Zum Mäander im Labyrinth

Erwin hat sich in einer Reihe von Beiträgen mit dem Mäander im Labyrinth befasst.

Dabei hat er einen labyrinthgeeigneten Mäander gefunden. Diesen speziellen Mäander gibt es in verschiedenen Ausprägungen. Erwin bezeichnet sie als Typ 4,  6, usf. (Typ plus eine gerade Zahl).

In der Tat ist diese Art von Mäander in den bestehenden Labyrinthen häufig anzutreffen. Aber es kommen in Labyrinthen auch noch andere Figuren vor, die als Mäander bezeichnet werden können. Überhaupt wird eine grosse Vielfalt von Figuren als Mäander bezeichnet, und es ist noch keineswegs klar, was denn nun ein Mäander ist.

Was also ist ein Mäander?

Tony Phillips zitiert auf seiner Website den russischen Mathematiker Arnol’d. Der wollte unabhängig vom Labyrinth untersuchen, was für Mäanderformen es gibt. Arnol’d definiert den Mäander so:

• Zusammenhängende, gerichtete Kurve,
• die sich nicht selbst schneidet
• und an mehreren Stellen eine Gerade kreuzt.

Arnol’d illustriert das am Beispiel einer Kurve, welche fünf mal eine Gerade kreuzt. Er hat 8 verschiedene solche Kurven gefunden. Die Abbildung der 8 Kurven habe ich aus der Website von Tony kopiert, die Kurven nummeriert und unten wiedergegeben.

8 Kurven

Es ist leicht erkennen, dass diese Kurven sehr eng mit dem Labyrinth verwandt sind. Man muss sie nur eine Vierteldrehung nach rechts (im Uhrzeigersinn) drehen und etwas begradigen. Dann hat man die Muster von 8 einachsigen Labyrinthen mit je 5 Umgängen vor sich.  Schauen wir uns diese Figuren deshalb einmal näher an.

Figur 1

Bei dieser Figur handelt es sich um eine Serpentine (einfache Schlangenlinie), die vom Eingang zum Zentrum führt. Dies ist das Muster des historischen Näpfchenstein-Labyrinths. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 2

Diese Kurve enthält das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5b. Es ist das Duale zu Figur 4. Duale Labyrinthe haben das gleiche Muster, aber um einen Halbkreis gedreht und mit vertauschtem Eingang und Zentrum. Das von Erwin gezeichnete Labyrinth „Knidos Peter“ ist auch von diesem Typ.

Figur 3

Diese Kurve enthält ein Muster vom Typ Knossos (3 Umgänge) mit sowohl innen wie aussen je einem zusätzlichen Umgang. Es ist mir kein Labyrinth mit diesem Muster bekannt. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 4

Dies ist das Muster des Labyrinths vom Typ Löwenstein 5a. Es ist dual zur Figur 2. Auch das „Pilgrim Hospices“ Labyrinth von The Labyrinth Builders ist von diesem Typ.

Figur 5

Bei dieser Figur handelt es sich um das Muster des Labyrinths, das ich für meine Untersuchungen und Darstellungen verwende, sozusagen mein Demonstrationslabyrinth. Es hat folgende dafür wichtige Eigenschaften: Der Weg tritt nicht auf dem ersten Umgang ein. Er biegt nicht vom innersten Umgang in’s Zentrum ab. Das Labyrinth ist nicht selbstdual. Das Duale zu diesem Labyrinth ist in Figur 7 abgebildet.

Figur 6

Dieses Muster entspricht einer Serpentine von innen nach aussen. Der Weg geht zuerst entlang der Achse auf den innersten Umgang. Von dort windet er sich Umgang für Umgang hinaus  bis auf den ersten (äussersten) Umgang und führt schliesslich von dort ins Zentrum. Erwin hat diesen Labyrinth Typ „Chartres 5 Klassisch“ gefunden, indem er beim Labyrinth vom Typ Compiègne die Nebenachsen weggelassen hat. Das Labyrinth ist selbstdual.

Figur 7

Dieses ist das Duale zu meinem Demonstrationslabyrinth in Figur 5.

Figur 8

Diese Kurve enthält Erwin’s labyrinthgeeigneten Mäander Typ 6. Dieser kommt als Muster im Kernlabyrinth von Rockcliffe Marsh vor. Rockcliffe Marsh ist in mehrfacher Hinsicht speziell: Es hat einen ungewöhnlichen Grundriss. Die Figur ist nicht geschlossen, sondern entlang der Achse geöffnet und ein Stück weit zu einem Kreissegment entrollt. Zudem besteht sie aus einem Kernlabyrinth, das aussen von einer Spirale umgeben ist.

Fazit

Arnol’d’s Definition vom Mäander hängt eng mit dem Labyrinth zusammen. Seine Kurven entsprechen den Mustern der einachsigen Labyrinthe, bei denen der Weg die Achse nicht quert. Die Anzahl Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden ist dabei gleich der Anzahl Umgänge im Labyrinth. Das wurde am Beispiel für Labyrinthe mit 5 Umgängen im Detail gezeigt.

• Es gibt also 8 verschiedene Muster für ein Labyrinth mit 1 Achse und 5 Umgängen, bei dem der Weg die Achse nicht quert.
• Je grösser die Anzahl Umgänge, umso mehr verschiedene Muster gibt es. Bei 6 Umgängen sind es 14, bei 7 Umgängen bereits 42 verschiedene Möglichkeiten. Die Anzahl der Muster steigt also rasant an.
• Nach Arnol’d’s Definition sind alle 8 Figuren Mäander. Nach Erwin’s Definition ist nur Figur 8 ein labyrinthgeeigneter Mäander.
• Wenn man die Definition von Erwin anwendet, erfasst man die häufigsten und wichtigsten Muster. Man verpasst aber auch ein breites Spektrum von tatsächlichen und potentiellen Labyrinthen.
• Wenn man die Definition von Arnol’d anwendet, ist jedes Muster in einem einachsigen Labyrinth, in dem der Weg nicht die Achse quert, ein Mäander. Diese Definition scheint zu breit und kann weiter differenziert werden.