe sind unvollständig. Sie geben nur an, welche Umgänge überhaupt belegt werden, nicht aber, wie lange die jeweiligen Wegstücke sind. Solche Umgangsfolgen sind nicht einmal für alternierende Labyrinthe eindeutig. Wie Jacques Hébert ausführt, muss die Umgangsfolge bei mehrachsigen Labyrinthen die Einteilung in Segmente und die Länge der Wegstücke berücksichtigen (Literatur 3). Das kann man auf verschiedene Weise tun.

Abbildung 3. Umgangsfolgen des Wielandshaus Labyrinths

Abbildung 3 zeigt eine Möglichkeit mit reiner Zahlenfolge am Beispiel des Labyrinths Wielandshaus 1. Die Umgangsfolge dieses Labyrinths hat gemäss Wind (untere Reihe W:) 21 Zahlen. Berücksichtigt man die Länge der Wegstücke wie Hébert (obere Reihe H:), enthält sie aber 30 Zahlen. Aus der Umgangsfolge von Wind kann man das Labyrinth nicht ohne ein Bild davon oder nur in mehrfachen Versuchen wiederherstellen. Aus der Umgangsfolge von Hébert lässt es sich ohne weiteres wiederherstellen.

Dass es zu unvollständigen Umgangsfolgen mehrere alternierende Labyrinthe mit unterschiedlichem Wegverlauf geben kann, zeigt Abb. 4.

Abbildung 4. Labyrinthe mit unterschiedlichem Wegverlauf und gleicher unvollständiger Umgangsfolge

Die beiden Labyrinthe haben unterschiedliche Wegverläufe. Dies drückt sich in der vollständigen Umgangsfolge (obere Zahlenreihen) auch aus. In der unvollständigen Umgangsfolge (untere Zahlenreihen) verschwindet der Unterschied. Sie ist für beide Labyrinthe dieselbe.

Fazit

Neu ist die Kategorisierung von Wind nicht. Wir haben das schon gemacht (Literatur 4). Wir haben in etwa das gleiche Material ausgewertet, haben gleiche Labyrinthe in gleiche, unterschiedliche Labyrinthe in verschiedene Gruppen eingeteilt und nennen das Typologie (verwandte Beiträge 3, 4, 5). Wir kommen auch in etwa auf gleiche Resultate (zusätzliche Links). Die Kategorisierung von Wind bestätigt also unsere Typologie weitgehend. Als Kriterium dafür, welche Labyrinthe gleich, welche ungleich sind, verwenden wir den Verlauf des Weges. Diesen stellen wir jedoch nicht mit der Umgangsfolge, sondern mit dem Muster dar. Dieses ermöglicht eine eindeutige und vollständige Repräsentation des Wegverlaufs und eine eindeutige Zuordnung von Labyrinth Exemplaren zu Typen von Labyrinthen.

 

Literatur

  1. Listening to the Labyrinths, by Herman G. Wind, editor Jeff Saward. F&N Eigen Beheer, Castricum, Netherlands, 2017.
  2. Kern H. Through the Labyrinth: Designs and Meanings over 5000 years. London: Prestel 2000.
  3. Hébert J. A Mathematical Notation for Medieval Labyrinths. Caerdroia 34 (2004), p. 37-43.
  4. Frei A. A Catalogue of Historical Labyrinth Patterns. Caerdroia 39 (2009), P. 37-47.

Verwandte Beiträge

  1. Umgänge und Segmente
  2. Zur Umgangsfolge von einachsigen Labyrinthen
  3. Typ oder Stil / 6
  4. Typ oder Stil / 5
  5. Typ oder Stil / 1

Zusätzliche Links

Katalog der Muster historischer Labyrinthe

3 Gedanken zu „Listening to the Labyrinths

  1. Ich teile hier die Antwort von Herman Wind auf den Artikel von Andreas Frei mit freundlicher Genehmigung beider:

    Ede, the 12th of April 2019

    Dear Andreas Frei,

    Thank you for informing about the news on your blog. I am impressed by the work you have done to develop your method to analyse and categorize labyrinths. It is a thorough approach which shows your great experience and knowledge of labyrinths. It is a pity that I was not aware of your approach, because I could certainly have benefitted from your work.

    It is clear that your approach as well as my approach serve the same aim: analysing and categorizing labyrinths in such a way that links between the various sources of information (books, petroglyphs, graffiti, coins etc.) become apparent and may form the bases for further research.

    Comparing both methods I get the impression that your aim is also to be able to reconstruct the labyrinth based on the information in your labyrinth library. This is not the case in my approach. You showed clearly that an approach based on the sequence of numbers only may yield a variety of labyrinths. Of course in developing my approach I have considered also the option to add more information to the sequence of numbers. But exploring the boundaries of my approach using the say 230 labyrinths available, I learned that the same sequence of numbers yielded the required links between labyrinths, which I was searching for. This experience does not exclude your remark that in principle more types of labyrinths are feasible given a sequence of numbers and I am convinced that in the course of time a few examples which do not lead to the same family will appear.
    But there is another reason for me to stick initially to a single set of figures and that is that the simple approach appeared to appeal to labyrinth enthusiasts. It was simple for them to obtain the sequence of numbers related to a labyrinth and search in the labyrinth library for feasible links.

    For these two reasons, the approach appeared to be sufficient as well easily applicable for a wide audience, I was and still am happy with my approach of a single sequence of numbers.

    You rightly point out to the parallel between your and my approach. A parallel which however is again clear for specialists, but for one reason or another it did not ring a bell with Jeff Saward nor in the review of Erwin Reissmann.

    The idea that the labyrinth of Thomas Hill should be a part of the same family as the Ravenna labyrinth is clearly erroneous and it is not my intention to implicate that. The Ravenna labyrinth is discussed in paragraph 3.3. followed by the labyrinth of Thomas Hills in paragraph 3.4. The fact that placing these two types of labyrinths both on page 81 can easily lead to the wrong conclusion i.e. that they are from the same family, which is clearly not the case.

    If you have further questions or remarks, please do not hesitate to discuss these with me.

    Kind regards,

    Herman G. Wind

    Liken

    • Dear Herman
      Thank you very much for your constructive response. First let me state that Erwin and myself always welcome and appreciate a multitude of approaches and contributions to the subject. And I agree that our approaches have much in common and serve the same aim. And I also am interested in the details and differences.
      The main purpose of my typology is the same as yours: classifying and comparing labyrinths. But I also use my tool to identify and classify labyrinths the other way round for the detection or design of new types of labyrinths, which seems not to be your interest. Therefore for me an unambigous representation of the course of the pathway is important. It is of secondary importance, whether a pattern or a sequence of circuits is used. But or me, the notation of a sequence of circuits must be unambigous, or bi-univocal.
      Of course I respect your approach that has the advantage of more ease of use and the risk of a loss of precision. However, in practice, labyrinths with different courses of the path but the same sequence of circuits may rarely occur. So in such a case a difference – if noticed at all – could be easily taken into account.
      This brings me to some other concerns. I have continued to chapter 4 of your book. I have the strong impression that you were greatly influenced by Tony Phillips‘ notation. This can be seen from the use of the 0 and (n+1) in the sequence of numbers and from your selection of interesting SAT for the comparison of theoretically possible and empirically existing types of labyrinths. The notation of Tony is strictliy limited to SAT. As you explain, S means one-arm labyrinth. That rules out all labyrinths with multiple arms, whether these are sector labyrinths or else. A means that the path does not traverse the axis, excluding such labyrinths as St. Gallen, Syrian Grammar, Al Qazwini etc., and T rules out any designs that are not strictly unicursal, e.g. multicursal mazes, Baltic Wheels or else.
      Interestingly in chapter 4 you use the term „types“ for your groups. But this is only a incidental remark and has nothing to do with the issues I see in your figure 4.3.1 comparing interesting s.a.t. labyrinths with observed labyrinths. Among your 6 observed s.a.t., only two, Demeter and Pylos are s.a.t. Kato Paphos, Chusclan, Avenches, and Annaba are not S but only AT. Type Manuscript (St. Gallen), Syrian Grammar is only S, non-A, T (the only s.a.t. with 6 circuits and your sequence of circuits 7 4 5 6 1 2 3 0 is example (c) I showed in fig. 2 of my post). Among your 27 observed types but non s.a.t. labyrinths, the types Temple Cowley, Farhi, City Jericho, Hebrew Bible; type fig 230, 228 (not 229) Jericho; type fig 232 Jericho, type C 38-01, and type C 43-55 are all s.a.t, although most not interesting ones. So to me it seems that the way you extended Tony’s concept to types of labyrinths it was not designed for on the one hand and narrowed the range of feasible types to the interesting s.a.t. causes some confusion.
      In addition I wonder why you reversed the numbering of the circuits from outside-in as by Tony to inside-out?
      Best, Andreas

      Liken

      • Hier die von Herman G. Wind per E-Mail übermittelte Antwort im Original:

        Ede, 23rd of April 2019

        Dear Andreas Frei,

        Thank you for your thorough analysis of Chapter 4 of my book ‘Listening to the Labyrinths’, which ends with the following two statements.

        1. So to me it seems that the way you extended Tony’s concept to types of labyrinths it was designed for on the one hand and narrowed the range of feasible types to the interesting s.a.t causes some confusion.

        2. In addition I wonder why you reversed the numbering of the circuits from outside-in as by Tony to inside-out?

        I agree with you that figure 4.3.1 in its present form causes confusion. A confusion I never intended, nor did I intend to adapt the brilliant theory of Tony Williams. Because chapter 3 and chapter 4 are close to my heart, I would like to outline my intentions with those chapters below.

        Chapter three provides the labyrinth library which provides an overview of possible connections between labyrinths. This is important as a research tool.

        The objective of chapter four is quite different. The content of chapter four learned me that the builders of the labyrinths were very selective in the types or families of labyrinths they constructed. I tried to clarify this point by answering the following questions

        1. How many types or families of labyrinths have been observed?
        2. How many types or families of s.a.t. labyrinths are feasible as a function of the number of circuits?
        3. How many types or families of labyrinths are feasible as a function of the number of circuits.

        How many types or families of labyrinths have been observed?
        Using the information in chapter 3, the following graph can be constructed. On the vertical

        graph
        axis the number of observed types of labyrinths are shown as a function of the number of circuits (horizontal). It shows that the number of observed labyrinths increases with the number of circuits up to 12 circuits and after that reduces rapidly.

        How many types or families of s.a.t. labyrinths are feasible as a function of the number of circuits?
        In order to find the number of interesting s.a.t. labyrinths as a function of the number of circuits I used the data of Tony on
        http://www.math.stonybrook.edu/~tony/mazes/index.html On this website Tony Phillips presents a list of interesting s.a.t labyrinths as a function of the number of circuits.

        row

        The number of s.a.t. labyrinths tends to increase exponentially with the number of circuits. This statement of Tony Phillips is valid for the overall trend of the s.a.t. labyrinths, but not if you compare the number of feasible s.a.t labyrinths of two sequential number of circuits.

        How many types or families of labyrinths are feasible as a function of the number of circuits?
        The answer on the third question can be inferred from the results of the s.a.t. labyrinths. As s.a.t labyrinths are a sub-class of the class of labyrinths, it is to be expected that the number of feasible labyrinths increases even faster than exponentially with the number of circuits.

        Conclusion as a result of the answers on the three questions above.
        The conclusion is that a wide selection of labyrinths were available for the designers of labyrinths (increases even faster than exponentially with the number of circuits!!), however they restricted themselves to a small selection, which is the selection of observed labyrinths.

        This is the point I try to make in chapter four: ‘Theory and observation of labyrinths’. Of course one would like to know why they were so selective, however the answer to that question cannot be derived from the labyrinth data.

        The important role of the theory of Tony Phillips is outlined in the answer to question 2. The fact that I reversed the numbering of the circuits from outside–in as by Tony to inside-out is simply that I had already completed the labyrinth library in chapter three. I adapted the numbering in the theory of Tony Phillips in order to make theory and observation comparable.

        Kind regards,

        Herman G. Wind

        Liken

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