In meinen letzten Beiträgen hatte ich die Methode der Umwandlung vom Mittelalterlichen Labyrinth durch Weglassen der Barrieren aufgezeigt.
Die erste Möglichkeit um Labyrinthe zu generieren ist natürlich die Verwendung des Grundmusters. So sind die meisten skandinavischen Trojaburgen mit 7, 11 oder 15 Umgängen erzeugt worden.
Vor einigen Jahren hatte ich mit der Mäandertechnik beschäftigt. Dabei sind schon viele neue, bisher unbekannte Labyrinthe entstanden.
Ein weitere Möglichkeit hat Andreas in seinen Beiträgen zu den dualen und komplementären Labyrinthen aufgezeigt. Da werden durch Rotieren und Spiegeln neue Versionen von schon bekannten Typen erzeugt.
Diese Technik will ich nun verwenden, um einige neue Varianten vorzustellen.
Dabei beziehe ich mich auf einachsige, alternierende Labyrinthe. Diese Bezeichnung verwendet Tony Phillips in seinen Ausführungen als Mathematiker zum Labyrinth. Er nennt auch die Anzahl der theoretisch möglichen Varianten von 11-gängigen interessanten Labyrinthen: 1014 Stück.
Die theoretisch möglichen interessanten Varianten der 3-, bis 7-gängigen Labyrinthe sind in diesem Blog schon alle einmal aufgetaucht.
Ich konstruiere die hier gezeigten Beispiele im konzentrischen Stil. Aufgrund der Wegfolge (= Umgangsfolge) lässt sich das relativ einfach bewerkstelligen. Man benötigt kein Muster dazu. Die Wegfolge ist auch das Unterscheidungsmerkmal der verschiedenen Varianten.
Ich beginne mit dem gut bekannten 11-gängigen klassischen Labyrinth, das aus dem Grundmuster erzeugt werden kann:
Das 11-gängige Labyrinth nach dem Muster
Um das duale Exemplar davon zu erzeugen, nummeriere ich die einzelnen Umgänge von innen nach außen, gehe dann von innen nach außen und schreibe dazu die Wegfolge auf. Es ergibt sich: 5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7-(12).
Diese ist in diesem Fall identisch mit dem Original, es entsteht also kein neues Labyrinth. Daher ist dieses Labyrinth selbstdual. Das wiederum zeugt von einer besonderen Qualität dieses Typs.
Jetzt erzeuge ich das komplementäre Exemplar. Dazu ergänze ich die einzelnen Ziffern der Wegfolge zur Ziffer des Zentrums „12“.
5-2-3-4-1-6-11-8-9-10-7
7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5
Die einzelnen Werte der Reihe oben und unten addiert, ergibt jeweils 12.
Oder, ich lese die Wegfolge rückwärts. Das bringt die gleiche neue Wegfolge. Doch so direkt geht das nur bei selbstdualen Labyrinthen.
Zu dieser Wegfolge 7-10-9-8-11-6-1-4-3-2-5-12 zeichne ich nun ein Labyrinth.
So sieht es aus:
Das komplementäre 11-gängige Labyrinth nach dem Muster
Dieses neue Labyrinth ist bisher kaum bekannt.
Jetzt nehme ich ein anderes schon einmal im Blog gezeigtes Labyrinth, das mit Mäandertechnik erzeugt wurde, jedoch ein nicht-selbstduales.
Das originale 11-gängige Labyrinth aus Mäandertechnik
Zuerst ermittle ich die Wegfolge für das duale Labyrinth, indem ich von innen nach außen gehe. Und erhalte: 7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9-(12).
Danach konstruiere ich nach dieser Wegfolge das duale Labyrinth.
So sieht es dann aus:
Das duale 11-gängige Labyrinth
Jetzt kann ich jeweils zu beiden vorgenannten Labyrinthen die komplementären Exemplare generieren.
Obere Reihe das Original. Untere Reihe das komplementäre.
3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7
Die untere Reihe erzeugt durch Ergänzen der oberen zu „12“.
Das komplementäre Labyrinth sieht wie folgt aus:
Das komplementäre Labyrinth zum Original
Nun die Wegfolge des dualen in der oberen Reihe. Das dazu komplementäre in der unteren.
7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3
Wieder ermittelt durch Ergänzung zu „12“.
Das sieht so aus:
Das komplementäre Labyrinth zum dualen
Ich habe also drei neue Labyrinthe zu einem schon bekannten hinzugewonnen. Bei einem sebstdualen Labyrinth erhalte ich dagegen nur ein neues dazu.
Nun kann ich das Spielchen noch weitertreiben. Auch für die neu erzeugten komplementären Labyrinthe könnte ich wieder duale Labyrinthe erzeugen, indem ich von innen nach außen nummeriere.
Das duale des komplementären zum Original ergibt das komplementäre des dualen. Und das duale des komplementären zum dualen ergibt das komplementäre des Originals.
Die nebeneinander geschriebenen Wegfolgen verdeutlichen das. Oben stehen das Original (links) und das duale (rechts).
Unten stehen die komplementären, links das komplementäre zum Original. Und rechts das komplementäre zum dualen.
3-2-1-4-11-6-9-8-7-10-5 * 7-2-5-4-3-6-1-8-11-10-9
9-10-11-8-1-6-3-4-5-2-7 * 5-10-7-8-9-6-11-4-1-2-3
Die oberen und die unteren einzelnen Ziffern addiert, ergibt jeweils „12“.
Auch kann man erkennen, dass die über Kreuz gelesenen Wegfolgen zueinander rückwärts verlaufen.
Diese Eigenschaften kann ich auch nutzen, wenn ich neue Labyrinthe erzeugen will. Indem ich die Wegfolgen des Originals und des dualen rückwärts interpretiere, erzeuge ich zum Original das komplementäre des dualen, und zum dualen das komplementäre des Originals. Und umgekehrt.
Wenn ich eine einzige Wegfolge habe, kann ich so die übrigen drei rein rechnerisch ermitteln.
Klingt verwirrend, ist es auch, denn wir reden von Labyrinthen.
Zum besseren Verstehen am besten selbst ausprobieren oder den Artikel (Die Umgangsfolgen … siehe unten) von Andreas zu diesem Thema aufmerksam studieren.
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